La bella teoria

Polvo fractal con dimensión entera

2012-01-02T02:58:00.006+01:00

Como comentaba en el post sobre el “Vacío cuántico, vacío fractal ”, la existencia del cuanto de acción ha destruido por completo la propia noción de trayectoria clásica.Laurent Nóttale complementó la definición de Richard Feynman (1965) y A. Hibbs sobre las trayectorias virtuales típicas de una partícula cuántica, indicando que los caminos cuánticos posibles son, en número infinitos, y todos son curvas fractales caracterizadas por una propiedad geométrica común: su dimensión fractal es 2.

En algunos foros he leído que no se entendía bien lo de la dimensión fractal entera, en este caso 2, pero tal como indicaba en la expresión general de la dimensión fractal:

Dimensión fractal = dimensión topológica + factor dimensional

(El factor dimensional, siempre positivo, es tanto mayor cuanto más irregular es el fractal: indica la capacidad de ocupar más espacio del que indica su propia dimensión topológica)

Si el factor dimensional es entero, también lo será la dimensión fractal. Eso es lo que ocurre con las trayectorias virtuales en mecánica cuántica y también en una serie de fractales típicos, como puede ser el fractal del movimiento browniano en un plano (dimensión fractal 2) o la curva de Peano (dimensión fractal 2) que tiene más de 100 años de existencia.

Si una curva clásica tiene dimensión topológica 1, cuando hablamos de curvas fractales con una dimensión entre 1 y 2 estamos indicando que son capaces de ocupar parte del plano. Y es precisamente esa capacidad la que viene expresada por el factor dimensional. En el caso de la curva de Peano o del movimiento browniano, en el límite, ocupan todo el plano, de ahí que su dimensión fractal sea 2 , la propia dimensión del plano.

Como ejemplo, todavía más llamativo, observamos en la figura un fractal clásico ( el primero que se conoce), el polvo de Cantor que toma toma su nombre de Georg Cantor que en 1883 lo utilizó como herramienta de investigación para una de sus principales preocupaciones: el continuo.

A partir de una recta se le van quitando los segmentos centrales hasta conseguir una serie infinita de puntos aislados, de ahí el nombre de polvo. Si restablecemos de forma escalonada el segmento que antes le quitábamos, el nuevo fractal sigue teniendo estructura quebrada y autosemejante , pero ahora en lugar de tener una dimensión fractal igual a log 2/ log 3 tiene una dimensión entera: log 3/ log 3 =1. Nos ayuda, también, a entender como se calcula, de forma práctica, la dimensión fractal de una figura.

Esta otra figura es una síntesis de dos de los fractales clásicos, Koch y Cantor, y nos ayuda de forma intuitiva a entender el cálculo de su dimensión fractal. En la figura original de Koch, sobre los segmento A1-B1-D1-E1 se construye la figura que forman los segmentosA-B-C-D-E. Su dimensión fractal es log 4/ log 3 ( cuatro segmentos sobre tres). En la nueva construcción se ha sustraido 1/4 de cada uno de los segmentos superiores para dejar 4 segmentos de longitud 3/4: al final son 3 sobre 3 ( log 3/ log 3 = 1).

Se pueden construir infinidad de fractales con dimensión entera y, precisamente, esa irregularidad que representa una dimensión fractal entera en un fractal creo que nos ayuda a entendelos mejor.

Reedición de uno de mis post clásicos. Feliz año amigos.

Dios, Hawking, los físicos y la metafísica

2011-12-02T13:06:00.002+01:00

Desde entonces ha llovido mucho. Stephen Hawking hizo unas declaraciones sobre la ciencia y Dios, indicando que ya no es necesario para explicar el origen del Universo. Me han sorprendido mucho pues desde que el hombre descubrió, ya en la antigua Mesopotamia, que la naturaleza se rige por una serie de leyes más o menos complejas el papel de Dios ha dejado de ser crucial, en cierta forma. Digo en cierta forma porque ¿cómo demostramos que no ha sido Él el que ha creado esas leyes? ¿Son leyes "per se"? ¿El hecho de que lleguemos a conocerlas a la perfección hace que Dios no sea necesario para explicar el origen de Todo, ni siquiera el origen de esas leyes? La cuestión principal creo que sigue siendo la misma que para los mesopotámicos. Sobre los físicos y la metafísica paso a reeditar un antiguo post . En el post el propio Hawking llega a identificar las leyes naturales con el "pensamiento de Dios". Un saludo.

El post anterior acababa con unas reflexiones filosóficas del eminente físico Michio Kaku sobre el sentido de la vida. Aunque a algunos no les guste demasiado, los físicos son también personas y suelen pensar, más de lo que parece, en temas trascendentales. Esa aproximación a la persona fue la que me decidió a acabarlo así.

Por otra parte, en el libro de Michio Kaku, poco antes de esas reflexiones se citan unas palabras del propio Stephen Hawking ( cuando creía que la gran unificación de las interacciones fundamentales estaba próxima a llegar, al final del siglo XX ): “Si descubrimos una teoría completa, con el tiempo debería ser comprensible en sus principios generales para todo el mundo, no sólo para unos pocos científicos. Entonces todos nosotros, filósofos, científicos y simples personas normales, deberíamos ser capaces de tomar parte en la discusión acerca de la cuestión de por qué nosotros y el universo existimos. Si encontráramos la respuesta a ello, sería el triunfo final de la razón humana- pues entonces conoceríamos la mente de Dios.

Bien conocida es, también, la famosa frase atribuída a Einstein, sobre la mecánica cuántica: “ Dios no juega a los dados”. Otra frase suya relacionada con su apreciación de las claves que llevan al entendimiento de las leyes físicas decía: ”Dios es sutil, no malicioso” ( es impresionante). Finalmente, en otra de sus reflexiones decía:” Creo en el Dios de Spinoza que se manifiesta en la ordenada armonía de lo que existe, no en un Dios que se preocupa del destino y de las acciones del ser humano”.

Roger Penrose, uno de los físico-matemáticos más eruditos y creativos del mundo roza la metafísica al ocuparse exhaustivamente del problema filosófico de la conexión “mente-cuerpo”. En su famoso libro “La nueva mente del emperador”, recorre la teoría de la relatividad, la mecánica cuántica y la cosmología persiguiendo esta trascendente cuestión. Se revela como un filósofo de primera fila, que no teme abordar problemas que los filósofos contemporáneos despachan calificándolos de sin sentido.

El eminente físico David Bohm, tuvo una estrecha relación con el filósofo Krishnamurti que influyó de una manera decisiva en la formulación de su teoría física sobre el orden plegado-desplegado y el paradigma holográfico. Su interpretación “apóstata” de la mecánica cuántica.

En uno de los últimos post comentaba, también sobre este aspecto de Dirac: Para Dirac, Díos debía ser un gran matemático y con las matemáticas que conocemos nos acercamos a conocer un trocito de su creación. Curiosamente, Dirac era un gran ateo. Al respecto, Pauli escribió bromeando en sus memorias: "Si entiendo correctamente a Dirac, él dice: no hay Dios, y Dirac es su profeta".

Paul Davies, profesor de matemáticas aplicadas en el King`s College de Londres y catedrático de física teórica en la Universidad de newcastle, tiene todo un libro dedicado a "Dios y la nueva física".

Finalmente, creo que los físicos que han llegado a entender en profundidad la armonía y belleza que encierran las leyes naturales no pueden dejar de pensar en una cierta transcendencia, crean o no crean en Dios. Sienten que la grandeza de los misterios que tratan de sondear traspasan lo puramente físico.

Metafísica, título dado por el filósofo peripatético Andrónico de Rodas al conjunto de 14 libros del filósofo griego Aristóteles que, cuando fueron recopilados y editados por aquél (c. 70 a.C.), se encontraban “después de (la) física” (en griego, meta (ta) physica). Su contenido versa sobre lo que el propio Aristóteles definía como primera filosofía: el estudio del ser (aquello más general y común que comparten todas las entidades y cuyos rasgos son universales). Es una de las principales obras de la antigua filosofía griega y constituye una de las más influyentes de toda la historia de la filosofía occidental. Su título da nombre a una de las principales ramas filosóficas, la metafísica.

Sobre la polémica que ha desatado Hawking he leído una frase interesante, precisamente, de un teólogo:" La ciencia es atea y sería un milagro que pudiera probar la existencia o inexistencia de Dios".

Muy bueno

Fractales naturales y una reflexión informal

2011-10-18T19:09:00.007+02:00

Reflexión informal sobre la fractalidad del mundo.

Fractal es un objeto matemático discontinuo, roto, fracturado. A primera vista, algo extraño, ajeno, que sin embargo impregna todo nuestro mundo. Lo que tocamos, lo que somos, por donde nos movemos... todo es fractal. Simplificamos la realidad para poderla entender, nos quedamos con la simplificación, sacamos su esencia y la convertimos en saber, pero la simple continuidad observada por doquier es una quimera.

Todo son simplificaciones. Si una línea real la ampliamos, veremos una inmensa cantidad de imperfecciones, de discontinuidades, que se incrementan según el aumento con que las observemos. Cualquier superficie lisa esconde multitud de cortes y hendiduras. Simplificamos y tratamos así de construirnos un mundo más sencillo, que no siempre está tan cerca de la realidad como creemos.

La continuidad de la materia ya se vio rota por el átomo, materia discreta que forma la materia "continua" que vemos y tocamos. Después se rompió la continuidad de la energía por obra y gracia del cuanto de acción ( h ) . La energía pasó a estar cuantificada, en “paquetes” de mayor o menor magnitud, según su mayor o menor frecuencia de vibración. La realidad pasó a ser granulada, como una película fotográfica. El cuanto de acción, que define el mínimo "grano de realidad", no permite un grano más fino y , a la vez , estable... Las consecuencias fueron terribles: el cuanto acabó con la nada, con el vacío, por pura incompatibilidad.

El vacío absoluto y estable suponía un grano infinitesimal, inexistente, suponía un cuanto de acción nulo, que no existe. El vacío absoluto y estable, la nada, desapareció y dejó en su lugar a un inmenso fractal llamado el espacio-tiempo.

Todo fractal esconde algo entre sus innumerables quebrados y vericuetos. ¿ Qué escondía la nueva nada? Escondía partes de ella misma, y dejó al descubierto la incertidumbre de Heisenberg, el mínimo "grano" de realidad.

Reedición de la entrada de La bella teoría de hace unos tres años.

+++ Teoría del caos (Instituto Astrofísico de Canarias)

El efecto mariposa, un atráctor extraño

2011-07-20T11:08:00.004+02:00

El orden lleva asociado un grado importante de predicción, al caos le sucede lo contrario. Los sistemas lineales, representan el orden, son predecibles y cómodos de manejar, de ahí nuestra tendencia a generalizarlos. Ante un sinfín de situaciones generalizamos, proyectamos los datos del presente para tratar de averiguar un comportamiento futuro y casi siempre nos va bien. Pero existen sistemas que se resisten: pequeñas variaciones, incertidumbres, en los datos iniciales desembocan en situaciones finales totalmente descontroladas e impredecibles. Son los llamados sistemas caóticos (En la figura, atractor extraño "poisson_saturne" hecho con el programa Chaoscope).

Para estudiar estos sistemas se requiere de una metodología diferente. Su estudio se realiza en el llamado espacio de fases, un espacio abstracto en el que se representan todas las variables dinámicas del sistema. Por ejemplo, un péndulo simple ideal se vería representado por dos variables, la velocidad y la posición de la masa suspendida. Su representación podría hacerse, por tanto, en el plano y sería una circunferencia. Cada punto de la misma representaría dos cantidades, la velocidad y la posición, en ese momento.

Esa figura en el espacio de fases, a la que se aproxima el fenómeno estudiado, se le llama su atractor. En los sistemas no caóticos el atractor suele ser un punto, una circunferencia, una figura geométrica conocida, pero en los sistemas caóticos presenta una forma “extraña”, de ahí que reciba el nombre de “atractor extraño”, con una dimensión fraccionaria o fractal (En la figura, atractor de Lorenz, en 3D, con el programa Chaoscope).

El primero de éstos fue hallado, por casualidad, por el meteorólogo Edward Lorenz cuando trataba de encontrar un modelo matemático que permitiera predecir el comportamiento de grandes masas de aire. Consiguió ajustar el modelo a sólo tres variables que indican como cambian la velocidad y la temperatura del aire a lo largo del tiempo (atractor de Lorenz).

Después de haber estudiado el modelo, volvió a introducir los datos iniciales - esta vez con menos decimales- y el resultado que obtuvo fue completamente diferente del anterior. Cuando reflexionó sobre los resultados se dio cuenta que el sistema era extremadamente sensible a las condiciones iniciales: pequeñas perturbaciones en los datos de partida tienen una gran influencia sobre el resultado final. Sus ecuaciones captaban la esencia de la verdadera atmósfera. “Aquel primer día ( invierno de 1961) decidió que los pronósticos amplios estaban condenados a la extinción”. Pero vio más que azar en su modelo del tiempo: una fina estructura geométrica, orden disfrazado de casualidad.

Para explicar de una manera gráfica – y exagerada - la cuestión se le ocurrió que el simple aleteo de una mariposa, que no se hubiera tenido en cuenta en los datos iniciales, podía modificar una predicción hasta hacerla totalmente inviable después de un determinado tiempo.

Sobre el efecto mariposa se han escrito cientos de artículos, novelas, canciones y se han hecho películas. En un artículo de Enrique Dans, profesor del Instituto de Empresa, se compara el “ecosistema de Internet” con los sistemas no lineales y complejos como el tiempo atmosférico:” Las variables en juego (en Internet) no son tantas: si en el clima hablamos fundamentalmente de velocidad y temperatura del aire, en Internet hablamos de visitas, vínculos y cuestiones afines. Pero el posible impacto de una variación infinitesimal en medición de las variables de origen puede tener un impacto brutal en los resultados finales,...” . “ Criterios que todo el mundo, aparentemente, da por buenos, como el sacrosanto PageRank de Google, la cuenta de vínculos entrantes de una página web que lleva a cabo Technorati o los rankings de popularidad de Alexa son medidas completamente burdas, groseras, carentes de inteligencia, que responden únicamente al deseo e intentar reducir la incertidumbre, pero que lo hacen, en general, bastante mal.”

En este sentido nos encontramos en la era anterior al descubrimiento del efecto mariposa, utilizamos métodos lineales para tratar de analizar los sistemas complejos, no lineales, en donde las realimentaciones de todo tipo, y a todos los niveles, son la propia esencia del sistema. Necesitamos conocer "el atractor extraño de Internet".

Para saber más:"Caos,La creación de una ciencia", de James Gleik. Seix Barral. Barcelona 1988. Un magnífico libro.

Nueva edición del post del mismo título de fecha 17/10/2006. Un saludo y feliz verano amigos.

La información, el azar y el número Pi

2011-06-27T19:25:00.002+02:00

La información se nos presenta como una entidad fundamental, no sólo a nivel de la estructura física de la materia (entropía) sino de la propia estructura de los números trascendentes, tales como Pi , y también del resto de los números irracionales, que constan de infinitos decimales dispuestos de forma aleatoria, como por ejemplo la raíz cuadrada de 2. El azar que encontramos en infinidad de procesos naturales, o en los números, es extraordinariamente difícil de simular de forma artificial, lleva asociado un nivel de información neutro (cero información añadida), que en cierta forma es una restricción poderosa y de gran calado.

El número Pi es, junto con el número e, uno de los números llamados trascendentes más famoso. Es la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro, y aparece en infinidad de expresiones matemáticas o físicas. Desde la antiguedad, muchas veces por cuestiones prácticas, se ha tratado de calcular el mayor número de decimales para conseguir más precisión en las medidas (en la figura, Arquímedes de Siracusa - 250 a.C - lo calculó con la aproximación: entre 3+10/71 y 3+1/7). Casi a semejanza de los alquimistas que trataban de conseguir la piedra filosofal, los geómetras de todos los tiempos han tratado de hallar la cuadratura del círculo. Actualmente gracias a la potencia de cálculo de nuestros ordenadores se han conseguido millones de sus decimales. Teóricamente tiene infinitos decimales y deben estar situados de forma completamente aleatoria, de manera que al cabo de miles de millones de trillones de decimales que busquemos podremos encontrar cualquier combinación, que convenientemente codificada podría contener: El Quijote, Romeo y Julieta, la Biblia o este propio escrito.

Existen varias páginas que encuentran cualquier combinación de números entre las cifras de Pi, y nos dicen a partir de qué decimal se puede encontrar. Al reflexionar sobre ello, pensé que se podría codificar, de forma ventajosa, cualquier información sobre esta base y me puse manos a la obra. Busqué la posición de una codificación al azar, el número 11, y la encontré a partir del decimal 94. El número 111 a partir del decimal 153 y así hasta el 11111111 que se encuentra a partir de la posición 159 090 113, en la ristra de decimales del número Pi. Pronto me di cuenta de que no significaba ninguna simplificación pues para dar la posición dentro de Pi de un determinado código, se necesitarían, en general, un número de dígitos igual o superior a la propia codificación que se busca. Repetí la búsqueda para la codificación 121212 que se encuentra a partir de la posición 241 987 (seis dígitos para definir la búsqueda del código 121212) : 3,14 .......28979301308065657163 121212 07914290705421508889........ En base a esta suposición el Quijote se encontraría codificado, en los dígitos del número Pi, alrededor del decimal 4x10^1000000 (un 4 seguido de un millón de ceros), más o menos.

En cierta forma, podríamos decir que la información mínima ni se crea ni se destruye, simplemente se transforma. El azar no debe llevar implícitamente ninguna información que pueda después utilizarse y esto lo encontramos en infinidad de procesos naturales, o en los números. Supongo que debe ser así, pues no sería lógico que pudiésemos codificar El quijote, por dar un código como ejemplo, con otro código mucho menor, irrazonablemente menor. Si codificamos y comprimimos ese código, la forma de indicar su posición dentro de Pi deberá contener una información similar. Al menos eso es lo lógico, y en base a esa lógica de cero información añadida, o información neutra, deben estar distribuidos al azar los dígitos de Pi y de los innumerables números irracionales con infinitos dígitos.

Segunda edición del post de fecha 22/02/2007. Un saludo amigos.

Libertad cuántica

2011-04-13T08:37:00.004+02:00

Hola amigos, en un tiempo en que una serie de pueblos, tradicionalmente oprimidos, tratan de despojarse de viejos sistemas autocráticos y despertar a la libertad, las partículas más elementales que forman toda la materia de nuestro universo nos dan una lección de su caracter indomable. La libertad, en cierta forma, está impresa más allá de nuestros genes en la esencia de la propia materia. Paso a reeditaros un antiguo post que habla de la "libertad cuántica". Un abrazo.

Las partículas elementales parecen poseer una cierta "libertad cuántica". Para ellas los sucesos no están estrictamente determinados, como lo fueron para las partículas en la física clásica del siglo XIX, y poseen un elemento de elección dentro de ciertos límites, siempre que en promedio obedecezcan las leyes clásicas. El cuanto de acción, h, les da esa libertad.

Tratemos de confinar un electrón dentro de un núcleo atómico. Después de todo ¿por qué no deben los electrones ser un componente de los núcleos como los protones y los neutrones? Los neutrones experimentan una desintegración radiactiva que los convierte en un protón y un electrón (radiación beta). Por tanto, un electrón atrapado por un protón para formar un neutrón parecería una idea razonable, pero el electrón rehúsa cooperar, se niega a ser confinado.

Un electrón confinado a un espacio de dimensiones nucleares debe tener longitudes de onda asociadas a él tan cortas, al menos, como el diámetro del núcleo. Si las ondas fueran mayores significaría que el electrón consume la mayor parte de su tiempo fuera del núcleo, y eso no funcionaría. Sin embargo, las longitudes de onda cortas implican una restricción en espacio, y ello debe estar equilibrado por un incremento del momento con objeto de conservar su cuanto de acción fundamental, h ( (incremento de espacio) x (incremento de momento) = cuanto de acción (h)) . El electrón tendría tanta energía cinética que saldría de su jaula nuclear. El encarcelamiento no puede realizarse. Los electrones no pueden existir dentro del núcleo en un estado estable, a menos que se ejerza una tremenda fuerza para vencer su empuje hacia la libertad.

Sólo una fuerza tan inmensa como la presión de una estrella que se desintegra bajo su propia gravedad puede apiñar electrones en núcleos para formar un cuerpo compuesto completamente por neutrones: la estrella de neutrones. Y ello es una medida gráfica de lo fuerte que es la urgencia de libertad del electrón. Necesita que un cuerpo del tamaño de una estrella se siente sobre él.

Cada vez que tratamos de restringir la libertad cuántica de un electrón, ya sea forzándolo a entrar en algún espacio o dirigiéndolo a través de hendiduras, éste insiste en su libertad de acción y la manifiesta de una forma característica, y no sólo de forma pasiva. Puede promover su libertad violando las leyes ( clásicas) de la conservación de la energía y el momento.

Del estupendo librito " Tiempo, espacio y cosas", de B.K. Ridley, título original "Time, space and things", publicado por Cambridge University Press. Traducción de 1989 del Fondo de Cultura Económica. Pura belleza al servicio de la divulgación científica.

Reciente teoría:

Puede que el comportamiento de las partículas cuánticas no sea tan extraño. Según una reciente teoría que conjuga nuestro conocimiento sobre fractales y agujeros negros, las partículas podrían ser comparadas con una serie de trenes moviéndose sobre una intrincada red fractal de vías. La aparente libertad que observamos en su movimiento se ciñe a ese entramado de vías que desconocemos. No podemos forzar cualquier movimiento arbitrario que permita que el “tren se salga de la vía”.
Ese entramado de vías se correspondería con el llamado conjunto invariante del universo, un mínimo de información subyacente que engloba el número total de estados posibles en el mismo. La supuesta libertad del electrón se ceñiría a seguir ese conjunto mínimo de información que determina, aunque no lo veamos, sus movimientos. Leer Más...

Agujeros negros/blancos y paradigma holográfico

2011-02-18T13:41:00.007+01:00

Curiosidades sobre hologramas

Además de ser tridimensional, la imagen registrada en un holograma difiere
de una fotografía convencional en un sentido muy importante.Si se corta
una fotografía normal por la mitad, cada parte contendrá sólo la mitad de
la imagen contenida en la fotografía original. En cambio, si se corta un
holograma por la mitad y se proyecta un haz de láser a través de una de
las secciones, se comprobará que cada mitad contiene la imagen
completa del holograma original, con menor definición. Cada
diminuta parte del holograma contiene no sólo su propio "bit" de
información, sino también todo otro "bit" de información correspondiente
al resto de la imagen; en consecuencia, se puede cortar un holograma
en pedazos y cada porción individual contendrá una versión borrosa pero
completa de la imagen entera. Dicho de otro modo, en un holograma
cada parte de la imagen interpenetra todas las demás partes,
de la misma forma que en el universo no local todas sus partes se interpenetran.

Seguir leyendo.. (El universo como holograma multidimensional)

Agujero negro/agujero blanco

En una ocasión, meditando sobre
este fenómeno tan asombroso
pensé en lo que significan los
agujeros negros con relación al
resto del universo. En cierta
forma, pensé, si admitimos que el
universo es un inmenso holograma
(David Bohm), cada agujero negro supone una especie de "corte", o separación, en dicho holograma. En un sentido clásico esa separación no tendría trascendencia pero en el sentido holográfico ese pedazo de universo separado intentaría reproducir, de forma más borrosa, al universo entero:
Podría significar que se abre a un nuevo espacio-tiempo, en forma de agujero blanco, creando un nuevo universo con una constante
de Planck mayor que en el nuestro, porque supondría una menor
definición, un "grano fotográfico" mayor y un universo "más borroso",
con menor grado de información.

Constante de mínima acción y máxima información en una región del espacio

Continuando con este razonamiento y partiendo de la igualdad que liga tres
constantes universales para definir la menor longitud posible Lp (longitud
de Planck), (Lp)² = h G/c³, observamos que el cociente Lp²/h que liga el
cuanto de acción con la superficie de Planck lo podemos igualar a un cociente
de constantes G/c³(constante de la gravitación universal dividida por
velocidad de la luz al cubo). A priori, parece lógico que si en un universo
nuevo emergente, más "borroso" que el nuestro, el valor del cuanto de
acción es mayor también lo debería ser la mínima longitud definible en él.
Por lo que vemos, realmente, queda relacionado el valor de h no con Lp
sino con Lp² , con una superficie. Seguir leyendo...

Es significativo, porque la máxima información contenida en
cualquier región del espacio depende de la superficie que la
envuelve, expresada en unidades mínimas de superficie de
Planck (Lp² ). En cierta forma parece que, en el hipotético caso de que
en otros universos la constante de mínima acción de Planck sea diferente,
ésta estaría relacionada con la cantidad de información que puedan encerrar
dichos universos.

Historia y dignidad

2011-02-15T11:46:00.005+01:00

Lo asombroso de la historia, a propósito de las revoluciones en los países árabes

Hay algo asombroso que siempre me ha llamado la atención sobre la historia. Ocurrió antes, ocurre ahora y, posiblemente, pasará siempre : la humanidad no parece saber, ni poder controlar realmente, hacia dónde va. Los acontecimientos se suceden y cuando todo parece amarrado y en su sitio, viene un nuevo incidente que lo desbarata todo, guerras, revoluciones, crisis económicas o cualquier otra catástrofe. Ante estas situaciones la historia, después de ocurridas, saca sus conclusiones y nos ayuda a impedir que vuelvan a repetirse, pero siempre hay algo que se nos escapa y todo vuelve a derivar en alguna nueva catástrofe (catástrofe como cambio no contínuo), todo vuelve a empezar de nuevo. Leer más...

Efecto mariposa
En física existen unos sistemas que son sumamente sensibles a las condiciones iniciales. Por muy bien que se conozcan las variables que van a influir en su desarrollo, por muy sofisticados que lleguen a ser los instrumentos que las midan, siempre habrá una mínima incertidumbre que influirá, decisívamente, en el desarrollo posterior del sistema. Una mínima causa será capaz de desencadenar grandes consecuencias. Ese efecto es conocido, popularmente, con el nombre de “efecto de la mariposa”. De forma exagerada, pero muy gráfica, se explica que el simple vuelo de una mariposa, en África, puede desencadenar, con el tiempo, un huracán en China. El primero de esos sistemas que se estudió, allá por los años sesenta, fue el tiempo metereológico.

Dignidad e historia
El poder egoísta tiende a pisarlo todo, sin ningún tipo de consideración. Es un elemento motriz burdo, como una tormenta. Pero a diferencia de la tormenta que actúa sin cortapisas, obedeciendo a leyes físicas y a condicionamientos puramente mecánicos, el poder siempre tiene enfrente a la dignidad de la persona. La pisará una y mil veces, la despreciará, pero al final la encontrará cara a cara, haciéndole frente, en el germen de toda revolución o cambio necesario. Y será capaz de reconducir la propia corriente de la historia. Esa es la diferencia entre los sistemas físicos, caóticos en el sentido en que pueden seguir muy distintas trayectorias de futuro, igualmente válidas, y el “sistema sensible” de la historia cuya única trayectoria final estable, después de cualquier cambio caótico, pasa por el respeto a la dignidad humana. El sentimiento que hace sentirnos únicos, diferentes, con un valor intrínseco, como centro que somos del mundo que percibimos, de nuestro mundo. Es un sentimiento universal y nace de la propia conciencia de ser.

Recientemente he leído interpretaciones sobre la revolución democrática en los países árabes. Por una parte a través de cuatro escritores norteafricanos y por otra del escritor Vargas Llosa. Es curioso como hablan de revolución y dignidad de la persona... Vargas Llosa llega a decir:"¿Qué mejor prueba que la historia no está escrita y que ella puede tomar de pronto direcciones imprevistas que escapan a todas las teorías que pretenden sujetarla dentro de cauces lógicos?".

El detonante de todo fue, en cierta forma, un pequeño aleteo de una mariposa. O casi, si lo comparamos con la revolución que ha desencadenado: la inmolación de un pobre joven tunecino hastiado de la injusticia y la corrupción que lo pisoteaban como se pisotea a una cucaracha.

Barreras a la creatividad

2011-01-25T09:34:00.009+01:00

Barreras a la creatividad.

Una de las barreras psicológicas más fuertes a la inteligencia creativa es el temor al ridículo. El síndrome provoca que todos los individuos de un grupo se parezcan unos a otros, se vistan iguales, empleen en su conversación los mismos términos para no ser rechazados por los demás miembros y otorguen a sus existencias el mismo objetivo. El grupo, por su parte, se encarga a través de la práctica de esa institución nacional conocida como chaqueteo de volver a su sitio a quien se aleja de él o intenta diferenciarse. Leer más ...

Geometría no continua y autosemejante del vacío cuántico

A veces lo más sorprendente es lo que ocurre cada día. La transparencia delvacío, por ejemplo, que todo el mundo da por natural y lógica, puede que no lo sea tanto. Sobre todo si consideramos las tremendas energías asociadas al vacío cuántico. A la menor distancia posible,10^-35 metros, llamada longitud de Planck, se le asocia una masa del orden de 2x 10^-5 gramos. Si mantuviéramos la misma relación y asignáramos la masa correspondiente a un metro, nos encontraríamos con la friolera de 1.2 x 10²⁴ toneladas. Pero las fluctuaciones cuánticas del vacío están acotadas y dependen del inverso de la distancia: esa es la razón de que observemos el vacío transparente y completamente vacío. Leer más

Dos artículos que, posiblemente, saldrán en marzo en el tercer volumen de la Revista E-Ingeniería, revista de la facultad de Ingeniería de la Universidad Mayor de Chile. Mi agradecimiento a Alejandro Covacevich (autor del primer artículo) y al Decano Roberto Acevedo, una persona que me ha demostrado fehacientemente que está muy lejos de poner barreras a la creatividad. En su etapa como director de la Revista Ciencia Abierta, de la Universidad de Chile, ya lo demostró con creces. Un abrazo amigos.

Leyes del caos, vida e inteligencia

2010-12-17T11:44:00.006+01:00

La ciencia del caos, curiosamente, ha hecho una aportación trascendental para mejorar nuestra comprensión del mundo. Hasta ahora se creía que la vida y con ella la inteligencia eran puras casualidades pero ahora sabemos que la materia, ciega en el equilibrio, manifiesta potencialidades imposibles en otras condiciones alejadas del mismo siempre que haya la necesaria aportación de energía. Con las leyes que rigen nuestro no hubo más que esperar el tiempo necesario para que las estrellas crearan los átomos imprescindibles para la vida y ésta progresara, a través de organismos cada vez más sofisticados y adaptados al ambiente de forma más eficiente, permitiendo que apareciese la inteligencia en especies evolucionadas como la nuestra.

Si la vida y la inteligencia vienen impresas en las propias leyes que nos rigen la posibilidad de vida e inteligencia extraterrestres están aseguradas.

Ilya Prigogine, recibió el premio Nobel de Química en el año 1977 por su aporte al conocimiento de las "estructuras disipativas" en el mundo físico, es decir, el estudio de la aparición del orden en condiciones alejadas del equilibrio. El término estructura disipativa busca representar la asociación de las ideas de orden y disipación. El nuevo hecho fundamental es que la disipación de energía y de materia, que suele asociarse a la noción de pérdida y evolución hacia el desorden, se convierte, lejos del equilibrio, en fuente de orden. Estas estructuras están en la base de la vida y en ellas el orden se establece en base a ecuaciones de evolución no lineal, de mucha mayor complejidad que cerca del equilibrio en donde las soluciones son mucho más simples y se pueden linealizar.

Potencialidad:
Lejos del equilibrio existen muchas soluciones, potencialidades que no existen cerca del equilibrio. Esta riqueza nos puede guiar mucho mejor para comprender fenómenos complejos como la historia del clima, de la Tierra y de la propia vida. Todo esto está ligado a una estructura de no equilibrio que era incomprensible desde una perspectiva antigua: el no equilibrio no es sólo degradación, sino también construcción. Ni el tiempo repetitivo de la mecánica ni el tiempo-degradación de la termodinámica clásica pueden explicar la riqueza del mundo tal como lo vemos. La naturaleza inventa. Nada es reversible. Y su dimensión temporal dista de agotarse en la concepción matemática de un tiempo absoluto, como la concepción abstracta de la mecánica clásica. En los sistemas sencillos no caóticos su atractor, una especie de representación de sus variables dinámicas, es una figura geométrica simple o un punto, mientras que en los caóticos son figuras de una complejidad extraordinaria llamados atractores extraños. De esa complejidad se pueden extraer infinitas posibilidades para la evolución futura del sistema.

Los mecanismos de organización en las estructuras disipativas sólo pueden aparecer cuando el medio externo mantiene, mediante la aportación energética, el sistema alejado del equilibrio. La estructura es creada y mantenida gracias al intercambio de energía con el exterior. Por eso las llamamos estructuras disipativas. En ciertas condiciones críticas externas, las ínfimas fluctuaciones naturales y constantes de un sistema pueden, en vez de atenuarse, amplificarse y arrastrar el sistema en una u otra dirección. La rama de la bifurcación que escogerá el sistema es imprevisible, pues el fenómeno es aleatorio y parece fruto del azar.

La segunda ley, orden y desorden:
En un sistema aislado, la segunda ley de la termodinámica nos enseña que el desorden, la entropía, aumenta irremediablemente, pero eso no impide que una parte de ese sistema con una aportación de energía y materia de su entorno aumente su orden y disminuya su entropía. La suma total de entropía sigue aumentando, pero esa parte del sistema se organiza a costa de aumentar el desorden a su alrededor. Esa es la historia esencial de los organismos vivos. Cuando las condiciones externas cambian y se vuelven extremas el organismo entra en crisis y aparecen fenómenos aleatorios de bifurcación que le dan opciones de supervivencia. El sistema elige una de las opciones que se adaptará mejor o peor a las nuevas condiciones. Si elige bien vuelve a encontrar un periodo de estabilidad regido por el orden, si vuelve a entrar en crisis volverá el desorden y la nueva elección.

Hasta Prigogine, la ciencia pensaba que la vida era una especie de casualidad, un raro fenómeno difícil de reproducir, pero con Prigogine hemos aprendido que la materia lejos del equilibrio manifiesta potencialidades imposibles en otras condiciones. La intuición de que era posible elaborar una termodinámica general de sistemas vivos o abiertos y de sistemas cerrados, aislados e inertes, le valio a Ilya Prigogine el Premio Nobel de Química.

Algo más sobre el caos:

Historia, dignidad y efecto mariposa.

Efecto mariposa, un atráctor extraño.

Notas varias, collage claroscuro tirando al negro

2010-12-07T11:02:00.009+01:00

Algunas notas, casi al azar, sobre gravitación cuántica y agujeros negros

Sobre espacio-tiempo y paradigma holográfico:
Conforme avanza nuestro conocimiento sobre el universo aparecen más interrogantes, vuelven las eternas preguntas que se han hecho los filósofos de todos los tiempos, aunque la perspectiva ha cambiado sustancialmente. Los principios básicos que vislumbramos sobre la gravedad cuántica nos indican que el propio espacio-tiempo no es el fundamental, eterno e inmóvil referente que siempre hemos creído sino que emerge de una entidad fundamental discreta (no continua) y su propia geometría debe estar inextricablemente ligada a las relaciones causales entre sucesos.

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Extraña luz de agujero negro:
Un agujero negro del que no salga nada (el caso clásico), ni presente al exterior ninguna manifestación cuando engulle materia con mucha entropía, sugiere una forma demasiado fácil de disminuir la entropía de la materia exterior al mismo. Conforme arrojáramos al agujero materia con gran entropía haríamos disminuir la entropía exterior. Serían agujeros por los que se “escaparía” el cumplimiento de la segunda ley de la termodinámica, la tendencia natural al aumento de entropía o desorden (ver nota final sobre la entropía). Desde el Bing Bang, una explosión en perfecto orden , la entropía total del Universo no ha dejado de crecer y así será hasta la llamada muerte térmica .

La extraña luz de los agujeros negros, bautizada como radiación de Hawking que fue quien la descubrió, devuelve desorden, entropía, a nuestro Universo que sigue degradándose sin remedio hasta su muerte final (la energía de la radiación calorífica es la energía más degradada). Sin esa tenue luz los agujeros negros engullirían, además de materia, desorden. El determinismo clásico los hace más negros pero menos reales… la realidad, por una vez, no es tan “negra” como la pintan.

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Dragones alados y agujeros negros:
Agujeros negros, agujeros de gusano, túneles en el espacio-tiempo, viajes en el tiempo, distorsión espacial y temporal, todos estos conceptos que parecen sacados de una novela de ciencia ficción, forman parte ya de la ciencia seria que se investiga en la actualidad, y no deja de ser una paradoja que la física, la ciencia más pura y dura, se ocupe de cuestiones, en otro tiempo, esotéricas. La materia a la que nos agarramos como lo más sólido, simple y real que tenemos se está convirtiendo, cada vez más, en algo lleno de misterio y complejidad. La física cuántica y la teoría de la relatividad general nos la presentan como algo siempre en movimiento que se confunde con el propio espacio y tiempo. Conforme tratamos de entender sus propias entrañas se nos aparece como formando una especie de entidad compleja que algún premio Nóbel no ha dudado en llamar: la materia-espacio-tiempo. Las extrañas criaturas que son los agujeros negros, con la curiosidad que han despertado entre los físicos, a comprender mejor el mundo que nos rodea. En cierta forma su negra belleza ha arrojado un rayo de luz sobre nuestro conocimiento del universo que nos cobija.

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Antes del Big Bang, la espuma cuántica:

La mecánica cuántica nos prepara en cierta forma la mente para imaginar la creación del Universo a partir de una nada cuajada de fluctuaciones cuánticas pre-espaciotemporales. Ya en el Universo actual nos enseña que el vacío es un verdadero hervidero de creación y aniquilación de partículas virtuales que, a distancias del orden de Planck, se convierte en la llamada "espuma" cuántica del espacio-tiempo. En ella nada de lo que conocemos y nos es familiar cuenta pues entramos en los dominios de la desconocida, hasta ahora, gravedad cuántica.
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Radiación de Hawking:
Conforme más sabemos de estas exóticas criaturas estelares, más nos sorprenden. Hemos descubierto que emiten radiación (llamada de Hawking) y no son tan negros como nos los pintaban; que el área de su horizonte de sucesos nos mide toda su entropía y nos delata la magnitud del desorden exterior que ha devorado, y que mueren en medio de un estallido de energía brutal. Parecía que nos lo querían esconder todo, y, sin embargo, nos cuentan cosas que sin ellos nunca habríamos sabido sobre el propio nacimiento del Universo y de su final, pues sus propiedades llevan años alumbrando la dirección que debemos tomar para descubrir la futura teoría de la gravedad cuántica: la llave del pasado y del futuro del Universo.

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Gravitación cuántica, distancia fundamental y teoría de cuerdas:
Una propiedad matemática tan elemental como es la no conmutatividad está en la base de lo que será la futura teoría de gravitación cuántica. Los retículos espaciales que sustituyen a las coordenadas no conmutan, es decir si X es el operador cuántico de la coordenada x e Y es el operador de la y, el producto XY es diferente al producto YX. Las coordenadas clásicas son simples números reales que por descontado son conmutables, pues da lo mismo multiplicar las coordenadas xy en ese orden o en el contrario yx. Esta diferencia tan abismal nos da una idea de la nueva complejidad necesaria para poder describir correctamente la realidad del espaciotiempo.

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Un abrazo amigos.

Los Mercados, una forma de poder ciego y lineal. Brevísima descripción física.

2010-11-08T12:07:00.017+01:00

Aristóteles consideraba al hombre un animal social (zoon politikon) que desarrolla sus fines en el seno de una comunidad, el Estado, pero para él el Estado era como una especie de ser natural que no surge como fruto de un pacto o acuerdo. En el siglo XVIII Jean Jacques Rousseau escribe el Contrato social, una obra sobre filosofía política que trata sobre la libertad e igualdad de los hombres bajo un Estado instituido por medio de un contrato social. En esta idea se encuentra la base de lo que sería la Revolución francesa, una forma de devolver la soberanía al pueblo que la había perdido a manos de la aristocracia y la monarquía absolutista. Un supuesto origen divino habría puesto en manos del rey absoluto todo el poder.

Después de más de 200 años de aquella revolución y de infinidad de luchas sociales que trataban de defender al débil del fuerte nos volvemos a encontrar con otro poder absoluto que, gracias a la globalización, hace prácticamente inútiles todos los avances sociales de más de dos siglos. Conseguimos separar el poder absoluto, sobre el que no teníamos control, en los tres poderes que conocemos, el legislativo, el ejecutivo y el judicial, conseguimos una democracia parlamentaria que nos daba control sobre el poder que, se suponía, emanaba del pueblo y al final volvemos a estar sometidos a un poder absoluto que se llama el Poder de los Mercados Financieros.

En la Revolución francesa al no haber mecanismos pacíficos para recuperar el poder el pueblo tuvo que tomarlo por la fuerza y cambiar las reglas del juego. ¿De qué forma podremos volver a tomar el poder detentado por los mercados financieros? Supongo que la única salida son las revueltas sociales capaces de poner en peligro el propio Estado y cambiar de nuevo las reglas del juego. En un mundo interdependiente los Mercados tienen mucho poder, pero en esencia ese poder es un espejismo porque su base es sumamente endeble, sus pies son de barro. Un pequeño país como es Grecia ha estado a punto de tumbar la moneda única europea y de provocar un cataclismo a nivel planetario. Conforme la presión de los Mercados de Deuda sea mayor sobre los Estados esa presión se convertirá en una pistola apuntando, cada vez con más tino, a sus propios pies.

Nuestro propio organismo, al igual que las sociedades que creamos son sistemas abiertos lejos del equilibrio. Cuando estos sistemas se vuelven inestables (revoluciones) vuelven a encontrar un nuevo equilibrio en base a las nuevas condiciones del entorno. Los Mercados ejercen un poder lineal que tiende a manejar con torpeza las situaciones, buscan una sencilla linealidad que no es real y con ello realimentan positivamente el Sistema provocando "oscilaciones" cada vez más grandes y peligrosas que ponen en peligro la estabilidad y al propio sistema, que al cambiar sus condiciones muta hacia una nueva solución más estable. La realimentación positiva a la que contribuyen las agencias de valoración primero alentaron una sobreponderación de activos, empresas y solvencias y ahora exageran notoriamente el pesimismo sobre la solvencia de las deudas públicas de un cierto número de países (Miguel Boyer:“Ganar dinero apostando al desastre” (EL PAÍS, 30-04-2010)).

Lástima que detrás de todo esto, que explicado así queda de forma muy aséptica, hay infinidad de historias de sufrimiento y tragedias. Hay miles y millones de personas y la Historia vuelve a repetirse una y otra vez. Siempre la misma tragedia, el egoísmo pisando la dignidad de las personas.

Sobre los sistemas lejos del equilibrio y la Historia: Historia, dignidad y efecto mariposa.

Algún detalle más : El caos que vino del orden, el efecto mariposa.

Algunas aclaraciones, repito el párrafo:"Los Mercados ejercen un poder lineal que tiende a manejar con torpeza las situaciones, buscan una sencilla linealidad que no es real y con ello realimentan positivamente el Sistema provocando "oscilaciones" cada vez más grandes y peligrosas que ponen en peligro la estabilidad y al propio sistema, que al cambiar sus condiciones muta hacia una nueva solución más estable".

Lo que llamo Mercados, son los Financieros de Deuda Pública, de Bonos, capaces de doblegar a los própios Estados sin que podamos hacer prácticamente nada los ciudadanos. Un poder ajeno a nosotros, sobre el que no tenemos control y que decide sobre nuestras haciendas y nuestra vida. ¿Existe mucha diferencia con el poder absolutista de los monarcas del Antiguo Régimen?.

Muy interesante, no tiene desperdicio: En diciembre de 1997 Ignacio Ramonet publicó un editorial en Le Monde Diplomatique con el título “Desarmar los mercados financieros” en el que decía, entre otras cosas muy sabrosas, lo siguiente: “El desarme del poder financiero debe convertirse en un interés cívico de primera magnitud, si se quiere evitar que el mundo del próximo siglo se transforme en una jungla donde los predadores impongan su ley”. Seguir leyendo...Los mercados financieros contra la democracia.

Juegos matemáticos de "magia" y estructura de grupo

2010-10-15T14:06:00.024+02:00

Las simetrías que presenta la estructura algebraica de grupo pueden dar soporte a una infinidad de juegos matemáticos de magia.

Imaginemos la siguiente operación que llamaremos Expresión Alfa[7,1000000]: elevo el número 7 al exponente 3x10^1000000 , a continuación sumo todas las cifras del resultado, a esa suma la divido por 9 y hallo el resto (Nota**) (módulo 9). Si digo que para ese número, de millones de cifras, el resultado es 1 y además puedo asegurarlo sin ni siquiera intentar la operación podría parecer casi un juego de magia pero, en realidad, el resultado es casi tan elemental como elevar la unidad a cualquier potencia finita y tan grande como queramos: el resultado será siempre 1.

La clave de ese aparente juego de magia matemática la tiene una estructura algebraica muy importante, llamada grupo, sobre la que ya hemos hablado otras veces (Ver1) (Ver 2) .

El grupo de módulo 9 de la suma de cifras de un conjunto de números con el producto.
Establecemos una operación interna (producto) entre los elementos de un conjunto {1,2,4,5,7,8} y observamos el grafo correspondiente de su estructura de grupo, donde aparecen las relaciones de cada uno de los elementos con todos los demás (los valores 1,2,4,5,7 y 8 no son arbitrarios, corresponden al resto (mod 9) de la suma de las cifras de cada uno de los números primos que existen(Nota ***), excepto el 3):

A la vista de los resultados observamos algunas propiedades interesantes:

Sum.mod.9 (2² ) = 4.
Sum.mod.9 (2³ ) = 8.
Sum.mod.9 (2⁴ ) = 7.
Sum.mod.9 (2⁵ ) = 5.
Sum.mod.9 (2⁶) = 1.
Sum.mod.9 (2¹ ) = 2.

Lo que significa que el 2 con la operación producto es capaz de generar todos los elementos del grupo. Se puede comprobar que al 5 le ocurre lo mismo. Por otra parte, encontramos que:

Sum.mod.9 (2⁶) = 1. Expresión (a).
Sum.mod.9 (4³) = 1. Expresión (b).
Sum.mod.9 (5⁶) = 1. Expresión ( c ).
Sum.mod.9 (7³) = 1. Expresión (d).
Sum.mod.9 (8²) = 1. Expresión (e).

Dado que Sum.mod.9 (1ⁿ) = 1, cualquiera que sea n finito, encontramos que cada una de las expresiones (a), (b), ( c), (d) y (e) podría dar una relación finita, pero arbitrariamente grande de expresiones del tipo Expresión Alfa que hemos utilizado al comienzo de este post. Para esa, en concreto, hemos tomado la expresión (d) a la que hemos elevado al exponente 1000 000.

Nota(**) En lugar de 1000 000 vamos a ver un par de ejemplos sencillos con exponentes más asequibles. Por ejemplo exponente 3x10: 7³⁰=22539340290692258087863249. La suma de las cifras dividida por nueve (mod 9) da de resto "1".,

Otro ejemplo, exponente 3x7 : 7²¹ =558545864083284007, etc. O el más sencillo de todos 7³=343. La suma de las cifras es 10, y 10/9 es una división de resto "1".
Para verlo más fácil: cualquier número formado por la unidad seguida de ceros elevado a cualquier potencia finita siempre dará la unidad seguida de ceros, por lo que la suma de sus cifras siempre será la unidad. Esto que se ve muy claro en este caso ocurre igual con números cuya suma de cifras también da "1" (módulo 9): 91 y 19, 28 y 82, 46 y 64... por ejemplo: 9=6240321451, la suma de las cifras da 28, 28/9=3, con resto "1". Con el resto de números de esta lista ocurre igual.

Nota(***): La distribución de los primos menores de 1000 respecto al resto módulo 9 de la suma de sus cifras (excepto el 3), por curiosidad, es la siguiente: Resto 1(27), resto 2(30), resto 4(26), resto 5(29), resto 7(26) y resto 8(29). En total 167 números primos.

Números primos, números de una sola pieza

2010-10-03T20:54:00.002+02:00

Entre los números naturales 1, 2, 3 ,4 , 5, 6, 7, ,..., , n, existen unos números especiales que sólo son divisibles por la unidad y por ellos mismos. Estos números son llamados números primos y desde que se conocen han producido una extraña fascinación entre los matemáticos. Existen infinitos, Euclides realizó la primera demostración conocida de su infinitud alrededor del 300 a.C., pero su distribución, aparentemente aleatoria, sigue siendo una incógnita.

En cierta forma, estos números podríamos decir que son "de una pieza", y todos los demás números naturales se pueden construir a partir de ellos mediante un proceso llamado factorización. Los primeros números primos menores de cien son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. Cada uno de ellos sólo se puede escribir como: 2 = 2, 3 = 3,..., 29 = 29,..., 67=67, ..., etc. Mientras que el resto de números naturales necesitan expresarse en función de los números primos: 4 = 2x2, 9 = 3x3, 6 = 3x2, 8 = 2x2x2, ...,30 = 2x3x5, etc.

Se conoce una importante expresión llamada teorema de los números primos que nos da la cantidad de números primos que existen hasta un determinado número. Aproximadamente, para números suficientemente grandes, la expresión es:cantidad de números primos = (número)/Logaritmo Neperiano(número). Aplicando la fórmula para (número)=1000, obtenemos 145 primos, cuando en realidad hay 168. Para 5000 nos acercamos un poquito más, la expresión nos da 587 y en realidad existen 669, y conforme probamos números mayores nos acercamos más, aunque las cifras convergen muy lentamente: para 1000 el 86,3%, para 5000 el 87,7% y para 50000 el 90%.

Lagunas con ausencia de números primos:

Entre 1 y 100 existen 25 números primos, como hemos visto, y en la lista observamos grupos de números compuestos, una especie de lagunas con ausencia de números primos: del 24 al 28 y del 90 al 96. Entre el 100 y el 200 hay 23 primos: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149,151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191,193, 197, 199. Y encontramos lagunas como la del 182 al 190. Nos podemos preguntar si existen lagunas más grandes entre números primos. A simple vista, parece que no vamos a encontrar ninguna de estas lagunas de forma clara con una suficiente cantidad de números, pero no es así. Podemos encontrar tantas como queramos y de la longitud que deseemos, para ello utilizaremos la siguiente expresión (pueden encontrarse muchas más): n!+2 , desde 2 hasta n. Vamos a ver algunos ejemplos: para n=3, 3!=3x2x1=6; 6+2=8 y 6+3=9. Hemos encontrado la primera laguna formada por el 8 y el 9. Seguimos con n=4: 4!=4x3x2x1=24; 24+2=26, 24+3=27 y 24+4=28. Hemos encontrado tres números compuestos seguidos, pero con esta expresión podemos encontrar cuantos queramos, por ejemplo 101 números seguidos (al menos): 102!+2, 102!+3, 102!+3, ..., 102!+101,102!+102.

¿De cuántas piezas están hechos los números?

Volviendo al título del post, se pueden ver los números compuestos como formados por piezas de números primos. Un número compuesto cualquiera, por ejemplo, el 6 es igual al producto de dos números primos 2x3, podemos considerarlo como formado por dos piezas, la pieza 2 y la pieza 3. En cambio los números primos, como el 7, están formados por sólo una pieza. En un símil musical el número primo podría considerarse como armónico principal y único, y el número compuesto como una composición de armónicos primos que formarían su espectro o descomposición factorial.

Analizando la factorización de un número como producto de números primos, podríamos imaginar que cualquier número está formado por tantas piezas como factores primos lo componen. Se observa como curiosidad que los números del orden de 100 estarían formados, como media, por un producto de 2,7 números primos, los del orden de 1000 por un producto de 2,96 números primos, los de 10000 por un producto de 3,16 números, los de 100000 por 3,3, los de 1000000 por 3,42 y los de 10000000 por 3,64. Observamos que la cantidad de "piezas" necesarias para formar cualquier número aumentan muy lentamente, y ese aumento, además, decrece. Es un tanto asombroso que mientras un número de 3 cifras necesita tres primos para factorizarse (está hecho de tres piezas), uno de 10 cifras sólo necesita cuatro (está hecho de cuatro piezas). Claro que al hablar de piezas estas son tan dispares como el 3 y el 2000003, ambos son números primos.

En un extraño (e imaginario) mundo cuántico formado por números enteros, sería fácil descubrir los números primos. Todos los números compuestos se verían como una borrosa superposición de armónicos primos mientras que los números primos aparecerían claros y estables con una sola configuración fácilmente distinguible. Algo de esto debe le debe ocurrir a Daniel Tammet, un joven autista inglés con una sorprendente capacidad para los números. Cuando piensa en ellos ve formas, colores y texturas que le permiten distinguirlos de una manera asombrosa. Al multiplicar dos números ve dos sombras; al instante aparece una tercera sombra que se corresponde con la respuesta a la pregunta. Cuando piensa en algún número sabe reconocerlo como primo o compuesto. Estuve viendo el reportaje sobre su vida, sus facultades como matemático y su prodigiosa memoria. Sus capacidades son asombrosas. En una semana logró aprender, desde cero, suficiente islandés (un idioma catalogado como muy difícil) para mantener perfectamente una entrevista en la televisión de Islandia.

A alguien le podría parecer que el estudio de los números primos no tiene ninguna utilidad, desde luego se equivoca (ojo, el algoritmo de encriptación RSA nos permite las transacciones fiables). Cualquier saber matemático, por muy absurdo que nos parezca está relacionado con infinidad de campos aparentemente inconexos. Cualquier avance en el conocimiento sobre los números primos, por ejemplo, podría ser decisivo para resolver algún problema del campo más increible que se nos ocurra, tanto matemático como físico. La realidad es conexa y conforme la vamos comprendiendo vemos que el conocimiento que tenemos de ella también lo es.

Una novela sobre investigación de números primos:

Sobre los números primos recuerdo haber leído una novela interesantísima titulada "El tío Petros y la conjetura de Goldbach". La trama discurre a través de las vicisitudes de un matemático obsesionado por comprobar la famosa conjetura de Goldbach sobre los números primos, uno de los problemas abiertos más antiguos en matemáticas. Su enunciado es el siguiente: Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos. Confieso que logró atraparme al igual que le ha pasado a infinidad de lectores. Es muy entretenida y recomendable.

... Mi agradecimiento a la página Descartes, del Ministerio de Educación, que me ha facilitado los cálculos de factorización de grandes números que he necesitado.
... Recomiendo visitar esta magnífica página sobre números primos (en inglés).

Nuestro amigo Tito Eliatron nos envía dos interesantísimos enlaces de su blog a una charla del matemático, Medalla Fields, Terry Tao:Primera parte de la charla, segunda parte. Gracias Tito.

Dios, Hawking, los físicos y la metafísica

2010-09-13T14:00:00.005+02:00

En este antiguo post sobre la física de dimensiones superiores recordaba unas palabras de Michio Kaku despidiendo su famoso libro "Hiperespacio": "Algunas personas buscan un significado a la vida a través del beneficio personal, a través de las relaciones personales, o a través de experiencias propias. Sin embargo, creo que el estar bendecido con el intelecto para adivinar los últimos secretos de la naturaleza da significado suficiente a la vida".

Desde entonces ha llovido mucho. Stephen Hawking ha hecho unas recientes declaraciones sobre la ciencia y Dios, indicando que ya no es necesario para explicar el origen del Universo. Me han sorprendido mucho pues desde que el hombre descubrió, ya en la antigua Mesopotamia, que la naturaleza se rige por una serie de leyes más o menos complejas el papel de Dios ha dejado de ser crucial, en cierta forma. Digo en cierta forma porque ¿cómo demostramos que no ha sido Él el que ha creado esas leyes? ¿Son leyes "per se"? ¿El hecho de que lleguemos a conocerlas a la perfección hace que Dios no sea necesario para explicar el origen de Todo, ni siquiera el origen de esas leyes? La cuestión principal creo que sigue siendo la misma que para los mesopotámicos. Sobre los físicos y la metafísica paso a reeditar un antiguo post . En el post el propio Hawking llega a identificar las leyes naturales con el "pensamiento de Dios". Un saludo.

El post anterior acababa con unas reflexiones filosóficas del eminente físico Michio Kaku sobre el sentido de la vida. Aunque a algunos no les guste demasiado, los físicos son también personas y suelen pensar, más de lo que parece, en temas trascendentales. Esa aproximación a la persona fue la que me decidió a acabarlo así.

Por otra parte, en el libro de Michio Kaku, poco antes de esas reflexiones se citan unas palabras del propio Stephen Hawking ( cuando creía que la gran unificación de las interacciones fundamentales estaba próxima a llegar, al final del siglo XX ): “Si descubrimos una teoría completa, con el tiempo debería ser comprensible en sus principios generales para todo el mundo, no sólo para unos pocos científicos. Entonces todos nosotros, filósofos, científicos y simples personas normales, deberíamos ser capaces de tomar parte en la discusión acerca de la cuestión de por qué nosotros y el universo existimos. Si encontráramos la respuesta a ello, sería el triunfo final de la razón humana- pues entonces conoceríamos la mente de Dios.

Bien conocida es, también, la famosa frase atribuída a Einstein, sobre la mecánica cuántica: “ Dios no juega a los dados”. Otra frase suya relacionada con su apreciación de las claves que llevan al entendimiento de las leyes físicas decía: ”Dios es sutil, no malicioso” ( es impresionante). Finalmente, en otra de sus reflexiones decía:” Creo en el Dios de Spinoza que se manifiesta en la ordenada armonía de lo que existe, no en un Dios que se preocupa del destino y de las acciones del ser humano”.

Roger Penrose, uno de los físico-matemáticos más eruditos y creativos del mundo roza la metafísica al ocuparse exhaustivamente del problema filosófico de la conexión “mente-cuerpo”. En su famoso libro “La nueva mente del emperador”, recorre la teoría de la relatividad, la mecánica cuántica y la cosmología persiguiendo esta trascendente cuestión. Se revela como un filósofo de primera fila, que no teme abordar problemas que los filósofos contemporáneos despachan calificándolos de sin sentido.

El eminente físico David Bohm, tuvo una estrecha relación con el filósofo Krishnamurti que influyó de una manera decisiva en la formulación de su teoría física sobre el orden plegado-desplegado y el paradigma holográfico. Su interpretación “apóstata” de la mecánica cuántica.

En uno de los últimos post comentaba, también sobre este aspecto de Dirac: Para Dirac, Díos debía ser un gran matemático y con las matemáticas que conocemos nos acercamos a conocer un trocito de su creación. Curiosamente, Dirac era un gran ateo. Al respecto, Pauli escribió bromeando en sus memorias: "Si entiendo correctamente a Dirac, él dice: no hay Dios, y Dirac es su profeta".

Paul Davies, profesor de matemáticas aplicadas en el King`s College de Londres y catedrático de física teórica en la Universidad de newcastle, tiene todo un libro dedicado a "Dios y la nueva física".

Finalmente, creo que los físicos que han llegado a entender en profundidad la armonía y belleza que encierran las leyes naturales no pueden dejar de pensar en una cierta transcendencia, crean o no crean en Dios. Sienten que la grandeza de los misterios que tratan de sondear traspasan lo puramente físico.

Metafísica, título dado por el filósofo peripatético Andrónico de Rodas al conjunto de 14 libros del filósofo griego Aristóteles que, cuando fueron recopilados y editados por aquél (c. 70 a.C.), se encontraban “después de (la) física” (en griego, meta (ta) physica). Su contenido versa sobre lo que el propio Aristóteles definía como primera filosofía: el estudio del ser (aquello más general y común que comparten todas las entidades y cuyos rasgos son universales). Es una de las principales obras de la antigua filosofía griega y constituye una de las más influyentes de toda la historia de la filosofía occidental. Su título da nombre a una de las principales ramas filosóficas, la metafísica.

Sobre la polémica que ha desatado Hawking he leído una frase interesante, precisamente, de un teólogo:" La ciencia es atea y sería un milagro que pudiera probar la existencia o inexistencia de Dios".
Muy bueno

Parábolas y catástrofes

2010-08-19T18:45:00.004+02:00

… No es posible encontrar una noción mas estética que la reciente
Teoría de las Catástrofes de René Thom, que se aplica tanto a la
geometría del ombligo parabólico como a la deriva de los continentes.
La Teoría de René Thom ha encantado todos mis átomos desde que la
conocí ....
Dalí, 1985.

La teoría topológica de las singularidades y bifurcaciones, conocida como Teoría de Catástrofes (TC), fue introducida por el matemático y filósofo francés René Thom para estudiar los saltos o cambios que se producen en los sistemas dinámicos. Estudia desde el punto de vista matemático lo que vulgarmente se conoce como la "gota que colma el vaso", esa mínima gota que provoca que el agua se derrame y se pase de un estado inestable a otro estable.

Intuitivamente, y de forma simplificada (topología “superelemental”), los puntos interiores de un conjunto continuo serían puntos regulares y los puntos que forman su frontera serían puntos catastróficos. Los puntos regulares están rodeados de puntos que tienen la misma apariencia cualitativa en los que no "ocurre nada", todo sigue igual (continuidad). En lospuntos de la frontera o catastróficos siempre"ocurre algo", pasa de haber una continuidad del sistema a encontrarnos con un cambio radical.__Esta distinción entre puntos regulares y catastróficos es preliminar no sólo para la teoría de las catástrofes, sino para cualquier disciplina que establezca descripciones sobre cualquier forma teórica__. René Thom demostró que para los sistemas en los que interviene una o dos variables y en los que influyen hasta cuatro parámetros (tiempo, temperatura, gradientes...), hay siete rupturas o catástrofes elementales (morfologías o formas), a las que se han dado nombres muy plásticos e intuitivos: pliegues, cúspides, colas de milano, mariposas y ombligos elíptico, hiperbólico y parabólico.

En palabras suyas:" La TC se esfuerza por describir las discontinuidades que pudieran presentarse en la evolución del sistema.. Intuitivamente, se admite que la evolución global de un sistema se presenta como una sucesión de evoluciones continuas, separadas por saltos bruscos de naturaleza cualitativamente diferente. Para cualquier tipo de evolución continua subsiste el marco del tipo diferencial clásico, pero los saltos hacen que se pase de un sistema diferencial a otro. Se salta de una evolución continua descrita por un sistema de ecuaciones diferenciales a otra evolución continua descrita por otro sistema y no se puede excluir que un número finito de sistemas no sea suficiente para describir la situación por completo." Realmente, aclara que más que una teoría, es una metodología, o acaso una especie de lenguaje, que permite organizar los datos de la experiencia en las condiciones más diversas.

René Thom ha sabido acercar las Matemáticas a las «morfologías», y ha estudiado con herramientas topológicas la aparición, la estabilidad y la desaparición de formas; ha encontrado el sentido de las cosas, en tanto en cuanto son formas o morfologías, a partir de ciertos invariantes que son las rupturas o singularidades. Así ha podido clasificar las maneras de proceder ante esas rupturas –las famosas «catástrofes» elementales– en sistemas dinámicos, tan variados que pueden ser físicos, linguísticos, biológicos o sociales.

A pesar del fracaso –según los cánones del positivismo– de la TC como teoría científica aplicada, Thom ha abierto las matemáticas a las formas o morfologías del mundo, con el fin de comprenderlo, de encontrar su sentido, y no sólo movidas por el interés de predecir sucesos, clásico ejercicio decimonónico de la ciencia. Y ha empezado a mostrar su poder para hacerlo al permitir acercarse a través de muchos de su conceptos fundamentales –estabilidad estructural, bifurcaciones, atractores...– a la comprensión de fenómenos naturales tan complejos y tan corrientes como «la forma de una nube, la caída de una hoja, la espuma de un vaso de cerveza».

-->Libro : "Parábolas y catástrofes", de René Thom. Una larga entrevista en la que consigue aclarar el sentido profundo de las analogías ("parábolas") que explican algunos de los más enigmáticos y fascinantes fenómenos discontínuos (o "catástrofes"). René Thom, en los años setenta, desafió en su propio terreno a físicos y biólogos, a economistas y lingüistas, proponiendo, con su teoría de catástrofes, una nueva manera de considerar todas las transformaciones que se producen de modo brusco, imprevisto, dramático.

-->Web : Matemáticas y ciencias morfológicas. Homenaje a René Thom.

Reedición de un antiguo post de 2007. Os añado una pequeña reflexión humorística sobre el tema. Feliz verano amigos, me reclama la familia.

La estupidez y la teoría de catástrofes

Normalmente, lo que vivimos en un determinado momento es capaz de ser predicho con un margen razonable , lo que origina una cierta conciencia de continuidad (normalidad) . Esta continuidad suele ser rota por acontecimientos inesperados que, en muchas ocasiones por nuestra propia ignorancia, solemos meter en una especie de saco llamado azar. Un porcentaje de estos suele tener el origen en la estupidez humana.

La vida se compone de una parte racional, continua y ,por tanto, esperada y de otra parte discontinua que, en muchos casos, la enriquece. La estupidez puede ser muy destructiva (a priori casi siempre lo es) , pero la ruptura que introduce puede tener efectos enriquecedores y muy positivos. En este sentido puede entenderse su contribución no como “motor” sino como moduladora de los acontecimientos. El motor creo que siempre es la voluntad.

La rotura de la continuidad es estudiada por la llamada teoría de las catástrofes (entendiendo por catástrofe la simple ruptura de esa continuidad). En ese sentido la estupidez como la capacidad opuesta a la razón , y a la continuidad que ella representa, podría entenderse como catastrófica.

Catástrofes aparte, el mejor libro escrito nunca sobre la estupidez humana es, sin duda, el libro del profesor italiano Carlo M. cipolla:"Allegro ma non troppo". Incluye dos ensayos, "El papel de la pimienta en el desarrollo económico de la Edad Media" y "Las leyes fundamentales de la estupidez humana", cuya Primera ley Fundamental dice así: "Siempre e inevitablemente cada uno de nosotros subestima el número de indivíduos estúpidos que circulan por el mundo". Es un librito de 85 páginas editado por Mondadori (1999), ISBN:8439703058.

Miss Leavitt, la profundidad del universo y del olvido

2010-08-02T19:26:00.007+02:00

El universo era una fotografía plana. Sólo sabíamos la distancia de las estrellas próximas mediante métodos geométricos, pero las lejanas nebulosas o cúmulos estelares sólo eran manchas de luz en el panel cósmico, sin ninguna profundidad. Esta era la situación al comienzo del siglo XX, hasta que una mujer, de salud frágil, encontró un instrumento para descubrir la verdadera grandeza del universo.

Uno de los objetivos del pasado Año Internacional de Astronomía fue la reivindicación del papel de las mujeres en la investigación astronómica. Generalmente, apenas se las ha dejado participar, y nada más en temas marginales, hasta bien avanzado el siglo XX. Este fue el caso de Henrietta Swan Leavitt, que formó parte del grupo de mujeres calculistas del Observatorio de Harvard.

Con un presupuesto limitado, el director de este centro quiso ahorrar y contrató mujeres que, con un salario mínimo, eran atentas, educadas y pacientes, las personas más adecuadas para analizar miles de aburridas placas fotográficas de campos estelares. Pero Miss Leavitt, que era graduada en Radcliffe con un curriculum tal que, si hubiese sido hombre, le habría proporcionado un título de licenciado en humanidades por Harvard, aceptó el tedioso trabajo de medir las luminosidades de las estrellas en las placas de la Pequeña Nebulosa de Magallanes. Y fue allí donde hizo el descubrimiento de dieciséis estrellas que tienen unas propiedades bien curiosas: su luminosidad varía periódicamente y las más brillantes tienen un periodo de variación más largo. Como la distancia que nos separa de ellas es básicamente la misma, el efecto, llamado actualmente relación periodo-luminosidad de las cefeidas, es realmente intrínseco y constituye un instrumento fabuloso para medir distancias en nuestra galaxia o más allá.

En unos años en que era viva la polémica sobre si la Vía Láctea era la única galaxia y por tanto todo el universo, o bien si había multitud de galaxias y la nuestra era una de tantas, la aportación de Leavitt fue esencial para discernirlo. Shapley fue el primero en utilizar las estrellas de Miss Leavitt para medir la Vía Láctea, pero fue Hubble quien intuyó las verdaderas dimensiones del universo, cuando descubrió primeramente cefeides en la galaxia de Andromeda y después cuando demostró que las galaxias se alejan entre ellas sugiriendo así un universo en movimiento y en expansión.

Sin la contribución de Miss Leavitt este progreso espectacular de la astronomía extragaláctica de los años veinte del siglo pasado no hubiese sido posible. Ella, mientras tanto, no consiguió nunca ningún reconocimiento académico ni laboral. Su categoría laboral no pasó de ayudante, a pesar de la contribución a la ciencia que había hecho. Únicamente al final de su vida se atrevió a asignarse la profesión de astrónoma al responder a la pregunta de un oficial del censo de Boston.

Traducción de la preciosa reseña de Enric Marco i Soler (Depto. Astronomía y Astrofísica Univ. Vcia) al libro: "Antes de Hubble, Misss Leavitt". George Johnson. Ed. Antoni Bosch. Barcelona.2009. Número 66 de la Revista Mètode de la Universitat de València.

Otra reseña:
Hace casi un siglo, en un abarrotado despacho del Observatorio de Harvard, una mujer brillante, hoy casi olvidada, descubrió el secreto de la inmensidad del universo.
Su nombre es Henrietta Swan Leavitt y, en los días en que a las mujeres les estaba prohibido tener carreras científicas, era lo que se conocía como una "calculista" −una calculadora humana de números- que, luchando contra una salud muy débil, descubrió una nueva ley que transformaría la cosmología.

Usando la ley de Leavitt, el legendario astrónomo Edwin Hubble demostró que había estrellas –y galaxias enteras− más allá de la Vía Láctea, y que el universo, como ahora sabemos, es inmensurablemente grande.
Con la gracia y habilidad que le han convertido en uno de los más distinguidos escritores científicos de la actualidad, George Johnson contrasta astutamente la magnitud del descubrimiento de Leavitt con la tranquila obscuridad de su corta vida. Antes de Hubble, Miss Leavitt es tanto un relato brillante de cómo medimos el universo como la emotiva historia de un genio olvidado.

Comentarios de otras astrónomas actuales:
“Partiendo del descubrimiento de Henrietta Leavitt, que resultó fundamental para restablecer las distancias cosmológicas, el autor describe la historia de la investigación de una cuestión que aún hoy en día resulta fascinante: cuánto mide el universo.”
Cristina Manuel – Investigadora Científica, Instituto de Ciencias del Espacio, España

“Este libro entrelaza de una manera admirable historia, astronomía y la lucha de una joven mujer por dejar su huella en el mundo científico.”
Yolanda Gómez – Investigadora, Centro de Radioastronomía, México

“Henrietta Swan Leavitt, y otras astrónomas de Harvard, trabajaron de forma casi anónima en un mundo dominado por los hombres, dejando un impresionante legado que en aquel momento no se les reconoció como se merecían, ya que su papel fue el de meras ayudantes, las llamadas "calculistas" de Harvard.”
Margarida Hernanz – Profesora de investigación, Instituto de Ciencias del Espacio, España

Tiempo, espacio-tiempo y paradigma holográfico (*)

2010-07-19T09:02:00.003+02:00

Conforme avanza nuestro conocimiento sobre el universo aparecen más interrogantes, vuelven las eternas preguntas que se han hecho los filósofos de todos los tiempos, aunque la perspectiva ha cambiado sustancialmente. Los principios básicos que vislumbramos sobre la gravedad cuántica nos indican que el propio espacio-tiempo no es el fundamental, eterno e inmóvil referente que siempre hemos creído sino que emerge de una entidad fundamental discreta (no continua) y su propia geometría debe estar inextricablemente ligada a las relaciones causales entre sucesos.

El libro "The trouble with physics", titulado en español " Las dudas de la física en el siglo XXI. ¿Es la teoría de cuerdas un callejón sin salida?", escrito por un gran físico, Lee Smolin, me hizo pensar en su momento, cuando lo leí, en muchas cosas (es un libro crítico con la teoría de cuerdas y un buen libro de física) pero sobre todo en una de gran calado sobre la propia naturaleza del tiempo. Smolin, reflexionando sobre la futura teoría capaz de armonizar la relatividad general de Einstein y la mecánica cuántica (gravedad cuántica), habla de que tiene la sensación de que tanto una como la otra teoría están profundamente equivocadas sobre la naturaleza del tiempo. Piensa que estamos pasando por alto algo muy importante y esencial sobre el mismo.

¿Solución o problema? El tiempo.
Sitúa el arranque del problema a principios del siglo XVII, cuando Descartes y Galileo introdujeron, de forma realmente genial, el tiempo como una especie de otra dimensión nueva del espacio. En una gráfica situaban el espacio en el eje de las x y el tiempo en el eje de las y, de forma que el propio movimiento aparecía como una curva estática. El movimiento, en cierta forma, se congelaba y el cambio se presentaba estático e inmutable. Desde entonces esta forma de entender el tiempo, según Smolin, ha influido de forma notable en nuestra propia concepción del mismo y, posiblemente, nos ha desviado de su esencia que todavía desconocemos.

Esta reflexión me llevó a escribir el post sobre el ritmo justo del azar. A partir de un conjunto completamente aleatorio de números construimos un movimiento aleatorio browniano cuyo ritmo o velocidad de alejamiento de un punto arbitrario queda perfectamente determinado: cada NxN pasos que da el movimiento sólo lo alejan una distancia efectiva N. Tomemos como tomemos los números aleatorios para construir el movimiento obtendremos el mismo ritmo, una especie de velocidad de alejamiento, obtenida a partir de un conjunto amorfo de números. Establecemos una velocidad fundamental, un ritmo, a los que está ligada tiempo y distancia (pasos). Además este ritmo está directamente relacionado con una característica puramente geométrica, la dimensión fractal de la trayectoria del movimiento.

Universo conexo y paradigma holográfico
Para mi, fenómenos como la no-localidad y la coherencia cuántica nos dan una clave de lo que estamos pasando por alto. No sólo nos equivocamos con el tiempo sino con nuestra percepción de la realidad. La realidad formada por realidades completamente separadas nos ha ayudado a avanzar, a establecer y asentar nuestras verdades científicas, pero quizás ha llegado el momento de considerar que la única forma de seguir adelante sea descartar esa desconexión, si queremos de verdad profundizar en la esencia de nuestro mundo.

¿Es posible que el paradigma holográfico sea el nuevo camino? Personalmente creo que sí, pero no es es significativo porque yo lo crea, sino porque lo piensan así importantes físicos como Jacob D. Bekenstein, el Premio Nobel Gerard `t Hooft, de la Universidad de Utrech, Leonard Susskind, Juan Maldacena, de la Universidad de Harvard, o David Bohm.

Mucho antes de conocer los resultados que da la gravedad cuántica a la singularidad que representa un agujero negro, en base al paradigma holográfico deduje una solución similar (que por otra parte, no es difícil de deducir). De la misma forma que una parte de un holograma, separada del mismo, es capaz de reproducir (aunque con menor nitidez) el holograma completo, supuse que un agujero negro representaba esa misma separación o desconexión del total del universo. En base a esto pensé que en el interior de la singularidad que representa la materia vuelve a proyectarse hacia nuevas regiones del espacio-tiempo, en cierta forma, como un nuevo universo con sus propias características. Siempre siguiendo este hipotético paradigma, se podría suponer que su constante de acción de Planck sería bastante más grande que en el nuestro, lo que supondría una menor definición y mayor incertidumbre (se correspondería con la menor nitidez en la holografía).

Materia-energía e información
No sabemos con total seguridad si todavía existe un nivel de estructuración de la materia aún oculto para nosotros. En este caso los quarks y leptones serían formaciones compuestas de partículas todavía más elementales, pero, independientemente de ese nivel de elementalidad, del estudio de las propiedades de los agujeros negros se han deducido los límites absolutos que acotan la información que cabe en una región determinada del espacio. Teniendo en cuenta que esos límites dependen de la materia y energía contenida en ese espacio es asombroso que se pueda deducir un límite sin conocer ni siquiera, con absoluta certeza, el último componente de la materia.
Sea cual sea el último componente de la materia existe un límite en la información que es capaz de soportar una región determinada del espacio y curiosamente ese límite depende directamente de la superficie capaz de englobar esa región. Si esa superficie la consideramos como el área del horizonte de sucesos de un agujero negro, es como si la información estuviese escrita sobre esta superficie, de suerte que cada bit (cada 0 ó 1 de la codificación digital) correspondiera a 4 áreas de Planck (10 ^–66 centímetros cuadrados), como en una especie de holograma.

(*)Nueva edición de la entrada del 6 de mayo de 2009 sobre el interesante tema del paradigma holográfico. Podéis seguirlo también en otras dos entradas: Teoría holográfica y gravitación o ¿Universo holográfico?.

Felices vacaciones amigos.

Fractales, vacíos cuánticos y bellas teorías

2010-06-29T13:51:00.007+02:00

"Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, y el rayo no viaja en línea recta. La complejidad de las formas de la naturaleza difiere esencialmente de la de las formas de la geometría ordinaria, son formas de geometría fractal".
De Introduction to The Fractal Geometry of Nature (B. Mandelbrot)

Hace años leí el libro" Los objetos fractales", de Benoit Mandelbrot, un clásico sobre esta nueva disciplina. En la contraportada decía que los fractales nos permiten afrontar, practicamente, cualquier disciplina de forma nueva, facilitando una nueva mirada y especialización en la misma. Me llamaron poderosamente la atención desde el principio y con sencillos programas empecé a visualizarlos. Con muy pocas instrucciones el programa me introducía en un nuevo mundo de una riqueza increible. Así pasé una temporada, hasta que un día, concentrándome en las características esenciales de los fractales más simples como son las costas, me di cuenta de ciertas semejanzas, a la hora de medirlas, con las medidas que realizamos de la energía del vacío cuántico.

En los fractales sencillos relacionamos distancias características de su desarrollo para calcular su dimensión fractal. En la figura de la curva de Koch, observamos que cada lado de longitud 3 es sustituido por una linea quebrada de longitud 4, en la siguiente iteración. La dimensión fractal de la curva es log 4/ log 3= 1,26186... , en base a esa relación de longitudes. De forma similar, ¿cual podría ser el escalar a relacionar para calcular la dimensión fractal del vacío cuántico?. En el vacío, el escalar determinante de su estructura es la llamada energía virtual, en base a ella conforme las distancias disminuyen su valor aumenta, pues sus magnitudes están en relación inversa. Esa es la razón de que necesitemos enormes energías para estudiar la estructura a distancias sumamente pequeñas y que cada vez los aceleradores de partículas tengan que ser más gigantescos.

En base a estas sencillas consideraciones y teniendo en cuenta las correcciones que detallo en la entrada "La medida natural de las cosas", encontré el valor 9 (3 dim. + 6 coef. dimensional) para la dimensión fractal espacial de las fluctuaciones cuánticas del vacío. Este valor coincidía con las dimensiones totales predichas por las teorías de supercuerdas, lo que en cierta forma significaría que las fluctuaciones cuánticas del vacío serían capaces de recubrir un espacio de 9 dimensiones espaciales, o un espacio-tiempo de 10 dimensiones.

En base a estos resultados, sin embargo, encontré que estas fluctuaciones distarían mucho de permitir el vacío tal como lo conocemos, practicamente plano y estable, capaz de albergar la materia y proporcionando un marco de estabilidad necesaria para el universo que conocemos. Profundizando pude constatar (todavía es pura teoría, desde luego) que ocurría una especie de transición al hacer corresponder el número de dimensiones compactadas (6 dimensiones) con el coeficiente dimensional (igual a 6) (ver un esbozo de esta idea). En esa transición quedaron enmascaradas las 6 dimensiones extras y se "fraguó" el espacio plano y estable que conocemos. Sin ella nuestro universo habría sido un lugar inhabitable y estéril. Las fluctuaciones cuánticas no dependerían del inverso de la distancia e impedirían la existencia de la estabilidad necesaria para que haya materia o incluso partículas estables. El mundo y la belleza que hay en él no habrían sido posible. No existiríamos, ni nosotros ni todo lo bello que somos capaces de observar.

Esa idea fue la que me llevó, en un momento de "sentimiento trascendente", a llamar a esta posibilidad de teoría: "La bella teoría".

Ahora que este blog va tocando, posiblemente, a su fin os descubro el verdadero origen de su nombre. Un abrazo amigos.

El efecto mariposa, un atractor extraño.

2010-06-14T08:36:00.007+02:00

El orden lleva asociado un grado importante de predicción, al caos le sucede lo contrario. Los sistemas lineales, representan el orden, son predecibles y cómodos de manejar, de ahí nuestra tendencia a generalizarlos. Ante un sinfín de situaciones generalizamos, proyectamos los datos del presente para tratar de averiguar un comportamiento futuro y casi siempre nos va bien. Pero existen sistemas que se resisten: pequeñas variaciones, incertidumbres, en los datos iniciales desembocan en situaciones finales totalmente descontroladas e impredecibles. Son los llamados sistemas caóticos ( En la figura, atractor extraño "poisson_saturne" hecho con el programa Chaoscope).

Para estudiar estos sistemas se requiere de una metodología diferente. Su estudio se realiza en el llamado espacio de fases, un espacio abstracto en el que se representan todas las variables dinámicas del sistema. Por ejemplo, un péndulo simple ideal se vería representado por dos variables, la velocidad y la posición de la masa suspendida. Su representación podría hacerse, por tanto, en el plano y sería una circunferencia. Cada punto de la misma representaría dos cantidades, la velocidad y la posición, en ese momento.

Esa figura en el espacio de fases, a la que se aproxima el fenómeno estudiado, se le llama su atractor. En los sistemas no caóticos el atractor suele ser un punto, una circunferencia, una figura geométrica conocida, pero en los sistemas caóticos presenta una forma “extraña”, de ahí que reciba el nombre de “atractor extraño”, con una dimensión fraccionaria o fractal ( En la figura, atractor de Lorenz, en 3D, con el programa Chaoscope).

El primero de éstos fue hallado, por casualidad, por el meteorólogo Edward Lorenz cuando trataba de encontrar un modelo matemático que permitiera predecir el comportamiento de grandes masas de aire. Consiguió ajustar el modelo a sólo tres variables que indican como cambian la velocidad y la temperatura del aire a lo largo del tiempo (atractor de Lorenz).

Después de haber estudiado el modelo, volvió a introducir los datos iniciales - esta vez con menos decimales- y el resultado que obtuvo fue completamente diferente del anterior. Cuando reflexionó sobre los resultados se dio cuenta que el sistema era extremadamente sensible a las condiciones iniciales: pequeñas perturbaciones en los datos de partida tienen una gran influencia sobre el resultado final. Sus ecuaciones captaban la esencia de la verdadera atmósfera. “Aquel primer día ( invierno de 1961) decidió que los pronósticos amplios estaban condenados a la extinción”. Pero vio más que azar en su modelo del tiempo: una fina estructura geométrica, orden disfrazado de casualidad.

Para explicar de una manera gráfica – y exagerada - la cuestión se le ocurrió que el simple aleteo de una mariposa, que no se hubiera tenido en cuenta en los datos iniciales, podía modificar una predicción hasta hacerla totalmente inviable después de un determinado tiempo.

Sobre el efecto mariposa se han escrito cientos de artículos, novelas, canciones y se han hecho películas. Sobre el tema, es muy interesante un artículo de Enrique Dans, profesor del Instituto de Empresa, en el que compara el “ecosistema de Internet” con los sistemas no lineales y complejos como el tiempo atmosférico:” Las variables en juego ( en Internet) no son tantas: si en el clima hablamos fundamentalmente de velocidad y temperatura del aire, en Internet hablamos de visitas, vínculos y cuestiones afines. Pero el posible impacto de una variación infinitesimal en medición de las variables de origen puede tener un impacto brutal en los resultados finales,...” . “ Criterios que todo el mundo, aparentemente, da por buenos, como el sacrosanto PageRank de Google, la cuenta de vínculos entrantes de una página web que lleva a cabo Technorati o los rankings de popularidad de Alexa son medidas completamente burdas, groseras, carentes de inteligencia, que responden únicamente al deseo e intentar reducir la incertidumbre, pero que lo hacen, en general, bastante mal.”

En este sentido nos encontramos en la era anterior al descubrimiento del efecto mariposa, utilizamos métodos lineales para tratar de analizar los sistemas complejos, no lineales, en donde las realimentaciones de todo tipo, y a todos los niveles, son la propia esencia del sistema. Necesitamos conocer "el atractor extraño de Internet".

Para saber más:"Caos,La creación de una ciencia", de James Gleik. Seix Barral. Barcelona 1988. Un magnífico libro. (Reedición del post del 17 de octubre de 2006.)

¿Podría verse la propia Historia de la humanidad como un sistema muy sensible a las condiciones iniciales? :

"Hay algo asombroso que siempre me ha llamado la atención sobre la historia. Ocurrió antes, ocurre ahora y, posiblemente, pasará siempre : la humanidad no parece saber, ni poder controlar realmente, hacia dónde va. Los acontecimientos se suceden y cuando todo parece amarrado y en su sitio, viene un nuevo incidente que lo desbarata todo, guerras, revoluciones, crisis económicas o cualquier otra catástrofe. Ante estas situaciones la historia, después de ocurridas, saca sus conclusiones y nos ayuda a impedir que vuelvan a repetirse, pero siempre hay algo que se nos escapa y todo vuelve a derivar en alguna nueva catástrofe, todo vuelve a empezar de nuevo".

Seguir leyendo en: Historia, dignidad y efecto mariposa, de mi colaboración con Libro de notas. Un abrazo.

Teoría del doble sideral

2010-06-11T08:16:00.008+02:00

Roger Penrose clasifica a las teorías físicas en tres grupos: soberbias, útiles y tentativas. La teoría del doble sideral entraría, sin duda, dentro de las teorías soberbias. Se elucubró entre bocata y bocata por el llamado grupo de los Teóricos: Vicente Martí, Ximo Moll y yo mismo. Entre los compañeros de trabajo nos empezaron a llamar así por las teorías que se nos ocurrían para explicar la realidad de forma alternativa. Las relaciones entre las personas, entre ambos sexos, en el trabajo... Todo podía ser observado de otra forma y así reflexionar sobre realidades que solemos dar por sentadas. Los pies en el suelo (humildad) y la cabeza en las nubes (imaginación y humor).

Ante las desdichas y sufrimientos que nos rodean a propios y extraños, se nos ocurrió que cada uno de nosotros debemos tener un doble sideral en algún universo paralelo, más allá de todo lo imaginable. Cuando tenemos un mal día coincidirá con el mejor de los días del doble sideral. Si nos despiden aquí en la Tierra el doble sideral es contratado por la mejor compañía, para el mejor trabajo. Si nos deja la novia, el doble sideral consigue el plan de su vida... Todo lo bueno que no podemos hacer nosotros, o no nos dejan, lo hace él. Y así cuando algo nos va mal pensamos en lo bien que le irá a nuestro doble y nos reimos un rato porque, al pensarlo, conseguimos escapar, en cierta forma, de las pequeñas o grandes miserias. La "ley" que sustenta esta teoría sería una especie de "ley de compensación cósmica universal".

Siguiendo al hilo, la llamada "teoría de la mosca" entraría también en el ámbito "teórico" ya indicado. Es una especie de "efecto mariposa" de andar por casa ("una simple mosca es capaz de cambiar la Historia"). En plan algo más serio, esta teoría vendría a diluir la propia causa/efecto:

"Voy a hacer una afirmación sorprendente que, a continuación, trataré de demostrar: nuestra vida viene influida por personas y hechos que, en la mayoría de las veces, nos son desconocidos. Estas personas, si pasan alguna vez junto a nosotros, son completos extraños pero en alguna ocasión han cambiado el rumbo de nuestra existencia, con acciones puramente fortuitas, sin ninguna intencionalidad, y han seguido su camino sin ser conscientes de los hechos que han desencadenado. Ellos, a su vez, no son menos sensibles al curioso entramado de mutua influencia que nos rodea, también tienen su legión de extraños capaces de alterar su destino." Leer más.

A la memoria de mi buen amigo Vicente Martí, el teórico que nos dejó hace una semana después de dolorosa enfermedad. Desde donde esté, Vicente, se estará riendo un rato con este post. Y si existe Cielo nos espera allí.

Felicitaciones a su doble sideral.

En plan más trascendente: mensaje en una botella.

Fractales, una geometría natural (*)

2010-06-02T14:43:00.006+02:00

La geometría tan intuitiva que nos enseñan en la escuela, basada en líneas, puntos y superficies supone, en realidad, un gran esfuerzo de abstracción porque estos elementos idealizados no existen en el mundo cotidiano. Una línea real o una superficie están llenas de irregularidades que pasamos por alto para abstraer su esencia y plasmarla en conceptos más sencillos como recta y plano.

Con los fractales, en cierta manera, deshacemos esa abstracción y nos acercamos un poco más al objeto real. Benoït Mandelbrot utiliza el ejemplo sencillo de un objeto real, como son las costas de los países, para aproximarnos a los fractales. Son líneas quebradas que siguen teniendo un aspecto parecido cuando cambiamos de escala. Precisamente estas dos propiedades son las que definen a un fractal: discontinuidad (rotura, fractura, de ahí su nombre) y autosemejanza con el cambio de escala. Medimos su grado de fractura e irregularidad con un simple número que llamamos dimensión fractal.

Repasando intuitivamente el concepto de dimensión, observamos que un punto no tiene medida (dimensión cero); a una recta la medimos en metros o centímetros lineales, lo que significa asignarle dimensión uno (una sola medida: largo); a una superficie la debemos medir en metros o centímetros cuadrados (dimensión dos: largo por ancho) y a un volumen lo medimos en metros o centímetros cúbicos (dimensión tres: largo por ancho por alto). Un fractal, generalmente, tendrá una dimensión (su dimensión fractal) que estará entre cero y uno, entre uno y dos o entre dos y tres.

Supongamos el caso más sencillo, una recta fractal representada por un hilo arrugado, e imaginemos que tiene dimensión fractal 1,25. Si otro hilo tiene dimensión fractal 1,35, la simple comparación de sus dimensiones fractales supone que este segundo hilo está más arrugado que el primero, presenta más irregularidades. La parte entera de la dimensión fractal (en este caso 1) nos está informando que el objeto con el que tratamos es una recta, la parte fraccionaria nos mide su grado de irregularidad.

La dimensión fractal también da la capacidad que tiene el objeto de ocupar el espacio. El hilo con dimensión fractal 1,35 es capaz de llenar el plano mejor que el de dimensión 1,25. De hecho, si seguimos arrugándolo más aumentaremos su dimensión fractal y cuando esté cercana a 2 habremos conseguido llenar, casi por completo, una superficie con el hilo. Un fractal clásico de este tipo es la llamada curva de Peano.

Los fractales son objetos esencialmente sencillos, se generan fácilmente por ordenador. Mediante muy pocas órdenes de programación, y a partir de un número mínimo de datos, se crean verdaderas maravillas de una riqueza y complejidad extraordinarias. El fractal de Mandelbrot es un ejemplo. Conforme intentamos ampliar, con medios informáticos, cualquiera de sus partes nos encontramos con un nuevo paisaje similar al original pero con nuevos y sorprendentes detalles. Podemos seguir así cuanto deseemos y nos permita la potencia de nuestro ordenador, se nos seguirá mostrando un nuevo mundo fantástico, que nunca llega a repetirse, en cada nueva ampliación. Un mundo surgido casi de la nada, de una sencilla expresión que se encadena y realimenta con nuevos datos.

Como curiosidad, la expresión es así de sencilla: Valor posterior = (valor anterior) 2 + constante (Con una condición restrictiva).

La observación de estos fractales creados por ordenador, nos recuerda siempre a algún objeto natural desconocido pero cercano, posiblemente, porque esa economía de medios para lograr complejidad es una característica muy propia de la Naturaleza. Es la estrategia adoptada para lograr la mejor distribución de los vasos sanguíneos por todo el cuerpo, la disposición óptima del ramaje de los árboles o de los pliegues del cerebro para conseguir la mayor superficie en el mínimo espacio.

Verdaderas maravillas de arte fractal.

(*) De mi colaboración con Libro de Notas, la columna mensual cienciasyletras.

Triángulos reales y no-triángulos imaginarios

2010-05-03T12:14:00.017+02:00

Recientemente, un lector de cienciasyletras me preguntaba si era posible calcular los ángulos de un triángulo escaleno sabiendo los tres lados. Mi respuesta fue que utilizara el teorema de los senos y que tuviera en cuenta que la suma de los tres ángulos debe ser 180º. Con esto se pueden conseguir dos ecuaciones con dos incógnitas que serán dos de los senos buscados... Pero, inmediatamente, me di cuenta de que había una forma mucho más elegante y rápida (gran lapsus, por mi parte por olvidar el teorema del coseno).

Conforme pensaba en esa solución me iba adentrando en el mundo "imaginario" de los números que tienen como base el valor i (la raíz cuadrada de menos uno). Supongamos un triángulo isósceles (la base diferente y los dos lados iguales) y jugaremos a aumentar y a disminuir los dos lados. Conforme los hacemos más grandes la altura del triángulo va aumentando, y al disminuirlos también disminuye con ellos. En el límite, cuando cada uno de los lados es igual a la mitad de la base ya no tenemos ningún triángulo, la altura es cero.

A partir de ahí entramos en el "mundo" de los números imaginarios. Los resultados ya no pertenecen al conjunto de los números reales, sino al de los imaginarios y por tanto decimos que no existen, que los lados ya no se tocan. Pero conforme siguen menguando los dos lados va aumentando el valor de la altura "imaginaria" de este no-triángulo hasta alcanzar un máximo, igual a la mitad de la base, cuando los dos lados tienden a cero (sin llegar a serlo). Conforme disminuyen los lados del no-triángulo imaginario aumenta la altura del mismo hasta un máximo que no puede sobrepasar.

Esto no deja de ser una curiosidad sin más, pero hipotéticamente podríamos considerarlo como un fenómeno de la realidad por el cual a partir de una distancia arbitraria existen dos brazos, de longitud variable, que intentan tocarse. Suponiendo este fenómento en el ámbito de la mecánica cuántica, las posibilidades tienen una componente imaginaria que no se puede descartar y que contribuye, finalmente, al resultado real. De ser así el extraño "mundo" de los no-triángulos imaginarios puede que nos esté diciendo que ellos son tan reales como los propios triángulos, o al menos su extraño mundo es esencial para que nuestro mundo real sea tan peculiar como nos indica la mecánica cuántica.

Los lados del triángulo real llegan a tocarse y determinan la longitud de la altura, que puede ser arbitrariamente grande, hasta llegar al infinito. Los lados del no-triángulo imaginario, en cambio, sin llegar a tocarse en el mundo real, parecen adivinar la distancia que les separa. Cuando apenas son un infinitésimo en los dos extremos de la base, determinan un no-triángulo con una altura igual a la mitad de la misma base. ¿Es un indicio de las propiedades holísticas que presenta la mecánica cuántica, o del protagonismo que parece tener el "mundo" imaginario en ella?.

Desarrollo (sólo para quien tenga curiosidad):
Si nos fijamos en la figura, hacemos descansar la base del triángulo en el eje de las x . Desde un extremo construimos una circunferencia de radio igual a uno de los lados, y desde el otro extremo otra circunferencia de radio igual al otro lado. Con los valores encontrados de las x e y del punto (y es la altura del triángulo obtenido) podemos calcular fácilmente la tangente de los dos ángulos C y A, y el B será 180º -A - C.

La tangente del ángulo C será el cociente y/x. La tangente del ángulo A será : y/(b-x).

Hasta aquí todo resulta muy normal, pero ¿qué ocurriría si la suma de los dos lados a y c es menor que el valor del lado b, de la base del triángulo? Lógicamente no habría triángulo, pues las dos circunferencias no llegarían a tocarse. ¿Qué resultados obtendríamos al proceder de la forma que lo hemos hecho? Los valores encontrados serían imaginarios, lo que significa que no existen en la realidad, pero sí en el "mundo" de los llamados números imaginarios cuya base es el valor i, correspondiente a la raíz cuadrada del número -1. Sólo en ese "mundo" tendrían sentido, pero eso no nos impide estudiar lo que pasa.

Para simplificar, modificaremos el triángulo. La base será b, pero los dos lados a y c serán iguales y les llamaremos a los dos a. Los resultados serán imaginarios siempre que a sean menores que b/2.

Procediendo de forma similar a como hemos visto encontramos que la altura h del triángulo (el valor de la y) en función del cociente n= b/a será :
y = h = + - b/2n √(4- n²)

La menor altura es cuando el valor de cada uno de los lados a tienden a la mitad de la base. La mayor altura h la tenemos cuando los lados tienden a cero y, por tanto, el valor de n se hace infinito. Entonces la altura será b/2.

Finalmente:
En el "mundo " real conforme los lados se hacen mayores la altura también aumentará tanto cuanto queramos, tendiendo a infinito. Cuando los lados disminuyen irá disminuyendo la altura hasta hacerse cero cuando los lados sean igual a la mitad de la base. Conforme los lados se van haciendo menores que la mitad de la base entramos en otro "mundo", el de los números imaginarios y la altura va aumentando conforme disminuyen los dos lados hasta hacerse máxima, con el valor b/2 ( la mitad de la base) para valores de los dos lados tendiendo a cero. La mayor altura b/2 del no-triángulo se obtiene para una base de valor b y dos lados de valor "prácticamente cero".

El universo geómetra

2010-03-30T12:18:00.004+02:00

Es difícil imaginar un mundo diferente al de las tres dimensiones espaciales que conocemos. Podría parecer que siempre fue así, pero en un determinado momento nuestro universo tuvo que "decidir" el número de dimensiones adecuado. Además, también tuvo que elegir entre el número de dimensiones ordinarias y enrolladas (teoría de supercuerdas). Y esta decisión tuvo repercusiones directas en la forma en que después se debía presentar su textura, en la naturaleza del propio cuanto de acción.

La especial configuración entre dimensiones espaciales ordinarias y compactadas determinó que las "baldosas" que forman el Universo estuvieran constituidas por acción, es decir, por el producto de energía por tiempo. La mínima acción - llamada h por Max Planck -, es la menor baldosa del universo, no se puede trocear y permanecer estable a la vez. A diferencia del suelo de nuestra casa, el "suelo" estable del universo sólo puede estar formado por baldosas completas.

El valor del cuanto de acción es extremadamente pequeño, lo que nos permite ver nuestro mundo cotidiano con una apariencia continua, como la textura de una película fotográfica con grano muy fino. Así podemos distinguir entre las propiedades macroscópicas de la materia, que rigen nuestra vida habitual, y las microscópicas o cuánticas que determinan el comportamiento del mundo corpuscular, y de las que nos aprovechamos, cada día más, en dispositivos ya cotidianos para todo el mundo como los transistores (circuitos impresos), microscopios electrónicos y de efecto túnel, superconductores, criptografía y computación cuántica, etc. Si el valor del cuanto fuese mucho mayor nuestra vida cambiaría radicalmente y estaría regida por las "misteriosas" leyes de la mecánica cuántica: dualidad corpuscular-ondulatoria e indeterminación.

Dejaría de existir la localización clásica de un objeto así como la consideración separada de entidades ondulatorias y objetos concretos. Un balón de fútbol se podría difractar como un rayo de luz, pero al mismo tiempo sería difícil de localizar claramente en un sitio o en otro. La onda asociada sería lo suficientemente importante para influir en su comportamiento como objeto-onda.

En la magnitud del cuanto de acción fue determinante el tipo y la magnitud de la deformación del espacio-tiempo ligada a las dimensiones (tensores de Weyl y Ricci) en el momento crucial. Similar a como están interrelacionados, en cualquier material, su capacidad de deformación, su estructura íntima y su forma básica (un hilo, una plancha o un bloque compacto).

La geometría tiene mucho que ver con nuestro mundo, entendida como cierta forma de simetría, simplicidad y elegancia: la belleza a la que se refería Paul Dirac (en la imagen). La masa deforma el espacio-tiempo, como una pesa deforma la membrana que la sujeta (relatividad general). La modificación de la geometría (forma) de cualquier campo de fuerzas incide sobre la carga asociada, inmersa en él, y al inverso. El número y la forma en que se organizaron las dimensiones en el primer momento determinó la magnitud y la naturaleza de la cuantificación, y de las propias leyes que rigen la misteriosa mecánica cuántica.

(*) Artículo publicado en Divulcat en septiembre de 2003, bajo el título de" El universo geómetra:¿por qué tres dimensiones?. El título original era el de este post, pero se modificó para que resultara más llamativo . Reseña del artículo en Libro de Notas.

Para saber más:
FENÓMENOS CUÁNTICOS. Revista temática. Primer trimestre 2003 de Investigación y Ciencia.
EL QUARK Y EL JAGUAR, aventuras en lo simple y lo complejo. Murray Gell-Mann. Tusquets Editores S.A. Barcelona 1995.
LA NUEVA MENTE DEL EMPERADOR. Roger Penrose. Grijalbo Mondadori S.A. Barcelona 1995.

Proximamente espero poder seguir editando nuevos artículos. Esta es una nueva edición de un post anterior. Un saludo amigos, y gracias por seguir ahí.

La función modular de Ramanujan y la teoría de cuerdas

2010-03-08T22:08:00.003+01:00

La teoría de cuerdas supone que cada modo o vibración de una cuerda fundamental representa una partícula elemental distinta, y puede explicar a la vez la naturaleza de la materia y del espacio-tiempo (las partículas en lugar de ser puntuales pasan a ser unidimensionales). Es la primera teoría cuántica de la gravedad: Cuando se calcularon por primera vez las ligaduras de autoconsistencia que impone la cuerda sobre el espacio-tiempo, se observó con sorpresa que las ecuaciones de Einstein ( teoría de la gravedad) emergían de la cuerda, de hecho, el gravitón o cuanto de gravedad era la menor vibración de la cuerda cerrada.

No sabemos todavía por qué la teoría de cuerdas está definida sólo en 10 y 26 dimensiones, aunque parece seguro que esta teoría no podría unificar las fuerzas fundamentales con tan solo tres dimensiones. Las cuerdas se rompen y se forman en el espacio N-dimensional arrastrando con ellas una serie de términos que destruyen las maravillosas propiedades de la teoría. Afortunadamente, estos términos aparecen multiplicados por el factor (N-10), lo que nos obliga a elegir N=10 para eliminarlos.

Los teóricos de cuerdas al intentar manipular los diagramas de lazos KSV ( Kikkawa-Sakita-Virasoro) creados por las cuerdas en interacción encuentran unas extrañas funciones llamadas modulares que aparecen en las ramas más distantes e “inconexas” de las matemáticas((Yutaka Taniyama ( Japón, 1927-1958) observó que cada función modular está relacionada con una curva elíptica. Esto forma la base de la conjetura Taniyama-Shimura que demostró ser una parte importante en la demostración del Último Teorema de Fermat de Andrew Wiles )). Una función que aparece continuamente en la teoría de funciones modulares se denomina función de Ramanujan, en honor al matemático Srinivasa Ramanujan, nacido en 1887 en Erode, India, cerca de Madrás.

Ramanujan, trabajando en total aislamiento (y sin formación, toda su instrucción matemática la consiguió de la lectura de un oscuro y olvidado libro de matemáticas escrito por George Carr), fue capaz de redescubrir por sí mismo lo más valioso de cien años de matemáticas occidentales y de dejarnos una obra, que consta de 4.000 fórmulas en cuatrocientas páginas densamente llenas de teoremas de increíble fuerza pero sin ningún comentario ni demostración. Tenía tal intuición que los teoremas simplemente fluían de su cerebro, sin el menor esfuerzo aparente. Solía decir que las diosas Namakkal le inspiraban la fórmulas en sueños.

Trabajaba en el puerto franco de Madrás, en un trabajo servil con una mísera paga, pero tenía la suficiente libertad y tiempo para seguir con sus sueños matemáticos. Después de enviar varias cartas a tres matemáticos británicos conocidos, consiguió que el brillante matemático de Cambridge Godfrey H. Hardy se diera cuenta de su inmenso genio matemático y lo trajo a Cambridge en 1914. Hardy tratando de estimar la capacidad matemática de Ramanujan, concedía un 80 al gran matemático David Hilbert, un 100 a Ramanujan y un 25 a sí mismo.

La función de Ramanujan contiene un término elevado a la potencia veinticuatro. Ese número es el origen de las cancelaciones milagrosas que se dan en la teoría de cuerdas, pues cada uno de los veinticuatro modos de la función de Ramanujan corresponde a una vibración física de la cuerda. Cuando se generaliza la función de Ramanujan,el número 24 queda reemplazado por el 8. Si tenemos en cuenta que se añaden dos dimensiones más al número total de vibraciones que aparecen en una teoría relativista, obtendremos 8+2, ó 10: La cuerda vibra en diez dimensiones porque requiere estas funciones de Ramanujan generalizadas para permanecer autoconsistente.

Pura geometría para explicarlo todo, el sueño de Einstein. Y las matemáticas más extrañas imaginadas por un genio, sin apenas instrucción básica, para introducirnos en una teoría de cuerdas que necesita de matemáticas que todavía desconocemos. Einstein tenía las matemáticas inventadas por Riemann para su teoría de la relatividad general, la teoría de cuerdas quizás necesite de las matemáticas, que descansan en los cuadernos llenos de teoremas sin demostrar, de Ramanujan. En el fondo, siempre, una hermosa conexión entre las ramas más distantes e inconexas de las matemáticas y la propia realidad que representan las leyes físicas.

Para saber mucho más: "HIPERESPACIO", de Michio Kaku,( 1996 CRÍTICA-Grijalbo Mondadori,S.A. Barcelona) profesor de física teórica en la City University de Nueva York. Es un especialista a nivel mundial en la física de las dimensiones superiores ( hiperespacio). Despide el libro con una palabras preciosas:”Algunas personas buscan un significado a la vida a través del beneficio personal, a través de las relaciones personales, o a través de experiencias propias. Sin embargo, creo que el estar bendecido con el intelecto para adivinar los últimos secretos de la naturaleza da significado suficiente a la vida”.

Edición de uno de mis post clásicos, publicado inicialmente el 12 de octubre de 2006.

Partículas, campos, teoría clásica y cuántica

2010-02-12T11:21:00.008+01:00

La teoría cuántica no era algo que desearan los teóricos. La mayoría de ellos se encontraron conducidos, a su pesar, a esta extraña visión del mundo porque la teoría clásica, pese a su soberbia grandeza, tiene algunas dificultades profundas.

La principal causa es el hecho de que deben coexistir dos tipos de objetos físicos: las partículas, cada una de ellas descrita mediante un número finito de parámetros, tres posiciones y tres momentos; y los campos que requieren un número infinito de parámetros. Esta dicotomía no es físicamente consistente. Para que un sistema con partículas y campos estén en equilibrio toda la energía de las partículas debe cederse a los campos. Ésta es una consecuencia del fenómeno llamado "equipartición de la energía": en el equilibrio la energía se reparte por igual entre todos los grados de libertad del sistema. Puesto que los campos tienen infinitos grados de libertad a las partículas no les puede quedar nada en absoluto.

Los átomos clásicos no serían estables pues todo el movimiento de las partículas se transferirían a los modos ondulatorios de los campos. Cuando un electrón orbital se mueve alededor del núcleo debería emitir ondas electromagnéticas de una intensidad creciente hasta infinito en una pequeña fracción de segundo. Al mismo tiempo describiría una espiral que se cerraría y hundiría en el núcleo. Sin embargo no se observa nada de eso. Lo que se observa es bastante inexplicable sobre la base de la teoría clásica. Los átomos pueden emitir ondas electromagnéticas (luz) pero sólo en destellos de frecuencias discretas específicas: las agudas líneas espectrales observadas y características de cada tipo de elemento. Además, estas frecuencias satisfacen reglas que no tienen nada que ver con la teoría clásica.

Otra manifestación de la inestabilidad de la coexistencia de campos y partículas es el fenómeno conocido como “radiación del cuerpo negro”. En 1900 Rayleigh y Jeans habían calculado que toda la energía sería absorbida por el campo, sin límite, en lo que se ha llamado “catástrofe ultravioleta”. La energía seguiría fluyendo sin cesar hacia el campo con frecuencias cada vez mayores.

Max Planck, en ese mismo año, propuso una idea revolucionaria para eliminar los modos de alta frecuencia del “cuerpo negro”: que las oscilaciones electromagnéticas sólo ocurren en “cuantos” cuya energía E mantiene una relación definida con la frecuencia f, dada por: E= h f, siendo h una nueva constante fundamental de la Naturaleza, ahora conocida como constante de Planck. Con este ingrediente extravagante, Planck pudo obtener un sorprendente acuerdo teórico con la dependencia experimentalmente observada de la intensidad con la frecuencia, la ahora llamada ley de radiación de Planck.

Al final las radiaciones electromagnéticas sólo se podían presentar en paquetes discretos llamados fotones. La luz, después de todo, tal como había insistido Newton dos siglos antes debía estar formada de "partículas", a pesar de que a principios del siglo XIX Thomas Young demostró que consistía en ondas. ¿Ondas o partículas?. En 1923 el físico francés Louis de Broglie propuso que las propias partículas de materia se comportaban a veces como ondas. La frecuencia de la onda de Broglie f, de una partícula de masa m, satisface la relación de Planck, combinada con la relación masa/energía de Einstein.

La dicotomía entre partículas/ondas u oscilaciones del campo, que había sido una característica de la teoría clásica, no se respeta en la Naturaleza. La Naturaleza consigue construir un mundo consistente en el que las partículas y las oscilaciones del campo son la misma cosa.

Para saber más:
- "La nueva mente del emperador". Roger Penrose.
-"La luz, algo sobre su historia". LBT.
- "La física cuántica es fácil". LBT.

Las matemáticas y la física

2010-01-25T12:10:00.006+01:00

“El libro del Universo está escrito en lengua matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas sin cuya mediación es humanamente imposible comprender ni una palabra” (Galileo Galilei).

La existencia de una relación particular entre la física y las matemáticas goza de un reconocimiento universal. A través de la historia de la física abundan los testimonios explícitos en ese sentido, empezando por la célebre afirmación de Galileo: "La filosofía está escrita en ese inmenso libro siempre abierto ante nuestros ojos (el Universo), pero no se la puede comprender si no se aprende primeramente a conocer la lengua y los caracteres en que está escrito. Está escrito en lengua matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas sin cuya mediación es humanamente imposible comprender ni una palabra.”

Tres siglos después, el astrofísico Jeans escribió: “El Gran Arquitecto parece ser matemático.” Podría recopilarse una verdadera antología de citas de este estilo. Y cualquier capítulo de la física parece bueno como ejemplo para tales afirmaciones.

La física utiliza con éxito las matemáticas. No obstante este enunciado, lejos de ser como aparenta una estricta constatación, está cargado de presupuestos, aunque resuma una visión inmediata de la situación. Pero lleva directamente a preguntarse por las causas de ese éxito. ¿Cómo puede ser que las matemáticas, reputadas en general como estudio de abstracciones puras, “funcionen” en física, considerada como la ciencia de lo concreto por excelencia? Los propios físicos dan fe a menudo, con una sorpresa ingenua o en términos de una confesión incómoda, de que esta adecuación plantea un problema: “Sin embargo, es notable que ninguna de las construcciones abstractas que la matemática realiza, teniendo exclusivamente como guía su necesidad de perfección lógica y de generalidad creciente, parezca que haya de permanecer sin utilidad para el físico. Por una singular armonía, las necesidades del pensamiento, preocupado por construir una representación adecuada de la realidad, parecen haber sido previstas y anticipadas por el análisis lógico y la estética abstracta del matemático” (P. Langevin). “La idea de que las matemáticas podían adaptarse, de algún modo, a los objetos de nuestra experiencia me parecía extraordinaria y apasionante” (W. Heisenberg).

Las matemáticas constituyen el lenguaje de la física. Al texto citado de Galileo se le pueden añadir dos citas: “Todas las leyes se extraen de la experiencia, pero para enunciarlas se precisa de una lengua especial; el lenguaje ordinario es demasiado pobre, y es además demasiado vago, para expresar relaciones tan delicadas, tan ricas y tan precisas. Esta es la razón por la que el físico no puede prescindir de las matemáticas; éstas le proporcionan la única lengua en la que puede hablar” (H. Poincaré). “Las matemáticas constituyen, por decirlo así, el lenguaje por medio del cual puede plantearse y resolverse una pregunta” (W. Heisenberg).

Esta concepción de las matemáticas como lenguaje de la física puede, no obstante, interpretarse de varias maneras, según que dicho lenguaje se piense como el de la naturaleza, y que el individuo que la estudia deberá esforzarse por asimilar; o bien que se le conciba a la inversa, como el lenguaje del individuo, al cual habrán de traducirse los hechos de la naturaleza para que resulten comprensibles. La primera posición parece ser la de Galileo, también es la de Einstein: “ De acuerdo con nuestra experiencia hasta el momento, tenemos derecho a estar convencidos de que la naturaleza es la realización del ideal de la simplicidad matemática. La construcción puramente matemática nos permite encontrar esos conceptos, y los principios que los relacionan, que nos dan la clave para comprender los fenómenos naturales.” El segundo punto de vista es el de Heisenberg: “ Las fórmulas matemáticas ya no representan la naturaleza, sino el conocimiento que de ella poseemos”. Sin embargo, ambas actitudes, lejos de oponerse, no son sino los puntos extremos de un espectro continuo, y de lo que se trata es de encontrar un punto de equilibrio en el interior de una estructura que se apoya sobre los pares de nociones opuestas naturaleza-hombre, experiencia-teoría, concreto-abstracto, hechos científicos-leyes científicas.

Para el gran físico-matemático Roger Penrose, en cierta forma, la mente parece tener “acceso” al mundo de las ideas al que se refería Platón. Repasando alguna de las afirmaciones que hace en su libro “ La nueva mente del emperador”: Hasta qué punto son "reales" los objetos del mundo del matemático?. Desde un cierto punto de vista parece que no puede haber nada real en ellos. Los objetos matemáticos son sólo conceptos; son idealizaciones mentales que hacen los matemáticos, a menudo estimulados por el orden aparente de ciertos aspectos del mundo que nos rodea, pero idealizaciones mentales en cualquier caso. ¿Pueden ser algo más que meras construcciones arbitrarias de la mente humana? Al mismo tiempo parece que existe alguna realidad profunda en estos conceptos matemáticos que va más allá de las elucubraciones mentales de un matemático particular. En lugar de ello, es como si el pensamiento matemático estuviese siendo guiado hacia alguna verdad exterior —una verdad que tiene realidad por sí misma y que sólo se nos revela parcialmente a alguno de nosotros.

Para saber más: “Pensar la matemática”, de la serie Metatemas dirigida. Por Jorge Wagensberg de Tusquets Editores. Son artículos de varios autores. El post hace referencia al artículo de J.M Lévy-Leblond, profesor de la Universidad de Niza y gran divulgador de las matemáticas.
Sobre Penrose y el platonismo matemático: Ver enlace.

Parece que fue ayer, pero hoy hace un año que falleció mi padre. D.E.P.

Historia, dignidad y efecto mariposa

2009-12-31T15:21:00.004+01:00

Estamos atravesando una grave crisis mundial de la que nadie está seguro cómo saldremos. Se analizan cifras macroeconómicas y se diseñan planes para estabilizar el sistema, pero nada funcionará si no se tiene en cuenta el principal factor que subyace en toda crisis de un sistema: el factor humano, un factor a la vez estabilizante y desestabilizador.

Lo asombroso de la historia
Hay algo asombroso que siempre me ha llamado la atención sobre la historia. Ocurrió antes, ocurre ahora y, posiblemente, pasará siempre : la humanidad no parece saber, ni poder controlar realmente, hacia dónde va. Los acontecimientos se suceden y cuando todo parece amarrado y en su sitio, viene un nuevo incidente que lo desbarata todo, guerras, revoluciones, crisis económicas o cualquier otra catástrofe. Ante estas situaciones la historia, después de ocurridas, saca sus conclusiones y nos ayuda a impedir que vuelvan a repetirse, pero siempre hay algo que se nos escapa y todo vuelve a derivar en alguna nueva catástrofe, todo vuelve a empezar de nuevo.

Efecto mariposa
En física existen unos sistemas que son sumamente sensibles a las condiciones iniciales. Por muy bien que se conozcan las variables que van a influir en su desarrollo, por muy sofisticados que lleguen a ser los instrumentos que las midan, siempre habrá una mínima incertidumbre que influirá, decisívamente, en el desarrollo posterior del sistema. Una mínima causa será capaz de desencadenar grandes consecuencias. Ese efecto es conocido, popularmente, con el nombre de “efecto de la mariposa”. De forma exagerada, pero muy gráfica, se explica que el simple vuelo de una mariposa, en África, puede desencadenar, con el tiempo, un huracán en China. El primero de esos sistemas que se estudió, allá por los años sesenta, fue el tiempo metereológico.

Efecto mariposa e historia
Desde el primer momento, en que tuve conocimiento de este curioso tipo de sistemas físicos, me recordó al propio devenir de la historia. Conocemos miles de pequeñas anécdotas que influyeron, decisivamente, en el posterior desarrollo de acontecimientos sumamente importantes. Cualquiera de esas minúsculas causas, al desarrollarse de modo distinto, habría cambiado el destino de cualquier país o del mundo. La historia ha transcurrido, durante miles de años, cuajada de millones de acontecimientos de mayor o menor significado, entrelazados de forma aleatoria o no. En muchos sentidos, podría ser considerada como un sistema “muy sensible a las condiciones iniciales”, un sistema no lineal y con infinidad de realimentaciones. Afortunadamente, los manipuladores que intentan, e intentarán, cambiar el destino de las naciones, difícilmente, podrán tener en cuenta todas las variables necesarias para conseguir su propósito. A muy corto plazo puede que sus cálculos sean correctos, pero a medio y largo plazo se equivocarán. Los pequeños errores de cálculo, conforme se desarrollan los acontecimientos, van teniendo mayor influencia en los resultados hasta llegar a desfigurarlos. Las actuaciones bienintencionadas se toparán, en principio, con los mismos inconvenientes ante el efecto multiplicador de los pequeños errores de cálculo sobre el sistema. Más ahora, que el efecto de la globalización trasforma al mundo en un sistema más sensible e inestable.

¿ Dignidad y estabilidad?
Aparte del factor puramente “físico”, de la incertidumbre, hay un elemento capital, en el desarrollo histórico, que el manipulador tiende a olvidar y que se alía con el “efecto de la mariposa” para desbaratar sus planes. Puede parecer poco científico, incluso irreal, pero, lejos de eso, obedece a una realidad constatable y sólida, y es un elemento esencial del factor humano: la dignidad humana. No actúa como motor de la historia sino más bien como “encauzador” del verdadero motor. Éste, por cierto, no es ajeno al egoísmo en sus más diversas formas, perversas en mayor o menor medida.

El poder egoísta tiende a pisarlo todo, sin ningún tipo de consideración. Es un elemento motriz burdo, como una tormenta. Pero a diferencia de la tormenta que actúa sin cortapisas, obedeciendo a leyes físicas y a condicionamientos puramente mecánicos, el poder siempre tiene enfrente a la dignidad de la persona. La pisará una y mil veces, la despreciará, pero al final la encontrará cara a cara, haciéndole frente, en el germen de toda revolución o cambio necesario. Y será capaz de reconducir la propia corriente de la historia. Esa es la diferencia entre los sistemas físicos, caóticos en el sentido en que pueden seguir muy distintas trayectorias de futuro, igualmente válidas, y el “sistema sensible” de la historia cuya única trayectoria final estable, después de cualquier cambio caótico, pasa por el respeto a la dignidad humana. El sentimiento que hace sentirnos únicos, diferentes, con un valor intrínseco, como centro que somos del mundo que percibimos, de nuestro mundo. Es un sentimiento universal y nace de la propia conciencia de ser.

Todos los amantes de la física y de la justicia podemos congratularnos de que un efecto físico “amigo” sea aliado de la justicia social contra los cálculos egoístas del poder. Esos cálculos, organizados por el más potente de los ordenadores que pueda existir en el futuro, son incapaces de recoger toda la información, potencialmente necesaria e influyente, en sus más pequeños detalles. Un simple vuelo, no previsto, no calculado, de una insignificante mariposa podrá desbaratar los planes más perfectos y meditados. Ese simple vuelo será también capaz de desbaratar los planes bienintencionados que traten de controlar cualquier crisis si no cuentan con el factor de estabilización que introduce, en infinidad de puntos inestables, el respeto a la dignidad personal.

Post sacado de mi colaboración con Libro de notas, Ciencias y letras.

¡¡¡FELIZ AÑO AMIGOS!!!

El infinito y más allá, los números transfinitos Aleph

2009-12-17T12:14:00.009+01:00

A finales del siglo XIX el original matemático Georg Cantor propuso una bella teoría sobre los números finitos o transfinitos, según la cual el número total de fracciones, números enteros y números naturales son el mismo número transfinito al que llamó Aleph sub-cero.

A primera vista no parece algo razonable, pues se podría pensar que el número de enteros es mayor que el número de naturales, ya que todo número natural es un entero mientras que algunos enteros (los negativos) no son números naturales. De forma similar se podría pensar, también, que el número de fracciones es mayor que el de enteros, pero una cosa es lo que parece y otra lo que es.

La clave está en las extrañas propiedades de los números infinitos y las relaciones que se pueden establecer entre ellos. Para objetos finitos de dos conjuntos diferentes si podemos establecer una "correspondencia uno-a-uno", entre ambos, se puede deducir que tienen el mismo número de elementos. Para un número finito de números naturales ocurre lo mismo, pero lo que es evidente para números finitos deja de serlo para infinitos.

Se puede establecer una correspondencia uno-a-uno entre los números naturales y los números enteros de la siguiente forma: 0(entero)--> 0(natural); -1(entero)--> 1(natural); +1 (entero)--> 2 (natural) y así seguimos indefinidamente con la siguiente tabla:

Cada entero y cada número natural aparecen una y sólo una vez en la tabla. Esta correspondencia entre cada par de números entero-natural es lo que establece en la teoría de Cantor que el número de elementos de la columna de enteros es igual al número de elementos en la columna de naturales. Por consiguiente, el número de enteros es el mismo que el de naturales. De forma similar, aunque algo más complicada, se puede probar que el conjunto de fracciones (racionales) tiene el mismo número de elementos que el conjunto de enteros. El número es infinito, pero no importa, es el mismo número.

El gran matemático David Hilbert se inventó la metáfora del Hotel Infinito para explicar de forma intuitiva las paradojas a las que nos enfrenta la existencia de infinidad de infinitos:

"Había un hotel que tenía infinitas habitaciones. Un día llega un nuevo huésped para alojarse allí, pero el conserje le dice que tenía mala suerte, que estaban todas llenas. El huésped, indignado llama al gerente, y le pregunta cómo era posible en un hotel con infinitas habitaciones. El gerente le da la razón, pero dice que no puede hacer nada, entonces el huésped responde rápidamente: ‘ya se lo que se puede hacer; al que esté en la habitación 1 lo manda a la habitación 2, al de la habitación 2 a la 3 y así sucesivamente, entonces la habitación 1 quedará libre para mi. El gerente

encontró maravillosa esta solución y así lo hizo".

"Algunos días después llega otro huésped y pide de alojarse, a lo que le responden que el hotel estaba lleno, pero que no se preocupara, que sabían cómo solucionarlo. Entonces este huésped dice que había un problema, que él no estaba solo, sino con un grupo de amigos… y que era un grupo infinito. El gerente, otra vez consternado no sabía qué hacer, pero el huésped, también muy hábil le dice que no se preocupe, que mande al de la habitación 1 a la 2, al de la 2 a la 4, al de la 3 a la 6 y así sucesivamente. De esa forma todas las habitaciones con números impares quedarían libres para sus infinitos amigos."

Los conjuntos que pueden ser puestos en correspondencia uno-a-uno con los números naturales se llaman numerables, de modo que los conjuntos infinitos numerables tienen aleph sub-cero elementos.

¡Sorprendentemente, aunque se amplíe el sistema desde los números naturales a los enteros y a los racionales, no incrementamos realmente el número de objetos con los que trabajamos!.

Después todo esto podríamos pensar que todos los conjuntos infinitos son numerables, pero no es así, no sólo hay un tipo de infinito, pues la situación es muy diferente al pasar a los números reales. Cantor demostró mediante el argumento del "corte diagonal" que realmente hay más números reales que racionales. El número de reales es el número transfinito C, de continuo, otro nombre que recibe el sistema de los números reales.

Podríamos pensar en darle a ese número el nombre de aleph sub-uno, por ejemplo. Pero ese nombre representa el siguiente número transfinito mayor que aleph sub-cero y el decidir si efectivamente C = Aleph sub-uno constituye un famoso problema no resuelto, la llamada hipótesis del continuo.

Como curiosidad, ya que estamos hablando de infinitos, el término gugol (en inglés googol) es un número enorme 10¹⁰⁰ fue acuñado en 1938 por Milton Sirotta, un niño de 9 años, sobrino del matemático estadounidense Edward Kasner. Kasner anunció el concepto en su libro Las matemáticas y la imaginación. Isaac Asimov dijo en una ocasión al respecto: "Tendremos que padecer eternamente un número inventado por un bebé".

El gúgol no es de particular importancia en las matemáticas y tampoco tiene usos prácticos. Kastner lo creó para ilustrar la diferencia entre un número inimaginablemente grande y el infinito, y a veces es usado de esta manera en la enseñanza de las matemáticas. El motor de búsqueda de google fue llamado así debido a este número. Los fundadores originales iban a llamarlo Googol, pero terminaron con Google debido a un error de ortografía de Larry Page, uno de los fundadores de Google.

El espín y los extraños giros de los fermiones

2009-12-01T11:25:00.008+01:00

De todas las cantidades físicas la conocida como espín se suele considerar como la más "mecano-cuántica". La palabra espín viene del inglés "spin", que significa giro o girar, y se refiere a una propiedad física de las partículas (1) subatómicas, por la cual toda partícula elemental tiene un momento angular intrínseco de valor fijo. Es una característica propia de la partícula como lo es la masa o la carga eléctrica, y una magnitud que se conserva como lo hace la energía o el momento lineal.

A diferencia de lo que ocurre con el momento angular de los objetos macroscópicos, a los que estamos acostumbrados, que puede tomar valores muy variados dependiendo de las acciones a las que se vean sujetos, la magnitud del espín de una partícula es siempre la misma para este tipo concreto de partícula. Es únicamente la dirección del eje de giro la que puede variar, aunque de una manera muy extraña.

Para un electrón, protón o neutron la cantidad de espín es siempre 1/2 del valor mínimo de momento permitido (ħ). Precisamente por eso esta cantidad de momento angular no estaría permitida para un objeto compuesto por cierto número de partículas orbitando sin que ninguna de ellas estuviese girando sobre sí misma. El espín sólo puede aparecer debido a que es una propiedad intrínseca de la propia partícula, es decir, que no surge del movimiento orbital de sus partes en torno a su centro.

Una partícula que, como el electrón, tiene un espín múltiplo impar de ħ/2 (ħ/2, 3ħ/3, 5ħ/2, etc) se llama fermión, y presenta una curiosa rareza: una rotación completa de 360º transforma su vector de estado no en sí mismo sino en el valor negativo de sí mismo; necesitaría por tanto de un giro de 720º para quedarse igual que antes del giro. La mayoría de las partículas de la Naturaleza son fermiones, las partículas restantes para las que el espín es un múltiplo entero de ħ (ħ, 2ħ, 3ħ, 4ħ, etc) se llaman bosones. Bajo una rotación de 360º el vector de estado de un bosón vuelve a sí mismo, y no a su negativo.

Si tomamos una partícula de espín 1/2, por ejemplo el electrón, el espacio de estados mecano-cuánticos posibles resulta ser bidimensional, de modo que podemos tomar una base de sólo dos estados que podemos representar como [arriba> y [abajo>, para el primero el espín gira a derechas alrededor de la dirección vertical hacia arriba y para el segundo lo hace de la misma manera hacia abajo. De la misma forma que en un plano euclidiano cualquier vector es una superposición lineal de las dos bases ortonormales consideradas, en este caso ocurre igual, cualquier estado posible de espín del electrón es una superposición lineal, por ejemplo:

w [arriba> + z [abajo>, siendo w, z dos números complejos. Puesto que el estado físico representado queda inalterado si multiplicamos las dos componentes por un número complejo distinto de cero, la razón z/q será el número complejo significativo que represente el estado de la partícula.

Este número complejo se representa sobre una esfera llamada de Riemann, tal como aparece en la figura. En el ecuador de la misma se encuentran los puntos singulares 1,-1, i y -i.

La esfera de Riemann juega un papel fundamental en cualquier sistema cuántico de dos estados, describiendo el conjunto de estados cuánticos posibles. Para una partícula de espín 1/2, su papel geométrico es particularmente evidente puesto que los puntos de la esfera corresponden a las posibles direcciones espaciales para el eje de giro. En otras situaciones el papel de la esfera de posibilidades de Riemann está bastante más oculto, con una relación mucho menos clara con la geometría espacial.

El extraño giro de 720º del electrón para quedarse igual es toda una paradoja. En muchas ocasiones nos parece que la mecánica cuántica presenta fenómenos completamente fuera de toda lógica, pero al analizar infinidad de situaciones completamente normales para nosotros a la luz de esta asombrosa teoría observamos que sin ella no tienen explicación. La propia cohesión de la materia, tal como la conocemos, o la existencia de las cuatro fuerzas fundamentales no tendrían sentido. En este último caso en sus fundamentos, paradojicamente, se encuentra el propio principio de incertidumbre. Un principio "engorroso" que parece que sólo sirve para impedirnos medir con infinita exactitud.

(1) Se admite que una "partícula" puede poseer partes individuales con tal que pueda ser tratada mecanocuánticamente como un todo simple, con un momento angular total bien definido.

La medida natural de las cosas

2009-11-18T07:58:00.007+01:00

La relación que tratamos de establecer entre dos cantidades puede ser engañosa. En ocasiones los valores más lógicos de las mismas nos alejan de la realidad y del fenómeno que tratamos de estudiar. El sentido común nos puede dar una aproximación del resultado capaz de guiarnos para encontrar la solución correcta, la que se amolda de verdad a la realidad.

Supongamos que queremos relacionar dos cantidades que se corresponden con una realidad palpable, por ejemplo dos longitudes de un determinado objeto, y nos dan las siguientes medidas: 2 y 1/2, 3 y 1/3, 4 y 1/4, ... n y 1/n. Siendo n un número natural. La división entre ellas no nos ofrece ningún conflicto, será 4, 9, 16, ... n², nos está dando la cantidad de veces que una cantidad es mayor que otra. Sin embargo hay relaciones que pueden dar equívocos si nos dejamos guiar por el resultado puramente matemático. Por ejemplo, si nos fijamos en la figura que representa el fractal clásico llamado copo de Koch y su construcción, vemos que en cada iteración sustituimos un segmento de 3 unidades por cuatro segmentos de una unidad: justamente la relación entre log 4/ log 3 nos da la dimensión fractal de la figura, que es 1.261859… Si lo que queremos relacionar son las dos longitudes representadas por cualquier número natural N y su inverso 1/N, al hallar la relación similar a la anterior, del copo de Koch, nos encontramos con un valor negativo, -1, una dimensión negativa para un fractal, cuando físicamente no tiene ningún sentido, pues la dimensión fractal siempre es igual a la topológica (o dimensión aparente) más un coeficiente dimensional, tanto mayor cuanto más irregular es el fractal.

Matemático y lógico, Kronecker defendía que la aritmética y el análisis deben estar fundados en los números enteros prescindiendo de los irracionales e imaginarios. Fue autor de una frase muy conocida entre los matemáticos: "Dios hizo los naturales; el resto es obra del hombre" (Eric Temple Bell 1986, p.477. Men of Mathematics ).

Esa es la cuestión, en nuestro caso debemos convertir 1/N y N en dos nuevos números naturales que al relacionarnos, para expresar el valor que representa la dimensión del objeto, nos de un resultado coherente con la realidad que estamos observando. Las figuras que siguen a este párrafo nos aclaran el camino a tomar para encontrar una posible solución, para este caso particular.

Vemos la construcción de una figura cuando N=3, N=4 y N=5. En la primera figura si damos el valor 3 al lado, su perímetro será 27 (3³), pero si le damos el valor 1/3, su nuevo perímetro será 3. Así ocurre para N=4 ó N=1/4 , etc, y en general para cualquier valor N y 1/N (con N finito, aunque tan grande como queramos). Siempre ocurrirá que si el lado es N el perímetro será N³ y si el lado es 1/N el perímetro será N, sin que para ello varíe la forma de la figura.

La conversión natural será la que transforma la pareja de medidas (1/N, N) en (N, N³) y el valor irregular, -1, que encontrábamos para la dimensión fractal de la curva se convertiría en 3. Este valor le daría a la curva la capacidad de llenar el espacio. Es un fractal con dimensión entera, de forma similar al caso de un movimiento aleatorio puro, que de cada N² pasos realizado sólo se aleja N, de cualquier punto arbitrario de referencia que consideremos, y por tanto tiene una dimensión fractal igual a 2, capaz de llenar el plano.

En realidad, para nuestro caso (1/N, N), existen infinitas conversiones, responden a la expresión :

Dim. fractal (*)= 1 + 2/logL(N) , siendo L(N) el valor del lado que consideremos, como función de N. Para L(N)= 1/N tenemos el valor -1, para L(N)=N, le corresponde el valor 3, como hemos dicho. Para valores de exponente natural más negativos (1/N²) y mayores la dimensión se acerca asintóticamente a l. Para valores mayores de N, como N², N³, o de mucho mayor exponente el valor asintótico será también 1.

Al final no podemos confiar ciegamente en el valor que nos dan las matemáticas, pues el mundo que representan es mucho más amplio que el mundo real y siempre necesitaremos de nuestro sentido común, en el análisis de los resultados encontrados. Por otra parte, paradójicamente, en ocasiones ocurre lo contrario: el sentido común nos ciega y nos impide ver una realidad más profunda que subyace en los resultados matemáticos.

(*)Tomando logaritmos en base N

Dualidad T, (1/N,N)

Como simple curiosidad, sobre el intercambio de valores 1/N y N, y como culturilla sobre teoría de cuerdas, todo esto puede recordarnos la llamada Dualidad-T:

En la expresión que representa los cuadrados de las energías de las excitaciones de una cuerda en un espacio con una dimensión curvada o compactada, K. Kikkawa y M. Yamanaka en 1984, observaron que la fórmula sigue teniendo el mismo aspecto si hacemos el intercambio R <--> 1/R. Siendo R el radio microscópico de la dimensión que se curva.

Desde un punto de vista físico esto indica que las energías de las excitaciones de una cuerda, cuando hay una dimensión extra de radio R, es la misma que la de una cuerda cuando el radio es 1/R. No ya las energías, sino todas las propiedades físicas de ambos sistemas son exactamente las mismas. Llama la atención, pues cuando R aumenta 1/R decrece, contradiciendo la experiencia de la vida diaria, que nos dice que las cosas pequeñas difieren de las grandes. Para una cuerda ello no es así.

Sobre "Unificación y dualidad en teoría de cuerdas", ver el número de agosto de 1998 de Investigación y Ciencia, de Luis E. Ibáñez Santiago.

Lo que esconden los fractales y la energía oscura, una hipótesis

2009-11-05T12:46:00.007+01:00

Los fractales esconden bajo sus “arrugas” parte de sí mismos. Suponiendo la hipótesis de un vacío cuántico fractal, la escurridiza energía oscura podría ser la consecuencia de la estructura fractal de las fluctuaciones cuánticas del vacío que conforman todo el espacio.

La medida de la costa de Bretaña
Benoït Mandelbrot se preguntaba cuánto medía la costa de Bretaña, o cualquier costa real que suele ser irregular e intrincada. Un geógrafo se lo habría respondido perfectamente, pero no era esa la repuesta que buscaba Mandelbrot. El geógrafo da por sentado que al medir la costa tiene que hacerlo con unos criterios prácticos determinados, se atiene a ellos, la mide y la registra para siempre en los libros de geografía.

Para Mandelbrot, la pregunta era mucho más transcendente de lo que puede parecer a simple vista, porque se dio cuenta de que la medida dependía de la unidad de medida con la que fuera a efectuarse. Si la mínima unidad de medida a tomar fuera un kilómetro hallaríamos un valor, y si esa mínima unidad fuera el doble encontraríamos un resultado menor. Conforme la unidad utilizada es menor, al efectuar la medida nos acercamos mejor a las irregularidades del terreno y hallamos un valor mayor. Para una costa matemática teórica, de hecho, la unidad de medida la podemos hacer tender a cero tanto como queramos y el resultado obtenido siempre será mayor. En el límite la longitud de cualquier costa teórica es infinita.

Dimensión fraccionaria de una costa
Las costas son ejemplos sencillos de unos objetos matemáticos que Benoït Mandelbrot llamó fractales, porque su estructura es discontinua, rota o fracturada (del latín “fractus”) y mantienen el mismo aspecto a diferentes escalas. A diferencia de los objetos geométricos continuos que conocemos como líneas o planos, los fractales son capaces de “llenar” más espacio del que deberían llenar. Las costas fractales, como líneas que son, deberían tener la capacidad de llenar una dimensión, pero realmente llenan 1.25, 1.30, 1.35… etc. Su dimensión, que es fraccionaria, está entre la línea y el plano, es decir entre 1 y 2, y conforme son más irregulares mayor es su dimensión, a la que llamamos dimensión fractal.

Vacío clásico y vacío cuántico
El vacío clásico y continuo es, en cierta forma, como una costa lineal y regular, sin entrantes ni salientes. El vacío cuántico es muy diferente, sus fluctuaciones le confieren una estructura irregular que nos puede recordar la estructura fractal de las costas de los países. De “lejos” no es diferente del vacío clásico, pero de “cerca” nos ofrece una visión muy diferente, las fluctuaciones ganan protagonismo porque dependen del inverso de la distancia: a distancia mitad son el doble de intensas. Esta diferencia entre el vacío clásico y el cuántico se puede observar, perfectamente, tratando de seguir las trayectorias de las partículas subatómicas. En el vacío clásico estas están bien definidas y son líneas continuas, en el vacío cuántico no existen como tales, no son propiamente trayectorias pues conforme las tratamos de observar con más detalle, más irregulares aparecen. Son fractales con una dimensión 2.

¿Vacío cuántico como un fractal?
Todo esto hace pensar en la posibilidad de considerar el vacío cuántico como una fractal, en el que la energía de las fluctuaciones cuánticas determinaría su grado de irregularidad, y en base a su valor (un escalar) se podría calcular la dimensión fractal de estas fluctuaciones que conforman todo el espacio.

Lo que esconden los fractales y la energía oscura, una hipótesis
Entre dos puntos A y B del espacio euclídeo se puede trazar una recta. La distancia entre los dos puntos siguiendo esta recta es la longitud de la misma. Sin embargo si esa recta la convertimos en una costa fractal real (sin las infinitas irregularidades de una costa fractal matemática), la distancia entre los dos puntos, siguiendo la costa, se puede hacer todo lo grande que se desee dependiendo de la cantidad de irregularidades de la misma.

Si observamos esta línea costera en la distancia, las irregularidades se disimulan y su aspecto se acerca al de una línea mucho más regular. Su distancia aparente también estará cercana a la de la línea recta AB. Sabremos la distancia real AB a través de la costa fractal y la distancia aparente, vista la costa desde lejos. En cierta forma parece que ha desaparecido una parte de la costa, una parte que desde lejos no logramos observar, porque queda escondida entre las irregularidades del fractal.

Si suponemos la hipótesis fractal de las fluctuaciones cuánticas del vacío, ¿la parte escondida por este inmenso fractal podría ser la llamada energía oscura?

En la figura:(representación del vacío
cuántico), los trazos más anchos se corresponden con fermiones (quarks, electrones...) y sus antipartículas, mientras que los trazos más finos corresponden a bosones (gluones, fotones, W+, W-, Z0,...). En lo concerniente al color de los quarks y gluones, se corresponden con la carga de color de los mismos mientras que las partículas insensibles a la interacción fuerte aparecen en blanco o gris.)

Lo que sabemos hasta ahora de la energía oscura
La naturaleza exacta de la energía oscura es una materia de especulación. Se conoce que es muy homogénea, no muy densa y no se conoce la interacción con ninguna de las fuerzas fundamentales más que la gravedad. Como no es muy densa, unos 10−29 g/cm³, es difícil de imaginar experimentos para detectarla en laboratorio. La energía oscura sólo puede tener un profundo impacto en el Universo, ocupando el 70% de toda la energía, debido a que por el contrario llena uniformemente el espacio vacío.

Dos posibles formas de la energía oscura son la constante cosmológica, una densidad de energía constante que llena el espacio en forma homogénea y campos escalares como la quintaesencia: campos dinámicos cuya densidad de energía puede variar en el tiempo y el espacio. De hecho, las contribuciones de los campos escalares que son constantes en el espacio normalmente también se incluyen en la constante cosmológica. Se piensa que la constante cosmológica se origina en la energía del vacío. Los campos escalares que cambian con el espacio son difíciles de distinguir de una constante cosmológica porque los cambios pueden ser extremadamente lentos.
Para distinguir entre ambas se necesitan mediciones muy precisas de la expansión del Universo, para ver si la velocidad de expansión cambia con el tiempo. La tasa de expansión está parametrizada por la ecuación de estado. La medición de la ecuación estado de la energía oscura es uno de los mayores retos de investigación actual de la cosmología física.

Algo más sobre fractales, su dependencia espacial

2009-10-08T13:51:00.009+02:00

La dimensión de un fractal está íntimamente relacionada con la manera en que éste se extiende por el espacio. Su dimensión nos da la capacidad del fractal de recubrir un espacio de dimensión topológica superior a la suya, de hecho, una trayectoria fractal de dimensión 2 es capaz de recubrir el plano, y de dimensión 3 el espacio tridimensional.

Imaginemos que en un espacio de tres dimensiones nos encontramos con una especie de diablillo virtual moviéndose aleatoriamente, con total libertad, y tratando de recubrirlo por completo. Su trayectoria será una línea quebrada, con infinidad de recovecos, cuyo fin será pasar por todos los puntos del espacio. Como línea de trayectoria que es su dimensión topológica será la unidad, pero su capacidad de recubrir el espacio nos indica que estamos ante un objeto geométrico diferente a los típicos objetos euclidianos que hemos estudiado en la escuela, como el punto, la línea o el plano de dimensiones cero, uno o dos. Este tipo de objetos es lo que Benoît Mandelbrot llamaba en 1975 objetos fractales, palabra que inventó a partir del adjetivo latino “fractus” (roto, fracturado).

Dimensión fractal. La dimensión que define la trayectoria del diablillo ya no es la dimensión clásica de una línea (la unidad), sino que a ella debemos añadir un coeficiente dimensional que nos indica su grado de irregularidad. La suma de los dos coeficientes nos da un nuevo valor dimensional al que llamamos dimensión fractal. En este caso hacemos la siguiente suma: dimensión geométrica clásica (1) + coeficiente dimensional (2) = dimensión fractal (3).

Dependencia con la distancia. Hay un detalle más que nos da una idea del movimiento que lleva el diablillo. La distancia total que recorre al cabo de N de sus pasos debe ser sólo la raíz cúbica de su alejamiento efectivo a un punto arbitrario, es decir para alejarse una distancia efectiva d, de un punto cualquiera, su recorrido total deberá ser d³. Este exponente (3) nos está dando, también, la dimensión fractal del movimiento. En cierta forma es lógico que sea así, pues el volumen que intersecta y recubre la trayectoria es del orden del cubo de su distancia característica (Volumen = Lado³).

En una trayectoria espacial fractal:

(1) Distancia total recorrida = Distancia efectiva^{(dimensión fractal)}

Siendo la dimensión fractal igual a la dimensión topológica más un coeficiente dimensional positivo, tanto mayor cuanto más intrincado sea el fractal, la expresión (1) quedaría:

(1) Distancia total recorrida = Distancia efectiva^{(dimensión topol. + coef. dimensional)}

¿Puede la geometría del espacio modificar la dimensión fractal?. Imaginemos una trayectoria fractal que pasa desde un espacio de 3 dimensiones a otro de 2. En la realidad podría ser el paso gradual de una tubería de 10 cm. x 10 cm. a otra de 0,1 cm. x 1000 cm., del mismo caudal. Para, depende que movimiento, el paso podría suponer cambiar, prácticamente, de 3 a 2 dimensiones. En la nueva situación la dimensión topológica habría descendido en una unidad, por lo que para el mismo coeficiente dimensional (que depende de la irregularidad del fractal), la nueva dimensión fractal sería menor. La disminución de dimensiones topológicas actúa de forma opuesta (restando) a como actúa el coeficiente dimensional (sumando). Al final obtendríamos, en la práctica, un movimiento menos irregular e intrincado.

Y sobre todo esto, en plan un tanto informal, añado un articulito que se publicó en la web de la Real Sociedad Española de Física, en el foro de debate sobre Física Divertida . Pocos meses antes se había publicado en la revista ImasD de ciencia y tecnología (revista en papel, posteriormente electrónica y hoy desaparecida: www.ImasD-tecnología.com).Otro articulo posterior, también muy sencillo, publicado por la Revista Elementos, de la Universidad Autónoma de Puebla: El sorprendente vacío cuántico.

El diablo Aleaxis y el efecto de ocultación de masa.

Aleaxis es un simpático e inconsciente diablillo que no para de dar pasos, a tontas y a locas de forma aleatoria, en cualquier dirección del plano. Su trayectoria es discontinua, puede ser representada por una línea quebrada que acabaría recubriendo todo el plano. En su torpeza, para recorrer una distancia efectiva de “n” pasos debe dar como media n x n , es decir n² pasos: su trayectoria, en realidad, representa un fractal, una estructura quebrada y discontinua de dimensión 2, la dimensión fractal que caracteriza al azar puro.

De forma similar, las fluctuaciones de energía del vacío (principio de incertidumbre) representan a otro diablo, esta vez real y poderoso, que hace mucho más interesante nuestro universo. Sin él el vacío estaría vacío, además de parecerlo, sería plano y estaría absolutamente quieto. Este diablo, un tanto escurridizo y nada torpe, arruga el espacio-tiempo y lo convierte en un fractal similar a la trayectoria de Aleaxis. Esta vez, para que nosotros observemos “n pasos” de fluctuación efectiva de energía, el diablo “da“ n x n x n pasos, es decir n³ .

Observando, solamente, los pasos efectivos de Aleaxis y sabiendo que su trayectoria es un fractal podemos inferir que existe un “efecto de ocultación de pasos”. De la misma forma, al observar las fluctuaciones efectivas de energía del vacío (son las únicas que podemos observar) deducimos que hay un poderoso “efecto de ocultación de energía “ (o masa, por el principio de equivalencia entre masa y energía).

El poderoso diablo de las fluctuaciones, además de arrugar el espacio-tiempo, enrolla parte de sus dimensiones para acentuar el “efecto de ocultación”. Si sólo se limitara a arrugarlo las fluctuaciones de la energía interferirían lo suficiente para no dejarnos ver el vacío como tal (al no depender del inverso de la distancia sino de su raiz cúbica). En la realidad dependen del inverso de la distancia: a grandes distancias su valor es despreciable, a pequeñas distancias es impresionantemente grande, contribuyendo a la impresión de un paradójico vacío “superdenso”. El diablo actúa como un verdadero mago: esconde ingentes cantidades de masa, detrás de sus arrugas enrolladas, hasta que hace “aparecer” el vacío. Sólo al acercarnos, “en las pequeñas distancias “, advertimos su truco.

¿Mecánica cuántica fractal?

2009-09-07T12:42:00.007+02:00

Benoit Mandelbrot decía que la geometría fractal nos enseña a observar este viejo mundo con unos nuevos ojos. La existencia del cuanto de acción que está íntimamente unida a la propia naturaleza de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío obliga a que su estructura sea discontinua, escalonada, fractal, por ello la geometría fractal puede enseñarnos algo que antes no podíamos ver.

Creo que hay argumentos objetivos para considerar una mecánica cuántica fractal, es decir una mecánica cuántica bajo el punto de vista de la geometría fractal, pero en ciencia existen unas tendencias o modas de las que es difícil desviarse, aunque sea para dar un corto paseo. Ese puede ser uno de los problemas por los que se encuentra estancada la física actual.

Y no es una reflexión mía, lo dicen algunos de los mejores físicos de la actualidad, se nos está escapando algo que debemos tenerlo delante de nuestras narices y no somos capaces de verlo. Sinceramente, creo que los fractales pueden ayudarnos a encontrarlo.

Con los fractales, en cierta manera, deshacemos la abstracción que nos lleva a pasar de un objeto real a objetos geométricos ideales como una línea, un cubo o una esfera, y nos acercamos un poco más a dicho objeto real. Benoït Mandelbrot utiliza el ejemplo sencillo de algo real, como son las costas de los países, para aproximarnos a los fractales. Son líneas quebradas que siguen teniendo un aspecto parecido cuando cambiamos de escala. Precisamente estas dos propiedades son las que definen a un fractal: discontinuidad (rotura, fractura, de ahí su nombre) y autosemejanza con el cambio de escala. Medimos su grado de fractura e irregularidad con un simple número que llamamos dimensión fractal.

Al respecto es importante repasar el concepto de estructura fractal de Kenneth Falconer en su obra titulada “Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications”, en 1990. En ella describe un concepto de estructura fractal ‘F’ como la que satisface alguna(s) de las propiedades siguientes:

(1).- “F” posee detalle a todas las escalas de observación;
(2).- No es posible describir “F” con Geometría Euclidiana, tanto local como globalmente;
(3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística;
(4).- La dimensión fractal de “F” es mayor que su dimensión topológica;
(5).- El algoritmo que sirve para describir “F” es muy simple, y posiblemente de carácter recursivo.

Benoit Mandelbrot decía que la geometría fractal nos enseña a observar este viejo mundo con unos nuevos ojos. La existencia del cuanto de acción que está íntimamente unida a la propia naturaleza de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío obliga a que su estructura sea discontinua, escalonada, fractal, por ello la geometría fractal puede enseñarnos algo que antes no podíamos ver.

Curiosamente, si buscamos en google "mecánica cuántica fractal" o bien en inglés "Fractal quantum mechanics", practicamente no encontramos nada. En español he encontrado este estupendo enlace a Ciencia Kanija. En mi entrada sobre "Diez dimensiones, supercuerdas y fractales"(*), podéis leer algo más sobre todo esto. Un saludo amigos.

(*)La Universidad de Chile, en su revista Ciencia Abierta , me publicó el artículo “ Estabilización del vacío cuántico y dimensiones enrolladas”, ( después otros dos más completos) sobre la posibilidad de que el estudio de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío nos estuviera evidenciando, indirectamente, la existencia de las 6 dimensiones enrolladas que necesita la teoría de supercuerdas. Los cálculos parecen indicar que en el estado en que se adoptó la configuración de 3 dimensiones ordinarias y 6 compactadas, debió decidirse la propia naturaleza del cuanto de acción

Sobre lo clásico y lo cuántico

2009-08-04T18:54:00.006+02:00

En la vida como en el mundo del conocimiento necesitamos un grado mínimo de estabilidad y certeza. Esa tendencia natural ha llevado a tratar de perpetuar lo establecido tanto en las costumbres como en el saber, pero, nos guste o no, el propio cambio es inherente en el proceso de la vida y en el del conocimiento. En el post sobre la geometría clásica euclidiana se comentaba esa resistencia al cambio que llevó a la Iglesia a considerar el saber clásico como saber divino tendiendo, por ello, a perpetuarlo como inmutable. Al final del siglo XIX los físicos se encontraban muy satisfechos con los importantes avances conseguidos hasta entonces, y muchos de ellos creían que se había llegado a una especie de final definitivo del conocimiento físico del mundo. Sin embargo, en apenas cinco años cambió todo con la teoría de la relatividad y el nacimiento de la mecánica cuántica.

Desde las certezas que parecía darnos la mecánica clásica de Newton sobre la posición, trayectoria y velocidad de cualquier partícula microscópica o cuerpo celeste se nos echaba en brazos de la indeterminación cuántica. Ya no podía conocerse simultáneamente la posición y la velocidad de una partícula con la infinita exactitud que se suponía, y el principio de indeterminación de Heisenberg parecía habernos desterrado del paraíso de las certidumbres clásicas. Pero ese paraíso nunca existió en realidad, desde un punto de vista puramente clásico se puede demostrar que la predictibilidad que se suponía a los sistemas clásicos nunca fue esencialmente cierta. Independientemente de la precisión con que conozcamos el estado inicial de un sistema clásico (no cuántico) las imprecisiones tienden a crecer, de forma natural, con el tiempo y nuestra información inicial puede llegar a ser inútil para predecir su evolución futura. La mecánica clásica no es tan predecible como podría parecer a primera vista. Esta impredecibilidad se advierte claramente en el llamado problema de los tres cuerpos y se acentúa de forma dramática en los sistemas muy sensibles a las condiciones iniciales (caóticos).

La estabilidad y cohesión que advertimos en la materia es resultado directo de fenómenos cuánticos, no podría conseguirse con las leyes de la mecánica clásica, que funcionan bien con la simplificación que supone tratar cuerpos compuestos por millones de partículas como si fueran puntuales. Esto es consecuencia de una propiedad esencial de los sistemas clásicos puesta de manifiesto por un hermoso teorema debido al matemático francés Joseph Liouville . El aparentemente simple equilibrio que se mantiene en un átomo entre los electrones y el núcleo sólo la mecánica cuántica es capaz de explicarlo, para la mecánica clásica el resultado sería catastrófico pues sus leyes lo impedirían.

La indeterminación cuántica y el sorprendente vacío cuántico, animado por un frenético baile de fluctuaciones y partículas virtuales, pueden explicarnos desde el propio nacimiento de todo el inmenso Universo a partir de la nada a los mecanismos básicos de la consciencia. Cuando pienso en el paso del viejo mundo de la mecánica clásica al nuevo de la mecánica cuántica, me viene a la memoria el cuento de la princesa desterrada del mundo de las hadas que apareció en el mundo real. Le costó entenderlo, pero cuando lo hizo se dio cuenta de que las simplezas de su viejo mundo eran completamente irreales y ya no podían llenar su vida.

El mundo de la imaginación, de los cuentos y las hadas, surge de las idealizaciones de nuestro mundo real. De forma parecida podría emerger lo clásico desde la realidad cuántica, una realidad directamente incomprensible para el sentido común que debe convertirse en clásica para que nuestra vida tenga sentido. El proceso es todavía desconocido, es una especie de paso mágico desde la coherencia cuántica, no local e indiferenciada, a la concreción que advierten nuestros sentidos. El desarrollo de la mecánica cuántica cuyo futuro está irremediablemente unido al de la relatividad general promete mostrarnos una realidad todavía más sorprendente.

He recuperado este post de mi colaboración con Libro de Notas, mis agradecimientos a Microsiervos que tuvieron el detalle de reseñarlo en su día. Estoy disfrutando unos días de vacaciones en la bella costa de Málaga, así que perdonad si no contesto muy rápido los comentarios. Unas felices vacaciones amigos.

¿El tiempo o la memoria?

2009-07-20T13:48:00.010+02:00

¿Es posible que el tiempo sea un espejismo que crea nuestra memoria? Si la realidad fuera una sucesión de AHORAS que sólo podemos enlazar con nuestra memoria, el tiempo en sí no existiría. Esa es la teoría del físico inglés Julian Barbour, que junto con otros físicos de primer orden como Carlo Rovelli creen que el tiempo no es una magnitud fundamental, en línea con la creencia de grandes físicos como Wheeler y De Witt que hallaron la expresión, que lleva su nombre, en la cual no aparece el tiempo como variable explícita.

En un reciente post (2009/05/06) hablaba de la inquietud que me habían producido las reflexiones del eminente físico Lee Smolin sobre el tiempo. Así llevo un tiempo, y acabo de descubrir a través del estupendo blog Con-Ciencia una interesantísima conversación sobre el tiempo con el físico inglés Julian Barbour. Su idea básica es que el tiempo como tal no existe. No existe un río invisible del tiempo, independientemente de los sucesos que ocurren en él. Pero hay cosas que podríamos llamar instantes de tiempo, o "Ahoras" y nos movemos a través de esos "Ahoras". La pregunta es, ¿cuáles son esos ahoras?Según Barbour, son arreglos de cada cosa que existe en el universo respecto al resto de él en cualquier momento, por ejemplo, ahora.

Barbour mantiene la idea de que existen muchas cosas diferentes a la vez en una clara relación mutua. La totalidad de interconexión básica entre todo se convierte en una cosa en si, en un momento. Y hay muchos de esos Ahoras, todos diferentes los unos de los otros. La gente está segura de que el tiempo esta ahí, pero que no pueden cogerlo. Pero para Barbour si no se puede obtener nada de él es porque no está allí en absoluto. Eso es lo que nosotros nos creemos, que existe el flujo de tiempo - y hasta vemos su movimiento - pero es, en realidad, una ilusión. Ha llegado a eso después de ver lo que la mecánica cuántica nos dice de como podría ser el universo.

El Dr. Barbour ha ganado recientemente un premio al escribir un ensayo sobre la naturaleza del tiempo.

El Dr. John Baez en su blog nos destaca el ensayo de su amigo Carlo Rovelli, “Forget time” en el que propone que la mecánica fundamental debe estar basada en la relación entre ciertas variables fundamentales, no en la evolución temporal de dichas variables. La descripción fundamental de la física no explicará qué es el tiempo, sencillamente, en dicha descripción el tiempo no existirá, no tendrá cabida. El tiempo será una magnitud derivada (fenomenológica) en dicha teoría fundamental sin tiempo.

La idea del ensayo proviene de que en la Teoría General de la Relatividad cada curva espacio-temporal tiene su propio tiempo (llamado tiempo propio). Cada observador tiene su propio tiempo y la teoría nos dice cómo debe calcular el de otro observador. Rovelli propone que la Gravedad Cuántica será una teoría sin tiempo global en la línea de la ecuación de Wheeler-De Witt, que carece de tiempo explícito. ¿Cómo surge el tiempo? Es una magnitud estadística, no fundamental. Cuando el número de grados de libertad crece emerge una noción “entrópica” del tiempo. Rovelli le llama “Hipótesis del Tiempo Térmico” (el tiempo es como la temperatura, a nivel microscópico es un concepto sin sentido).

Sobre la nada, el tiempo y la ecuación de Wheeler-De Witt (Dennis Overbye, Periódico La Nación)

Uno de los primeros intentos de imaginar que la nada es la fuente del todo ocurrió en 1965, cuando los doctores John Wheeler y Bryce De Witt, ahora en la Universidad de Texas, escribieron una ecuación que combina la relatividad general con la teoría cuántica. Desde entonces, los físicos han estado discutiendo sobre eso. La ecuación Wheeler-De Witt parece vivir en aquello que los físicos han apodado "superespacio": una suerte de ensamble matemático de todos los universos posibles: algunos llenos de vida y otros completamente desiertos; algunos en los que las constantes de la naturaleza y hasta el número de dimensiones son distintos del nuestro.

En la mecánica cuántica ordinaria, un electrón es pensado desplegándose por todo el espacio hasta que es medido y observado en un lugar determinado. De modo similar, nuestro propio universo se despliega por todo el superespacio hasta que, de alguna manera, es observado con sus cualidades y leyes particulares. Esto suscita otra pregunta: si nadie puede salirse del universo, ¿quién es el observador?
Para Wheeler, una posible respuesta es que simplemente seamos nosotros, por medio de actos mecánicos cuánticos de observación, en un proceso llamado "génesis por observación". "El pasado es teoría -escribió Wheeler-. No tiene existencia salvo en los registros del presente. Somos participantes, en un nivel microscópico, en la creación del pasado, al igual que del presente y del futuro."

La respuesta de Wheeler a San Agustín sobre el origen del Universo y del tiempo es que, colectivamente, "somos Dios", y que estamos siempre creando el universo.

La cara oscura del Universo

2009-07-01T14:34:00.008+02:00

El estudio de los cúmulos de galaxias nos ofrece una visión sorprendente del comportamiento de la materia oscura. Se compone de algún tipo de partícula que no interactúa con ninguna otra, es decir, es completamente idetectable más allá de su efecto gravitatorio.Una especie de sombra de la materia ordinaria, ¿ o quizás es al contrario?

Cuando Fritz Zwicky, el 1933, observó las velocidades de las galaxias en el cúmulo de Coma (la Cabellera de Berenice) no podía entender como aquella rica concentración de galaxias se mantenía unida. La media de las velocidades de las galaxias respecto al centro de masas del cúmulo superaba los 1000 Km/s. La masa necesaria para mantener estable el cúmulo habría de ser, según sus cálculos, muy superior a la masa correspondiente a las galaxias que lo forman. Dicho de otra forma, el campo gravitatorio generado unicamente por las galaxias no era, en absoluto, suficiente para evitar que se disgregaran por el espacio. El hecho de que el cúmulo se mantuviera gravitacionalmente ligado implicaba la necesidad de postular la existencia de una gran cantidad de materia oculta. Esta matería que se mantenía invisible al telescopio de 48 pulgadas de Monte Palomar con el cual Zwicky observaba el cúmulo podría existir en forma de estrellas frías o polvo y detectarla nada más sería posible con el posterior desarrollo de telescopios infrarrojos. Quizás la materia escondida podría estar en forma de gas muy caliente que emitiría en rayos X y que podría ser detectada mediante telescopios especiales que observaran el cúmulo en aquellas longitudes de onda desde fuera de la atmósfera.

Ambas observaciones se hicieron mucho después de los trabajos pioneros de Zwicky. En la década de 1980 se pudo comprobar que la mayor parte de materia ordinaria de un cúmulo está en forma de gas caliente con temperaturas de decenas de millones de grados. A estas temperaturas los átomos que componen el gas han perdido los electrones, decimos que están ionizados. Los electrones circulan a gran velocidad en un medio que llamamos plasma, cuando chocan con los iones sufren una frenada que se salda con la emisión de un fotón muy energético y se produce radiación en la banda X del espectro electromagnético.

Al observar un cúmulo de galaxias con un telescopio de rayos X desde el espacio, la imagen es muy diferente de la que se obtiene con un telescopio óptico. Se detectan extensas y difusas áreas de emisión de rayos X producidos por nubes de gas caliente atrapadas en el interior del cúmulo. El estudio de la temperatura e intensidad de esta radiación permite determinar la masa del cúmulo: una masa total unas cuatro veces superior a la masa luminosa del cúmulo. Poniendo números, podemos decir que el gas caliente que emite rayos X representa el 20% de la masa del cúmulo y las galaxias que observamos en el óptico e infrarrojos constituyen un 5% más. El 75% restante ha de ser materia oscura de naturaleza desconocida.

Hay una tercera vía para medir la cantidad de materia en un cúmulo de galaxias. Desde que Einstein lo propuso y Eddington lo comprobó experimentalmente, sabemos que la presencia de materia no sólo curva la trayectoria de los cuerpos en movimiento (por acción de la gravedad) sino que también hace curvar la trayectoria de los rayos de luz. Así se producen una serie de efectos peculiares: hay objetos que aparentemente cambian de posición a causa de la curvatura de la luz emitida por ellos, cambian de luminosidad aparente, y hasta padecen deformaciones en su forma. Estos cambios y deformaciones son más notorios cuando mayor es la cantidad de materia que la luz ha de atravesar. En un caso extremo, como es el de un cúmulo de galaxias, las deformaciones son muy fuertes, y perceptibles en imágenes realizadas con grandes telescopios, y en particular, con el telescopio espacial Hubble.

Si el cúmulo fuera una distribución extremadamente suave de materia, sin grumos, actuaría como una lente perfecta y produciría aumentos o distorsiones simples, pero como en realidad es extremadamente no homogeneo, el efecto se parece al que se produce cuando observamos a través de la base de un vaso de vidrio: aparecen arcos y deformaciones. Cuantificando este efecto, por ejemplo a través del número de arcos, las posiciones de estos, o el número de imágenes múltiples del mismo objeto, podemos medir la cantidad de materia que contiene el cúmulo.

Recientemente ha sido posible combinar todos estos tipos de medidas en un cúmulo muy interesante: el cúmulo de la Bala. Este cúmulo se compone en realidad de dos estructuras de galaxias, que aparentemente han chocado. Los dos grupos de galaxias se han atravesado, porque hace falta tener en cuenta que los cúmulos, aunque son muy densos en términos de número de galaxias, son en gran medida espacio vacío: dos cúmulos pueden perfectamente atravesarse sin que cada de las galaxias individuales choque. Así vemos que las dos agrupaciones de galaxias parecen ignorarse mútuamente, de hecho sólo podemos suponer que se han atravesado porque las respectivas velocidades indican que se alejan el uno del otro.

La componente gaseosa de los cúmulos, en cambio, no se puede atravesar alegremente. Cada uno arrastra su propio gas, y el choque entre estas dos bolas de fluido reproduce precisamente lo que esperamos. Ambos se atraviesan pero notan fuertemente los efectos de la colisión: pierden velocidad y además en uno de ellos aparecen estructuras debidas a la onda de choque.

¿Donde va, pues, la mayor parte de la masa del cúmulo? ¿Se comporta como el gas, percibe el choque, y se queda detrás respecto a las galaxias que se atraviesan como fantasmas? El mapa de densidad de materia obtenido gracias a este efecto de lente gravitatoria nos indica que, al contrario, la materia oscura que no vemos ha seguido perfectamente la trayectoria de las galaxias. es decir, cada uno de los agregados de materia oscura (el 75% de la masa total del cúmulo) no ha sentido en absoluto la presencia del otro.

Esta es, de hecho, una de las propiedades básicas de la materia oscura, una de las pocas bien establecidas, y una de las más misteriosas. La materia oscura se compone de algún tipo de partícula que no interactúa con ninguna otra, es decir, es completamente idetectable más allá de su efecto gravitatorio. No hay hoy en día dentro del modelo estandard de la materia que compone el universo partículas que cumplan esa propiedad. Hay esperanzas que ampliaciones de este modelo puedan llevar al descubrimiento de este tipo de partículas (los axiones o las partículas supersimétricas son algunos de los candidatos), pero tendremos que esperar a nuevos desarrollos en física de partículas. Quizás el Gran Colisionador de Hadrones (LHC) en Ginebra nos acerpue un paso en la solución de este dilema.

Explicación sobre la imagen del cúmulo de Bala. Superpuesto a la imagen visible se incluye el mapa de emisión del gas caliente (rosa) y el mapa de densidad de materia obtenido usando el efecto de lente gravitatoria (azul). Se puede observar como el gas caliente ha sufrido los efectos de la colisión, mientras que la fantasmagórica materia oscura ha seguido su camino sin inmutarse.

Este post es la traducción del artículo "La cara fosca de l`Univers", del último número de la revista "Mètode" de la Universidad de Valencia. Mis agradecimientos a la revista y a los autores: Vicent Martínez, del Observatori Astronòmic de la Universitat de València, y a Alberto Fernandez-Soto del Instituto de Física de Cantabria. He disfrutado con este artículo sobre la sorprendente materia oscura, y me queda la sospecha, como les pasa a muchos, de que algo fundamental se nos escapa. La comprensión de estas oscuras compañeras de la materia puede traernos una nueva revolución en la física y en la comprensión de nuestro Universo. Un saludo amigos.

Estructuras disipativas, método científico y entropía

2009-06-11T12:32:00.012+02:00

De la interacción con nuestro entorno intercambiamos materia y obtenemos energía y conocimiento en bruto que después convertimos en ciencia y tecnología. La vida, los ecosistemas y las propias sociedades humanas son un tipo especial de estructuras llamadas disipativas que obtienen orden (disminuyen su entropía) a costa del entorno. Son estructuras abiertas que aumentan su información útil a partir de la información exterior. En el límite, este fenómeno es el que lleva a la ciencia a confirmar con experimentos la veracidad de sus teorías

Estructuras disipativas
En el equilibrio o cerca de él, no se produce nada interesante, todo es lineal. Cuando pueden ocurrir cosas sorprendentes es lejos del equilibrio: si llevamos un sistema lo bastante lejos del equilibrio, entra en un estado inestable con relación a las perturbaciones en un punto llamado de bifurcación. A partir de entonces la evolución del sistema está determinada por la primera fluctuación, al azar, que se produzca y que conduzca al sistema a un nuevo estado estable. Una fluctuación origina una modificación local de la microestructura que, si los mecanismos reguladores resultan inadecuados, modifica la macroestructura. Lejos del equilibrio, la materia se autoorganiza de forma sorprendente y pueden aparecer espontáneamente nuevas estructuras y tipos de organización que se denominan estructuras disipativas. Aparece un nuevo tipo de orden llamado orden por fluctuaciones : si las fluctuaciones del ambiente aumentan fuera de límite, el sistema, incapaz de disipar entropía a ese ambiente, puede a veces "escapar hacia un orden superior" emergiendo como sistema más evolucionado.

En estos nuevos tipos de estructuras y orden se basan la vida, la organización de un termitero, los ecosistemas y las propias organizaciones y sociedades humanas. Pero lo más importante es que este nuevo orden en el que el determinismo y el azar se llevan de la mano si que es un universal. Estas estructuras, al igual que la vida no aparecen y progresan por pura casualidad o accidente como se creía.

El método científico como límite del intercambio de información con el entorno.
Como comentaba en el post anterior, nuestros genes transportan una información preciosa conseguida del entorno a través de millones de años de intercambio y evolución. Nacemos, casi, como una hoja de papel en blanco, y a partir de entonces seguimos aprendiendo de nuestro exterior. De nuestros padres, de las demás personas y seres, del comportamiento de los otros, de todo lo que nos pasa y de la información que nos llega. Lo externo, como un todo, nos hace como somos. A la ciencia como estructura, en cierta forma le pasa igual. A través del método científico necesita, para avanzar, contrastar las teorías mediante experimentos que confirmarán o no su adecuación a la realidad. En ese sentido desde la menor prueba al mayor de los experimentos, son la forma de interactuar con el entorno para ganar en orden, información y complejidad. Experimentos tan formidables como los que se están realizando, o se realizarán, con el LHC nos permitirán confirmar un montón de teorías y suposiciones, o nos ayudarán a concebir otras nuevas, que seguirán cambiando nuestra sociedad y a nosotros mismos en un baile sin fin en la escala de la complejidad.

Y en ese curioso "baile", incluso si llega a ocurrir lo que se ha llegado a denominar "La singularidad" (singularidad tecnológica), la aparición de los ordenadores ultralistos (máquinas "más inteligentes que los seres humanos") como cuenta el artículo de 1993 escrito por el ingeniero informático y escritor de ciencia ficción Vernor Vinge, en el que sostiene que la aceleración del progreso tecnológico nos ha llevado "al borde de un cambio comparable a la aparición de la vida humana en la Tierra", la esencia no cambiará. En el hipotético futuro en el que las supermáquinas inteligentes o cualquier supercivilización nos supere, seguirá necesitando de su entorno para aprender y aprender cada vez más, seguirán necesitando contrastar sus hipótesis con la realidad y confrontando su tecnología con esa misma realidad.

Reflexiones: multiversos, espespacio-tiempo, mito
¿Hasta cuando? Hay un límite, nuestro universo no es infinito y su final será la llamada muerte térmica, la uniformidad total de la que ya no se podrá extraer ni energía ni información, el estado de máxima entropía y máximo desorden. Aunque haciendo una suposición más de ciencia ficción que de ciencia, antes de llegar a esto es de suponer que alguna de las civilizaciones más avanzadas habrá aprendido todo lo que se puede aprender sobre las leyes físicas de este universo, y podría tener una tecnología capaz de llevarla a otros universos en estados menos degradados (suponiendo que vivimos en un multiverso).

Entre todo esto, una reflexión más: seguimos suponiendo el espacio y el tiempo como el contenedor fundamental de todo lo que es y acontece en el universo (multiverso), pero las dos teorías física más formidables con las que contamos, la relatividad general y la mecánica cuántica y sobre todo su incipiente fusión a la que llamamos gravedad cuántica, nos cuentan que ni el espacio ni el tiempo son las entidades fundamentales que creemos sino que dimanan de otra puramente cuántica subyacente. El universo, el nuestro, tuvo un principio, pero ¿ el multiverso si existe tuvo un principio o siempre estuvo ahí? Es más, ¿tiene sentido seguir hablando en términos de tiempo y espacio, tal como los conocemos, sabiendo que hay alguna entidad cuántica más fundamental de la que emanan?

Primero fue el mito para explicar la realidad que no entendíamos, le han seguido la filosofía y la ciencia, y conforme avanzamos con ella nos va adentrando en un mundo que cada vez nos parece más mítico y menos real. Caminamos como un ciego que sólo cuenta con su inteligencia y su metódico bastón científico, y vivimos tiempos de grandes cambios que, espero, pronto (1) nos darán una nueva bella teoría sobre gravedad cuántica que nos ayude a entender mejor este mundo y a nosotros mismos. Un abrazo.

(1) Soy muy optimista.
La primera figura (estructuras disipativas) está tomada del estupendo blog "Hombres que corren con lobos"

Un amigo nos comenta sobre el interesantísimo cuento de Isaac Asimov:" La última pregunta". Os lo recomiendo.

¿Puede dar vida inteligente un universo caótico?

2009-06-01T12:39:00.006+02:00

Cada uno de los átomos que nos forman y las ideas que tenemos son ajenos.Todo cuanto somos lo sentimos muy dentro y muy nuestro, pero realmente proviene del exterior. Somos sistemas abiertos autoorganizados que necesitamos de la materia y de la información del entorno.

A diferencia de los sistemas cerrados, que no intercambian ni materia ni información con el exterior, nuestra entropía es capaz de disminuir, o, lo que es lo mismo, nuestra información y organización capaces de aumentar. Tomamos la información del exterior y ganamos en complejidad a costa de aumentar el desorden del entorno. En eso se basan los fundamentos de nuestra existencia.

Nuestros genes transportan una información preciosa conseguida del entorno a través de millones de años de intercambio y evolución. Nacemos, casi, como una hoja de papel en blanco, y a partir de entonces seguimos aprendiendo de nuestro exterior. De nuestros padres, de las demás personas y seres, del comportamiento de los otros, de todo lo que nos pasa y de la información que nos llega. Lo externo, como un todo, nos hace como somos.

Visto así, resulta difícil pensar que pudiera existir la vida a partir de un entorno caótico, sin leyes y sin orden. Sería completamente imposible, pues nuestro orden viene del entorno ordenado que nos rodea. De igual forma parece imposible pensar que nuestra inteligencia sea una pura casualidad, una isla entre un mundo sin inteligencia. Creo que nuestra inteligencia no puede aparecer en un mundo sin inteligencia, sin una inteligencia mucho mayor que la que disfrutamos en la actualidad. Los hombres del futuro y los seres mucho más inteligentes que nos sustituyan, sólo tienen una referencia que les permitirá seguir enseñándose y siendo cada vez más y más inteligentes. Esta referencia es su propio entorno, este universo, en cierta forma, inteligente que es capaz de transmitirnos orden e inteligencia. ¿Puede seguir haciendo seres cada vez más inteligentes un universo pura máquina-no inteligente?

En el post " El orden que vino de las estrellas", aclaraba que el orden, la baja entropía nos llega a través de la luz del Sol. "Pocos" rayos de radiación energética de baja entropía que nuestro planeta absorbe, y devuelve en forma de "muchos" rayos de radiación electromagnética de alta entropía. En el intercambio la Tierra se queda con la información, la baja entropía, suficiente para seguir soportando la vida y el orden que comporta. Por otra parte, también gracias a las estrellas, y a la fusión de los elementos primigenios, se formaron en su seno los elementos más pesados que forman nuestro cuerpo: carbono, nitrógeno, oxígeno, hierro, calcio, fósforo, etc.

Y todo comenzó con el Big Bang, que fue una explosión "en perfecto orden". No fue una explosión de la materia tal como entendemos que debe ser una explosión. Fue una explosión a partir de la cual se formó la materia y el espacio-tiempo. En cualquier explosión de un artefacto, se proyecta materia de forma desordenada hacia todas las direcciones, sobre un espacio ya existente, pero en la explosión inicial no fue así. El sistema que es el propio Universo comenzó su particular degradación entrópica, a partir de un mínimo de entropía, o de un máximo orden, que ha permitido el orden posterior de los sistemas que lo forman. Desde las galaxias o las estrellas hasta nuestro própio orden e inteligencia. Todo un misterio extraordinario, difícilmente entendible como pura casualidad.

A mi hija Alba. Por las eternas preguntas.

Lentes gravitatorias, los gigantescos telescopios cósmicos

2009-05-18T19:28:00.011+02:00

Dos rayos de luz que pasan a ambos lados de una estrella y que son desviados por ésta de la trayectoria recta pueden cortarse (ver la figura). Un observador que se encuentra en el punto de intersección verá dos imágenes de una misma estrella lejana. Esto, en esencia, es el efecto de lente gravitatoria.

El principio de equivalencia, principio fundamental de la teoría general de la relatividad, postula que en el campo gravitatorio todos los cuerpos son acelerados de igual manera e independientemente de su composición. Cualquier objeto, sea un satélite artificial, un cometa o un fotón cae en el campo gravitatorio de la Tierra con una misma aceleración 9,8 m/s2. Todos son atraídos de igual forma, pero se mueven de diferente manera. Su trayectoria se aproximará tanto más a una línea recta cuanto mayor sea su velocidad. La mayor velocidad de la naturaleza es la velocidad de la luz, por tanto, los fotones se moverán casi por una línea recta.

La curvatura de la trayectoria de un fotón cerca de una masa atractiva fue predicha por Albert Einstein y confirmada, junto con su teoría de gravitación, por A. Eddington durante un eclipse total de Sol (29-05-1919).El efecto es pequeño: un rayo de luz proveniente de una estrella lejana se desvía sólo 1,75´´ al pasar cerca del limbo solar. Eddington midió las posiciones de las estrellas cerca del disco solar durante un eclipse (sin eclipse las estrellas cercanas al disco no se verían) y las comparó con las posiciones verdaderas, medidas por la noche en otra época del año, cuando el campo gravitatorio del sol no altera la trayectoria de sus rayos. De esta comparación obtuvo la magnitud del efecto, que resultó muy cercana a la predicha por Einstein.

Dos rayos de luz que pasan a ambos lados de una estrella y que son desviados por ésta de la trayectoria recta pueden cortarse . Un observador que se encuentra en el punto de intersección verá dos imágenes de una misma estrella lejana. Esto, en esencia, es el efecto de lente gravitatoria.

Las lentes gravitatorias con simetría esférica producen dos imágenes, pero los campos gravitatorios de muchos objetos cósmicos, por ejemplo de las galaxias, no poseen simetría esférica y pueden producir un número impar de imágenes del objeto con diferentes magnitudes. Otro efecto de las lentes gravitatorias es el aumento de la radiación de la fuente, con la importancia que ello significa para fuentes, como los cuásares, que se encuentran en el universo profundo.

La distancia angular entre las imágenes que se obtienen durante el efecto de lentes galácticas, cuando en calidad de lente actúa una galaxia, es de aproximadamente un segundo de arco. Para el caso de efecto microlente esta distancia constituye sólo un milisegundo de arco. Desde la Tierra es imposible observar en la banda óptica dos imágenes separadas una distancia angular del orden de un milisegundo, pero en el caso de efecto de lente gravitatoria entre dos estrellas, su movimiento es mucho más rápido que cuando actúa una galaxia como lente, las estrellas están más cerca y la velocidad angular del movimiento es mayor.Por esta razón, las microlentes se investigan utilizando la variación del brillo de la estrella fuente.

El efecto de lente gravitatoria se observó por primera vez en objetos extragalácticos. La primera lente descubierta, y hoy la mejor investigada, es la QSO 0957+561 A,B. Se ha cartografiado detalladamente su estructura y se ha investigado la radiación del cuásar que constituye la fuente en casi todo el intervalo desde las ondas de radio hasta la radiación óptica. Las mediciones prolongadas de su brillo han permitido determinar la constante de Hubble mediante un método nuevo, basado en las diferencias observadas en la luz que recorre dos caminos diferentes. Midiendo la diferencia de los instantes de llegada de las señales se puede determinar la diferencia de los caminos ópticos, lo que, junto con la distancia angular conocida entre las imágenes, permite medir la distancia hasta el cuásar y la galaxia-lente. Comparando esta distancia con el corrimiento al rojo de los objetos se puede calcular la constante de Hubble.

Otro ejemplo de lente gravitatoria es la llamada Cruz de Einstein, QSO 2237+30. Su núcleo posee una distribución cuadripolar de densidad, y como resultado se forman cuatro imágenes brillantes distribuidas cruz. Aquí se puede intentar hallar el efecto microlente, que surge cuando el rayo cuásar-Tierra es cortado por una de las estrellas de la galaxia-lente. El resultado es un desdoblamiento adicional del rayo, la aparición de imágenes adicionales y la variación de su brillo total.

Finalmente, citaremos un tercer objeto también interesante llamado Anillo de Einstein, MG 1131+04, descubierto en la banda de radio durante las observaciones en el VLA. En la frecuencia de 5 GHz este objeto tiene el aspecto de un anillo un poco alargado, mientras que en la frecuencia de 15 GHz su forma se asemeja a dos lunas nuevas casi unidas.Analizando la imagen de este objeto en distintas partes del espectro, incluyendo el intervalo óptico, se puede deducir las dimensiones relativas de las regiones de la fuente que emiten en las bandas de radio y óptica. Obtenemos algo parecido a un telescopio cósmico gigantesco, que permite examinar los cuásares lejanos con un aumento lineal grande. Hoy se conocen más de una decena de anillos como este.

Tiempo, espacio-tiempo y paradigma holográfico

2009-05-06T12:14:00.011+02:00

Fractales contra dimensiones enrolladas, una "oposición" geométrica

2009-04-16T12:53:00.009+02:00

Arrugar, romper o fracturar la continuidad clásica para aumentar la capacidad de un objeto de ocupar espacio, o enrollarlo para disminuir dicha capacidad. He aquí la cuestión, aparentemente trivial, que puede llevarnos a entender mejor el propio nacimiento de nuestro Universo.

Geometría fractal. La geometría sobre puntos, rectas, planos y demás objetos geométricos que se nos enseña en la escuela no es más que una abstracción, muy útil, sobre objetos reales de nuestra vida cotidiana. Cualquier superficie de la vida real, por muy perfecta que nos parezca nunca es un plano geométrico perfecto. Conforme la observemos con más y más aumento repararemos en un montón de imperfecciones que la van alejando de la geometría euclidea que nos han enseñado y la acercan, cada vez más, a una nueva geometría más cercana a la realidad que llamamos geometría fractal.

Imaginemos que en un espacio de tres dimensiones nos encontramos con una especie de diablillo virtual moviéndose con total libertad y tratando de recubrirlo por completo. Su trayectoria será una línea quebrada, con infinidad de recovecos, cuyo fin será pasar por todos los puntos del espacio. Como línea de trayectoria que es su dimensión topológica será la unidad, pero su capacidad de recubrir el espacio nos indica que estamos ante un objeto geométrico diferente a los típicos objetos euclidianos que hemos estudiado en la escuela, como el punto, la línea o el plano de dimensiones cero, uno o dos. Este tipo de objetos es lo que Benoît Mandelbrot llamaba en 1975 objetos fractales, concepto que había inventado a partir del adjetivo latino “fractus” (roto, fracturado). Posteriormente, en 1982, publicó el libro “The Fractal Geometry of Nature”, en donde proponía : “Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.”

Dimensión fractal. La dimensión que define la trayectoria del diablillo ya no es la dimensión clásica de una línea (la unidad), sino que a ella debemos añadir un coeficiente dimensional que nos indica su grado de irregularidad.La suma de los dos coeficientes nos da un nuevo valor dimensional al que llamamos dimensión fractal. En este caso hacemos la siguiente suma: dimensión geométrica clásica (1) + coeficiente dimensional (2) = dimensión fractal (3).

Dependencia con la distancia. Hay un detalle más que nos da una idea del movimiento que lleva el diablillo. La distancia total que recorre al cabo de N de sus pasos debe ser sólo la raíz cúbica de su alejamiento efectivo a un punto arbitrario, es decir para alejarse una distancia efectiva d, de un punto cualquiera, su recorrido total deberá ser d ³. Este exponente (3) nos está dando, también, la dimensión fractal del movimiento. En cierta forma es lógico que sea así, pues el volumen que intersecta y recubre la trayectoria es del orden del cubo de su distancia característica (Volumen = Lado³).

¿Que tiene que ver todo esto con las dimensiones enrolladas? Supongamos una manguera vista desde una distancia de doscientos metros. A todos los efectos prácticos sólo vemos una línea y una sola dimensión característica, su longitud. Un objeto tridimensional, aunque con dos dimensiones significativas en el orden práctico se ha convertido en una linea unidimensional. Mejor aún, para poder visualizar más fácilmente la "oposición" geométrica a la que se refiere el título del post, imaginemos una lámina superfina (despreciamos su espesor) de un material moldeable. Cuando la lámina está perfectamente extendida, y sin arrugas, tenemos un objeto geométrico con dos dimensiones. Si la arrugamos y comprimimos convenientemente hasta conseguir una bola tendremos un objeto con tres dimensiones significativas, por lo que habremos aumentado en una su dimensión inicial. Si, por el contrario, la enrollamos perfectamente hasta formar un tubo muy fino obtendremos un objeto unidimensional, una línea, y habremos disminuido en una su dimensión inicial. En cierta forma vemos que realizamos operaciones opuestas, geométricamente hablando. Una suma dimensiones (fractalizar) y la otra resta (enrollar).

¿Tiene algún sentido práctico todo esto? Puede tenerlo, y mucho. Imaginemos un fractal con una dimensión típica Dfr cuyas características dependen de la distancia, como hemos visto dos párrafos antes, según d^Dfr. Si lo recluimos en una trampa cuántica en dos dimensiones (hemos disminuido en una las dimensiones del espacio), su nueva dependencia será d^Dfr-1. Será un fractal más estable, menos irregular en la medida en que también es más pequeña su dimensión fractal. Siempre de forma hipotética, de forma casual me di cuenta de que en un universo emergente esta simple cuestión geométrica pudo tener mucho que ver en la estabilidad que presenta, en la actualidad, el vacío cuántico. Para un vacío cuántico cuyas fluctuaciones de energía fueran un fractal de dimensión (3 + 6), unas supuestas dimensiones enrolladas que nos dejaran un espacio de (9 - 6) dimensiones (6 enrolladas) contribuirián decisivamente a su estabilidad. En el momento clave en que debían quedar definidas las constantes típicas de este universo (la propia naturaleza del cuanto), las supuestas dimensiones enrolladas pudieron tener un papel primordial, puramente geométrico, en su definitiva fijación. (Ver en la Revista Elementos de la Universidad autónoma de Puebla, un esbozo de esta teoría)

Boltzmann, la ciencia humana y vulnerable

2009-04-07T08:34:00.005+02:00

Los hallazgos de Boltzman fueron esenciales para los trabajos desarrollados, más de cincuenta años después, por el Premio Nobel Ilya Prigogine sobre los sistemas lejos de equilibrio, sistemas que nos engloban a nosotros y a todos los seres vivos. También han permitido entender la llamada flecha del tiempo y los sistemas irreversibles que son, prácticamente, todos los sistemas reales, y para entender el caos y el orden que puede derivar de él.

Cuando estudiaba la carrera tuve que elegir entre una serie de asignaturas optativas. Entre ellas había una que tenía toda la pinta de ser una “maría”, parecía seguro que consistiría en entregar un trabajito y aprobado seguro. La asignatura en cuestión se llamaba : La Historia de la Física. Así que la cogí y me puse a reunir todo el material bibliográfico que necesitaba. Pronto me di cuenta de que nada era como me lo había imaginado. Tuve que dedicar bastante más tiempo del que creía, y esa asignatura me hizo reflexionar no sólo sobre la física y su historia, sino sobre las personas y los acontecimientos tan diversos que habían influido en su desarrollo. Los científicos famosos se volvieron, desde entonces, personas de carne y hueso enclavadas en una época de la Historia y no simples nombres asociados a sus fórmulas.

Entre todos me impresionó Ludwig Boltzmann, nacido en Viena en 1844 en el seno de una familia acomodada que pasó su niñez en un entorno tranquilo siempre ayudado por su devota madre Katharina Paurnfeind. Era un estudiante ambicioso e impaciente, y en sus años mozos su interés estuvo centrado en la naturaleza, coleccionando y clasificando insectos, y estudiando las plantas. Fue atomista en una época en que muchos de sus colegas más ilustres estaban en contra de esa idea que ahora consideramos tan normal y lógica. Tenía una personalidad compleja, atormentada y fácilmente susceptible a cualquier crítica a sus convicciones, era una especie de panteísta y un entusiasta de Darwin.

En la relación entre sus muchos opositores científicos su carácter tendente a la misantropía no le ayudó en nada y contribuyó a que su vida terminara en fatal desenlace. El más enconado de sus colegas fue Wilhelm Ostwald, con el que mantuvo fuertes discusiones en algunos de los congresos en los que se reunían. Tanto él como otros no entendieron bien la base estadística de los razonamientos de Boltzmann. Ostwald recibió el Premio Nobel de Química en 1909, tres años después de que el desdichado Boltzmann se quitara la vida en un triste episodio, aprovechando que su mujer y sus dos hijas lo habían dejado solo y se bañaban a escasos metros de su casa de veraneo en Duino, cerca de Trieste. También, tres años después de su muerte los trabajos de Jean Perrin sobre las suspensiones coloidales (1908-1909) confirmaron finalmente las ideas de Boltzmann y convencieron a la comunidad científica de la existencia de los átomos.

A partir de la idea de que la materia está formada por átomos, como su parte más minúscula (aunque ahora sabemos que no son los constituyentes más pequeños), imaginó los estados macroscópicos de un sistema como derivados de otros microscópicos que afectan a los átomos y moléculas. Supuso que los átomos se podían mover de forma aleatoria a lo largo de las tres dimensiones y que podían ocupar una serie de niveles de energía. A partir de estas premisas pensaba que cada estado macroscópico era el resultado de una serie de estados microscópicos asociados con una determinada posibilidad. Cuanto mayor fuese esa probabilidad mayor sería la tendencia del sistema a ocupar ese macroestado. Bolztmann gracias a esas ideas fue pionero y un artífice esencial de una nueva disciplina física que se llamó Mecánica Estadística.

En base a estas ideas descubrió una expresión muy conocida e importante que relaciona la entropía de un sistema, o su tendencia natural al desorden, con una serie de microestados que afectan a sus mínimos componentes : S = K ln W .
Donde S es la entropía, K es una constante de proporcionalidad llamada de Boltzmann y ln W es el logaritmo natural del número de microestados asociados a una determinada configuración macroscópica del sistema. Uno de los aspectos más importantes que describe esta ecuación es la posibilidad de dar una definición absoluta al concepto de la entropía. Mientras que en la descripción clásica de la termodinámica, carece de sentido hablar del valor de la entropía de un sistema, siendo relevantes sólo los cambios en la misma, en la teoría estadística se permite definir la entropía absoluta de un sistema.

Un ejemplo sencillo nos ilustrará sobre el significado de la entropía y de la expresión de Boltzmann. Supongamos un saquito lleno de monedas. Si las ordenamos sobre la mesa, todas juntas con la cara hacia arriba, hemos conseguido que el sistema tenga una entropía mínima (cero) que se corresponde con un máximo orden. Sólo existe un microestado asociado a esta configuración {todo caras} y el logaritmo de la unidad es cero. Sería similar al orden que tiene una estructura cristalina a cero grados absolutos, sólo una configuración posible, máximo orden y entropía cero. Si volvemos a poner las monedas en el saquito, lo movemos bien, y las dejamos caer desordenadamente sobre la mesa el estado macroscópico que obtenemos está asociado a muchos estados microscópicos diferentes aleatorios. Cada vez que repitamos la operación obtendremos la misma sensación de desorden y nos será difícil distinguir la configuración actual de otra anterior. En este caso el valor de W de configuraciones es máximo y por tanto también la entropía, y mínimo el orden. Este estado es similar al llamado equilibrio térmico de un sistema, el de máximo desorden al que tienden de forma natural todos los sistemas aislados a los que no se les aporta orden desde el exterior.

Los hallazgos de Boltzman fueron esenciales para los trabajos desarrollados, más de cincuenta años después, por el Premio Nobel Ilya Prigogine sobre los sistemas lejos de equilibrio, sistemas que nos engloban a nosotros y a todos los seres vivos. También han permitido entender la llamada flecha del tiempo y los sistemas irreversibles que son, prácticamente, todos los sistemas reales, y para entender el caos y el orden que puede derivar de él.

Cuando hice el trabajo en la carrera estaba sugestionado por su muerte que la atribuí, de forma un tanto romántica e idealista, a la incomprensión de sus colegas hacia sus nuevas ideas revolucionarias, sin tener muy en cuenta sus posibles problemas psicológicos. Sea como fuera siempre veré a Boltzmann como un hombre, vulnerable como lo somos todos, luchando con su talento, su ciencia y sus desdichas por encontrar la verdad detrás de casi-una-quimera, como son todas las verdades científicas antes de ser confirmadas.

De mi colaboración con Libro de notas : Ciencias y letras.

El ritmo justo del azar

2009-03-20T23:11:00.014+01:00

El azar, el puro azar tiene su "ritmo" justo de cambio. Ni más, ni menos. Lo podremos "tentar" ofreciéndole más y más grados de libertad ... él los tomará, pero no conseguiremos ni retrasar, ni acelerar su ritmo bajo ningún concepto. Siempre seguirá fiel a sus "principios", que básicamente son muy sencillos. En cierta forma nos está dando una lección que deberíamos aprender. Referido al movimiento browniano y a su capacidad de recubrir dos dimensiones. Cuando lo trasladamos a dimensiones superiores sigue desplazándose por todas las dimensiones posibles, pero sólo es capaz de seguir recubriendo dos, contra lo que podría parecer.

Cada vez que lanzamos una moneda al azar puede salir cara o cruz, independientemente del resultado que hayamos obtenido en un lanzamiento anterior. Así de simples son las leyes que rigen el puro azar.

A partir de los resultados que vayamos obteniendo en sucesivos lanzamientos podemos confeccionar una tabla como la de la figura, que se corresponde con una tanda de 100 lanzamientos. Esta tabla y la que vamos a considerar, que en general puede contener miles de resultados es algo estático, sin movimiento, pero nos ayudará a desentrañar los entresijos del movimiento al azar que llamamos movimiento browniano, en honor al naturalista escocés Robert Brown que lo observó a principios del siglo XIX, cuando estudiaba suspensiones en el agua de granos de polen y esporas de musgos. Es un movimiento en zig zag, arbitrario, hacia cualquier dirección posible de desplazamiento.

A partir de una tabla, como la de la figura, tomaremos parejas consecutivas de unos y ceros.La primera parte de la pareja será la x y la otra la coordenada y. Los unos significarán "avanza 1" y los ceros querrán decir "retrocede 1". En un plano partiremos del punto (0,0) y conforme vayamos traduciendo la tabla a movimientos en el plano estaremos representando el movimiento aleatorio que hemos llamado browniano.

Azar y dimensión fractal
En un movimiento lineal cada uno de los puntos de su trayectoria viene definido por un solo número que nos indica su distancia al origen, se habla de que tiene una dimensión (el largo). En un plano necesitamos dos números para identificar cada uno de sus puntos, las coordenadas x/y o el largo y el ancho, por lo que decimos que tiene dos dimensiones. El movimiento browniano, como movimiento lineal que es tiene dimensión topológica 1, pero asombrosamente es capaz de recubrir el plano, de llenarlo. De ahí que digamos que su dimensión como fractal sea 2, porque es capaz de recubrir un espacio de dimensión 2. A las figuras tan tortuosas e intrincadas como este movimiento aleatorio, Benoit Mandelbrot las llamó fractales, del latín "fractus" que significa fracturado o roto, discontinuo.Y este movimiento es, sin lugar a dudas, muy buen representante de esta nueva categoría de objetos geométricos omnipresentes en la naturaleza.

Cada momento el movimiento aleatorio avanza o retrocede en sus coordenadas x ó y, independientemente de lo que hiciera en el instante anterior, tiene absoluta libertad para desplazarse a través de cada una de las coordenadas. Esta idea se tiende a trasladar cuando el movimiento ocurre en un espacio de tres dimensiones como nuestro espacio ordinario, o de más dimensiones, y es correcta. De la misma forma tendemos a pensar que, también, en un espacio tridimensional el movimiento browniano será capaz de llenarlo, o cubrirlo, por completo. Esa es la idea que tenía yo al empezar a estudiarlo y la idea que ha tratado de defender algún lector, en alguna ocasión, a capa y espada, pero como demostraremos es una idea equivocada.

La magia del número 2
El valor 2 que caracteriza la dimensión fractal de este movimiento, también se puede definir de una manera muy intuitiva: necesita realizar N² pasos para alejarse de un punto cualquiera de referencia, sólo, N pasos efectivos. En tres dimensiones debería efectuar N³ pasos totales para alejarse, sólo, N pasos efectivos, pero como veremos eso no depende del número de dimensiones o grados de libertad sino de una característica independiente de las propias del espacio en que se mueve. Para demostrar esto nos fijaremos en la definición intuitiva que relaciona la distancia total con la efectiva.

La distancia total que recorre la partícula animada por un movimiento browniano es proporcional al número de pasos N, sin embargo la distancia efectiva se encontraría después de sumar los desplazamientos positivos y negativos. Para definir el resultado de esa suma existe una medida de dispersión apropiada que llamamos desviación típica, que para la distribución binomial con la que se corresponde el azar como lo hemos considerado resulta ser la raíz_cuadrada(N/4), pues es igual a raíz_cuadrada(Npq), siendo n = p = 1/2, ya que la posibilidad de que salga 0 ó 1 es la misma, y su suma debe ser la unidad.

Después de N pasos, la distancia efectiva para cada dimensión, considerada independiente, será raíz_cuadrada(N/4). Si consideramos 3 dimensiones la distancia efectiva será raíz_cuadrada(3 N/4). Esta magnitud la comparamos con la distancia total recorrida después de los N pasos: N raíz_cuadrada(3). Para N suficientemente grande sólo resulta significativa la comparación entre N y raíz_cuadrada de N, independientemente de que multipliquemos los dos términos por 3, 4, 5, ... d, cualquiera que sean las dimensiones del espacio considerado. De la comparación anterior resulta el valor de 2 de su dimensión fractal, o la consideración de realizar N² pasos totales para sólo conseguir N efectivos.

Recapitulando
El movimiento browniano sólo es capaz de recubrir un espacio de 2 dimensiones (un plano). En un espacio de 3 ó más dimensiones su "ritmo" de distanciamiento de cualquier punto arbitrario, que consideremos como referencia, no es lo suficientemente "lento" para poderlo recubrir. Para recubrir un espacio de 3 dimensiones su ritmo de distanciamiento debería ser de N³ pasos totales para recorrer sólo N (dimensión fractal 3), para un espacio de 4 dimensiones serían N⁴ pasos totales para sólo N efectivos, y así sucesivamente. Sin embargo, el ritmo del movimiento lo imprime la desviación típica de la distribución binomial, que no depende de la dimensión del espacio, y cuyo valor es invariablemente igual a la raíz_cuadrada (N/4). Por eso, sea cualquiera el espacio considerado con tres o más dimensiones la dimensión fractal del movimiento browniano seguirá siendo 2. Para aumentar la dimensión fractal del movimiento deberíamos conseguir que cada nuevo paso tuviera "memoria" del resultado de los pasos anteriores y así disminuir su "ritmo" de alejamiento. Es como si en una carrera de 2 Km. nos obligaran a cumplimentar 200 tareas diferentes a lo largo de diferentes puntos del trayecto. Para una cierta velocidad conseguimos cumplimentar sólo 100 tareas y nos damos cuenta que para cumplimentar las 200 debemos disminuir el ritmo, o de lo contrario será imposible. De la misma manera el azar tiene su "ritmo" y ese ritmo sólo le permite recubrir un plano, no un espacio de 3 ó más dimensiones.

Cuántica fácil (II).Lo clasico y lo cuantico, ecuación de Schrödinger y unificación

2009-03-04T20:41:00.009+01:00

La resistencia a la compresión de los átomos, al contrario de lo que pueda parecer, es un efecto cuántico. Al comprimir un material, los átomos cada vez están más próximos y se obliga a confinar a sus electrones en regiones cada vez más pequeñas. Al disminuir el espacio, por el principio de incertidumbre, los electrones reaccionan moviéndose cada vez más rápido ( la variación de [espacio] más pequeña implica que el producto [masa] x [velocidad] sea más grande), lo que conlleva una mayor energía cinética. Se necesita una energía cada vez mayor para continuar comprimiendo los átomos. Consecuencia: la resistencia a la compresión por parte de los átomos es un efecto cuántico y no clásico. Curiosamente, la propia cohesión de la materia no se puede explicar con la física clásica. Atendiendo a principios puramente clásicos la estabilidad de la materia que conocemos sería, practicamente, imposible. ( Ver)

La ecuación de Schrödinger
De acuerdo con el principio de incertidumbre, las partículas no tienen posiciones y momentos bien definidos. En general, esta teoría no predice un único valor como resultado de una medida. En su lugar, predice un conjunto de posibles resultados cada uno con una cierta probabilidad. El comportamiento de una partícula viene descrito por la función de onda asociada, que, a su vez, está relacionada con la probabilidad de que la partícula esté en un estado determinado. La ecuación de Schrödinger proporciona un método para determinar estas probabilidades. Si en un momento dado, conocemos la función de ondas, la ecuación de Scherödinger predice su evolución de modo totalmente determinista. El indeterminismo sólo aparece cuando tratamos de medir en qué estado se encuentra la partícula.

Electrodinámica cuántica
Las partículas subatómicas suelen moverse a velocidades próximas a la luz, por lo que su descripción cuántica tiene que ser compatible con la relatividad especial. La electrodinámica cuántica cumple estos requisitos, y suministra unos resultados de una coincidencia extraordinaria con los experimentos en todo lo que se refiere al estudio de la interacción de la luz con la materia o, más específicamente, de la luz con los electrones. En esta teoría, sólo interviene la interacción electromagnética, que es la que juega un papel relevante. Una de las grandes predicciones de esta teoría fue realizada en 1929 por Dirac sobre la existencia de la antimateria.

Unificación
La mecánica cuántica ha conducido a una visión más unificada al considerar las partículas y los campos, como el gravitatorio y el electromagnético. Cuánticamente, la energía y el momento del campo electromagnético vienen en paquetes (cuantos), que denominamos fotones, y que se comportan como partículas, aunque sin masa en reposo. En el caso del campo gravitatorio, los cuantos se llaman gravitones. La distinción entre fuerza y materia (partículas de fuerza o bosones y de materia o fermiones(*)) se ha hecho menos rígida; cualquier partícula puede utilizarse como cuerpo de prueba sobre la que actúan las fuerzas y, recíprocamente, puede actuar como partícula mediadora dando lugar a fuerzas.

Sin embargo existe una dificultad para unificar la gravitación con las otras tres fuerzas, pues el principio de incertidumbre no se ha logrado incorporar a la formulación de la interacción gravitatoria (su cuantificación da lugar a la aparición de infinitos). Como paso previo se necesita combinar la relatividad general, que es la teoría más completa sobre la gravitación, con dicho principio. Esta combinación puede hacer que desaparezca la singularidad predicha por la relatividad general en el origen del Universo y que los agujeros negros permitan que algo pueda escapar de su interior (gravedad cuántica). Una teoría en que se combine la cuantización con la gravedad, requiere de un espaciotiempo tanto deformable como probabilístico, lo que se ha hecho difícil de poder concretar. En la teoría de las supercuerdas, la fusión es lograda imaginándose que el último eslabón de la materia está constituido por diminutas cuerdas. En la teoría de la gravedad cuántica de lazos, la fusión es intentada imaginándose que el espacio en sí mismo consiste en diminutos lazos móviles. Se ha considerado la posibilidad de que el espaciotiempo sondeado a diminutas escalas de longitud esté cuantizado en discretos y diminutos volúmenes semejantes a pliegues conformados por pequeños lazos.

En palabras del propio Einstein:" Pensamientos e ideas, no fórmulas, constituyen el principio de toda teoría física. Las ideas deben, después, adoptar la forma matemática de una teoría cuantitativa, para hacer posible su confrontación con la experiencia". Detrás de cualquiera de las ideas válidas que nos harán avanzar, se encuentran principios de simetrías. Estos principios permiten establecer que las leyes de la física no dependen de la orientación ni de la posición. Las leyes deben adoptar la misma forma para observadores que se muevan o no a velocidad constante, sea cual sea su sistema de referencia.La teoría final del todo descansará en principios complejos de simetría capaces de unificar las cuatro interacciones y la mecánica cuántica.

(*)Las partículas de fuerza o bosones se llaman así en honor de Satyendranath N.Bose. Los fermiones o partículas de materia deben su nombre a Enrico Fermi.

Física cuántica fácil (I)

2009-02-20T19:31:00.002+01:00

Lo continuo y lo discreto
Ciertas magnitudes varían de forma continua, mientras otras lo hacen de forma discreta o discontinua. Al pesar grandes cantidades de granos de arroz, se pueden considerar sus masas como continuas, aunque es evidente su composición granular. Sin embargo, si analizamos pequeñas cantidades de arroz, usando una balanza de gran precisión, tenemos que tener en cuenta el hecho de que la masa varía a saltos; la magnitud mínima de cada salto es el peso de un grano de arroz, aproximadamente 0,025 gramos. Cada uno de estos pasos mínimos indivisibles es lo que denominamos cuantos elementales de la magnitud en cuestión. En este ejemplo, el peso de un grano de arroz sería el cuanto elemental.

A principios del siglo XX, Max Planck sugirió que la radiación electromagnética estaba formada por pequeños paquetes, o cuantos de energía indivisibles, que, posteriormente, se denominaron fotones. Su valor sería igual a una constante llamada h (mínima acción de Planck) multiplicada por la frecuencia de la radiación. Algunos años más tarde Einstein, basándose en esta idea, proporcionó una explicación satisfactoria de la extracción de electrones de un metal por la luz que incide sobre el mismo, en lo que se llama efecto el efecto fotoeléctrico.

Principio de complementariedad
En general, el comportamiento de las partículas subatómicas no se puede explicar con los conceptos clásicos de partículas y ondas del mundo macroscópico. Bohr expresó esta idea básica nueva con su principio de complementariedad. La concepción corpuscular y la descripción ondulatoria, que siempre se habían creído excluyentes, son complementarias. Se necesitan los dos conceptos para tener una descripción completa sobre las partículas subatómicas, tales como protones o electrones, pues se comportan, según las circunstancias, como ondas o como partículas. Pueden difractarse por una red cristalina, lo que constituye un fenómeno típicamente ondulatorio. De acuerdo con la hipótesis de De Broglie, toda partícula tiene asociada una onda, cuya longitud característica es inversamente proporcional a su momento lineal (masa x velocidad).

Principio de incertidumbre
Las magnitudes asociadas a las partículas subatómicas no están siempre bien definidas. Por ejemplo, si conocemos la posición de un electrón o un fotón, su momento lineal no está bien definido. Podemos realizar un experimento para encontrar la posición y otro para medir su momento, pero estas dos medidas se excluyen mutuamente; esto es, no se pueden determinar simultáneamente la posición y el momento de una partícula cuántica. Este hecho tan asombroso constituye el llamado principio de incertidumbre de Heisenberg.

Para entender las razones de esta incertidumbre, consideremos que deseamos hallar la posición de un electrón. Para saber dónde se encuentra necesitamos observarlo enviando, por ejemplo, un fotón que se refleje en el electrón. Pero el electrón tiene una masa muy pequeña, por lo que el fotón tiene suficiente energía para hacerlo retroceder en una dirección impredecible. Por tanto, no importa lo cuidadoso que seamos al tratar de medir la posición exacta del electrón, siempre introduciremos una indeterminación en la velocidad y momento del electrón.

Una forma de establecer este principio es afirmar que las cantidades medibles están sometidas a fluctuaciones impredecibles que hacen que sus valores no estén bien determinados. Las magnitudes aparecen reunidas en parejas incompatibles tales como posición y momento, energía y tiempo, etc. La incertidumbre en la medida de una de estas magnitudes multiplicada por la incertidumbre de la correspondiente en la pareja no puede ser nunca menor que h. Puesto que h tiene un valor muy pequeño, el grado de indeterminación es sólo importante en el mundo subatómico, aunque, en principio, se aplica a todos los sistemas. Para la física clásica la constante h no tiene ningún sentido, por lo que la incertidumbre puede ser, perfectamente, cero (como cero es la mínima acción considerada para la física clásica de Newton).

Principio de incertidumbre para la energía. Pares de partículas virtuales
De este principio se deriva que cuanto menor es el tamaño de la región que queremos explorar, mayor es el momento y, en consecuencia, la energía para poder hacerlo. Por esta razón, para estudiar regiones muy pequeñas se necesitan partículas con una gran energía; de ahí, la necesidad de contar con grandes aceleradores de partículas.

Análogamente, existe una incertidumbre relacionada con la energía y el tiempo. No podemos conocer con toda precisión la energía que tiene un sistema mecanocuántico en un instante determinado. La incertidumbre en el valor de la energía del sistema multiplicado por la incertidumbre del valor del instante de tiempo en que se realiza la medida tiene que ser nuevamente mayor que la constante de Planck. Si tenemos en cuenta la famosa ecuación de equivalencia entre masa y energía E = mc², la incertidumbre en la medida de la energía se traduce en incertidumbre en el valor de la masa del sistema. En un instante muy corto de tiempo, no podemos estar seguros de cuál es la masa de nuestro sistema. La materia puede aparecer y desaparecer espontáneamente en el vacío. Puesto que siempre que aparece una partícula de materia se debe crear otra de antimateria, el tiempo durante el cual puede existir el par partícula-antipartícula es extraordinariamente corto; tanto menor cuanto mayor es la masa de las partículas. Aplicando la expresión del principio de incertidumbre para un par electrón-positrón se obtiene que este intervalo es de 6.5x10^-22 seg. Este proceso puede ocurrir en cualquier sitio y en cualquier instante de tiempo, pero sólo durante un intervalo de tiempo extraordinariamente corto. Por ello es imposible una observación directa de estas partículas, aunque se pueden detectar sus efectos. Esta es la razón por lo que a estos pares de partícula-antipartícula se les da el nombre de virtuales.

Del libro "Física para jusristas, economistas... y demás gente curiosa", de Roberto González Amado (Catedrático de física aplicada en la Universidad Carlos III de Madrid). Ed. Critica. Barcelona 1996.

Entalpía y entropía, la física de la vida

2009-02-10T18:32:00.009+01:00

Cuando mis obligaciones me lo permiten me paso por la librería París-Valencia de la Gran Vía del Marqués del Turia (Valencia), la de la calle Pelayo o la de la Glorieta. Allí suelo encontrar verdaderas oportunidades en libros científicos (y en cualquier otro tipo de libros). El otro día encontré un hermoso libro muy bien encuadernado, con buenas ilustraciones a todo color y no menos llamativas y detalladas explicaciones sobre los procesos básicos de la vida. En la primera de las seis partes de que se compone comienza con una introducción a las reacciones químicas de la célula, y habla sobre las variables termodinámicas de estado, entalpía y entropía, esenciales para comprender este tipo de reacciones. Precisamente sobre esto hablaremos en este post, sobre los factores energéticos que influyen y posibilitan las reacciones bioquímicas y, por tanto, la propia vida.

La vida y la energía:
La vida es un complejo proceso físico-químico en el que están implicadas miles de reacciones diferentes que se llevan a cabo de un modo organizado. Estas reacciones se llaman reacciones metabólicas y al conjunto de ellas metabolismo. Las estrategias que han debido perfeccionarse a lo largo de millones de años de evolución son ciertamente elegantes y fascinantes, pero la consideración fundamental ante cualquier aspecto relacionado con la vida viene referido a una serie de aportes o pérdidas de energía. Son, pues, las consideraciones energéticas las que determinan si una reacción se puede producir a velocidad significativa, o si la misma puede o no producirse en sentido opuesto.

Entalpía H(*):
En los sistemas moleculares del interior de las células, donde tienen lugar las reacciones químicas, las variaciones de energía no son tan evidentes como en los sistemas físicos más usuales y sencillos sujetos a cambios de energía potencial y cinética, como puedan ser los que se refieren a movimientos de cuerpos en un campo gravitatorio. Un sistema químico comprende una gran cantidad de moléculas diferentes que contienen una cierta cantidad de energía en función de su estructura. Esta energía puede ser descrita como el contenido en calor o entalpía (H) de la molécula. Cuando una molécula se transforma en una estructura diferente mediante una reacción química, su contenido energético puede cambiar. Su variacion de entalpía puede ser negativa, cuando se pierde calor de la molécula, y éste se libera elevando la temperatura exterior, o positiva, cuando se capta calor del exterior.

A primera vista, parece sorprendente que puedan producirse reacciones con una variación de entalpía positiva, lo que podría compararse, en cierta forma, con un cuerpo que se elevara a sí mismo del suelo, absorbiendo la energía necesaria del exterior espontáneamente. Precisamente, en las reacciones químicas una variación negativa de la entalpía favorece la reacción, mientras que una variación positiva tiene el efecto opuesto. De todas formas, la variación de la entalpía no es el único árbitro que determina la viavilidad de las reacciones, la variación de la entropía (S) tiene mucho que decir en el asunto.

Entropía (S):
La entropía puede definirse como el grado de desorden de un sistema. En una reacción bioquímica, este desorden puede adoptar tres formas:

- Las moléculas no suelen ser rígidas ni permanecer fijas, por lo que pueden vibrar, girar o rotar. Cuanto mayor es la libertad para consentir estos movimientos moleculares, mayor es el desorden o la entropía.
- En un sistema bioquímico están implicadas un gran número de moléculas individuales que pueden encontrarse distribuidas de modo disperso y desordenado o adoptar algún tipo de disposición ordenada como ocurre en gran medida en las células vivas.
- El número de moléculas individuales o iones pueden cambiar como resultado de la transformación química. Cuanto mayor es su número, mayor es el desorden y por tanto la entropía.

Tanto la variación de entalpia como la variación de la entropía intervienen en la decisión para determinar si una reacción química puede producirse o no:

- Pérdida de entalpía y ganancia de entropía => refuerzan ambos la decisión: SÍ a la reacción química.

- Ganancia de entalpía y pérdida de entropía => refuerzan ambos la decisión: No a la reacción química.

Energía libre (G):
Sin embargo, en los sistemas biológicos es difícil si no imposible, en muchas ocasiones, medir el término de la variación de entropía. La solución se hace más fácil con la introducción del concepto de energía libre de Gibbs que combina los dos términos en uno solo. El cambio de energía libre o G, según Gibbs, viene dado por la expresión: (variación de G) = (variación de H) - T (variación de S), donde T es la temperatura absoluta. Esta ecuación se aplica a los sistemas en los que la temperatura y la presión permanecen constantes durante el proceso, como es el caso de los sistemas biológicos.

Al hablar de energía libre nos referimos a energía disponible para realizar un trabajo útil. Representa la máxima cantidad de energía procedente de una reacción química disponible para realizar trabajo útil. Este incluye la contracción muscular, la síntesis química en la celula y los trabajos osmóticos y eléctrico, sus valores se expresan en unidades de calorías o julios ( 1 caloría = 4,19 julios) por unidades de masa molecular.

El término de mayor importancia:
La variación de energía libre es el término de mayor importancia termodinámica en una reacción, hasta tal punto que sólo puede ocurrir si dicha variación de energía libre es negativa, es decir, si en las condiciones predominantes los productos de la reacción tienen menos energía libre que los reactivos.

(*)Entalpía termodinámica:

La entalpía (simbolizada generalmente como "H", también llamada contenido de calor, y calculada en Julios en el sistema internacional de unidades o también en kcal ), es una variable de estado, (lo que quiere decir que, sólo depende de los estados inicial y final) que se define como la suma de la energía interna de un sistema termodinámico y el producto de su volumen y su presión.
La entalpía total de un sistema no puede ser medida directamente, al igual que la energía interna, en cambio, la variación de entalpía de un sistema sí puede ser medida experimentalmente. El cambio de la entalpía del sistema causado por un proceso llevado a cabo a presión constante, es igual al calor absorbido por el sistema durante dicho proceso.
La entalpía se define mediante la siguiente fórmula: H = U + p V (energía interna + presión por volumen).

El siglo del electromagnetismo: Faraday y Maxwell

2009-02-02T20:58:00.005+01:00

Aunque la electricidad y el magnetismo eran conocidos desde la antigüedad, fue en el siglo XIX cuando se descubrió que no son fenómenos separados y forman parte de un fenómeno más general llamado electromagnetismo. Su estudio en profundidad dio paso a una transformación completa de nuestra sociedad: motores eléctricos, distribución y aplicación a gran escala de la electricidad, telégrafo, radio, televisión y miles de aplicaciones cotidianas que han cambiado nuestras vidas para siempre. Además, la identificación de la luz como fenómeno electromagnético puso las bases de la revolución que ha supuesto la teoría de la relatividad.
El punto de partida fue un sencillo experimento que realizó el físico-químico danés Hans Christian Oersted en 1820, en presencia de sus alumnos. Al acercar un hilo conductor, por el que circulaba electricidad, a una brújula observó que ésta se movía. Esto demostraba que podía haber interacción entre uno y otro fenómeno lo que en aquella época resultaba revolucionario. Pero hasta que no se interesó por el fenómeno el matemático y físico francés André-Marie Ampère, y estableció las bases teóricas del electromagnetismo, los resultados obtenidos por Oersted no fueron valorados como se merecían.
En 1821 Michael Faraday, un aprendiz de encuadernador que ascendió de ayudante en la Royal Institution londinense a catedrático del mismo centro, demostró que un hilo por el que pasaba una corriente eléctrica podía girar de manera contínua, con lo que se vió que era posible obtener efectos mecánicos. Había sentado las bases del motor eléctrico. Sin embargo lo que le interesaba a Faraday no eran tanto las aplicaciones prácticas sino los principios que gobiernan la naturaleza, y en particular las relaciones mútuas entre fuerzas, en principio, diferentes. En 1831 descubrió la inducción electromagnética, un fenómeno que liga los movimientos mecánicos y el magnetismo con la producción de corriente eléctrica. Había sentado, también, las bases de los generadores eléctricos.
Faraday era un experimentador extraordinariamente hábil, que hizo avanzar el estudio de los fenómenos electromagnéticos, pero para desarrollar una teoría del electromagnetismo se necesitaba otro tipo de científico. Este científico, que iba a complementar el genio de Faraday, fue el escocés James Clerk Maxwell. Valiéndose de la noción de líneas de fuerza introducida por Faraday, así como de los resultados experimentales y teóricos de un buen número de investigadores, Maxwell logró desarrollar un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales que rigen el comportamiento del campo electromagnético (un nuevo medio) que él supuso transportaba las fuerzas eléctricas y magnéticas, ecuaciones que hoy denominamos en su honor ecuaciones de Maxwell.

Con su teoría del campo electromagnético, Maxwell logró unir electricidad, magnetismo y óptica, pues demostró que el sustrato electromagnético se comporta como una onda mientras que la propia luz es una onda electromagnética.Esto último fue realmente un resultado completamente inesperado. En su artículo, “Sobre las líneas físicas de fuerza”, en el que presentó esta idea, afirmaba con excitación:“Difícilmente podemos evitar la inferencia de que la luz consiste de ondulaciones transversales del mismo medio que es la causa de los fenómenos eléctricos y magnéticos”.

Faraday, además de un gran científico, fue un magnífico divulgador en conferencias que desde 1826 pronunció en Navidad, especialmente para jóvenes, en la sede de la Royal Institution londinense. Además de sus tratados eminentemente técnicos (“Experimental Researches in Electricity” y “Experimental Researches in Chemistry and Physics), un pequeño libro llamado “Historia química de una vela”, ilustra a la perfección esta faceta.

Maxwell escribió su tratado sobre electromagnetismo” Treatise on Electricity and Magnetism”, un texto difícil por su tratamiento y por las matemáticas que utiliza (Maxwell era un gran matemático), que fue capital para la física del siglo XX. La relatividad einsteniana, en la que es tan importante la velocidad de referencia de la luz en el vacío, no habría sido posible sin sus ecuaciones que llevaban implícita la existencia de un nuevo medio tan importante como es el campo electromagnético y la “muerte” de otro medio imaginario llamado éter.

Un sencillo experimento de un profesor ante sus alumnos nos abrió las puertas a la sociedad moderna. Una sociedad impensable sin la electricidad, sin los motores y generadores eléctricos, donde un simple apagón parece que nos devuelve a la edad de las cavernas.

Artículo de mi colaboración con Libro de notas (Ciencias y letras)

Nota al margen: A mi padre.

Creo que nunca llegamos a entender ni lo que significa una nueva vida ni lo que significa la muerte. Como mucho nos acostumbramos. Nos acostumbramos al nuevo ser o nos acostumbramos a la ausencia de la persona querida, pero no llegamos de verdad a entenderlo.

Hoy hace una semana enterraba a mi padre y, recordando algo tan sencillo como el último café que nos tomamos y del que disfruté de verdad porque sabía que nos quedaban pocos, no puedo entender que fuera el último, que no lo volveré a ver ni volveré a disfrutar del candor de su compañía.

Fue un hombre sencillo y cariñoso. La enfermedad nos trajo dolor y sufrimiento, pero también dulcificó su carácter y nos mostró al mejor ser humano que llevaba dentro. Descanse en paz.

Cantor, el infinito y más allá

2009-01-15T21:21:00.012+01:00

Mi hija Alba cuando tenía cinco años me sorprendía con afirmaciones, aparentemente trascendentes, sobre el infinito y algunas otras cuestiones peliagudas. Recuerdo que un día me dejó perplejo al soltarme a bocajarro: " Papá, el infinito nunca para, siempre se está haciendo". No sé cómo llegó a esa conclusión ni en base a qué, pero en su mente infantil parecía una evidencia pura e incontestable. Después las matemáticas no han sido, precisamente, su fuerte pero aquellas afirmaciones parecían relacionadas con las cuestiones sobre la vida, la muerte o el mundo que parecen preocupar en un momento determinado de la primera infancia a muchos niños. El post sobre los números primos, su infinitud y su "misteriosa" distribución me hizo reflexionar sobre algunos aspectos del infinito que me han hecho recordar esta anécdota y publicar este post.

En la Grecia antigua Platón, Pitágoras y Aristóles entre otros, se planteaban la existencia del infinito y las contradicciones generadas a partir de la aceptación de su existencia. Aristóteles rechazó la idea del infinito dada las contradicciones que generaba. Sin embargo, lo concibió de dos formas diferentes las cuales son las nociones que tenemos actualmente de este concepto: el infinito potencial y el infinito actual. La noción de infinito potencial se centra en la operación reiterativa e ilimitada, es decir, en la recursividad interminable, por muy grande que sea un número natural, siempre podemos concebir uno mayor, y uno mayor que este y así sucesivamente donde esta última expresión "así sucesivamente'' encierra la misma idea de reiteración ilimitada, al infinito. Por otra parte, el infinito actual se refiere al un infinito existente como un todo o unidad y no como un proceso. Kant aceptaba la posición de Aristoteles y rechazaba el infinito actual por ser imposible de ser alcanzado por la experiencia.

Georg Cantor:

El gran matemático alemán Georg Cantor dedicó gran parte de su vida al estudio del infinito, los distintos infinitos y el llamado continuo, y en el siglo XIX desarrolló la teoría de conjuntos intimamente relacionada con la teoría de números transfinitos. Cantor fundamentó una axiomática consistente que permite construir los conjuntos y posteriormente establecer el concepto de infinito. Para esto definió el concepto de "cardinalidad'' o "potencia'' de un conjunto.Dos conjuntos se dicen que tienen el mismo número de elementos, que tienen la misma cardinalidad o son equipotentes, si existe una función definida entre ellos de forma que a cada elemento de uno sólo le corresponde otro elemento del otro conjunto, y viceversa.

A partir de esta definición se puede establecer la idea de conjunto infinito. Se dice que un conjunto es infinito si existe un subconjunto con la misma cardinalidad o que es equipotente con él. Esta definición plantea una contradicción con la intuición, pues todo subconjunto como parte del conjunto total parece que deba tener menos elementos. Eso es así, efectivamente, en los conjuntos finitos, pero no en los infinitos como podemos observar con un ejemplo sencillo dentro del conjunto de los números naturales. Supongamos que al número natural 100.000.001 le hacemos corresponder el número 1, al 100.000.002 el 2, al 100.000.003 el 3 y así establecemos una correspondencia número a número tan extensa como queramos. Vemos que a cada elemento del subconjunto de números naturales que comienzan con el 100.000.001 le hacemos corresponder un número, y sólo un número del conjunto total de los números naturales, y viceversa.

Cantor se dio cuenta de que existen diferentes grados de infinitud comparando los infinitos de los números naturales N {1,2,3,...n}, racionales Q (fracciones) y reales R(racionales + irracionales). Al cardinal infinito del conjunto de los números naturales le asignó el número llamado Aleph-0 y vio que era del mismo orden que el correspondiente a los números racionales, aunque estos son mucho más densos en la recta. Pero en el caso de los números reales su cardinal transfinito es de mayor orden pues su conjunto no es numerable (no se pueden poner en correspondencia, uno a uno, con los números naturales). A este cardinal le asignó el nombre de Aleph-1 y se supone que R es capaz de llenar la recta por completo, si se admite la hipótesis del continuo (a diferencia de lo que ocurre con los números racionales, los enteros o los naturales).

El descubrimiento de la existencia de cardinales transfinitos supuso un desafío para un espíritu tan religioso como el de Georg Cantor. Y las acusaciones de blasfemia por parte de ciertos colegas envidiosos o que no entendían su trabajo no le ayudaron. Sufrió de depresión, y fue internado repetidas veces en hospitales psiquiátricos. Su mente luchaba contra varias paradojas de la teoría de los conjuntos, que parecían invalidar toda su teoría (hacerla inconsistente o contradictoria, en el sentido de que una cierta propiedad podría ser a la vez cierta y falsa). Trató durante muchos años de probar la hipótesis del continuo, lo que se sabe hoy que es imposible, y que tiene que ser aceptada (o rehusada) como axioma adicional de la teoría, como ocurre con el llamado quinto postulado euclidiano sobre las rectas paralelas. Si se admite tenemos una geometría plana consistente, y si no se admite tenemos nuevas geometrías no planas también consistentes.

Cantor al desarrollar la que él mismo bautizó "aritmética de los números transfinitos", dotó de contenido matemático al concepto de infinito actual. Y al hacerlo así puso los cimientos de la teoría de conjuntos abstractos, contribuyendo además, de forma importante, a fundamentar el cálculo diferencial y el continuo de los números reales. El más notable logro de Cantor consistió en demostrar, con rigor matemático, que la de infinito no era una noción indiferenciada. Sus resultados fueron tan chocantes a la intuición de sus contemporáneos, que el eminente matemático francés Henri Poincaré condenó la teoría de números transfinitos como una "enfermedad", de la que algún día llegarían las matemáticas a curarse.Y Leopold Kronecker, que fue uno de los maestros de Cantor, y miembro preeminente de la matemática institucional alemana, llegó incluso a atacarle directa y personalmente, calificándolo de "charlatán científico", " renegado" y "corruptor de la juventud".

Empezó a interpretar e identificar el infinito absoluto (que no es concebible por la mente humana) con Dios, y escribió artículos religiosos sobre el tema. Murió en una clínica psiquiátrica, aquejado de una enfermedad maníaco-depresiva.Hoy en día, la comunidad matemática reconoce plenamente su trabajo, y admite que significó un salto cualitativo importante en el raciocinio lógico.

Reflexiones:

Lo infinitamente pequeño o lo infinitamente grande, las iteraciones hasta el infinito en límites continuos o en fractales parecen conceptos ajenos a lo cotidiano, pero no es así. En las funciones continuas el cálculo infinitesimal (lo infinitamente pequeño) es una herramienta imprescindible para la ciencia y la tecnología, con ella parece que casi conseguimos tocar el propio infinito. Recuerdo la fascinación que consiguieron ejercer sobre mi mente adolescente los límites infinitos y las sumas infinitas de funciones que se aproximan a una función dada (series de Taylor ), así como los cálculos de máximos y mínimos aplicados a cosas cotidianas (como el cálculo del mínimo material con el que construir un cazo de un litro de capacidad). Cuando todos estos cálculos lograban materializarse en algo concreto parecía pura magia.

Toda la revolución cuántica se basa en el cuanto de acción, la mínima acción no puede ser infinitamente pequeña o cero, como suponía la física clásica, y de esa propiedad básica emerge el mundo cuántico y toda su "magia". Por otra parte, se creía infinita la velocidad de la luz, pero de su finitud y de la constatación de que es una magnitud constante, independientemente del sistema de referencia, se ha llegado a la más bella teoría física creada por el hombre: la teoría de la relatividad. En estas dos teorías, en su necesaria conjunción descansa la esperanza de poder desentrañar los secretos más intimos de la materia y del espacio-tiempo.

Para consultar:

-Revista Mundo de las Matemáticas del Instituto Tecnológico de Costa Rica.

-"Dios creó los números, los descubrimientos matemáticos que cambiaron la historia" de Stephen Hawking. Una biografía de los 17 mayores genios matemáticos (entre ellos Cantor) Ed. Crítica. ISBN:978-84-8432-753-0

-Muy interesante y completo, desde varios puntos de vista, el tomo 23 de la Revista Investigación y ciencia (año 2001):"Ideas del infinito".

-Estupenda web (de prueba) de Geocites sobre Cantor y los números transfinitos, por Joseph W. Dauben, de su libro:"George Cantor, Su Filosofía de la matemática y el Infinito" (Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1979; rep. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1989).

El último experimento, científicos ante la muerte

2009-01-07T14:31:00.007+01:00

Hace unas semanas leí el libro " El arco iris de Feynman" de Leonard Mlodinow, el autor junto con Stephen Hawking de "Una brevísima historia del mundo". En el libro Mlodinow describe su relación con Feynman durante su primer año en el California Institute of Technology, el lugar de trabajo de aquel físico genial. Con su doctorado bajo el brazo, inseguro e intimidado en un centro tan distinguido y competitivo, Mlodinow encontró en Feynman algo más que un colega experimentado: descubrió un hombre sin prejucicios que atesoraba un maravilloso universo de experiencias e ideas, muchas de las cuales compartió con él precisamente durante los últimos meses de vida de aquel gran genio.

Feynman, aquejado por un tumor terminal se refería a la muerte como "el último experimento". Para una persona que vivía tan intensamente la ciencia toda su vida parecía ser un gran y complejo experimento y la muerte el final y la última etapa de ese experimento. Hace ya un par de años escribí sobre el mismo tema con relación al científico, poeta y ensayista en lengua catalana/valenciana, fallecido en 2005 , Dr. Alfred Giner-Sorolla. Sólo un verdadero investigador podría decir lo que decía él sobre la muerte, que es el último experimento.Un dramaturgo diría, con el mismo sentimiento, que es el fin del último acto.

Se retiró oficialmente en la década de 1990, y se instaló en su tierra valenciana, junto al mar que tanto quería. Pero un científico nunca deja de investigar. En el laboratorio que investigó en sus últimos años era el laboratorio de la vida. En él, ciertamente no podía aplicar el método científico y la mayoría de experimentos son irrepetibles, pero la ciencia también avanza por la observación y él era un gran observador de la realidad. En su libro de ensayo La sombra y los sueños (1993), escribía: "Una cierta curiosidad se mezcla con la angustia y la aprensión, el miedo de perecer. Para el filósofo y el científico constituye[...] una necesidad y un anhelo de explicación que sólo se puede dilucidar en el acto mismo. Es el último experimento que efectúa el hombre de ciencia que se ha pasado la vida haciendo muchos otros." Feynman, después de una intensa vida personal y profesional dominada por su pasión por la ciencia pensaba de la misma manera.

Randy Pausch fue un profesor de informática, de interacción hombre-máquina y de diseño en la Universidad Carnegie Mellon (CMU) en Pittsburgh, Pensilvania, Estados Unidos. En agosto del 2006, a Pausch se le diagnosticó un cáncer de páncreas.El 18 de septiembre de 2007 el profesor Pausch pronunció una conferencia titulada: "Alcanzar realmente tus sueños de la infancia". Se trata de una de las llamadas "últimas conferencias", en las que se propone al ponente que exponga su testamento intelectual. Para Pausch, se trataba, literalmente, de su última conferencia, puesto que los médicos habían confirmado que su cáncer era incurable.El coraje de Pausch y sus reflexiones han convertido el vídeo de la conferencia, disponible en YouTube, en un fenómeno de masas, pues ya ha sido visto por millones de personas.También disponible una versión completa con subtítulos en español y en forma de libro.

A Steve Jobs, co-fundador de Apple junto con Steve Wozniak, también se le diagnosticó un cáncer de páncreas, que se pensaba sería fatal, pero consiguió superarlo.Es conocido también su discurso en la ceremonia de graduación, de junio de 2005, de la Universidad de Stanford. Una pequeña parte del mismo:" A veces la vida te pega en la cabeza con un ladrillo. No pierdas la fé. Estoy convencido que lo único que me mantuvo en pie era el hecho que amo hacer lo que hago. Tienes que encontrar eso que amas; esto aplica en tu trabajo como en tus relaciones amorosas. Una gran parte de tu vida estará enfocada en tu trabajo y la única manera de sentirte realmente satisfecho es creer que lo que haces es un excelente trabajo. La única manera de lograr un excelente trabajo es amando lo que haces. Si no lo encuentras todavía sigue buscando. No te rindas. Como todas las cosas relacionadas con el corazón, sabrás exactamente cuando lo encuentres. Y, como en cualquier gran relación se va poniendo mejor y mejor a medida que el tiempo pasa. Así que sigue buscándolo hasta que lo encuentres, no te rindas. ..[..]."

Richard Feynman consiguió darle, también, una última lección a Leonard Mlodinow sobre cuál es la naturaleza de la ciencia, qué es la creatividad, el amor, la matemática, la felicidad, el arte, Dios, además de su visión sobre las últimas teorías físicas. Ya en el plano personal, mi padre e inspirador de este post me está dando una última lección sobre la alegría de vivir y el buen humor, cuando ya parece que no puede quedar ni esperanza ni alegría ni buen humor. Lo que me recuerda las palabras de un gran sabio sobre la vida " Vívela como tu mejor representación en el gran teatro, nunca una farsa, sabiendo que el público es un ser poderoso y extremadamente benevolente".

El espín, el misterioso giro de las partículas cuánticas

2008-12-27T00:39:00.013+01:00

En la física clásica las partículas como el electrón eran consideradas puntuales. Sin embargo, años antes de que en 1922 Stern y Gerlach realizaran un experimento que permitía deducir que los electrones tienen un momento magnético intrínseco (por giro sobre sí mismo) con sólo dos valores posibles, ya eran conocidas ciertas anomalías (efecto Zeeman anómalo) con relación al desdoblamiento de líneas espectrales esperado. Esto, por muy extraño que pareciera entonces, sólo podía ocurrir si los electrones giraban sobre sí mismos (observación, al final del post) y no eran, por tanto, partículas puntuales. En 1926 los jóvenes físicos Goudsmit y Uhlenbeck propusieron la atrevida idea de que el electrón tiene un momento angular (o cinético) intrínseco (el espín), es decir, que la partícula gira "de alguna manera" sobre sí misma de modo que produce precísamente ese momento magnético anómalo observado.

La ecuación de Dirac:

Durante algún tiempo no se supo cómo incluir ese espín en la ecuación de ondas del electrón, hasta que Dirac trabajando para construir una teoría cuántica-relativista del electrón encontró, sin buscarlo, justamente el mismo campo magnético que surge del modelo de electrón con espín. En sus propias palabras: " No me interesaba incluir el espín en la ecuación de onda, ni siquiera consideré esa cuestión. Fue una gran sorpresa para mi descubrir después que el caso más simple ya implicaba el espín."

La obtención por Dirac de una ecuación que, partiendo de primeros principios, permite deducir el espín fue recibida con enorme expectación entre sus colegas en las navidades de 1927, antes de su publicación en los Proceedings of the Royal Society a principios de 1928. Esta ecuación proporcionaba la explicación de los niveles energéticos esperados para el átomo de hidrógeno (sus líneas espectrales : cada tipo de átomo emite un conjunto único de colores, estas líneas de color o líneas espectrales son la "firma" de los átomos).

El espín es un concepto puramente cuántico, realmente no un giro físico:

Estableciendo con precisión la teoría cuántica del momento cinético (o angular), se halla que los valores pueden ser múltiplos semienteros de h (+1/2h ó -1/2h). Esto que puede ser paradójico, pues sugiere la existencia de una acción menor que h o mínimo cuanto de acción, se resuelve precisamente introduciendo el concepto de espín (o momento cinético intrínseco). Mientras que el momento cinético orbital siempre es entero, el espín puede ser semientero.

El espín es un concepto puramente cuántico: clásicamente, el momento angular intrínseco de una partícula puntual sólo puede ser nulo (un punto no puede girar sobre sí mismo). Con relación a los campos cuánticos el espín está relacionado con el número de componentes del campo. siendo S es espín del campo, el número de componentes será igual a 2S+1. Así, un campo escalar es un campo de un componente, es decir, un operador definido en cada punto del espacio-tiempo, y un solo observable o magnitud medible de tipo escalar; los cuantos asociados son partículas de espín cero. Un campo vectorial, como el campo eléctrico, por ejemplo, es un campo de tres componentes: tres operadores en cada punto del espacio-tiempo (tres observables o magnitudes a medir asociadas cada una a un operador). Los cuantos asociados son partículas de espín 1. Las partículas de espín 1/2 son los cuantos de un campo de dos componentes o campo espinorial. Un campo tensorial es un campo de cinco componentes, como el gravitatorio; los cuantos asociados son partículas de espín 2, como el llamado gravitón.

Partículas de fuerza y partículas de materia:

Gracias a la ley de conservación del momento cinético, no hay problema de "semicuanto de acción": si, en una transición, el momento cinético es semientero en el estado inicial, lo es también en el estado final y, por tanto, toda interacción implica un múltiplo necesariamente entero del cuanto de acción. Esta ley de conservación del carácter semientero del momento cinético indica que las partículas de espín semientero encierran una propiedad, en cierto modo indestructible. De hecho, todas las partículas de materia, los fermiones, son partículas de espín semientero, mientras que los cuantos de los campos de interacción o fuerza, los bosones, son partículas de espín nulo o entero. Respecto a los fermiones, el principio de exclusión de Pauli manifiesta la impenetrabilidad de la materia. Mientras que dos o más bosones pueden estar en el mismo estado y la magnitud de la fuerza que representan aumenta, dos fermiones no pueden estar en el mismo estado a la vez según el principio de exclusión de Pauli. Los bosones son partículas de fuerza y los fermiones de materia.

El misterioso "giro" de las partículas cuánticas las convierte en fermiones o partículas de materia, o en bosones o partículas de fuerza. En partículas impenetrables o en partículas capaces de sumar su fuerza para dar mayor o menor intensidad a las interacciones de la materia.

Es recomendable leer el post:La extraña medida cuántica en un espacio de infinitas dimensiones: el espacio de Hilbert.
También el post sobre el condensado Bose-Einstein.

(**) Observación importante: En un principio la explicación lógica era pensar en un giro físico de las partículas que originaría el momento observado, pero la explicación correcta era la introducción de un número cuántico adicional con sólo dos valores posibles, +1/2 h y -1/2 h. Realmente el espín es una propiedad puramente cuántica que se manifiesta como un giro, con su momento correspondiente asociado. No es físicamente un giro de la partícula.

Números primos, números de una sola pieza

2008-12-16T12:05:00.007+01:00

Entre los números naturales 1, 2, 3 ,4 , 5, 6, 7, ,..., , n, existen unos números especiales que sólo son divisibles por la unidad y por ellos mismos. Estos números son llamados números primos y desde que se conocen han producido una extraña fascinación entre los matemáticos. Existen infinitos, Euclides realizó la primera demostración conocida de su infinitud alrededor del 300 a.C., pero su distribución, aparentemente aleatoria, sigue siendo una incógnita.

En cierta forma, estos números podríamos decir que son "de una pieza", y todos los demás números naturales se pueden construir a partir de ellos mediante un proceso llamado factorización. Los primeros números primos menores de cien son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. Cada uno de ellos sólo se puede escribir como: 2 = 2, 3 = 3,..., 29 = 29,..., 67=67, ..., etc. Mientras que el resto de números naturales necesitan expresarse en función de los números primos: 4 = 2x2, 9 = 3x3, 6 = 3x2, 8 = 2x2x2, ...,30 = 2x3x5, etc.

Se conoce una importante expresión llamada teorema de los números primos que nos da la cantidad de números primos que existen hasta un determinado número. Aproximadamente, para números suficientemente grandes, la expresión es: cantidad de números primos = (número)/Logaritmo Neperiano(número). Aplicando la fórmula para (número)=1000, obtenemos 145 primos, cuando en realidad hay 168. Para 5000 nos acercamos un poquito más, la expresión nos da 587 y en realidad existen 669, y conforme probamos números mayores nos acercamos más, aunque las cifras convergen muy lentamente: para 1000 el 86,3%, para 5000 el 87,7% y para 50000 el 90%.

Lagunas con ausencia de números primos:

Entre 1 y 100 existen 25 números primos, como hemos visto, y en la lista observamos grupos de números compuestos, una especie de lagunas con ausencia de números primos: del 24 al 28 y del 90 al 96. Entre el 100 y el 200 hay 23 primos: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149,151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191,193, 197, 199. Y encontramos lagunas como la del 182 al 190. Nos podemos preguntar si existen lagunas más grandes entre números primos. A simple vista, parece que no vamos a encontrar ninguna de estas lagunas de forma clara con una suficiente cantidad de números, pero no es así. Podemos encontrar tantas como queramos y de la longitud que deseemos, para ello utilizaremos la siguiente expresión (pueden encontrarse muchas más): n!+2 , desde 2 hasta n. Vamos a ver algunos ejemplos: para n=3, 3!=3x2x1=6; 6+2=8 y 6+3=9. Hemos encontrado la primera laguna formada por el 8 y el 9. Seguimos con n=4: 4!=4x3x2x1=24; 24+2=26, 24+3=27 y 24+4=28. Hemos encontrado tres números compuestos seguidos, pero con esta expresión podemos encontrar cuantos queramos, por ejemplo 101 números seguidos (al menos): 102!+2, 102!+3, 102!+3, ..., 102!+101,102!+102.

¿De cuántas piezas están hechos los números?

Volviendo al título del post, se pueden ver los números compuestos como formados por piezas de números primos. Un número compuesto cualquiera, por ejemplo, el 6 es igual al producto de dos números primos 2x3, podemos considerarlo como formado por dos piezas, la pieza 2 y la pieza 3. En cambio los números primos, como el 7, están formados por sólo una pieza. En un símil musical el número primo podría considerarse como armónico principal y único, y el número compuesto como una composición de armónicos primos que formarían su espectro o descomposición factorial.

Analizando la factorización de un número como producto de números primos, podríamos imaginar que cualquier número está formado por tantas piezas como factores primos lo componen. Se observa como curiosidad que los números del orden de 100 estarían formados, como media, por un producto de 2,7 números primos, los del orden de 1000 por un producto de 2,96 números primos, los de 10000 por un producto de 3,16 números, los de 100000 por 3,3, los de 1000000 por 3,42 y los de 10000000 por 3,64. Observamos que la cantidad de "piezas" necesarias para formar cualquier número aumentan muy lentamente, y ese aumento, además, decrece. Es un tanto asombroso que mientras un número de 3 cifras necesita tres primos para factorizarse (está hecho de tres piezas), uno de 10 cifras sólo necesita cuatro (está hecho de cuatro piezas). Claro que al hablar de piezas estas son tan dispares como el 3 y el 2000003, ambos son números primos.

En un extraño (e imaginario) mundo cuántico formado por números enteros, sería fácil descubrir los números primos. Todos los números compuestos se verían como una borrosa superposición de armónicos primos mientras que los números primos aparecerían claros y estables con una sola configuración fácilmente distinguible. Algo de esto debe le debe ocurrir a Daniel Tammet, un joven autista inglés con una sorprendente capacidad para los números. Cuando piensa en ellos ve formas, colores y texturas que le permiten distinguirlos de una manera asombrosa. Al multiplicar dos números ve dos sombras; al instante aparece una tercera sombra que se corresponde con la respuesta a la pregunta. Cuando piensa en algún número sabe reconocerlo como primo o compuesto. Estuve viendo el reportaje sobre su vida, sus facultades como matemático y su prodigiosa memoria. Sus capacidades son asombrosas. En una semana logró aprender, desde cero, suficiente islandés (un idioma catalogado como muy difícil) para mantener perfectamente una entrevista en la televisión de Islandia.

A alguien le podría parecer que el estudio de los números primos no tiene ninguna utilidad, desde luego se equivoca (ojo, el algoritmo de encriptación RSA nos permite las transacciones fiables). Cualquier saber matemático, por muy absurdo que nos parezca está relacionado con infinidad de campos aparentemente inconexos. Cualquier avance en el conocimiento sobre los números primos, por ejemplo, podría ser decisivo para resolver algún problema del campo más increible que se nos ocurra, tanto matemático como físico. La realidad es conexa y conforme la vamos comprendiendo vemos que el conocimiento que tenemos de ella también lo es.

Una novela sobre investigación de números primos:

Sobre los números primos recuerdo haber leído una novela interesantísima titulada "El tío Petros y la conjetura de Goldbach". La trama discurre a través de las vicisitudes de un matemático obsesionado por comprobar la famosa conjetura de Goldbach sobre los números primos, uno de los problemas abiertos más antiguos en matemáticas. Su enunciado es el siguiente: Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos. Confieso que logró atraparme al igual que le ha pasado a infinidad de lectores. Es muy entretenida y recomendable.

... Mi agradecimiento a la página Descartes, del Ministerio de Educación, que me ha facilitado los cálculos de factorización de grandes números que he necesitado.
... Recomiendo visitar esta magnífica página sobre números primos (en inglés).

Nuestro amigo Tito Eliatron nos envía dos interesantísimos enlaces de su blog a una charla del matemático, Medalla Fields, Terry Tao: Primera parte de la charla, segunda parte. Gracias Tito.