Abstract
We will study the trajectory of Brownian motion to understand the dependence of spatial fractals on distance. Additionally, we will generalize the concept of fractal dimension and discover that the compaction of dimensions provides a form of geometric stabilization in fractals.
Estudiaremos la trayectoria del movimiento browniano para entender la dependencia de los fractales espaciales con la distancia. También generalizamos el concepto de dimensión fractal y descubriremos que la compactación de dimensiones nos ofrece una forma de estabilización geométrica en los fractales.
Palabras claves: Dimensión fractal, dimensiones compactadas, coeficiente dimensional positivo y negativo, estabilización de fractales.
Dimensión fractal
En la introducción de su libro, “Los objetos fractales” , Mandelbrot (1987) habla de la trayectoria del movimiento browniano, al que ya Wiener (principal fuente de su inspiración, tal como él mismo afirma), lo caracterizó como una curva continua cuya dimensión fractal “toma un valor enteramente anormal, a saber D=2”, porque los fractales más característicos suelen tener dimensiones no enteras entre 0/3.
Aunque nos centraremos en el movimiento browniano clásico, queremos resaltar que las trayectorias virtuales de las partículas cuánticas, debido a la desigualdad de Heisenberg relativa al impulso y la posición gozan de una misma característica esencial: su dimensión fractal. Estas trayectorias virtuales aparecen lisas con poca resolución, pero presentan anfractuosidades persistentes cuando se aumenta la capacidad de resolución. Entran dentro de lo que Mandelbrot llamó fractales (Cohen-Tannoud,G. y Spiro, I.M.1988). Considerando la integral de camino de Feynman, las trayectorias posibles que contribuyen a la trayectoria virtual se interpretan como trayectorias fractales con una dimensión D=2 (Nottale, L., 1992).
En el movimiento browniano nos encontramos con una trayectoria, una línea de dimensión topológica d=1 tan irregular que es capaz de cubrir un plano de dimensión topológica d=2. Este movimiento tan característico nos interesa para estudiar los fractales y su dependencia con la distancia y con el espacio que ocupan.
En general, podremos decir que la dimensión fractal “D” es igual a la dimensión topológica “d” más un coeficiente dimensional “δ”:
Dimensión fractal: D = d + δ (1)
Cuando más irregular sea el fractal mayor será el coeficiente dimensional. De hecho, puede haber curvas fractales con dimensión fractal D=3 capaces de llenar el espacio.
Dependencia del fractal con la distancia
Nos interesa estudiar la expresión del cálculo de la dimensión de las curvas fractales a partir de los datos que nos ofrece la primera iteración, para determinar su dependencia con la distancia. Para la curva de Koch: D = Log 4 / Log 3 = 1,2618. Para el movimiento browniano, siendo n el número de pasos: D = Log n^2 / Log n = 2.
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| Curva de Koch |
En el movimiento browniano observamos que la distancia recorrida en línea recta n pasos, necesita del orden de n^2 pasos. El exponente, que es la dimensión fractal, liga la distancia (n) con el valor del fractal (n^2). Para la curva de Koch, ocurre lo mismo: la distancia (3) está ligada al valor del fractal (3^1,2618 = 4).
Dimensión fractal relativa
En fractales isotrópicos con dimensión topológica superior a la unidad puede ser útil dividir la dimensión fractal por la topológica. Reducimos así la dispersión de resultados y encontramos más fácilmente símiles con ejemplos sencillos como trayectorias unidimensionales.
Dimensión fractal relativa: Dr = ( d + δ ) / d (2)
Podemos tener dos fractales con la misma dimensión siendo muy diferentes: supongamos una línea fractal muy intrincada de dimensión 3 (capaz de cubrir un espacio) y un plano también de dimensión fractal 3.
En el primer caso la dimensión fractal relativa seguiría siendo 3, pero en el segundo caso sería 3/2, considerablemente menor y, por tanto, mucho menos irregular. Este valor tiene la ventaja, también, de que nos conduce fácilmente a averiguar la dependencia del valor del fractal con la distancia y viceversa
Factor dimensional que se resta a la dimensión topológica
A la operación de sumar un factor dimensional, que cuantifica el grado de irregularidad y de fragmentación del fractal, podemos oponer una operación inversa de resta de dimensiones. Una forma simple, por ejemplo, podría ser la operación de enrollar una cuartilla de papel muy fino hasta dejarla convertida en un hilo: de tener dos dimensiones habríamos pasado a tener sólo una dimensión significativa y otra compactada. A un objeto de dimensión 2 le habríamos restado una dimensión. En realidad, la misma cuartilla puede ocupar, de hecho, más de dos dimensiones, si la arrugamos a lo largo de toda su integridad, y sólo una dimensión si la enrollamos.
Estabilización de los fractales
Vamos a llevar esta resta a la ecuación de la dimensión fractal relativa (2). Imaginamos una transformación T que resta a la dimensión topológica d, un valor entero ε, transforma d en (d-ε). La ecuación de la dimensión fractal relativa quedará de la siguiente forma:
Dr’ = (d-ε+δ) / (d-ε) (3)
Para un valor ε=δ la expresión (3) quedaría de la siguiente forma:
Dr’ = (d) / (d-ε) (4)
Lo importante de esta expresión es que puede tomar valores negativos para d < ε lo que significaría una dimensión fractal relativa negativa y una dependencia del fractal con el inverso de la distancia. Lo que indicaría una estabilización muy extrema del fractal.
La ecuación (4) con ε dimensiones compactadas y d dimensiones ordinarias nos sugieren la teoría de cuerdas (Weinberg, S. et al., 1990). De hecho, para d=3 y ε=6, el valor de la dimensión fractal relativa modificada sería: Dr’ =-1.
Polchinski, J. (2015) en su trabajo comentaba: "In particular, our laws of physics arise from the geometry of the extra dimensions. Understanding this geometry ties string theory to some of the most interesting questions in modern mathematics, and has shed new light on them, such as mirror symmetry"
Para Polchinski, como para Einstein, la geometría está detrás de nuestras leyes físicas. Para la particular combinación de dimensiones ordinarias y compactadas según la teoría de cuerdas emergió nuestro universo y sus leyes (hipotéticamente).
Ejemplo simple de estabilización fractal de turbulencia en fluidos
Según lo visto, las dimensiones compactadas ofrecen un efecto estabilizador del fractal y posibilitan que su dimensión fractal relativa pueda ser, incluso, negativa. Mandelbrot (1987) propone, en su libro “Los objetos fractales”, a los fractales como herramienta para estudiar la geometría de la turbulencia. Piensa que, en realidad, es natural desde el punto de vista histórico, si se tiene en cuenta el nexo entre los conceptos de fractal y de homotecia interna. La corriente turbulenta en un fluido está caracterizada por una medida intrínseca de escala, el número de Reynolds.
Vamos a ver un ejemplo sencillo de dimensión compactada en una tubería cuadrada de lado L que con la distancia va cambiando a una sección rectangular de (100 L) x (L / 100). Como vemos, se mantiene la misma sección LxL, pero una de las dimensiones se multiplica por 100 y la otra se divide o compacta hasta cien veces más pequeña. El flujo y la velocidad se mantienen en la tubería, pero el número de Reynolds (Re), característico del régimen laminar/turbulento, que es directamente proporcional al diámetro medio hidraúlico (Dh) pasaría de valer, aproximadamente: (Re)/50. Dado que el nuevo diámetro medio hidraúlico sería: (Dh)/50 (White, F.M. 2004).
Recopilación
La dimensión fractal tiene dos componentes que se suman, la dimensión topológica y un coeficiente dimensional positivo. El hecho de hacer desaparecer una dimensión resta un coeficiente dimensional a la dimensión topológica. Se realiza una operación opuesta al coeficiente positivo. Con la dimensión fractal relativa reducimos la dispersión de resultados y encontramos más fácilmente símiles con ejemplos sencillos como trayectorias unidimensionales. Además nos ha permitido encontrar un posible efecto estabilizador de turbulencias.
Bibliografía
Mandelbrot, B. (1987), Los objetos fractales, Barcelona, Tusquets Editores.
Cohen-Tannoud,G. y Spiro, I.M. (1988), La materia- espacio-tiempo, Madrid, Espasa-Calpe.
Nottale, L., (1992), The Theory of Scale Relativity, Int. J. Mod. Phys. A7, 4899-4936
Weinberg, S. et al., (1990), Supercuerdas ¿Una teoría de todo?, P.C.W. Davies y J. Brown (Eds.), Madrid, Alianza Editorial.
Polchinski, J. (2015), String theory to the rescue. ArXiv: 1512.02477 v5 [hep-th]
White, F.M. (2004), Mecánica de fluidos 5ª Ed. Madrid, McGraw-Hill, Inc.
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