Dos factores en oposición geométrica: Método de estabilización de fractales.

 

Abstract

We will study the trajectory of Brownian motion to understand the dependence of spatial fractals on distance. Additionally, we will generalize the concept of fractal dimension and discover that the compaction of dimensions provides a form of geometric stabilization in fractals.

Estudiaremos la trayectoria del movimiento browniano para entender la dependencia de los fractales espaciales con la distancia. También generalizamos el concepto de dimensión fractal y descubriremos que la compactación de dimensiones nos ofrece una forma de estabilización  geométrica en los fractales.

Palabras claves: Dimensión fractal, dimensiones compactadas, coeficiente dimensional positivo y  negativo, estabilización de fractales.

Dimensión fractal

En la introducción de su libro, “Los objetos fractales” , Mandelbrot (1987) habla de la trayectoria del movimiento browniano, al que ya Wiener (principal fuente de su inspiración, tal como él mismo afirma), lo caracterizó como una curva continua cuya dimensión fractal “toma un valor enteramente anormal, a saber D=2”, porque los fractales más característicos suelen tener dimensiones no enteras entre 0/3. 

Aunque nos centraremos en el movimiento browniano clásico, queremos resaltar que las trayectorias virtuales de las partículas cuánticas, debido a la desigualdad de Heisenberg relativa al impulso y la posición gozan de una misma característica esencial: su dimensión fractal. Estas trayectorias virtuales aparecen lisas con poca resolución, pero presentan anfractuosidades persistentes cuando se aumenta la capacidad de resolución. Entran dentro de lo que Mandelbrot llamó fractales (Cohen-Tannoud,G. y Spiro, I.M.1988). Considerando la integral de camino de Feynman, las trayectorias posibles que contribuyen a la trayectoria virtual se interpretan como trayectorias fractales con una dimensión D=2 (Nottale, L., 1992).

En el movimiento browniano nos encontramos con una trayectoria, una línea de dimensión topológica d=1 tan irregular que es capaz de cubrir un plano de dimensión topológica d=2. Este movimiento tan característico nos interesa para estudiar los fractales y su dependencia con la distancia y con el espacio que ocupan.

En general, podremos decir que la dimensión fractal “D” es igual a la dimensión topológica “d” más un coeficiente dimensional “δ”:   

Dimensión fractal:            D = d + δ           (1)

Cuando más irregular sea el fractal mayor será el coeficiente dimensional. De hecho, puede haber curvas fractales con dimensión fractal D=3 capaces de llenar el espacio.

Dependencia del fractal con la distancia

Nos interesa estudiar la expresión del cálculo de la dimensión de las curvas fractales a partir de los datos que nos ofrece la primera iteración, para determinar su dependencia con la distancia. Para la curva de Koch: D = Log 4 / Log 3 = 1,2618. Para el movimiento browniano, siendo n el número de pasos: D = Log n^2 / Log n = 2.

Curva de Koch

En el movimiento browniano observamos que la distancia recorrida en línea recta n pasos, necesita del orden de n^2 pasos. El exponente, que es la dimensión fractal, liga la distancia (n) con el valor del fractal (n^2). Para la curva de Koch, ocurre lo mismo: la distancia (3) está ligada al valor del fractal (3^1,2618 = 4).

Dimensión fractal relativa

En fractales isotrópicos con dimensión topológica superior a la unidad puede ser útil dividir la dimensión fractal por la topológica. Reducimos así la dispersión de resultados y encontramos más fácilmente símiles con ejemplos sencillos como trayectorias unidimensionales.

Dimensión fractal relativa:  Dr = ( d + δ ) / d     (2)

Podemos tener dos fractales con la misma dimensión siendo muy diferentes: supongamos una línea fractal muy intrincada de dimensión 3 (capaz de cubrir un espacio) y un plano también de dimensión fractal 3.

En el primer caso la dimensión fractal relativa seguiría siendo 3, pero en el segundo caso sería 3/2, considerablemente menor y, por tanto, mucho menos irregular. Este valor tiene la ventaja, también, de que nos conduce fácilmente a averiguar la dependencia del valor del fractal con la distancia y viceversa

Factor dimensional que se resta a la dimensión topológica

A la operación de sumar un factor dimensional, que cuantifica el grado de irregularidad y de fragmentación del fractal, podemos oponer una operación  inversa de resta de dimensiones. Una forma simple, por ejemplo, podría ser la operación de enrollar una cuartilla de papel muy fino hasta dejarla convertida en un hilo: de tener  dos dimensiones habríamos pasado a tener sólo una dimensión significativa y otra compactada. A un objeto de dimensión 2 le habríamos restado una dimensión. En realidad, la misma cuartilla puede ocupar, de hecho, más de dos dimensiones, si la arrugamos a lo largo de toda su integridad, y sólo una dimensión si la enrollamos.

Estabilización de los fractales

Vamos a llevar esta resta a la ecuación de la dimensión fractal relativa (2). Imaginamos una transformación T que resta a la dimensión topológica d, un valor entero ε, transforma d en (d-ε). La ecuación de la dimensión fractal relativa quedará de la siguiente forma:

Dr’ = (d-ε+δ) / (d-ε)          (3)

Para un valor ε=δ la expresión (3)  quedaría de la siguiente forma:

Dr’ = (d) / (d-ε)                 (4)                

Lo importante de esta expresión es que puede tomar valores negativos para d < ε lo que significaría una dimensión fractal relativa negativa y una dependencia del fractal con el inverso de la distancia. Lo que indicaría una estabilización muy extrema del fractal. 

La ecuación (4) con ε dimensiones compactadas y d   dimensiones ordinarias nos sugieren la teoría de cuerdas (Weinberg, S. et al., 1990). De hecho, para d=3  y  ε=6, el valor de la dimensión fractal relativa modificada sería: Dr’ =-1. 

Polchinski, J. (2015) en su trabajo comentaba: "In particular, our laws of physics arise from the geometry of the extra dimensions. Understanding this geometry ties string theory to some of the most interesting questions in modern mathematics, and has shed new light on them, such as mirror symmetry"  

Para Polchinski, como para Einstein, la geometría está detrás de nuestras leyes físicas. Para la particular combinación de dimensiones ordinarias y compactadas  según la teoría de cuerdas emergió nuestro universo y sus leyes (hipotéticamente). 

Ejemplo simple de estabilización fractal de turbulencia en fluidos

Según lo visto, las dimensiones compactadas ofrecen un efecto estabilizador del fractal y posibilitan que su dimensión fractal relativa pueda ser, incluso, negativa. Mandelbrot (1987) propone, en su libro “Los objetos fractales”, a los fractales como herramienta para estudiar la geometría de la turbulencia. Piensa que, en realidad, es natural desde el punto de vista histórico, si se  tiene en cuenta el nexo entre los conceptos de fractal y de homotecia interna. La corriente turbulenta en un fluido está caracterizada por una medida intrínseca de escala, el número de Reynolds.

Vamos a ver un ejemplo sencillo de dimensión compactada en una tubería cuadrada de lado L que con la distancia va cambiando a una sección rectangular de (100 L) x (L / 100). Como vemos, se mantiene la misma sección LxL, pero una de las dimensiones se multiplica por 100 y la otra se divide o compacta hasta cien veces más pequeña. El flujo y la velocidad se mantienen en la tubería, pero el número de Reynolds (Re), característico del régimen laminar/turbulento, que es directamente proporcional al diámetro medio hidraúlico (Dh) pasaría de valer, aproximadamente: (Re)/50. Dado que el nuevo diámetro medio hidraúlico sería: (Dh)/50 (White, F.M. 2004).

Recopilación

La dimensión fractal tiene dos componentes que se suman, la dimensión topológica y un coeficiente dimensional positivo. El hecho de hacer desaparecer una dimensión resta un coeficiente dimensional a la dimensión topológica. Se realiza una operación opuesta al coeficiente positivo. Con la dimensión fractal relativa reducimos  la dispersión de resultados y encontramos más fácilmente símiles con ejemplos sencillos como trayectorias unidimensionales. Además nos ha permitido encontrar un posible efecto estabilizador de turbulencias.

Bibliografía

Mandelbrot, B. (1987), Los objetos fractales, Barcelona, Tusquets Editores.

Cohen-Tannoud,G. y Spiro, I.M. (1988), La materia- espacio-tiempo, Madrid, Espasa-Calpe.

Nottale, L., (1992), The Theory of Scale Relativity, Int. J. Mod. Phys. A7, 4899-4936 

Weinberg, S. et al., (1990), Supercuerdas ¿Una teoría de todo?, P.C.W. Davies y J. Brown (Eds.), Madrid, Alianza Editorial.

Polchinski, J. (2015), String theory to the rescue. ArXiv: 1512.02477 v5 [hep-th]

White, F.M. (2004), Mecánica de fluidos 5ª Ed. Madrid, McGraw-Hill, Inc.

Universo holográfico

 

Los resultados teóricos relativos a la entropía de los agujeros negros llevan a concluir que el universo podría ser un inmenso holograma. Jacob D. Bekenstein.

Del estudio de las propiedades de los agujeros negros se han deducido los límites absolutos que acotan la información que cabe en una región del espacio. Teniendo en cuenta que esos límites dependen de la materia y energía contenida en ese espacio es asombroso que se pueda deducir un límite sin conocer ni siquiera , con absoluta certeza, el último componente de la materia ( se cree que los quarks y los electrones son excitaciones de supercuerdas que deben ser los entes fundamentales, pero no se descartan niveles más bajos).

La clave está en la entropía, en 1877 , Ludwing Boltzmann la caracterizó como el número de estados microscópicos distintos ( N) en los que pueden hallarse las partículas que componen un trozo de materia de forma que siga pareciendo el mismo trozo desde un punto de vista macroscópico.

Las dos entropías: Cuando el matemático Claude E. Shannon buscó una manera de cuantificar la información contenida en un mensaje, la lógica le llevó a una fórmula que tenía el mismo aspecto que la de Boltzmann. Después se vio que la entropía termodinámica y la de Shannon son conceptualmente equivalentes: el número de configuraciones que se cuentan en la entropía de Boltzmann refleja la cantidad de información de Sannon que se necesitaría para realizar cualquier configuración determinada.

Se pensaba que cuando caía la materia en un agujero negro desaparecía también con ella su entropía, pero Demetrious Christodoulou ( 1970) y Stephen W. Hawking demostraron que en el proceso de fusión de dos agujeros negros, nunca decrecía el área total de los horizontes de sucesos. A partir de estos estudios y del posterior descubrimiento de que los agujeros negros emiten radiación , precisamente llamada radiación de Hawking ( 1974) ser su descubridor, se determinó la constante de proporcionalidad entre la entropía de un agujero negro y el área del horizonte: La entropía del agujero negro es exactamente una cuarta parte del área del horizonte de sucesos medida en áreas de Plank ( 10 ^–66 centímetros cuadrados). Es como si la entropía, en cuanto medida de información, estuviese escrita sobre el horizonte de sucesos, de suerte que cada bit ( cada 0 ó 1 de la codificación digital) correspondiera a 4 áreas de Planck.

Este sorprendente resultado tiene una explicación natural si es cierto el principio holográfico propuesto en 1993 por el Premio Nobel Gerard `t Hooft, de la Universidad de Utrech, y elaborado por Leonard Susskind. Sobre esta teoría, Juan Maldacena, de la Universidad de Harvard, en un reciente artículo de enero del 2006, en Investigación y Ciencia, afirma que: “ La fuerza de la gravedad y una de las dimensiones espaciales quizá procedan de las peculiares interacciones, entre partículas y campos, existentes en un espacio con menos dimensiones”.

La descripción tridimensional con ley de gravedad sería equivalente a la descripción holográfica sin gravedad y en dos dimensiones, de modo que un determinado cálculo demasiado difícil en una descripción puede resultar trivial en la otra. A pesar de su radical diferencia, las dos teorías describirían por igual todo lo que vemos y cualquier dato que pudiésemos recoger sobre el funcionamiento del universo.

Un holograma es un objeto bidimensional que codifica toda la información que describe la imagen tridimensional. Nuestro Universo tridimensional podría estar codificado en una superficie que lo contiene, como una especie de inmenso holograma. Los experimentos de física de partículas de altas energías, según Juan Maldacena, quizás hayan encontrado ya indicios de la validez de este principio.

Nota final: En el post sobre los condensados de Bose–Einstein, me llamó la atención un artículo del Dr. Fernando Sols de la Universidad Complutense. En él hablaba de separar un condensado de varios millones de átomos en dos partes tratando de que siguieran estando en coherencia cuántica. Le comenté, por correo, que con este tipo de “superátomos” que son los condensados de B-E se podría hacer un experimento sobre el principio holográfico. Me contestó muy amablemente, aclarándome las dificultades que entrañaría mantener la coherencia de las dos partes del condensado. Si se consigue la coherencia entre las dos partes del condensado, nos encontraríamos con la paradoja de que en cada parte del condensado no tendremos la mitad de los átomos, sino que todos los átomos estarían a la vez en las dos partes. Aunque difícil, esta podría ser una vía interesante de constatación del principio holográfico.

Investigación y cienca. Octubre-2003 y enero-2006.