Dimensiones y ley de gravedad: un matrimonio indisoluble

La forma que adopta la ley de la gravitación universal lleva impreso el número de dimensiones del espacio en el que está definida. Cuando Newton la propuso en 1687, no decía solamente que la fuerza de atracción entre dos objetos se hace más débil a medida que la distancia entre ellos aumenta, sino que especificó que esa fuerza disminuye proporcionalmente al inverso del cuadrado de esa distancia. Precisamente el exponente de la distancia está ligado íntimamente al número de dimensiones del espacio, concretamente, el exponente es igual al número de dimensiones menos uno.

Para entenderlo nos fijaremos en las llamadas líneas del campo gravitatorio que vienen a ser una especie de mapa del campo. En el sitio donde se juntan y son más densas el campo es mayor, donde se separan y son menos densas el campo es menor. Estas líneas salen de forma radial desde el objeto, por ejemplo la Tierra, y atravesarían una superficie esférica que rodeara el objeto. A una distancia determinada dicha superficie será proporcional al cuadrado de esa distancia, y si doblamos la distancia la nueva superficie será cuatro veces mayor pero sin embargo las líneas que la atraviesan serán las mismas. Si triplicamos la distancia tendremos una superficie nueve veces mayor y las mismas líneas de fuerza, y así observamos que las líneas de fuerza que atraviesan la unidad de superficie irán disminuyendo con el cuadrado de la distancia.

En un universo bidimensional tendríamos algo semejante, pero ahora las líneas de fuerza atravesarían una circunferencia que rodearía al objeto. En este caso, al duplicar el radio de la circunferencia, su longitud se duplica; si lo triplicamos su longitud se triplica y se observa que las mismas líneas de fuerza atraviesan una circunferencia que aumenta de forma proporcional con el radio. En este universo la fuerza de gravedad sería inversamente proporcional a la distancia.

En un universo de sólo una dimensión, observaríamos algo sumamente curioso. Desde un punto (el objeto con masa) sólo saldrían dos líneas de fuerza, cada una en sentido opuesto, y esas líneas ocuparían toda la dimensión sin depender de la distancia. No tendrían espacio para esparcirse y debilitar el campo, por lo que la fuerza de la gravedad sería constante, independiente de la distancia, por tanto, en todos sítios tendría la misma intensidad.


En un universo con nueve dimensiones espaciales, el universo de la teoría de cuerdas, la fuerza de gravedad debería depender del inverso de la octava potencia de la distancia, y precisamente, para intentar detectar las supuestas dimensiones enrolladas se ha experimentado hasta la distancia de una décima de milímetro, para detectar desviaciones en la ley del inverso del cuadrado. Pero el problema con el que nos encontramos es que a esas distancias los efectos cuánticos y la debilidad de la gravedad complican, extraordinariamente, los experimentos. Más aún si pensamos que para poder detectarlas por este método deberíamos verificar la ley de la gravedad para distancias millones de veces más pequeñas, pues las seis dimensiones extras, enrolladas, se supone que tienen un radio del orden de 10^-35 metros.

Utilizando las otras tres fuerzas no gravitatorias podemos sondear hasta aproximadamente una trillonésima de metro, pero en el escenario de la teoría de supercuerdas y teoría M, las fuerzas no gravitatorias son impotentes en la búsqueda de dimensiones extras, pues están atrapadas en la propia brana, la membrana que forma nuestro universo cuadrimensional flotando en un universo de dimensiones superiores. Sólo la gravedad puede trascender la propia membrana que supuestamente forma nuestro Universo y dar idea de la naturaleza de las dimensiones extras.

A todos los efectos (suponiendo correcta la teoría M), las dimensiones extras podrían ser tan gruesas como un cabello humano y ser completamente invisibles, actualmente, para nuestros instrumentos más sofisticados.

Ver post: El universo elegante.

La magia del número 2

Después del duro post anterior, vuelvo a editar este viejo post que creo más asequible y que puede ayudar a entender el otro. Espero que sea así. Un saludo.


Si consideramos una partícula moviéndose de forma aleatoria sobre un plano supondremos que no podemos observar ningún tipo de orden, pero nos estaremos equivocando. Tomando P como la media de amplitud de sus pasos y fijándonos después de un número grande N, de dichos pasos, observaremos que para que se aleje N1 pasos efectivos, de un punto arbitrario, habrá tenido que dar (N1)² pasos totales. El exponente 2 representa, realmente, la dimensión fractal de este movimiento llamado movimiento browniano.


El azar puro y duro está gobernado por ese número mágico. En nuestro caso nos dice que si bien la trayectoria de cualquier partícula es una línea y como tal tiene dimensión topológica 1, la trayectoria aleatoria es de tal desorden que es capaz, en cierta forma, de cubrir el plano por el que se mueve (la dimensión topológica del plano es 2).


La acción (producto de energía por el tiempo) de las fluctuaciones cuánticas del vació está, también, gobernada por ese número mágico. Si representáramos sus valores, observaremos que van llenando una región del plano (E) x (t) acotada por la hipérbola (E) x (t) < cuanto de acción de Planck.


Laurent Nóttale complementó la definición de Richard Feynman (1965) y A. Hibbs sobre las trayectorias virtuales típicas de una partícula cuántica, indicando que los caminos cuánticos posibles son, en número infinitos, y todos son curvas fractales caracterizadas por una propiedad geométrica común: su dimensión fractal es 2.

La estabilización del vacío cuántico y las dimensiones enrolladas

La dimensión fractal, tal como hemos visto en algunas anotaciones de esta bitácora, está formada por dos sumandos, la dimensión aparente o topológica más un factor dimensional tanto mayor cuanto más irregular es el fractal. Este factor aditivo en las fluctuaciones del incipiente Universo podría haber sido contrarrestado por las llamadas dimensiones enrolladas, que en cierta forma suponen una resta dimensional, en el momento en que nuestro Universo adoptó la configuración geométrica de tres dimensiones ordinarias y otras seis compactadas. El resultado pudo ser la propia existencia del cuanto de acción como factor de estabilidad de las fluctuaciones, pues su naturaleza las hace depender del inverso de la distancia permitiendo el vacío cuántico estable que conocemos. Resumiendo: Es posible que la configuración geométrica adoptada por nuestro Universo (tres dimensiones ordinarias y seis compactadas) haya sido determinante en la propia naturaleza del cuanto de acción y en la estabilidad del vacío cuántico. De esta cuestión trata el siguiente artículo publicado en la revista Ciencia Abierta de la Universidad de Chile, en el volumen 23, de marzo de 2004.


La existencia del cuanto de acción es la causa de que desaparezca el concepto clásico de trayectoria continua y deba ser sustituido por el de "trayectoria" fractal (discontinua, fracturada). El vacío absoluto y continuo de Newton, como marco estable de referencia, es sustituido por un vacío discontinuo y cambiante, merced a la propia estructura de la energía de sus fluctuaciones cuánticas. Nos encontramos, pues, ante un inmenso fractal, el propio vacío cuántico, modelado por sus fluctuaciones de energía de las que queremos extraer una información preciosa, que nos dará pistas sobre el propio Universo y su formación: su dimensión fractal.

El estudio de un fractal sencillo nos ayudará. En concreto, es interesante fijarnos en el que representa al llamado “movimiento browniano”, descubierto por Robert Brown, un botánico escocés que vivió entre finales del siglo XVIII y primera mitad del XIX. Estudió la flora de Australia y Nueva Zelanda y descubrió el llamado “movimiento browniano” de las partículas coloidales, que ha servido de base para el estudio de la cinética de los gases. Este movimiento browniano tiene mucho que ver con nuestro problema, su dimensión fractal es 2 , el típico de una variable puramente aleatoria que, en cierta forma, sobre un plano ( dimensión topológica o aparente 2) sería capaz de recubrirlo.

Para variables con dimensión topológica distinta de la unidad es conveniente hablar del cociente D/ δ ( dimensión fractal (D)/ dimensión topológica o aparente (δ) ) más que, simplemente, de su dimensión fractal. Reducimos así la dispersión de resultados y encontramos más fácilmente símiles con ejemplos sencillos como trayectorias unidimensionales. Dicho cociente para el fractal que representa al movimiento browniano será:

(1) D/ δ = ( δ + ε ) / δ = ( 1 +1 ) / 1 =2, donde el sumando positivo ε , que se añade a la dimensión topológica, es la dimensión del factor de arrugamiento y nos da una medida de su irregularidad, de su fractura y “arrugamiento”. En este caso ε = 1 .

La variable que representa el producto acotado:
(2) ( ∆ E ) ( ∆ x )< constante ( principio de incertidumbre, en donde ∆ t se ha sustituido por ∆ x / c ), es del mismo tipo que la relativa al movimiento browniano. El valor de este producto acotado es equivalente al paso que dan las partículas coloidales antes de chocar, puede tener cualquier valor aleatorio aunque acotado, por lo que su cociente D/δ es igualmente 2. Intuitivamente, este valor 2 nos indica que se deben dar n² pasos para poder alejarse de un punto arbitrario tan sólo n pasos efectivos.

En cierta forma, la dimensión fractal nos da una idea de magnitud encubierta, de compactación. Una trayectoria de dimensión fractal 3 es mucho más intrincada, más compacta que otra de dimensión fractal 2. Si hubiéramos seguido la trayectoria con un hilo ideal muy fino, en el primer caso el diámetro del ovillo resultante sería del orden de la raíz cúbica de la longitud total del hilo utilizado, en el segundo del orden de su raíz cuadrada. Observamos que existe una íntima relación entre la magnitud del ovillo, es decir su dependencia con la distancia, y su dimensión fractal. Cualquier fenómeno que modifique su dependencia con la distancia incidirá directamente en su dimensión fractal y viceversa.

Para nuestro caso, la energía de las fluctuaciones del vacío ( la magnitud del “ovillo” ) depende del inverso de la distancia, lo que supone un cociente D/δ igual a -1, que resulta completamente irregular e induce a pensar en la existencia de un factor desconocido que está influyendo en el cálculo e introduciendo una distorsión considerable.

El factor negativo, que supone una resta de dimensiones, me hizo pensar en las dimensiones enrolladas previstas por la teoría de supercuerdas, la más prometedora teoría que trata de unificar las cuatro interacciones fundamentales: gravedad, electromagnetismo, fuerza débil y fuerte. Dicha teoría necesita de 9 dimensiones espaciales para ser consistente, y ,dado que sólo conocemos 3, se ha especulado con la existencia de otras 6 que, supuestamente, estarían “enrolladas” sobre si mismas ,compactadas alrededor de un radio extremadamente pequeño (del orden de la longitud de Planck,10^-35 metros ). Así para distancias mucho mayores que ese radio sólo serían perceptibles las 3 dimensiones ordinarias.

En cierta forma, para esas distancias, el número de dimensiones enrolladas se resta al total de las topológicas para dejar tan sólo 3 dimensiones aparentes. Una operación contraria al efecto de la dimensión del factor de arrugamiento, que se suma a la dimensión topológica.
En la expresión (1) si hallamos el cociente D/δ para un Universo con el mismo número de dimensiones enrolladas que la dimensión del factor de arrugamiento (transformación : δ −> δ − ε ) , encontramos:

(3) D/δ = (δ ) / (δ - ε). Para ε = 6 , δ =3, el cociente D/δ toma el valor -1 de forma natural y lógica. Sin dimensiones enrolladas el factor ε = 6 supone una dimensión fractal 9 y una dependencia de la energía de las fluctuaciones con la raíz cúbica de la distancia (D/δ = 3) . El efecto de las dimensiones enrolladas la corrige hasta dejarla dependiente del inverso de la distancia, lo que repercute en la forma en que advertimos el vacío cuántico: completamente vacío y estable.
Para un universo con un número de dimensiones enrolladas (coeficiente dimensional negativo) igual a la dimensión del factor de arrugamiento (coeficiente positivo) de la energía de las fluctuaciones , se consigue la estabilización de esta energía que de otra forma dependería de la raíz cúbica de la distancia y no de su inverso. El vacío y toda la materia que contiene estarían deformados y serían inestables .

La especial geometría formada por las dimensiones ordinarias, las enrolladas y el tiempo permite un vacío cuántico estable que de otra forma haría imposible el Universo tal como lo conocemos, pues la turbulencia creada a todos los niveles impediría cualquier tipo de coherencia. Conforme nos acercamos a las distancias del orden de la longitud de Planck, este efecto estabilizador desaparece y se nos presenta un vacío deformado e inestable.

La transparencia del vacío, tal como la advertimos, puede que sea la mejor prueba de la existencia de las 6 dimensiones enrolladas.

Artículo completo en Ciencia Abierta.
También se puede leer un esbozo de la teoría en la revista Elementos de la Universidad de Puebla.

Impredecibilidad en la mecánica clásica

Independientemente de la precisión con que conozcamos el estado inicial de un sistema clásico (no cuántico) las imprecisiones tienden a crecer, de forma natural, con el tiempo y nuestra información inicial puede llegar a ser inútil para predecir su evolución futura. La mecánica clásica no es tan predecible como podría parecer a primera vista, tal como veremos en este post. Esta impredecibilidad se advierte claramente en el llamado problema de los tres cuerpos y se acentúa de forma dramática en los sistemas muy sensibles a las condiciones iniciales (caóticos).

El esquema de la mecánica newtoniana ha dado lugar a un impresionante cuerpo de ideas matemáticas conocido como mecánica clásica, de hecho, los nombres de muchos de los grandes matemáticos de los siglos XVIII y XIX están asociados a este desarrollo. Lo que se conoce como "teoría hamiltoniana", debida al matemático irlandés William Rowan Hamilton (1805-1865), resume gran parte de esa obra y, curiosamente, su formulismo fue muy importante para el desarrollo posterior de la mecánica cuántica. En el esquema hamiltoniano las posiciones y los momentos (producto de la velocidad por la masa) de cada partícula se tratan como si fueran variables independientes. De esta forma se obtienen dos conjuntos de ecuaciones, uno nos dice cómo cambian con el tiempo los momentos de todas las partículas (segunda ley del movimiento de Newton: fuerza = ritmo de cambio del momento), y el otro nos dice cómo cambian con el tiempo las posiciones. Y todas estas ecuaciones se derivan simplemente de una cantidad importante llamada función hamiltoniana H, que es la expresión para la energía total del sistema en términos de todas las variables de posición y momento.

Las ecuaciones hamiltonianas permiten visualizar de un modo muy potente y general la evolución de un sistema físico en un espacio abstracto llamado espacio de fases. Este espacio tiene para n partículas 6n dimensiones, tres coordenadas de posición y tres coordenadas de momento por cada partícula, y un simple punto representa el estado global del sistema físico, incluyendo los movimientos instantáneos de cada una de sus partículas.Las ecuaciones nos están diciendo cómo debe moverse este punto, cómo evoluciona el sistema en cada momento, y nos informan sobre su estabilidad. Esta estabilidad está íntimamente ligada a la posible dispersión de los puntos inicialmente próximos, es decir, si el sistema permanece localizado en cierta región R, a medida que pasa el tiempo, entonces estos puntos seguirán proximos y las imprecisiones en su especificación no se amplificarán con el tiempo. Por el contrario, cualquier dispersión indebida implicará una "impredecibilidad efectiva" en el comportamiento del sistema.

Sobre la dispersión de los sistemas hamiltonianos, y por tanto sobre la capacidad para predecir su comportamiento, existe un hermoso teorema debido al matemático francés Joseph Liouville (1809-1882) que nos dice que el volumen de cualquier región del espacio de fases debe permanecer constante en cualquier evolución hamiltoniana. Sin embargo, normalmente este volumen se dispersa debido a la extrema complejidad de su evolución (como los hilos del humo de un cigarro en una habitación). Aunque la región mantiene su volumen, se distorsiona y se estira hasta grandes distancias en el espacio de fases, y además el problema es mucho más grave en alta dimensión que en baja dimensión, porque hay muchas más direcciones en las que dipersarse.

El teorema de Liouville nos sitúa ante un problema fundamental, pues de no existir todavía podríamos pensar que la tendencia de una región a extenderse por el espacio de fases podría quedar compensada por una reducción de volumen global, pero el teorema nos dice que eso es imposible, siendo ésta una característica universal de todos los sistemas dinámicos clásicos. Llegando más lejos con esta característica universal, nos hemos dado cuenta de que, precisamente, por esta tendencia a la difusión en el espacio de fases y a la dificultad que esto supone para mantener la organización de un sólido formada por millones de partículas, la mecánica clásica necesita de la mecánica cuántica para poder comprender, adecuadamente, la estructura real de los sólidos. Algo semejante al equilibrio que se mantiene en un átomo entre los electrones y el núcleo. Sólo la mecánica cuántica es capaz de explicarlo, para la mecánica clásica el resultado sería catastrófico pues sus leyes impedirían el equilibrio.



Los efectos cuánticos pueden impedir esta difusión en el espacio de fases. Paradójicamente, la solidez de un objeto que está compuesto de muchas partículas necesita de este efecto cohesionador de la mecánica cuántica. Si la mecánica clásica ha tenido tanto éxito en las predicciones sobre los cuerpos celestes es porque, para todos los cálculos, son considerados como puntuales y, por tanto, la dispersión de sus partes en el espacio de fases es practicamente despreciable.