La información, el azar y el número Pi

La información se nos presenta como una entidad fundamental, no sólo a nivel de la estructura física de la materia (entropía) sino de la propia estructura de los números trascendentes, tales como Pi , y también del resto de los números irracionales, que constan de infinitos decimales dispuestos de forma aleatoria, como por ejemplo la raíz cuadrada de 2. El azar que encontramos en infinidad de procesos naturales, o en los números, es extraordinariamente difícil de simular de forma artificial, lleva asociado un nivel de información neutro (cero información añadida), que en cierta forma es una restricción poderosa y de gran calado.

El número Pi es, junto con el número e, uno de los números llamados trascendentes más famoso. Es la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro, y aparece en infinidad de expresiones matemáticas o físicas. Desde la antiguedad, muchas veces por cuestiones prácticas, se ha tratado de calcular el mayor número de decimales para conseguir más precisión en las medidas (en la figura, Arquímedes de Siracusa - 250 a.C - lo calculó con la aproximación: entre 3+10/71 y 3+1/7). Casi a semejanza de los alquimistas que trataban de conseguir la piedra filosofal, los geómetras de todos los tiempos han tratado de hallar la cuadratura del círculo. Actualmente gracias a la potencia de cálculo de nuestros ordenadores se han conseguido millones de sus decimales. Teóricamente tiene infinitos decimales y deben estar situados de forma completamente aleatoria, de manera que al cabo de miles de millones de trillones de decimales que busquemos podremos encontrar cualquier combinación, que convenientemente codificada podría contener: El Quijote, Romeo y Julieta, la Biblia o este propio escrito.

Existen varias páginas que encuentran cualquier combinación de números entre las cifras de Pi, y nos dicen a partir de qué decimal se puede encontrar. Al reflexionar sobre ello, pensé que se podría codificar, de forma ventajosa, cualquier información sobre esta base y me puse manos a la obra. Busqué la posición de una codificación al azar, el número 11, y la encontré a partir del decimal 94. El número 111 a partir del decimal 153 y así hasta el 11111111 que se encuentra a partir de la posición 159 090 113, en la ristra de decimales del número Pi. Pronto me di cuenta de que no significaba ninguna simplificación pues para dar la posición dentro de Pi de un determinado código, se necesitarían, en general, un número de dígitos igual o superior a la propia codificación que se busca. Repetí la búsqueda para la codificación 121212 que se encuentra a partir de la posición 241 987 (seis dígitos para definir la búsqueda del código 121212) : 3,14 .......28979301308065657163 121212 07914290705421508889........ En base a esta suposición el Quijote se encontraría codificado, en los dígitos del número Pi, alrededor del decimal 4x10^1000000 (un 4 seguido de un millón de ceros), más o menos.

En cierta forma, podríamos decir que la información mínima ni se crea ni se destruye, simplemente se transforma. El azar no debe llevar implícitamente ninguna información que pueda después utilizarse y esto lo encontramos en infinidad de procesos naturales, o en los números. Supongo que debe ser así, pues no sería lógico que pudiésemos codificar El quijote, por dar un código como ejemplo, con otro código mucho menor, irrazonablemente menor. Si codificamos y comprimimos ese código, la forma de indicar su posición dentro de Pi deberá contener una información similar. Al menos eso es lo lógico, y en base a esa lógica de cero información añadida, o información neutra, deben estar distribuidos al azar los dígitos de Pi y de los innumerables números irracionales con infinitos dígitos.

La edad cuántica: el transistor

Hay cosas que por evidentes son ignoradas, u olvidadas, casi por completo. El otro día reflexionando sobre el cambio que ha producido en nuestra sociedad algo tan "esotérico", para la mayoría, como es la mecánica cuántica, me di cuenta de lo asombroso y decisivo que ha sido un dispositivo llamado transistor. En su momento, allá por los años 40 del siglo pasado, empezó a sustituir a la válvula electrónica de tres electrodos llamada triodo. Básicamente hacía lo mismo, pero la válvula necesitaba un aporte grande de energía para alimentar un filamento que calentaba el electrodo llamado cátodo (electrodo negativo) para que desprendiera electrones, que eran canalizados hacia el ánodo (electrodo positivo) y regulados por el electrodo llamado rejilla.El conjunto debía estar protegido por una cápsula de vidrio con un gas inerte, que ayudaba a conservar y proteger los electrodos, y su funcionamiento necesitaba de tensiones elevadas y peligrosas.

El transistor fue una revolución por su bajo consumo, fiabilidad, tensiones pequeñas y reducido tamaño. Sus inventores, de los Laboratorios Bell, en Estados Unidos, fueron John Bardeen, Walter Houser Brattain y William Bradford Shockley que fueron galardonados con el Premio Nobel de Física en 1956.Con el tiempo se logró integrar en tamaños más pequeños y en grandes cantidades, formando circuitos de miles y millones de unidades que actualmente inundan toda nuestra industria y nuestras casas con miles de dispositivos capaces de controlarlo y automatizarlo todo.


Los ordenadores actuales y con ellos internet no habrían sido posibles. La sociedad actual es, en gran medida, el producto directo de este pequeño dispositivo que funciona según las leyes de la mecánica cuántica.


En un sustrato semiconductor, que suele ser de silicio, se crean dos regiones con impurezas N (colector y emisor, capaces de producir un exceso de electrones y entre ellas se crea una región P (llamada base), también con impurezas, con falta de electrones. Aplicando una pequeña corriente electrica, en los transistores llamados bipolares, o una pequeña tensión en los de efecto de campo, en la base se consigue que entre las dos regiones N se produzca una corriente elevada. Con una pequeña señal, en el electrodo llamado base, se consiguen grandes señales entre los dos electrodos de potencia llamados emisor y colector (esto ocurre en el transistor del tipo NPN, si las impurezas de los electrodos de potencia son P , el transistor se llama PNP). Además de ser utilizado como amplificador de señal, una función no menos importante es la de simple conmutador dejando pasar, o no, la señal en los ordenadores (bit 1 ó bit 0).



La mecánica cuántica nos enseña que los semiconductores son materiales con una gran separación entre dos estados cuánticos, que constituyen (a lo largo de toda la red cristalina), la llamada banda de valencia, o nivel energético de la última capa de elecrones del átomo, y la banda de conducción. Con la señal de la base se consigue que se acerquen los dos estados cuánticos separados y se permite que los electrones pasen a la banda superior y se comporten como en un material conductor.



En la figura:

Chip de Intel con 80 núcleos de procesamiento, millones de transistores en el espacio que ocupa una uña, y con capacidad para realizar un millón de millones de cálculos por segundo (teraflop). Hace 10 años un ordenador con la misma capacidad de cálculo ocupaba una superficie superior 185 metros cuadrados, utilizaba cerca de 10.000 procesadores, y consumía más de 500 kilovatios de electricidad.

La luz, algo sobre su historia.

La ciencia avanza, la mayoría de las veces, a trompicones. Se proponen las teorías, sobre ellas se discute y se las exprime con todo tipo de suposiciones y experimentos metódicos, coherentes con su estructura, hasta que son superadas por otras más perfectas, que sabemos que serán nuevamente superadas. Es todo un sano ejercicio de búsqueda de la verdad, a través de verdades imperfectas que son continuamente probadas por gente que aporta su inteligencia y esfuerzo, muchas veces de forma desinteresada.Esa es la verdadera historia de los grandes descubrimientos, aunque nos empeñemos en ponerles algunos pocos nombres propios, y ha sido la historia del descubrimento de la naturaleza de la luz.

Se atribuye a Euclides el descubrimiento de las leyes de la reflexión de la luz, sobre el año 300 a.C, pero fue en el siglo XVII cuando por una parte el genial científico inglés Isaac Newton, y por otra el matemático geómetra holandés Cristian Huygens desarrollaron dos teorías contrapuestas sobre la naturaleza de la luz. Newton propuso una teoría corpuscular, mientras que Huygens suponía que era un fenómeno ondulatorio.

Para Newton la luz estaba formada por pequeñísimos corpúsculos o partículas, y demostró las leyes de la reflexión y la difracción, en base a esa teoría. La luz se reflejaría como lo puede hacer una pelota cuando rebota sobre una superficie, y se refractaría al pasar de un medio a otro por la diferencia de velocidad de transmisión en los dos medios. De acuerdo con esa explicación suponía que en el medio más denso se transmitiría a mayor velocidad por ser atraidas las partículas luminosas más fuertemente (precisamente ocurre al revés).

La teoría verdadera era la que suponía Huygens, pero el gran prestigio de que gozaba Newton mantuvo la teoría ondulatoria arrinconada durante más de un siglo, hasta que los experimentos de Thomas Young y Auguste Jean Fresnel la corroboraron ya en el siglo XIX. Esto ha sucedido, en bastantes ocasiones. Las grandes figuras consiguen importantes avances, pero pueden actuar como rémoras en nuevos descubrimientos. Finalmente, en este caso el tiempo y nuevos descubrimientos, nada menos que el descubrimiento del cuanto de acción y con él el desarrollo de la mecánica cuántica, le devolvieron a Newton parte de la razón: la luz es un fenómeno ondulatorio, está formado por ondas electromagnéticas, pero a su vez puede considerarse formada por pequeñas partículas de luz (cuantos) llamados fotones. De esta doble naturaleza corpuscular y ondulatoria gozan todas las partículas y ondas.

Números complejos y tiempo imaginario.

Poco después de que Einstein publicara sus trabajos sobre relatividad especial, el matemático alemán Hermann Minkowski se dio cuenta de que, en cierto modo, el tiempo debía ser considerado como la cuarta coordenada complementaria de las tres coordenadas del espacio. En su discurso de inauguración de la 80 reunión de la Asamblea general alemana de científicos naturales y físicos el 21 de septiembre de 1908 pronunció una célebre frase:"Las ideas sobre el espacio y el tiempo que deseo mostrarles hoy descansan en el suelo firme de la física experimental, en la cual yace su fuerza. Son ideas radicales. Por lo tanto, el espacio y el tiempo por separado están destinados a desvanecerse entre las sombras y tan sólo una unión de ambos puede representar la realidad".



Desde entonces el espacio-tiempo cuatridimensional pasó a llamarse espacio de Minkowski. Si empleamos x,y y z para las tres coordenadas del espacio, tomaremos ct para la cuarta coordenada de tiempo, siendo c la velocidad de la luz. Sin embargo debemos multiplicar ct por otro factor que, sin destrozar la armonía del sistema tetradimensional de las coordenadas haga a la coordenada de tiempo físicamente diferente de las tres coordenadas espaciales. La matemática nos suministra precisamente este factor conocido como una "unidad imaginaria" que se designa con el símbolo i (i= raíz cuadrada de -1).

Los números complejos, con una parte real y otra imaginaria, también juegan un papel esencial en los formulismos de la mecánica cuántica. La propia probabilidad de los sucesos cuánticos llega a expresarse en función de números complejos llamados amplitudes de probabilidad. La probabilidad real se halla a partir de estos números, sumando el cuadrado de su parte real y el cuadrado de su parte imaginaria.

Esto nos da una idea de la importancia de los estos números, tanto en la teoria de la relatividad como en la mecánica cuántica y nos ayuda a introducirnos en la teoría de Hartle-Hawking sobre los comienzos del universo, que supone un universo sin límites y con un tiempo imaginario, como se entiende la parte no real de un número complejo.

Universo sin límites:Entre 1982 y 1983 Hawking trabajó con Jim Hartle, profesor de Física de la Universidad de California, en Santa Bárbara, y experto en relatividad y gravitación. En esta época demostraron la inexistencia de fronteras al calcular el estado inicial del Universo por medio de una aproximación de teoría cuántica de la gravedad. Si la propuesta de ausencia de límites es correcta, no habría ninguna singularidad, y las leyes de la Ciencia serían siempre válidas, incluso al comienzo del Universo.El modelo Hartle-Hawking, en principio, poseía una singularidad de Big-Bang cuando se le aplicaba la relatividad general clásica. En cambio, en la versión cuántica, carecía de singularidad.


En cierta forma los ceros y los infinitos que aparecen en la física clásica son suavizados por la mecánica cuántica: La energía más baja en el vacío no es nunca cero, como tampoco es nunca cero la extensión de un punto físico . La existencia del cuanto de acción impide una energía cero del vacío, como impide la medida exacta, a la vez, de una variación de energía y del tiempo asociado a dicha variación.El punto físico menor sería la llamada longitud de Planck, del orden de 10^-35 metros, lo que también elimina el infinito que resultaría de considerar las partículas subatómicas como puntuales: su densidad sería infinita y resultarían microscópicos agujeros negros.

Según el modelo de Hartle-Hawking si comenzamos en el momento presente y vamos hacia atrás en el tiempo, lo que aparentemente sería el punto origen de la descripción del tiempo real convencional, la naturaleza del tiempo cambia: la componente imaginaria del tiempo se hace más y más prominente hasta que, en último término, lo que debería ser la singularidad de la teoría clásica se desvanece. El Universo existiría porque es una estructura matemática autoconsistente. Puede imaginarse el tiempo real como una línea que va del principio al final del Universo. Pero también puede considerarse otra dirección del tiempo en ángulo recto al tiempo real. Esta última se denomina la dirección imaginaria del tiempo. En el tiempo imaginario, no habría ninguna singularidad en la que dejaran de regir las leyes de la Ciencia, ni ninguna frontera del Universo tras la cual tuviera que apelarse a Dios. El Universo no sería creado ni destruído. Simplemente existiría. Quizás el tiempo imaginario sea el auténtico tiempo real y lo que llamamos tiempo real sea sólo un producto de nuestra imaginación. En el tiempo real, el Universo tiene un principio y un fin. En el tiempo imaginario no hay singularidades ni límites.




Hartle: "Tiempo imaginario no se refiere a la imaginación: hace referencia a los números complejos. Como demostraron Einstein y Minkowsky, el espacio-tiempo constituye una geometría cuatridimensional. Es posible ir aún más lejos de estos conceptos. Si se miden las direcciones del tiempo utilizando números complejos, se obtiene una simetría total entre espacio y tiempo, que es, matemáticamente, un concepto muy bello y natural". Don N. Page: " En la formulación de la ausencia de límites de Hartle-Hawking, el tiempo es imaginario, y en vez de tener un borde es como si se tratara de la superficie del planeta Tierra. Suponiendo tiempo imaginario, el Universo no tuvo comienzo, no tiene límite, es una totalidad en sí mismo”.


Recientemente ( 2002) y en base al descubrimiento de la aceleración que se está produciendo en la expansión del Universo, Susskind ha presentado un trabajo que desafía la teoría de Hartle-Hawking. En un artículo reciente (diciembre de 2006) Don N. Page ( University of Alberta) ilustra los argumentos de Susskind. Independientemente de que el modelo sea verdadero o no, nos habrá valido para conocer mejor los orígenes del Universo y para conocer las poderosas propiedades de los números complejos.

Roger Penrose (junto con Stephen Hawking, uno de los físicos actuales más brillantes), en su último libro” El camino a la realidad”, nos comenta: “... los números complejos componen una notable unidad con la naturaleza.Es como si la propia naturaleza estuviera tan impresionada por el alcance y consistencia del sistema de los números complejos como lo estamos nosotros, y hubiera confiado a estos números las operaciones detalladas de su mundo en sus escalas más minúsculas”. Se refiere a la mecánica cuántica, pero realmente su importancia se refleja en toda la naturaleza, porque la cosmología, en los primeros instantes del universo se confunde con el mundo microscópico de las partículas elementales.