El teorema de Gödel, sobre la verdad y la demostrabilidad

El teorema de Gödel es equiparable por su importancia a la teoría de la relatividad de Albert Einstein, y es una de las construcciones fundamentales de las matemáticas de todos los tiempos. Gödel utilizó el rigor de las matemáticas para demostrar, sin lugar a dudas, que las matemáticas mismas son incompletas. En su artículo de 1931, Gödel demuestra que en cualquier sistema lógico basado en axiomas y reglas de inferencia, existen enunciados cuya verdad o falsedad no vamos a poder decidir, basándonos en la propia lógica matemática del sistema. Antes de Gödel esto ni siquiera se consideraba, pues lo interesante de un enunciado era poder demostrar que era verdadero o bien era falso. A partir de Gödel aparece una diferencia muy sutil entre verdad/falsedad y demostrabilidad.

El teorema de Gödel tiene que ver con enunciados que hacen referencia a sí mismos. Sócrates afirmaba, en su famosa frase:" Yo sólo sé que no sé nada". Se contradecía, al afirmar que sólo sabía una cosa y, al mismo tiempo, no sabía nada:hacía referencia a si mismo y ahí es donde residía su contradicción. A principios del siglo XX (1902) el gran matemático y filósofo Bertran Russell, que entonces era un joven de 30 años, le envió una carta al gran matemático Gottlog Frege, uno de los creadores de la lógica simbólica, en la que le planteaba una paradoja que generaba una contradicción en su sistema de axiomas (ver explicación sencilla). Frege había publicado ya un primer tomo tratando de sistematizar toda la matemática en base a la pura lógica, pero al recibir la carta de Russell se dio cuenta que la obra de sistematización, que le había empleado toda su vida, quedaba en entredicho. Así lo reflejó, con tristeza, al publicar su segundo tomo en el que debía concluir su labor sistematizadora.

Al cabo de unos años (1913), el propio Rusell y otro gran matematico, Alfred North Whitehead, trataron de reparar el daño hecho por su paradoja, al formidable edificio de la lógica matemática, escribiendo una obra monumental que titularon Principia Mathematica. Llegaron a desarrollar un sistema matemático de axiomas y reglas de inferencia, cuyo propósito era el que fuera posible traducir en su esquema todos los tipos de razonamientos matemáticos correctos. Todo estaba especialmente cuidado para impedir los tipos de razonamiento paradójico que conducían a la propia paradoja de Russell. Posteriormente, el matemático David Hilbert se embarcó en la tarea de establecer un esquema mucho más manejable y comprensible. Se incluirían todos los tipos de razonamientos matemáticamente correctos para cualquier área matemática particular. Además, pretendía que fuera posible demostrar que el esquema estaba libre de contradicciones. Entonces, las matemáticas estarían situadas, para siempre, sobre unos fundamentos inatacables.
Pero en 1931 Kurt Gödel, un joven matemático austríaco de 25 años, publicó su famoso artículo" Sobre proposiciones formalmente no decidibles en Principia Mathematica y sistemas relacionados" y desmontó, definitivamente, la soberbia estructura montada sobre la lógica matemática, que se suponía completa. Destrozó el programa planeado por Hilbert, porque demostró que cualquiera de estos sistemas matemáticos precisos (formales) de axiomas y reglas de inferencia (finitos), siempre que sea lo bastante amplio para contener descripciones de proposiciones aritméticas simples y siempre que esté libre de contradicción, debe contener algunos enunciados que no son demostrables ni indemostrables con los medios permitidos dentro del sistema. De hecho, por sorprendente que parezca, Gödel demostró que el mismo enunciado de la consistencia del propio sistema axiomático debe ser una de esas proposiciones indecidibles.

Gödel nos descubrió que la verdad es una categoría superior a la demostrabilidad, y que su argumento nos da la posibilidad, mediante intuición directa, de ir más allá de las limitaciones de cualquier sistema matemático formalizado. Penrose utiliza el argumento de Gödel para demostrar el funcionamiento no algorítmico de la mente. El sistema matemático más perfecto que podamos conseguir, con un número finito de axiomas y reglas de inferencia, es incapaz por principio de probar la verdad/falsedad de enunciados que nosotros, desde fuera del sistema, advertimos sin demasiada dificultad. Un ordenador basado en la programación automática que conocemos, a base de algoritmos matemáticos, tiene una limitación fundamental independiente de que el programa sea mejor o peor o que su memoria y capacidad de cálculo sean de mayor o menor potencia.

Nota (última edición -11 h. 3 junio,2007):

Entre las numerosas demostraciones del teorema de Gödel que han aparecido, es muy interesante la demostración que ha hecho Gregory Chaitin con base en argumentos de la teoría de la información. Con este lenguaje, la forma del enunciado del teorema sería:

" Si un teorema contiene más información que un conjunto dado de axiomas, entonces es imposible derivar dicho teorema a partir de los axiomas".

Tanto en física como en matemáticas la información es una magnitud fundamental que nos puede guiar por caminos, aparentemente, impracticables. La teoría de la información, por ejemplo, nos acota la cantidad de información que puede contener una determinada región del espacio, pues está íntimamente relacionada con la entropía. (Ver la entrada: ¿Universo holográfico?)



Página web: Sobre el Teorema de Gödel, de la Universidad Autónoma de México (también en PDF)

Libro: " La nueva mente del emperador" de Roger Penrose. Ver el apartado en que utiliza el argumento de Gödel para demostrar el funcionamiento no algorítmico de la mente.