Fractales naturales y una reflexión informal

Reflexión informal sobre la fractalidad del mundo.

Fractal es un objeto matemático discontinuo, roto, fracturado. A primera vista, algo extraño, ajeno, que sin embargo impregna todo nuestro mundo. Lo que tocamos, lo que somos, por donde nos movemos... todo es fractal. Simplificamos la realidad para poderla entender, nos quedamos con la simplificación, sacamos su esencia y la convertimos en saber, pero la simple continuidad observada por doquier es una quimera.

Todo son simplificaciones. Si una línea real la ampliamos, veremos una inmensa cantidad de imperfecciones, de discontinuidades, que se incrementan según el aumento con que las observemos. Cualquier superficie lisa esconde multitud de cortes y hendiduras. Simplificamos y tratamos así de construirnos un mundo más sencillo, que no siempre está tan cerca de la realidad como creemos.

La continuidad de la materia ya se vio rota por el átomo, materia discreta que forma la materia continua que vemos y tocamos. Después se rompió la continuidad de la energía por obra y gracia del cuanto de acción ( h ) . La energía pasó a estar cuantificada, en “paquetes” de mayor o menor magnitud, según su mayor o menor frecuencia de vibración. La realidad pasó a ser granulada, como una película fotográfica. El cuanto de acción, que define el mínimo grano de realidad, no permite un grano más fino y , a la vez , estable... Las consecuencias fueron terribles: el cuanto acabó con la nada, con el vacío, por pura incompatibilidad.


El vacío absoluto y estable suponía un grano infinitesimal, inexistente, suponía un cuanto de acción nulo, que no existe. El vacío absoluto y estable, la nada, desapareció y dejó en su lugar a un inmenso fractal llamado el espacio-tiempo.

Todo fractal esconde algo entre sus innumerables quebrados y vericuetos. ¿ Qué escondía la nueva nada? Escondía partes de ella misma, y dejó al descubierto la incertidumbre de Heisenberg, el mínimo grano de realidad.

Reedición de la entrada de La bella teoría de hace dos años, por estas fechas.

Antes del Big Bang, la "espuma" cuántica

En anteriores post hemos comentado que el nacimiento y posterior expansión del Universo fue a partir de una singularidad inicial parecida, en cierta forma pero al revés en el tiempo, a lo que ocurre en un agujero negro. A partir de una distancia del orden de la distancia de Planck, 10^-33 centímetros, en donde los efectos cuánticos de la gravedad son decisivos, las fluctuaciones cuánticas (llamadas "espuma" del espacio-tiempo por el famoso físico norteamericano J.A.Wheeler) del llamado campo del punto cero fueron la semilla de nuestro inmenso Universo.

Las leyes de la gravitación cuántica que controlaron ese proceso no han logrado formularse todavía, pues a diferencia de lo que ocurre con otro tipo de campos como el electromagnético, la relatividad general, que es la mejor teoría conocida sobre la gravedad, relaciona la propia geometría del espacio-tiempo con las propiedades de la materia. Por ello, la construcción de una gravitación cuántica es equivalente a la construcción de una geometría cuántica del espacio-tiempo.

El enfoque que supone la teoría general de la relatividad es cercano al concepto clásico del continuo que permitía el estudio exacto, por ejemplo, del desplazamiento o trayectoria de las partículas. En la mecánica cuántica por el contrario no existe el concepto de trayectoria de una partícula, sino el concepto de su función de onda. Existe también el concepto de probabilidad de hallar la partícula elegida en un punto definido del espacio y en un instante determinado. Si deseamos hallar la aproximación clásica de la trayectoria, será necesario calcular el llamado valor medio de la coordenada de la partícula a partir de cálculos mecánico-cuánticos. Este valor medio coincidirá con la trayectoria clásica, aunque la posición real de la partícula no coincidirá con esta trayectoria. Richard Feynman, en sus lecturas explica este fenómeno basándose en el ejemplo de una trayectoria quebrada, tanto más cuanto menor es la escala de observación. Su irregularidad en todas las escalas la caracteriza como un objeto fractal (concretamente de dimensión fractal 2).

En la teoría de campos, el concepto de partícula se sustituye por el concepto de magnitud del campo en un punto. Y ésta se caracteriza por una amplitud, una fase y una frecuencia, por lo que en la teoría cuántica de campos estas magnitudes se sustituyen por el concepto de probabilidad de las mismas. En la teoría de la relatividad general el papel del campo es desempeñado por la geometría del espacio-tiempo y, por tanto, en ella se trabaja con la probabilidad de tener una u otra geometría determinada. Mientras que en la relatividad general la geometría debe ser continua (diferenciable), en la gravitación cuántica en general no es así (de la misma forma que no son continuas las trayectorias cuánticas, como hemos visto).

En el estado actual existen varios enfoques sobre la gravitación cuántica y el problema es que los distintos enfoques proporcionan resultados diferentes. Por esa razón, durante la descripción de la fase cuántica de la evolución de nuestro Universo, se emplean las ideas más generales acerca de la evolución cuántica del Universo como un todo, para obtener, al menos, resultados cualitativos correctos. A continuación se mencionan algunas de esas ideas.

La masa total del Universo cerrado es igual a cero: Esto significa que todo el Universo puede surgir sin gastos de energía. Se cumple la ley de conservación de la energía pues la clave está en que la energía del campo gravitatoria es negativa, mientras que la energía de la materia es positiva. La energía total es igual a cero.

De la misma forma que se calcula cómo una partícula determinada es capaz de atravesar una barrera de potencial, insalvable clásicamente, por el llamado efecto túnel (puramente cuántico), se calcula la probabilidad del nacimiento del Universo de la nada, algo también insalvable clásicamente. Sin embargo a diferencia de la física cuantica en los supuestos generales, el cálculo correcto de la probabilidad del nacimiento del Universo se logra sólo en un caso bastante específico llamado por los cosmólogos solución de De Sitter. Antes de la singularidad cosmológica inicial el Universo existía en forma de "espuma" cuántica del espacio-tiempo y hacia el final del proceso cuántico, en un intervalo finito t, surgió una geometría homogénea e isótropa. Lo más probable fue el nacimiento del Universo con un radio de curvatura del orden de la distancia de Planck.

La mecánica cuántica nos prepara en cierta forma la mente para imaginar la creación del Universo a partir de una nada cuajada de fluctuaciones cuánticas pre-espaciotemporales. Ya en el Universo actual nos enseña que el vacío es un verdadero hervidero de creación y aniquilación de partículas virtuales que, a distancias del orden de Planck, se convierte en la llamada "espuma" cuántica del espacio-tiempo. En ella nada de lo que conocemos y nos es familiar cuenta pues entramos en los dominios de la desconocida, hasta ahora, gravedad cuántica.

Del excelente librito: "Cosmología moderna", de M.V. Sazhin. Editorial URSS,2005

Sobre el vacío cuántico, una hipótesis fractal.

The quantum vacuum a fractal hypothesis

Resulta sorprendente que siendo la mecánica cuántica una disciplina que, podríamos decir, es la "reina" de la discontinuidad, de lo discreto, siga aplicándose a su estudio casi únicamente la matemática continua.

Does not seem very risky considering the energy structure of quantum fluctuations as a fractal structure. There is talk of energy, because it is really energy, changes and fluctuations that determines the geometry of space

En la mecánica clásica la cantidad de acción, producto de energía por tiempo, puede expresarse de forma continua desde cero hasta infinito, pero la revolución que supuso el descubrimiento del llamado cuanto de acción fue, precisamente, que esta cantidad física sólo podía existir de forma estable en múltiplos enteros de esa mínima cantidad llamada h, o cuanto mínimo de acción de Planck (discontinuidad).

Las consecuencias de la existencia del cuanto mínimo de acción fueron revolucionarios para la comprensión del vacío. Mientras la continuidad de la acción clásica suponía un vacío plano, estable y "realmente" vacío, la discontinuidad que supone el cuanto nos dibuja un vacío inestable, en continuo cambio y muy lejos de poder ser considerado plano en las distancias atómicas y menores. El vacío cuántico es de todo menos vacío, en él la energía nunca puede quedar estabilizada en valor cero, está fluctuando sobre ese valor, continuamente se están creando y aniquilando todo tipo de partículas, llamadas por eso virtuales, en las que el producto de su energía por el tiempo de su existencia efímera es menor que el cuanto de acción. Se llaman fluctuaciones cuánticas del vacío y son las responsables de que exista un campo que lo inunda todo llamado campo de punto cero.

La discontinuidad manifiesta junto con la invariancia de escala (autosemejanza), que presenta la energía de las fluctuaciones del vacío cuántico, lleva a pensar en los fractales de Mandelbrot. En 1975 Benoit Mandelbrot publicó un ensayo titulado” Los objetos fractales: forma, azar y dimensión” . En la introducción comentaba los conceptos de objeto fractal y fractal como términos que había inventado a partir del adjetivo latino “fractus” ( roto, fracturado). Posteriormente, en 1982, publicó el libro “The Fractal Geometry of Nature”, en donde proponía : “Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.”

Han sido propuestas otras definiciones y, de hecho, estamos ante un concepto geométrico para el que aún no existe un una definición precisa, ni una teoría única y comúnmente aceptada.
Kenneth Falconer, en su obra titulada “Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications”, en 1990, describe un concepto de estructura fractal ‘F’ como la que satisface alguna(s) de las propiedades siguientes:

(1).- “F” posee detalle a todas las escalas de observación;
(2).- No es posible describir “F” con Geometría Euclidiana, tanto local como globalmente;
(3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística;
(4).- La dimensión fractal de “F” es mayor que su dimensión topológica;
(5).- El algoritmo que sirve para describir “F” es muy simple, y posiblemente de carácter recursivo.


En base a esto no parece muy arriesgado considerar la estructura de la energía de las fluctuaciones cuánticas como una estructura fractal. Se habla de la energía, porque es realmente la energía, sus cambios y fluctuaciones la que determina la propia geometría del espacio. El patrón se repite en todas las escalas, pues depende de la existencia del cuanto de acción: a doble distancia, la mitad de la energía virtual de las fluctuaciones, sea la escala de distancias que sea. En la figura se explica esto de forma sencilla.

De la consideración de estructura fractal de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío se pueden extraer consecuencias sorprendentes de una forma natural:

Un fractal es capaz de ocupar un espacio de mayor dimensión que su propia dimensión topológica. De hecho, la dimensión fractal siempre superior a la topológica (o aparente) mide esa capacidad del fractal: una línea que, lógicamente, tiene una dimensión topológica de la unidad puede ocupar por completo un espacio de dos dimensiones como es un plano, por ejemplo. Es el caso del movimiento browniano o aleatorio, de dimensión fractal 2. En próximos post veremos, en base a la hipótesis fractal, que la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío tienen una dimensión fractal de 9 ( serían capaces de cubrir las tres dimensiones ordinarias y las seis enrolladas de la teoría de supercuerdas de 9+1 dimensiones espacio-temporales).

Un fractal "esconde" de forma natural parte de su magnitud: una superficie arrugada o una línea muy irregular y retorcida pueden esconder su verdadera superficie o longitud en varios órdenes de magnitud. En próximos post, también, analizaremos lo que son capaces de "esconder" las fluctuaciones cuánticas, según la hipótesis aludida.

El estudio de las cualidades fractales de este inmenso, posible, fractal que es el vacío cuántico puede facilitarnos datos preciosos sobre los inicios de nuestro Universo y sobre la dependencia, más que probable, de la naturaleza del cuanto de acción y la propia geometría del espacio-tiempo.



Como le prometí, dedico este post a alguien que también me ha hecho pensar, "al que dice ¡ni!"

Más allá de los agujeros negros

Mediante la gravedad cuántica de bucles se ha podido ir más allá en los agujeros negros de lo que se ha llegado en otras teorías físicas. Proporciona cálculos que prueban que las singularidades en el interior de los agujeros negros se eliminan. El tiempo puede continuar más allá del punto en el que la relatividad general clásica predijo que debía terminar y parece que se dirige a unas regiones recién creadas del espacio-tiempo.

Siguiendo con la gravedad cuántica del post anterior, el físico hindú Abhay Ashtekar en 1986 reformuló de modo revolucionario la teoría general de la relatividad, sin introducir información adicional, mediante la mera reescritura de la teoría de Einstein según un nuevo conjunto de variables demostró que se podía derivar, con precisión, lo que es un espacio cuántico. Había nacido la llamada gravedad cuántica de bucles. Consiste en describir un campo haciendo referencia a sus líneas de campo, en ausencia de materia las líneas de campo pueden cerrarse sobre sí mismas formando un bucle. Mientras la teoría de cuerdas consiste en el desarrollo de este concepto en un contexto de fondo fijo de espacio y tiempo, la gravedad cuántica desarrolla una teoría totalmente independiente del fondo, pues las propias líneas del campo describen la geometría del espacio, la forma de secuencias cambiantes que va adoptando. Una vez que las líneas se transforman en mecánico-cuánticas ya no queda ninguna geometría clásica de fondo, la geometría cuántica resultante consiste en un cierto tipo de gráfico que evoluciona mediante cambios locales en su estructura.

El mayor desafío es explicar a partir de ideas tan abstractas cómo emerge el espacio-tiempo clásico. En los últimos años gracias a nuevos procedimientos de aproximación se ha demostrado que la teoría tiene estados cuánticos que describen universos donde la geometría, en una aproximación correcta, es clásica. Recientemente, también se ha descubierto que la gravedad cuántica de bucles predice que dos masas se atraerán la una a la otra exactamente del modo que especifica la ley de Newton.

Mediante la gravedad cuántica de bucles se ha podido ir más allá en los agujeros negros de lo que se ha llegado en otras teorías físicas. Proporciona cálculos que prueban que las singularidades en el interior de los agujeros negros se eliminan. El tiempo puede continuar más allá del punto en el que la relatividad general clásica predijo que debía terminar y parece que se dirige a unas regiones recién creadas del espacio-tiempo. La singularidad es sustituida por lo que se llama "salto del espacio-tiempo". Justo antes del salto se expande hacia el interior de una nueva región que antes no existía (agujeros blancos, tal como conjeturó John Archibald Wheeler). Aplicando cálculos similares al Universo primitivo se han encontrado pruebas de que la singularidad es eliminada antes del Big Bang, lo que significaría que el Universo ya existía antes. Por otra parte, la eliminación de la singularidad ofrece una respuesta natural a la paradoja de la pérdida de información en un agujero negro planteada por Hawking, la información no se pierde, sino que se traslada a una nueva región del espacio-tiempo.

Lo más importante de esta teoría es que es capaz de producir previsiones de observaciones reales que serán confirmadas o no por experimentos, como ha sucedido con la física desde siempre. Es la forma natural de avanzar paso a paso, pisando despacio pero firme para avanzar en la dirección correcta. En este sentido hace poco se han hecho predicciones precisas en relación con los efectos de la gravedad cuántica que podrían ser vistos en observaciones futuras del fondo cósmico de microondas.