La información, el azar y el número Pi

La información se nos presenta como una entidad fundamental, no sólo a nivel de la estructura física de la materia (entropía) sino de la propia estructura de los números trascendentes, tales como Pi , y también del resto de los números irracionales, que constan de infinitos decimales dispuestos de forma aleatoria, como por ejemplo la raíz cuadrada de 2. El azar que encontramos en infinidad de procesos naturales, o en los números, es extraordinariamente difícil de simular de forma artificial, lleva asociado un nivel de información neutro (cero información añadida), que en cierta forma es una restricción poderosa y de gran calado.

El número Pi es, junto con el número e, uno de los números llamados trascendentes más famoso. Es la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro, y aparece en infinidad de expresiones matemáticas o físicas. Desde la antiguedad, muchas veces por cuestiones prácticas, se ha tratado de calcular el mayor número de decimales para conseguir más precisión en las medidas (en la figura, Arquímedes de Siracusa - 250 a.C - lo calculó con la aproximación: entre 3+10/71 y 3+1/7). Casi a semejanza de los alquimistas que trataban de conseguir la piedra filosofal, los geómetras de todos los tiempos han tratado de hallar la cuadratura del círculo. Actualmente gracias a la potencia de cálculo de nuestros ordenadores se han conseguido millones de sus decimales. Teóricamente tiene infinitos decimales y deben estar situados de forma completamente aleatoria, de manera que al cabo de miles de millones de trillones de decimales que busquemos podremos encontrar cualquier combinación, que convenientemente codificada podría contener: El Quijote, Romeo y Julieta, la Biblia o este propio escrito.

Existen varias páginas que encuentran cualquier combinación de números entre las cifras de Pi, y nos dicen a partir de qué decimal se puede encontrar. Al reflexionar sobre ello, pensé que se podría codificar, de forma ventajosa, cualquier información sobre esta base y me puse manos a la obra. Busqué la posición de una codificación al azar, el número 11, y la encontré a partir del decimal 94. El número 111 a partir del decimal 153 y así hasta el 11111111 que se encuentra a partir de la posición 159 090 113, en la ristra de decimales del número Pi. Pronto me di cuenta de que no significaba ninguna simplificación pues para dar la posición dentro de Pi de un determinado código, se necesitarían, en general, un número de dígitos igual o superior a la propia codificación que se busca. Repetí la búsqueda para la codificación 121212 que se encuentra a partir de la posición 241 987 (seis dígitos para definir la búsqueda del código 121212) : 3,14 .......28979301308065657163 121212 07914290705421508889........ En base a esta suposición el Quijote se encontraría codificado, en los dígitos del número Pi, alrededor del decimal 4x10^1000000 (un 4 seguido de un millón de ceros), más o menos.

En cierta forma, podríamos decir que la información mínima ni se crea ni se destruye, simplemente se transforma. El azar no debe llevar implícitamente ninguna información que pueda después utilizarse y esto lo encontramos en infinidad de procesos naturales, o en los números. Supongo que debe ser así, pues no sería lógico que pudiésemos codificar El quijote, por dar un código como ejemplo, con otro código mucho menor, irrazonablemente menor. Si codificamos y comprimimos ese código, la forma de indicar su posición dentro de Pi deberá contener una información similar. Al menos eso es lo lógico, y en base a esa lógica de cero información añadida, o información neutra, deben estar distribuidos al azar los dígitos de Pi y de los innumerables números irracionales con infinitos dígitos.

Nueva edición del post de fecha 27/06/2011. Un saludo amigos.

Parábolas y catástrofes

 No es posible encontrar una noción mas estética que la reciente
Teoría de las Catástrofes de René Thom, que se aplica tanto a la
geometría del ombligo parabólico como a la deriva de los continentes.
La Teoría de René Thom ha encantado todos mis átomos desde que la
conocí ....
Dalí, 1985.

La teoría topológica de las singularidades y bifurcaciones, conocida como Teoría de Catástrofes (TC), fue introducida por el matemático y filósofo francés René Thom para estudiar los saltos o cambios que se producen en los sistemas dinámicos. Estudia desde el punto de vista matemático lo que vulgarmente se conoce como la "gota que colma el vaso", esa mínima gota que provoca que el agua se derrame y se pase de un estado inestable a otro estable.


Intuitivamente, y de forma simplificada (topología “superelemental”), los puntos interiores de un conjunto continuo serían puntos regulares y los puntos que forman su frontera serían puntos catastróficos. Los puntos regulares están rodeados de puntos que tienen la misma apariencia cualitativa en los que no "ocurre nada", todo sigue igual (continuidad). En lospuntos de la frontera o catastróficos siempre"ocurre algo", pasa de haber una continuidad del sistema a encontrarnos con un cambio radical.__Esta distinción entre puntos regulares y catastróficos es preliminar no sólo para la teoría de las catástrofes, sino para cualquier disciplina que establezca descripciones sobre cualquier forma teórica__. René Thom demostró que para los sistemas en los que interviene una o dos variables y en los que influyen hasta cuatro parámetros (tiempo, temperatura, gradientes...), hay siete rupturas o catástrofes elementales (morfologías o formas), a las que se han dado nombres muy plásticos e intuitivos: pliegues, cúspides, colas de milano, mariposas y ombligos elíptico, hiperbólico y parabólico.


En palabras suyas:" La TC se esfuerza por describir las discontinuidades que pudieran presentarse en la evolución del sistema.. Intuitivamente, se admite que la evolución global de un sistema se presenta como una sucesión de evoluciones continuas, separadas por saltos bruscos de naturaleza cualitativamente diferente. Para cualquier tipo de evolución continua subsiste el marco del tipo diferencial clásico, pero los saltos hacen que se pase de un sistema diferencial a otro. Se salta de una evolución continua descrita por un sistema de ecuaciones diferenciales a otra evolución continua descrita por otro sistema y no se puede excluir que un número finito de sistemas no sea suficiente para describir la situación por completo." Realmente, aclara que más que una teoría, es una metodología, o acaso una especie de lenguaje, que permite organizar los datos de la experiencia en las condiciones más diversas.


René Thom ha sabido acercar las Matemáticas a las «morfologías», y ha estudiado con herramientas topológicas la aparición, la estabilidad y la desaparición de formas; ha encontrado el sentido de las cosas, en tanto en cuanto son formas o morfologías, a partir de ciertos invariantes que son las rupturas o singularidades. Así ha podido clasificar las maneras de proceder ante esas rupturas –las famosas «catástrofes» elementales– en sistemas dinámicos, tan variados que pueden ser físicos, linguísticos, biológicos o sociales.



A pesar del fracaso –según los cánones del positivismo– de la TC como teoría científica aplicada, Thom ha abierto las matemáticas a las formas o morfologías del mundo, con el fin de comprenderlo, de encontrar su sentido, y no sólo movidas por el interés de predecir sucesos, clásico ejercicio decimonónico de la ciencia. Y ha empezado a mostrar su poder para hacerlo al permitir acercarse a través de muchos de su conceptos fundamentales –estabilidad estructural, bifurcaciones, atractores...– a la comprensión de fenómenos naturales tan complejos y tan corrientes como «la forma de una nube, la caída de una hoja, la espuma de un vaso de cerveza».



-->Libro : "Parábolas y catástrofes", de René Thom. Una larga entrevista en la que consigue aclarar el sentido profundo de las analogías ("parábolas") que explican algunos de los más enigmáticos y fascinantes fenómenos discontínuos (o "catástrofes"). René Thom, en los años setenta, desafió en su propio terreno a físicos y biólogos, a economistas y lingüistas, proponiendo, con su teoría de catástrofes, una nueva manera de considerar todas las transformaciones que se producen de modo brusco, imprevisto, dramático.


-->Web : Matemáticas y ciencias morfológicas. Homenaje a René Thom.

Reedición de un antiguo post de 2007. Os añado una pequeña reflexión humorística sobre el tema. 

La estupidez y la teoría de catástrofes

Normalmente, lo que vivimos en un determinado momento es capaz de ser predicho con un margen razonable , lo que origina una cierta conciencia de continuidad (normalidad) . Esta continuidad suele ser rota por acontecimientos inesperados que, en muchas ocasiones por nuestra propia ignorancia, solemos meter en una especie de saco llamado azar. Un porcentaje de estos suele tener el origen en la estupidez humana.

La vida se compone de una parte racional, continua y ,por tanto, esperada y de otra parte discontinua que, en muchos casos, la enriquece. La estupidez puede ser muy destructiva (a priori casi siempre lo es) , pero la ruptura que introduce puede tener efectos enriquecedores y muy positivos. En este sentido puede entenderse su contribución no como “motor” sino como moduladora de los acontecimientos. El motor creo que siempre es la voluntad.

La rotura de la continuidad es estudiada por la llamada teoría de las catástrofes (entendiendo por catástrofe la simple ruptura de esa continuidad). En ese sentido la estupidez como la capacidad opuesta a la razón , y a la continuidad que ella representa, podría entenderse como catastrófica.

Catástrofes aparte, el mejor libro escrito nunca sobre la estupidez humana es, sin duda, el libro del profesor italiano Carlo M. cipolla:"Allegro ma non troppo". Incluye dos ensayos, "El papel de la pimienta en el desarrollo económico de la Edad Media" y "Las leyes fundamentales de la estupidez humana", cuya Primera ley Fundamental dice así: "Siempre e inevitablemente cada uno de nosotros subestima el número de indivíduos estúpidos que circulan por el mundo". Es un librito de 85 páginas editado por Mondadori (1999), ISBN:8439703058.