Curva de Koch y vacío cuántico

La curva de Koch es un fractal clásico que nos puede orientar sobre el procedimiento de cálculo de la dimensión fractal. En la figura observamos tres iteraciones que nos muestran su construcción: sobre el segmento inicial AB volvemos a construir la figura completa en la segunda iteración y de la misma forma hacemos en la tercera.
El cociente (Log 4)/ (Log 3) da el valor de la dimensión fractal de la figura. El número 4 indica el número de divisiones, mientras que el número 3 es el inverso de la razón de homotecia : el todo es descomponible en 4 partes (segmentos AB,BC,CD,DE) las cuales se pueden deducir de él por una homotecia de razón 1/3 (los cuatro segmentos se proyectan sobre un segmento de longitud 3 : AB,BD,DE).

Si medimos la distancia entre los puntos AE con una regla cuya mínima medida sea 3, obtendremos que dicha distancia es 3. Por el contrario, si medimos la distancia con una regla de mínima distancia 1, la medida AE nos dará como resultado 4. El cociente entre los logaritmos de estos números nos darán la dimensión fractal que apuntábamos más arriba. Es evidente que para un segmento lineal encontraríamos el mismo valor para las dos medidas y el cociente entre sus dos logaritmos sería la unidad, que es la dimensión de una línea recta clásica euclideana.

En la curva de Koch la relación logarítmica de las distancias 4 y 3 nos dan la dimensión fractal. El valor 4 determina el patrón de irregularidad y el valor 3 , en cierta forma, su proyección. Para el vacío cuántico los valores son N y 1/N ( relación, en el post anterior, entre el lado y el perímetro del Ovillo de Alba), lo que nos da una idea de las formidables energías implicadas en lo que llamamos vacío cuántico: para una energía de magnitud N sólo se proyectaría en nuestro espacio tridimensional un valor 1/N.

Computación en agujeros negros

Los agujeros negros constituyen el ejemplo más singular del principio que enuncia que el universo registra y procesa información. Para explicar las leyes de la termodinámica, los fundadores de la mecánica estadística, en el siglo XIX, desarrollaron la que en tiempos modernos se llamaría teoría de la información.
La magnitud termodinámica que limita la capacidad de un motor para realizar trabajo útil, la entropía resulta ser proporcional al número de bits registrados por las posiciones y velocidades de las moléculas de una sustancia. Seth lloyd e Y.Jack Ng INVESTIGACIÓN Y CIENCIA,enero,2005.
Las propiedades de los agujeros negros están íntimamente relacionadas con las del espaciotiempo. La mecánica cuántica predice que el espaciotiempo es discreto. No resulta posible medir con precisión infinita ni las distancias ni los tiempos; a escala muy pequeña, el espacio tiene una estructura espumosa, llena de burbujas.
La cantidad máxima de información que se puede guardar en una región del espacio depende de lo pequeños que sean los bits, y estos no pueden ser menores que las celdillas espumosas.
Desde hace mucho, se cree que el tamaño de estas celdillas es la longitud de Planck ( 10-35 metros), la distancia a la que cuentan por igual los efectos gravitatorios y las fluctuaciones cuánticas.Pero se ha demostrado (Hendrik van Dam, Frigyes Karolhazy y Y.Yack Ng) que carecen de tamaño fijo: cuanto mayor sea una región del espaciotiempo mayores serán las celdas que la constituyen.
Y. Jack Ng ( IASSNS-HEP-94/41)ha demostrado que existe una extraña dependencia de la escala de las fluctuaciones espaciotemporales con la raíz cúbica de las distancias. Partiendo de este dato se ha llegado a la fórmula de Bekenstein y Hawking para la memoria de los agujeros negros.

A esa misma extraña dependencia se llega con un cálculo completamente diferente basado en el cálculo de la dimensión fractal de la energía de las fluctuaciones cuánticas espaciotemporales.

Esta nueva corriente, tan prometedora, coloca la información como base para poder interpretar la propia organización de la material. Los agujeros negros, su entropía y el estudio de la información que son capaces de computar están dándonos pistas muy fiables sobre la propia naturaleza del espaciotiempo.

Reflexión informal sobre la fractalidad del mundo.

Fractal es un objeto matemático discontinuo, roto, fracturado. A primera vista, algo extraño, ajeno, que sin embargo impregna todo nuestro mundo. Lo que tocamos, lo que somos, por donde nos movemos... todo es fractal. Simplificamos la realidad para poderla entender, nos quedamos con la simplificación, sacamos su esencia y la convertimos en saber, pero la simple continuidad observada por doquier es una quimera.

Todo son simplificaciones. Si una línea real la ampliamos, veremos una inmensa cantidad de imperfecciones, de discontinuidades, que se incrementan según el aumento con que las observemos. Cualquier superficie lisa esconde multitud de cortes y hendiduras. Simplificamos y tratamos así de construirnos un mundo más sencillo, que no siempre está tan cerca de la realidad como creemos.

La continuidad de la materia ya se vio rota por el átomo, materia discreta que forma la materia continua que vemos y tocamos. Después se rompió la continuidad de la energía por obra y gracia del cuanto de acción ( h ) . La energía pasó a estar cuantificada, en “paquetes” de mayor o menor magnitud, según su mayor o menor frecuencia de vibración. La realidad pasó a ser granulada, como una película fotográfica. El cuanto de acción, que define el mínimo grano de realidad, no permite un grano más fino y , a la vez , estable... Las consecuencias fueron terribles: el cuanto acabó con la nada, con el vacío, por pura incompatibilidad.

El vacío absoluto y estable suponía un grano infinitesimal, inexistente, suponía un cuanto de acción nulo, que no existe. El vacío absoluto y estable, la nada, desapareció y dejó en su lugar a un inmenso fractal llamado el espacio-tiempo.

Todo fractal esconde algo entre sus innumerables quebrados y vericuetos. ¿ Qué escondía la nueva nada? Escondía partes de ella misma, y dejó al descubierto la incertidumbre de Heisenberg, el mínimo grano de realidad.

( Se agradece la reseña de este post en Libro de notas )

Ciencia/tecnología e imaginación

En los tiempos de Goethe, los filósofos de la naturaleza no creían en absoluto en la desconexión entre las disciplinas. Para ellos el mundo era mucho más homogéneo. Incluso en el siglo XIX, encontramos que la persona que hoy llamamos científico escribía sobre todo tipo de asuntos. Se consideraban trasmisores de la cultura, nadie se llamaba a si mismo científico. Con la entrada del siglo XX es cuando la división entre la física, química, biología, etc. viene forzada por la manera en que las instituciones académicas funcionan.

Estamos perdiendo, por esta división, una fuente de imaginación, porque los grandes protagonistas de las ciencias, a menudo, trabajan con metáforas. En el caso de Niels Bohr, por ejemplo, sacó su poderosa idea de la complementariedad, en mecánica cuántica, de las llamadas imágenes “metamórficas” en las que puedes ver a la vez dos figuras diferentes según te fijes en su parte blanca o en su parte negra. Bohr siempre estuvo muy interesado por el arte y llegó a la conclusión que, incluso, en la vida real y ciertamente en el ámbito de la física había que pensar en una especie de existencia simultánea de contrarios.

En el caso de Einstein, una de sus obsesiones temáticas era la unidad, la generalización, de tal manera que gracias a un esfuerzo de generalización Einstein pasó de la relatividad especial a la relatividad generalizada y de aquí a la teoría del campo unificado, la teoría del todo sobre la que se investiga, actualmente, en todas las universidades del mundo ( supercuerdas, teoría M, supergravedad...) ¿ De dónde viene todo eso? Viene de las pasiones románticas de los filósofos y poetas del siglo XIX. Gente como Oersted ( descubrió el magnetismo que produce la corriente eléctrica) que era químico y filósofo querían la unificación, pensaban, como Kant les había enseñado, que en la ciencia todo podía explicarse en términos de una Grundkraft, una fuerza fundamental. La electricida, el magnetismo, la gravitación...eran diferentes aspectos de una sola entidad fundamental...

Revista Mètode de la Universidad de Valencia. Primavera 2005. Breve extracto de la entrevista a Gerald Holton (profesor de física e historiador de la ciencia en Harvard) por Carme Pastor Gradolí MIT (Boston).

Átomos del espacio y del tiempo.

Percibimos el espacio y el tiempo como si fueran continuos, pero si la teoría de la gravedad cuántica de bucles fuera correcta, estarían formados por elementos discretos.
Lee Smolin.

En los primeros años del siglo XX se formuló la mecánica cuántica y la teoría general de la relatividad, una teoría de la gravedad. Las dos teorías más potentes para explicar el mundo físico, que han sido ratificadas en múltiples experimentos. Sin embargo existe un enorme problema conceptual que impide su combinación : la teoría de la relatividad es una teoría clásica, ajena por completo a la mecánica cuántica.

En los últimos 16 años se ha trabajado en una nueva teoría, capaz de combinarlas, llamada gravedad cuántica de bucles. Esta teoría exige un principio adicional, no contemplado en los cálculos de los decenios de 1960 y 1970, que el espacio-tiempo sea discreto no continuo. Las distancias están cuantizadas y su cuanto mínimo es la distancia de Planck, 10( elevado a)–33 centímetros. El tiempo también avanza de forma discontinua, en una especie de tic tacs, y su valor es el tiempo de Planck ( el tiempo que tarda la luz en recorrer la longitud de Planck).

El experimento japonés AGASA ha detectado rayos cósmicos de una energía más elevada de la prevista, que teóricamente debían ser dispersados por el fondo cósmico de microondas. Si estas observaciones se confirman serían una prueba de la estructura discreta del espacio-tiempo que predice que esta estructura sería capaz de elevar la energía requerida para la dispersión.

Ciencia Abierta (pequeño homenaje)

La facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas de la Universidad de Chile edita desde el año 1984 una revista científica llamada Ciencia Abierta (ISSN: 0717-8948). Hace un par de años (en un momento especialmente crítico para mi) me publicó el primer artículo llamado “ Estabilización del vacío cuántico”. La idea creo que es muy sencilla : la estructura geométrica de los primeros estadios del universo tuvo una influencia determinante en la estabilidad posterior del vacío cuántico del que disfrutamos, determinando la propia naturaleza del cuanto de acción. Para llegar a esto no hay más que seguir una línea muy clara de razonamientos a partir del cálculo de la dimensión fractal de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío (esta energía es la magnitud que determina la curvatura cambiante del espacio-tiempo vacío).

Puede que parezca complicado, pero creo que básicamente no lo es tanto. Tenemos un inmenso fractal que lo contiene todo : el vacío cuántico. Y nos estamos olvidando de una información básica que nos ofrece: su dimensión fractal .A partir de esta información vamos encontrando una serie de datos que nos llevan a considerar la influencia de las llamadas dimensiones enrolladas, en los estados iniciales que decidieron las propias leyes de nuestro Universo.

Gracias a Ciencia Abierta (recomiendo que consultéis algunos de sus números).

Matemáticas, Google y mp3

En la época de internet, de los buscadores y de los reproductores de mp3 no entiendo cómo en el colegio no se trata de motivar a los jóvenes y a los niños ( cada vez hay menos estudiantes universitarios de ciencia básica a nivel mundial ) con todo esto que ya les es familiar, para explicarles lo esencial que son las matemáticas para su vida cotidiana. Google utiliza un algoritmo ( secuencia de pasos que pueden llevarse a cabo mecánicamente ) de búsqueda llamado PageRank (TM) y los reproductores de mp3 utilizan otro algoritmo llamado de codificación perceptual desarrollado por el consorcio MPEG ( Moving Picture Expert Group) junto con el Instituto Tecnológico Fraunhofer .Pura matemática expresada como programas en lenguajes de programación.

Cuando estudiaba en el instituto las derivadas, máximos y mínimos (¿ para qué vale todo eso?!!!) quedé sorprendido cuando calculé el mínimo material con que se podría construir un cazo de un litro de capacidad. Después de haberlo construido con cartón observé atónito que era de dimensiones idénticas a las del cazo de aluminio que utilizaba mi madre para calentar la leche. Las experiencias que ligan la vida diaria con lo que aprendes en la escuela nunca se olvidan.

Libros de ciencia para niños

La Feria del Libro de Madrid, dedicada este año a la ciencia, terminó ayer ( este año se cumplen 100 de la entrega del premio Nobel de Medicina a Ramón y Cajal) . El Plan de Fomento de la Lectura, iniciado en 2000, empieza a dar resultados. La oferta literaria ha mejorado en calidad, variedad y cantidad. Desde Babelia ( El País) nos recomiendan una serie de preciosos libros de ciencia para niños:

Biología y Educación sexual
Sexo ¿qué es? y ¡Es alucinante! Robie H. Harris, con ilustraciones
de Michael Emberley (Serres,1996 y 1999). Dos libros modélicos sobre todas las cuestiones relacionadas con la reproducción humana y el sexo, al alcance
de los niños (a partir de 10 años) y muy recomendables para padres y profesores. Información exacta y clara, con ilustraciones y un toque de humor.
Nuevo diario del joven maniático y Nuevo diario de la joven maniática. Aidan Macfarlane y Ann McPherson. Ilustraciones de John Astrop (Algar, 2000).Dos auténticos best sellers de la literatura juvenil (a partir de 12 años) desde finales de los ochenta.Narrativa de humor como pretexto para informar con seriedad de todo lo que preocupa a los preadolescentes en relación con su cuerpo. Diario rojo de Flanagan, de Andreu Martín y Jaume Ribera, y Diario rojo de Carlota, de Gemma Lienas (Destino, 2004). Dos guías de sexualidad noveladas, una desde el punto de vista masculino y la otra desde el femenino, protagonizadas por los populares personajes de la literatura juvenil española Flanagan y Carlota. A partir de 14 años.
Geografía
El arroyo. Élisée Reclus. Ilustraciones de Eloar Guazzelli (Media Vaca, 2001). La geografía, según el geógrafo y anarquista francés Élisée Reclus, en quien se inspiró el catalán Ferrer i Guardia, fundador de la Escuela Moderna de Barcelona (1901), para elaborar sus programas de enseñanza. Brillante y sorprendente para estudiantes de hoy. A partir de 14 años.
Grandes científicos
Mensajero de las estrellas. Galileo Galilei. Peter Sís (Lumen, 2000). El árbol de la vida.Charles Darwin. Peter Sís (RqR, 2004). Fascinante aproximación a la vida y la obra de estos grandes científicos, en dos álbumes ilustrados firmados por Peter Sís, uno de los autores-ilustradores más innovadores de la actualidad. A partir de 8 años.
Matemáticas
El diablo de los números. Hans Magnus Enzensberger. Ilustraciones de Rotraut Susanne Berner (Siruela, 1997). Un clásico de las matemáticas que aportó imaginación y humor a una disciplina con fama de árida y antipática. A partir de 10 años.
Miscelánea
Una Universidad para los niños(Tercer Curso). Ulrich Janssen y Ulla Steuernagel.
Ilustraciones de Klaus Ensikat (Crítica, 2005). Tercero de los volúmenes que recogen las conferencias para jóvenes de científicos de todas las disciplinas, organizadas por la Universidad de Tubinga (Alemania).Excelentes y amenos compendios de conocimientos. A partir de 14 años.
Zoología
El mundo de los animales, de Desmond Morris, y El libro de los animales misteriosos,de Lothar Frenz (Siruela, 1999 y 2003). Realidad y fantasía en dos libros que fascinarán a los aficionados a la zoología. A partir de 12 años.

¿Se pierde la información en un agujero negro?

Cuando algo cae en un agujero negro desaparece para siempre a nuestros ojos y, hasta hace poco, se pensaba que era imposible recuperar la información codificada en las propiedades de los átomos que lo constituían. Sin embargo, se ha demostrado que la estructura matemática de la mecánica cuántica garantiza la conservación de la energía y la reversibilidad. Esta se perdería si desapareciera la información y llevaría a la generación de inmensas cantidades de energía ( Thomas Banks, Michael Peskin y Leonard Susskind en la Universidad de Stanford en 1980) .

En la creación de un agujero negro se reúne tanta masa y energía en un punto tan pequeño que las fuerzas gravitatorias hacen que se derrumben bajo su propio peso. La materia se comprime hasta ocupar una región inmensamente pequeña, o singularidad, con densidad infinita. Esta singularidad se halla rodeada de una superficie llamada horizonte de sucesos, cuya magnitud depende de la masa del agujero negro( esta superficie cubre la singularidad evitando lo que Penrose-Hawking llamaban singularidad desnuda). Jacob D. Bekenstein halló que la entropía ( medida del desorden que se mide como el logaritmo del número de estados posibles del sistema y cuantifica su capacidad de portar información) de un agujero negro era proporcional al área de su horizonte, no a su volumen ( Stephen W. Hawking desarrolló la fórmula precisa).

Finalmente, los estudios matemáticos efectuados en Stanford por A Peet, Thorlacius, A Mezhlumian y L. Susskind mediante la teoría de cuerdas vienen a elucidar que el horizonte estaría formado por una maraña gigantesca de cuerdas que codifican toda la información de la materia caída. Esta información es luego radiada, muy lentamente, al exterior por la llamada radiación cuántica de Hawking .

Ver INVESTIGACIÓN Y CIENCIA, Temas 43, 1º trimestre 2006,”Fronteras de la física”.

Ver post más reciente (14-11-2006): ¿Universo holográfico?, más completo.

La física cuántica es fácil (II)

Newton siempre creyó que la luz estaba formada por pequeñas partículas que chocaban y rebotaban como pelotas. Más tarde se constató su naturaleza ondulatoria, y cuando aquella idea llevaba muchos años descartada, Max Planck, a principios del siglo XX, descubrió el cuanto de energía que le devolvía parte de la razón a Newton.

La existencia del cuanto de energía implica que la luz está formada por paquetes de energía, llamados fotones, cuyo valor es igual al producto de su frecuencia (el color depende de ella) por una constante universal llamada cuanto de acción ( h ), se dice por eso que la energía está cuantificada. Este hecho, aparentemente, intrascendente ha sido el causante de una verdadera revolución en la física, y ha dado lugar a infinidad de aplicaciones prácticas que inundan nuestra vida cotidiana. Para hacernos una idea, basta decir que los transistores ( los circuitos impresos) que forman todos nuestros aparatos electrónicos funcionan según las leyes de la física cuántica.

El cuanto de acción (h) supone la mínima parte de acción posible, entendiéndose por acción el producto de una energía por un tiempo. Ser la mínima parte implica que cualquier aumento o disminución de acción debe ser un número entero de veces el valor de h, pues sólo este tipo de variaciones son estables. Sin embargo, las variaciones inestables, no duraderas, tienen una implicación directa en el llamado principio de incertidumbre o de indeterminación, descubierto por Heisenberg. Son las llamadas fluctuaciones cuánticas del vacío, que impiden que la energía del vacío sea cero.

Estas fluctuaciones hacen que el vacío pierda la teórica estabilidad que se le suponía y afectan a todas las mediciones que se intenten realizar introduciendo un factor de distorsión independiente de la sensibilidad del instrumento de medición. Afortunadamente, dependen del inverso de la distancia, lo que afecta considerablemente a las pequeñas distancias, pero no influye en las distancias cotidianas que manejamos.

La doble naturaleza ondulatoria y corpuscular de la luz, hizo pensar al físico francés Louis de Broglie que el resto de partículas podían disfrutar de esa cualidad y estableció que cualquier partícula lleva asociada una onda de longitud igual al cuanto de acción dividido por su masa y por su velocidad ( cualquier objeto macroscópico también tiene su onda asociada, pero debido al valor tan pequeño del cuanto de acción su efecto es despreciable).

La mera existencia del cuanto de acción ( h), vemos que introduce una serie de aspectos sorprendentes: dualidad onda-partícula, indeterminación, cuantificación de la energía... sin embargo, como el valor de dicho cuanto es muy pequeño, estos aspectos sólo se hacen patentes en las distancias muy pequeñas, del orden de la escala atómica y menor, de ahí que se escapen a nuestra experiencia habitual y sorprendan a nuestro sentido común.

La magia del número 2.

Si consideramos una partícula moviéndose de forma aleatoria sobre un plano supondremos que no podemos observar ningún tipo de orden, pero nos estaremos equivocando. Tomando P como la media de amplitud de sus pasos y fijándonos después de un número grande N, de dichos pasos, observaremos que para que se aleje N1 pasos efectivos, de un punto arbitrario, habrá tenido que dar (N1)² pasos totales. El exponente 2 representa, realmente, la dimensión fractal de este movimiento llamado movimiento browniano.

El azar puro y duro está gobernado por ese número mágico. En nuestro caso nos dice que si bien la trayectoria de cualquier partícula es una línea y como tal tiene dimensión topológica 1, la trayectoria aleatoria es de tal desorden que es capaz, en cierta forma, de cubrir el plano por el que se mueve ( la dimensión topológica del plano es 2).

La acción ( producto de energía por el tiempo) de las fluctuaciones cuánticas del vació está, también, gobernada por ese número mágico. Si representáramos sus valores, observaremos que van llenando una región del plano (E) x (t) acotada por la hipérbola (E) x (t) < cuanto de acción de Planck.

Laurent Nóttale complementó la definición de Richard Feynman (1965) y A. Hibbs sobre las trayectorias virtuales típicas de una partícula cuántica, indicando que los caminos cuánticos posibles son, en número infinitos, y todos son curvas fractales caracterizadas por una propiedad geométrica común: su dimensión fractal es 2.