“En particular, nuestras leyes de la física surgen de la
geometría de las dimensiones extra. Comprender esta geometría
vincula la teoría de cuerdas con algunas de las cuestiones más
interesantes de las matemáticas modernas y ha arrojado nueva
luz sobre ellas, como la simetría especular” (Polchinski, 2015).
En este post analizamos la energía del vacío como un
simple fractal. Con matemáticas elementales y un enfoque
novedoso, estudiaremos sus propiedades.
In this letter we analyze the vacuum energy as a simple fractal.
With elementary mathematics and a novel approach, we will
study its properties.
Palabras clave: energía del vacío, dimensiones compactas,
dimensión fractal relativa, transición de dimensiones,
generalización cuántica hipotética
Keywords: Vacuum energy, compact dimensions, relative fractal
dimension, transition of dimensions, hypothetical quantum generalization
1 Introducción
La existencia del cuanto de acción de Planck convierte el
universo clásico y determinista de Newton en un universo
cuántico, con el principio de incertidumbre de Heisenberg.
El vacío se llena con una energía de punto cero (ZPE)
con un valor mayor cuanto menor sea la distancia considerada.
La longitud mínima considerada, denominada longitud de
Planck (lp), está asociada a una energía máxima denominada
energía de Planck (Ep). Para una distancia n (lp) la energía
asociada es (Ep)/n, donde “n” es un número natural.
Esta propiedad, conservada a todas las escalas conocidas,
nos ayudará a analizar este fractal.
2 Dimensión fractal, estudio del movimiento browniano y el
copo de nieve de Koch
La dimensión fractal se compone de dos sumandos, la
dimensión topológica y un coeficiente dimensional
(topol_dim + dimens_coef.). Cuanto más irregular es el fractal,
mayor es el coeficiente dimensional. Para nuestro estudio
es interesante analizar fractales simples como la trayectoria
fractal del movimiento browniano, de dimensión topológica 1.
Movimiento browniano (britannica.com, 23 de diciembre
de 2021), también llamado movimiento browniano,
cualquiera de varios fenómenos físicos en los que alguna
cantidad experimenta constantemente pequeñas fluctuaciones
aleatorias. Debe su nombre al botánico escocés Robert Brown,
el primero en estudiar tales fluctuaciones (1827).
Para que una partícula, que se mueve con un movimiento
browniano, se aleje N pasos efectivos, debe dar N2 pasos
en total. Los N pasos efectivos se consideran en línea recta,
en una dimensión. Los pasos N2 ocurren en un espacio
de dos o más dimensiones. La relación log (N2) / log (N) = 2
nos da el valor de su dimensión fractal (propiedad básica
de las líneas fractales) [1]. La dimensión topológica
es 1 y el coeficiente dimensional también es 1. El valor 2 de la
dimensión fractal indica que un movimiento lineal, de dimensión
topológica 1, puede llenar un plano, de dimensión topológica 2.
En movimiento browniano, y en general, valor fractal =
N2 = distanciadimensión_fractal.
Esto también se puede observar en la curva de Koch,
en la figura 1. En la primera iteración, el lado que
mide 3 segmentos se convierte en 4 segmentos. La dimensión
fractal es log 4 / log 3 = 1,26186. En una dimensión 3 segmentos,
se convierten en 4 segmentos en dos dimensiones (el plano):
4= 31,26186, 4=3dimension_fractal (Mandelbrot, 1987).
En el siguiente link:
https://drive.google.com/file/d/13r8DJEHhA2z3c3vHuO6QSjPPqzUwcvX6/view?usp=sharing
The Vacuum Energy Fractal, the Amazing Quantum Vacuum
“En particular, nuestras leyes de la física surgen de la
geometría de las dimensiones extra. Comprender esta geometría
vincula la teoría de cuerdas con algunas de las cuestiones más
interesantes de las matemáticas modernas y ha arrojado nueva
luz sobre ellas, como la simetría especular” (Polchinski, 2015).
“In particular, our laws of physics arise from the geometry
of the extra dimensions. Understanding this geometry ties string
theory to some of the most interesting questions in modern
mathematics, and has shed new light on them, such as
mirror symmetry” (Polchinski, 2015).