Números complejos y tiempo imaginario.

Poco después de que Einstein publicara sus trabajos sobre relatividad especial, el matemático alemán Hermann Minkowski se dio cuenta de que, en cierto modo, el tiempo debía ser considerado como la cuarta coordenada complementaria de las tres coordenadas del espacio. En su discurso de inauguración de la 80 reunión de la Asamblea general alemana de científicos naturales y físicos el 21 de septiembre de 1908 pronunció una célebre frase:"Las ideas sobre el espacio y el tiempo que deseo mostrarles hoy descansan en el suelo firme de la física experimental, en la cual yace su fuerza. Son ideas radicales. Por lo tanto, el espacio y el tiempo por separado están destinados a desvanecerse entre las sombras y tan sólo una unión de ambos puede representar la realidad".



Desde entonces el espacio-tiempo cuatridimensional pasó a llamarse espacio de Minkowski. Si empleamos x,y y z para las tres coordenadas del espacio, tomaremos ct para la cuarta coordenada de tiempo, siendo c la velocidad de la luz. Sin embargo debemos multiplicar ct por otro factor que, sin destrozar la armonía del sistema tetradimensional de las coordenadas haga a la coordenada de tiempo físicamente diferente de las tres coordenadas espaciales. La matemática nos suministra precisamente este factor conocido como una "unidad imaginaria" que se designa con el símbolo i (i= raíz cuadrada de -1).

Los números complejos, con una parte real y otra imaginaria, también juegan un papel esencial en los formulismos de la mecánica cuántica. La propia probabilidad de los sucesos cuánticos llega a expresarse en función de números complejos llamados amplitudes de probabilidad. La probabilidad real se halla a partir de estos números, sumando el cuadrado de su parte real y el cuadrado de su parte imaginaria.

Esto nos da una idea de la importancia de los estos números, tanto en la teoria de la relatividad como en la mecánica cuántica y nos ayuda a introducirnos en la teoría de Hartle-Hawking sobre los comienzos del universo, que supone un universo sin límites y con un tiempo imaginario, como se entiende la parte no real de un número complejo.

Universo sin límites:Entre 1982 y 1983 Hawking trabajó con Jim Hartle, profesor de Física de la Universidad de California, en Santa Bárbara, y experto en relatividad y gravitación. En esta época demostraron la inexistencia de fronteras al calcular el estado inicial del Universo por medio de una aproximación de teoría cuántica de la gravedad. Si la propuesta de ausencia de límites es correcta, no habría ninguna singularidad, y las leyes de la Ciencia serían siempre válidas, incluso al comienzo del Universo.El modelo Hartle-Hawking, en principio, poseía una singularidad de Big-Bang cuando se le aplicaba la relatividad general clásica. En cambio, en la versión cuántica, carecía de singularidad.


En cierta forma los ceros y los infinitos que aparecen en la física clásica son suavizados por la mecánica cuántica: La energía más baja en el vacío no es nunca cero, como tampoco es nunca cero la extensión de un punto físico . La existencia del cuanto de acción impide una energía cero del vacío, como impide la medida exacta, a la vez, de una variación de energía y del tiempo asociado a dicha variación.El punto físico menor sería la llamada longitud de Planck, del orden de 10^-35 metros, lo que también elimina el infinito que resultaría de considerar las partículas subatómicas como puntuales: su densidad sería infinita y resultarían microscópicos agujeros negros.

Según el modelo de Hartle-Hawking si comenzamos en el momento presente y vamos hacia atrás en el tiempo, lo que aparentemente sería el punto origen de la descripción del tiempo real convencional, la naturaleza del tiempo cambia: la componente imaginaria del tiempo se hace más y más prominente hasta que, en último término, lo que debería ser la singularidad de la teoría clásica se desvanece. El Universo existiría porque es una estructura matemática autoconsistente. Puede imaginarse el tiempo real como una línea que va del principio al final del Universo. Pero también puede considerarse otra dirección del tiempo en ángulo recto al tiempo real. Esta última se denomina la dirección imaginaria del tiempo. En el tiempo imaginario, no habría ninguna singularidad en la que dejaran de regir las leyes de la Ciencia, ni ninguna frontera del Universo tras la cual tuviera que apelarse a Dios. El Universo no sería creado ni destruído. Simplemente existiría. Quizás el tiempo imaginario sea el auténtico tiempo real y lo que llamamos tiempo real sea sólo un producto de nuestra imaginación. En el tiempo real, el Universo tiene un principio y un fin. En el tiempo imaginario no hay singularidades ni límites.




Hartle: "Tiempo imaginario no se refiere a la imaginación: hace referencia a los números complejos. Como demostraron Einstein y Minkowsky, el espacio-tiempo constituye una geometría cuatridimensional. Es posible ir aún más lejos de estos conceptos. Si se miden las direcciones del tiempo utilizando números complejos, se obtiene una simetría total entre espacio y tiempo, que es, matemáticamente, un concepto muy bello y natural". Don N. Page: " En la formulación de la ausencia de límites de Hartle-Hawking, el tiempo es imaginario, y en vez de tener un borde es como si se tratara de la superficie del planeta Tierra. Suponiendo tiempo imaginario, el Universo no tuvo comienzo, no tiene límite, es una totalidad en sí mismo”.


Recientemente ( 2002) y en base al descubrimiento de la aceleración que se está produciendo en la expansión del Universo, Susskind ha presentado un trabajo que desafía la teoría de Hartle-Hawking. En un artículo reciente (diciembre de 2006) Don N. Page ( University of Alberta) ilustra los argumentos de Susskind. Independientemente de que el modelo sea verdadero o no, nos habrá valido para conocer mejor los orígenes del Universo y para conocer las poderosas propiedades de los números complejos.

Roger Penrose (junto con Stephen Hawking, uno de los físicos actuales más brillantes), en su último libro” El camino a la realidad”, nos comenta: “... los números complejos componen una notable unidad con la naturaleza.Es como si la propia naturaleza estuviera tan impresionada por el alcance y consistencia del sistema de los números complejos como lo estamos nosotros, y hubiera confiado a estos números las operaciones detalladas de su mundo en sus escalas más minúsculas”. Se refiere a la mecánica cuántica, pero realmente su importancia se refleja en toda la naturaleza, porque la cosmología, en los primeros instantes del universo se confunde con el mundo microscópico de las partículas elementales.