¿Qué esconde un fractal?

Benoit Mandelbrot se preguntaba, en el libro que dio a conocer sus “nuevas” criaturas ( ver post anterior) que él llamó fractales : ¿ Cuánto mide la costa de Bretaña?. Cualquier libro de geografía nos lo puede aclarar, pero no será una respuesta estrictamente cierta, porque la longitud de una costa dependerá de la unidad de medida con que se mida. Si la medimos con “pasos de hormiga”, medirá mucho más que con “pasos de elefante”. Eso es así porque conforme sea la escala con que la describimos aparecerán más y más detalles e irregularidades que en los fractales matemáticos convierten su longitud total en infinito.

En los fractales reales, que encontramos en la naturaleza, aunque su longitud final no puede llegar a infinito, su magnitud es siempre notablemente superior a la que consideramos. Una costa que “mide” 96 km. ( como ejemplo,un pedazo de costa de la Baja California ), cuando se ha utilizado una unidad de medida de 16 km., puede llegar a medir 120 km., cuando se mide con una “regla” de 8 km.( ver Gerardo G. Naumis de la UNAM).

Esta propiedad es natural en cualquier fractal real, hay una parte de su magnitud que está “escondiendo” y es, precisamente, tanto mayor cuanto más elevada es su dimensión fractal.

El vacío cuántico es una estructura discontinua, fracturada, la mayor estructura fractal que contiene todo lo demás ¿ qué esconde entre sus pliegues? Es posible que esconda la llamada energía oscura, puros pliegues, que como una especie de resorte sería el origen de la aceleración de la expansión del universo.

(Ver post de la estabilización del vacío cuántico y sobre el sorprendente vacío cuántico )

Fractales, algo de historia.

En 1975 Benoit Mandelbrot publicó un ensayo titulado” Los objetos fractales: forma, azar y dimensión” ( en francés). En la introducción comentaba los conceptos de objeto fractal y fractal como términos que había inventado a partir del adjetivo latino “fractus” ( roto, fracturado). Posteriormente, en 1982, publicó el libro “The Fractal Geometry of Nature”, en donde proponía : “Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.”

De forma simplificada, esa dimensión tan rara se podría entender de la siguiente manera: Una línea recta de longitud N queda recubierta por un número N de segmentos de longitud unidad. Podemos expresarlo diciendo que longitud_línea = (N)^(+1) . Un cuadrado con lado N queda recubierto por N^2 pequeños cuadrados de lado la unidad. De forma similar a la línea se puede expresar que superficie_cuadrado = (N)^(+2) . Sabemos que una línea recta tiene dimensión topológica 1 y una superficie dimensión 2. Para recubrirlos necesitamos un elemento similar pero más pequeño n^D veces ( en estos ejemplos de magnitud unidad ). En general, el exponente D , generalizado a cualquier objeto, representa la dimensión de Hausdorff-Besicovitch del objeto.

Han sido propuestas otras definiciones y, de hecho, estamos ante un concepto geométrico para el que aún no existe un una definición precisa, ni una teoría única y comúnmente aceptada.
Kenneth Falconer, en su obra titulada “Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications”, en1990, describe un concepto de estructura fractal ‘F’ como la que satisface alguna(s) de las propiedades siguientes:

(1).- “F” posee detalle a todas las escalas de observación;
(2).- No es posible describir “F” con Geometría Euclidiana, tanto local como globalmente;
(3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística;
(4).- La dimensión fractal de “F” es mayor que su dimensión topológica;
(5).- El algoritmo que sirve para describir “F” es muy simple, y posiblemente de carácter recursivo.

En resumen, una técnica análoga a la que los biólogos aplican al concepto de vida.
Cuando observamos un fractal, de hecho, apreciamos algo que nos es familiar, más cercano que las perfectas figuras geométricas clásicas que nos han enseñado en el colegio.

Las ramificaciones de los árboles, las roturas imperfectas de una montaña o una costa, la disposición de la máxima superficie en un mínimo espacio de nuestro tejido pulmonar...

Los fractales nos acercan a la compleja simplicidad de la Naturaleza.

Vacío cuántico, vacío fractal

El vacío estable y absoluto de Newton, con trayectorias continuas y determinadas, ha dejado paso al vacío cuántico asociado a unas extrañas trayectorias discontinuas y fracturadas, llamadas por ello trayectorias fractales. La existencia del cuanto de acción o constante de Planck ( se llama acción al producto de una energía por un tiempo ), base de la física cuántica, es la causa de ese cambio fundamental, y de otros muchos, con profundas consecuencias. Mediante la geometría fractal, este nuevo marco nos ofrece nuevas e interesantes perspectivas.

La existencia del cuanto de acción supone, realmente, la desaparición del vacío como tal. La mínima energía posible en el espacio (fluctuaciones cuánticas) deja de ser cero para pasar a depender del inverso de la distancia considerada. A la menor distancia posible (longitud de Planck = 10-35 metros) , se le asocia una energía considerable, equivalente a una masa de 0,00002 gramos, y si mantuviéramos la misma relación, la masa correspondiente a un metro sería del orden de 1,2 x1024 toneladas. Pero la propia existencia del mínimo cuanto de acción , por medio del principio de incertidumbre, determina que las fluctuaciones de energía del vacío queden acotadas, y sean cada vez menores conforme aumenta la distancia. Para las distancias macroscópicas, cotidianas para nosotros, son prácticamente nulas.

El vacío plano y estable ha dejado paso a un vacío cuántico modulado por sus fluctuaciones de energía que le dotan de una estructura fractal, discontinua. Dicha estructura, aparentemente extraña en la teoría, es por el contrario de lo más común en el mundo real. Cualquier superficie , por ejemplo, por lisa que nos parezca, al examinarla con un aumento progresivo la observaremos cada vez con mayores imperfecciones, hendiduras y discontinuidades. Ocurre con cualquier objeto del mundo real, la esfera, el cubo, o la línea perfecta no existen . No dejan de ser simplificaciones convenientes a las que asociamos conceptos sencillos y fáciles de manipular. Sin embargo las simplificaciones nos pueden ocultar detalles decisivos.

Supongamos que queremos recorrer, a pie, la distancia entre dos puntos determinados. Si la medimos sobre un plano, en línea recta, encontraremos una distancia determinada que se verá ampliamente superada cuando hagamos el trayecto en la realidad. Tendremos que subir, bajar, desviarnos un montón de veces de la trayectoria teórica preestablecida sobre el plano.En la realidad, habremos seguido una trayectoria fractal. Si ese mismo viaje lo hubiera hecho una hormiga, su trayectoria habría sido mucho más irregular que la nuestra y la distancia a recorrer mucho mayor , porque el paso de la hormiga es considerablemente menor que el humano.

En una línea perfecta eso no ocurre, pero en una trayectoria fractal si. Una línea teórica tiene dimensión topológica o aparente igual a la unidad, pero para una línea fractal existe un factor dimensional positivo , que se suma a la dimensión aparente para constituir la que llamamos dimensión fractal. Conforme sea más discontinuo e irregular un fractal mayor será este factor y , por tanto, mayor su dimensión fractal.

Causas remotas

-- Voy a hacer una afirmación sorprendente que, a continuación, trataré de demostrar: nuestra vida viene influida por personas y hechos que, en la mayoría de las veces, nos son desconocidos. Estas personas, si pasan alguna vez junto a nosotros, son completos extraños pero en alguna ocasión han cambiado el rumbo de nuestra existencia, con acciones puramente fortuitas, sin ninguna intencionalidad, y han seguido su camino sin ser conscientes de los hechos que han desencadenado. Ellos, a su vez, no son menos sensibles al curioso entramado de mutua influencia que nos rodea, también tienen su legión de extraños capaces de alterar su destino.

Comenzaré la demostración con un ejemplo, sobre el que trataremos de generalizar. Supongamos que estoy paseando por mi ciudad. Voy distraído, pensando en mis cosas, y, de repente, los feroces ladridos de un perro me sacan de mi abstracción de forma violenta. Doy un traspié, y caigo a la calzada, con tan mala suerte que me atropella un automóvil. Existe una, llamémosle, primera causa de que me atropelle el coche: los ladridos del perro. Pero, ¿cuáles eran, a su vez, las causas de que el perro estuviera allí y ladrara? Ahí empiezan las, que se podrían llamar, causas remotas. Tal vez el dueño lo bajó por sugerencia de su señora que no tenía otra intención que hablar, tranquilamente por teléfono, con una amiga que en la peluquería, en la que se encontraron el sábado pasado, no pudo contarle el último chisme.

Observaremos que a cada paso que damos hacia atrás, en la cadena de sucesos, encontramos más y más causas remotas. Y cuanto más remota es la causa, obviamente, menos tiene que ver ni conmigo ni con el perro, ni con nada de lo que me acontece. Siguiendo para atrás la cadena nos podemos encontrar con cualquier hecho y con cualquier persona, animal o cosa. Tanto es así que, en nuestro caso, el hecho de que dos desconocidas, para mí, se encontraran, un sábado cualquiera, en cualquier peluquería de señoras puede cambiar mi vida. Así de sorprendente es nuestra existencia.

La forma en que nos remontamos en la cadena de sucesos tiene mucho que ver con nuestra propia limitación de espacio y de tiempo. Tiene mucho, también de subjetivo, pues todas las causa no son vistas de la misma manera, ni desde el mismo lugar, ni al mismo tiempo. Hay causas invisibles para unos que, a su vez, son visibles incluso en primer plano, para otros. La forma en que se encadenan también puede dar lugar a interpretaciones diferentes de una misma realidad. Para el dueño del perro su cadena de causas remotas se van remontando a una serie de hechos de su conocimiento, pero para mí las conclusiones causales de mi desgracia son totalmente diferentes. Mi primera causa, no ajena, es la distracción con la que caminaba y los motivos de la misma encadenan mis causas remotas.

La realidad es muy compleja, tanto a nivel sensitivo como a nivel de hechos. Nuestro cerebro está dotado de una serie de procedimientos que nos permiten comprender nuestro entorno, sacar lo más útil para nuestra existencia con un mínimo de medios. De la misma forma que no necesitamos ver la luz de todo el espectro ni oír todas las frecuencias posibles, a nivel de conocimiento del medio humano, en el que nos desenvolvemos, la realidad es mucho más rica en acontecimientos de lo que conocemos, pero necesitamos simplificar para no volvernos locos, o aumentar nuestras capacidades de forma poco práctica. La Naturaleza, de hecho, nos ha dotado con los medios más que suficientes para sobrevivir. Somos capaces de percibir la realidad necesaria, pero debemos ser conscientes de que sólo conocemos nuestra realidad, y ésta es muy limitada.

Las causas remotas nos sumergen en un extraño mundo, totalmente conexo e interdependiente, que sin embargo no es más que el mundo cotidiano que cada día nos envuelve.

(Gracias a mi amigo Miguel "El Nene" ya me funciona el feed del sitio, que andaba unos días chungo)

Simple probabilidad

Supongamos que la posibilidad de que pase el suceso A es del 1 por 1 000 000, y la posibilidad de que pase el suceso B es del 1 por 100 000. La simple teoría de probabilidades nos dice que la posibilidad de que pasen los dos a la vez será de 1 entre 100 000 000 000.

Sustitúyase el suceso A por "fallo de seguridad por factor humano" y el suceso B por " fallo de sistema adicional de seguridad". La simple teoría de probabilidad- además del sentido común- nos indica que añadiendo un sistema adicional de seguridad, al factor humano, ( aunque el sistema no sea infalible) aumenta la seguridad total de forma exponencial.

Dejar que dependa la vida de miles de personas sólo del suceso A no es fatalidad, es irresponsabilidad.

( A propósito del accidente de metro de la línea 1 de Valencia, el 3 de agosto de 2006, para el sr. Conseller de Infraestructuras García Antón)

Tempus fugit

Esa sencilla frase encierra la esencia de este mundo: el tiempo pasa, huye, nada queda, todo cambia. El cambio anida en lo más íntimo del alma de este universo. El río fluye y nunca vuelve a ser el mismo para el filósofo griego. El “tao”, principal protagonista para la doctrina taoísta, es, fundamentalmente, el propio cambio; el ser último, sin nombre, que explica todo lo demás; el aliento que empuja los contrarios… Y así, nos sorprendemos hablando de algo etéreo, intangible, filosofía o pensamiento puro. Pero lo extraño es que a todo esto, también se llega haciendo física: física, la ciencia más pura y exacta. Porque la física moderna nos enseña que el reposo no existe; que cualquier mole de miles de kilos, aparentemente quieta, está formada por miles de millones de átomos y partículas subatómicas moviéndose en una carrera frenética, que parece huir de la “quietud”, sin ningún fin aparente. Los átomos nunca están quietos, se encuentran siempre vibrando, incluso en el cero absoluto, a 273º C bajo cero.

Es, por tanto, muy posible que el cambio continuo que observamos en nuestro mundo, sea consecuencia del movimiento sin fin de la materia. Algo la obliga a moverse y a vibrar sin descanso, y ese trajín aflora, antes o después, en nuestra dimensión cotidiana. Es inútil intentar abrazarse – para tener o retener – a un tiempo o a un lugar; a unas personas o a unas cosas, que van a pasar indefectiblemente. Podemos y debemos querer, amar pero nuestra querencia, si es sabia como la propia vida, estará impregnada del profundo perfume de la fugacidad, que lo acompaña todo y le da su verdadera dimensión.

Tragedia en Valencia

Mi mujer me ha llamado a las 14h 30m, venía a esperarme al trabajo porque había habido un accidente en el metro de Valencia y no podía volver a casa( aún no sabía de los muertos ni heridos, al igual que yo). Poco antes de las 15 h me he enterado de que había muertos ( 8 muertos). Después de recogerla y llevar a dos compañeros que, también, se habían quedado sin metro, tratando de salir del colapso de la ciudad, me he enterado de la magnitud de la tragedia, 35 muertos... Poco después, a través de mis padres he sabido que mi cuñada viajaba en el tren, afortunadamente en el segundo vagón. Después he sabido que en el anterior iba mi sobrino...
Toda mi solidaridad con las víctimas y sus familiares, nos podía haber tocado a cualquiera.

El día después: Soy de Torrent, el pueblo más castigado por la tragedia ( 19 de los 41 muertos)Me ha llamado la profesora de violonchelo de Alba, con gran inquietud porque no hemos contestado el teléfono en todo el día. La pobre mujer está llamando a todas sus alumnas para confirmar que están bien ellas y sus familias...la sensación es que la muerte ha derramado su negrura por este pueblo y nos ha alcanzado a todos, en mayor o menor medida.

La bella teoría, el Pequeño Príncipe e Ítaca

Este sencillo blog, quizás como el Pequeño Príncipe, pertenece a un planeta pequeño, con su diminuta y propia teoría sobre el vacío cuántico. Una teoría que explica la extraña estabilidad de este vacío que permite que exista la belleza, tal como la entendemos, y nuestra propia vida... y no sean devoradas por terribles fluctuaciones cuánticas. Todo debió gestarse en los estadios inmediatamente anteriores a este universo, gracias a la especial configuración geométrica que se adoptó y que decidió la propia naturaleza del cuanto de acción.

Llevamos unos años solos en el ciberespacio ( primero alojados en miarroba.com - aún sigue allí la antigua página). Al comenzar sólo nos teníamos el uno al otro , pero poco a poco encontramos amigos que nos ayudaron a no perecer: la revista ImasD, Divulcat, Tendencias Científicas, la revista Elementos de la Universidad de Puebla, Ciencia Abierta de la Universidad de Chile y algunos pocos amigos más. Ahora Laflecha.net.

El camino es largo, como decía Lluis Llach, en su Viatge a Itaca, pero no dudo que llegaremos a buen puerto. La propia travesía ha ido moldeando la idea original y llevándome a puertos "que mis ojos ignoraban". He conocido ciudades para aprender de los que saben, pero todavía me queda, entre tantas lecciones, aprender a no forzar la propia travesía. Siempre queremos llegar demasiado pronto a todo.