Fractal by displacement
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| Georg Cantor |
En 1884, Cantor, y en 1904, Koch engendraron una especie de
monstruos o quimeras, unas figuras intermedias entre puntos y líneas,
líneas y superficies, o superficies y volúmenes, a las que Mandelbrot llamó
fractales. Para ellas, en general, su
dimensión de Hausdorff (y Besicovitch) o dimensión fractal es una fracción, y
su valor es diferente a su dimensión topológica y normalmente mayor.
La
dimensión fractal nos indica la parte del espacio que es capaz de cubrir un
fractal. De hecho, cuando decimos que un fractal tiene
dimensión 1,237 queremos decir que ocupa más que una recta (dimensión 1) y
menos que un plano (dimensión 2). El valor de la dimensión fractal podría
decirse que se forma a partir de dos sumandos, uno es la dimensión topológica
del objeto matemático que lo forma y el otro depende de la irregularidad que
presente el fractal. Existen curvas fractales de dimensión 2, capaces por
tanto de cubrir el plano. El movimiento browniano de hecho tiene dimensión
fractal 2 y es sumamente intrincado e irregular, el factor dimensional que se
suma a la dimensión topológica (dimensión 1) es, también, de valor 1.
Durante más de 50 años se han estudiado fractales cuya
dimensión suele ser no entera, y uno de los primeros fue el monstruo de Cantor (polvo de Cantor) que
vemos en la figura siguiente. Se parte de un segmento al que quitamos su tercio
central. En las siguientes iteraciones volvemos a repetir la operación con los
segmentos resultantes y así hasta el infinito. Se obtienen infinitos segmentos
que tienden a cero longitud (infinitos puntos). Su dimensión fractal es:
Dim_fractal = log (2)/
log (3) = 0,6309297 , pues del segmento original de valor 3 sólo tomamos los 2 tercios
extremos.
¿Pero qué pasaría si el tercio central no lo eliminamos
sino que sólo lo desplazamos? Ahora tendríamos un polvo de Cantor modificado
tal como lo vemos en la figura siguiente. ¿Cuál sería ahora su dimensión
fractal? Fijándonos en cómo la hemos calculado antes, ahora del segmento
original de valor 3 no eliminamos ningún tercio, por lo que su dimensión sería:
Dim_fractal = log (3) / log (3) = 1. Y es lógico, porque el
fractal sigue ocupando el mismo espacio que el segmento original, aunque pulverizado. El resultado es un polvo fractal de dimensión entera.
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| Helge von Koch |
Hemos realizado la dislocación o desplazamiento de un objeto matemático de una dimensión, un segmento, y hemos obtenido así una especie de polvo de Cantor modificado, pero puede conseguirse el mismo efecto con una figura geométrica de dimensión 2 ó de dimensión 3. En sucesivos post veremos un caso de dislocación de un cuadrado (dos dimensiones) y de un cubo (tres dimensiones).
Los objetos geométricos que conseguimos de esta forma tienen autosemejanza en todas las escalas como los típicos fractales geométricos, pero su dimensión sigue siendo la misma que la de la figura inicial de la que proceden, es decir siguen siendo de dimensión entera.
Un saludo amigos.Os remito a un antiguo post en el que ya trataba este tema. La curva de Koch, también llamada copo de nieve de Koch, veremos que nos permite construir un fractal por desplazamiento similar a dicha curva. También podéis consultar un trabajo reciente que me ha publicado la revista Inglomayor de la Universidad Mayor de Chile. Hay que puntualizar que como indico se pueden lograr polvos fractales de dimensión entera por dislocación o desplazamiento de figuras autosemejantes de 1, 2 ó 3 dimensiones, pero mientras sus dimensiones fractales siguen siendo las dimensiones de la figura inicial, la dimensión topológica del polvo resultante no puede ser otra que cero.