Ilya Prigogine, al orden por el azar

Siguiendo con el espíritu del post anterior, una especie de lectura para el verano que hace referencia a uno de mis más admirados científicos: Ilya Prigogine.


¿Pueden unas cuantas moléculas, anodinas e inertes, autoorganizarse en una estructura compleja como por arte de magia? La ciencia de buena parte del siglo XX , del XIX y épocas anteriores no habría dudado en negarlo, pero Ilya Prigogine, Premio Nobel de Química de 1977, demostró con su teoría sobre las estructuras disipativas que este tipo de autoorganización era posible y, además, no puras casualidades. La cienca había conseguido muchos éxitos a base de desmenuzar los sistemas en sus partes más sencillas, en estudiar la linealidad, los sucesos simplificados y reversibles en el tiempo: trayectorias ideales, sistemas sin rozamientos, pequeñas fluctuaciones cerca del equilibrio, etc. En base a estos logros había universalizado una serie de resultados y principios que parecían inamovibles y lejos de ellos, en una especie de cuarto trastero, había desterrado todo lo que no se amoldaba a esa realidad idealizada. Por desgracia ese "mínimo" reducto incluía los propios orígenes biológicos y a la misma vida, al tiempo irreversible y a la inmensa mayoría de los procesos, mucho más complejos que simples idealizaciones, que ocurren en nuestro Universo.

Las bases de la revolución que ha producido Prigogine, con su teoría de las estructuras disipativas, se habían sentado a finales del siglo XIX, con la elaboración de la segunda ley de la termodinámica y la acuñación, por Clausius, de un término que ha resultado, posteriormente, casi mítico, la entropía. Esta magnitud es una medida del desorden de un sistema, nos da una idea del número de configuraciones posibles del mismo y nos señala el sentido de su evolución (entropía, en griego, significa evolución). En base a la segunda ley de la termodinámica, en un sistema aislado su evolución siempre será en el sentido en que se produzca la máxima entropía y se igualen sus desequilibrios. En la expresión de Boltzmann, la entropía S es igual a K log N, es decir, proporcional al logaritmo del número posible de configuraciones N del sistema. Cuando se produce el equilibrio ese número es máximo y el sistema se encuentra en un estado de máximo desorden.

Pero en el equilibrio o cerca de él, no se produce nada interesante y todo es lineal. Cuando pueden ocurrir cosas sorprendentes es lejos del equilibrio: si llevamos un sistema lo bastante lejos del equilibrio, entra en un estado inestable con relación a las perturbaciones en un punto llamado de bifurcación. A partir de entonces la evolución del sistema está determinada por la primera fluctuación, al azar, que se produzca y que conduzca al sistema a un nuevo estado estable. Una fluctuación origina una modificación local de la microestructura que, si los mecanismos reguladores resultan inadecuados, modifica la macroestructura. Lejos del equilibrio, la materia se autoorganiza de forma sorprendente y pueden aparecer espontáneamente nuevas estructuras y tipos de organización que se denominan estructuras disipativas. Aparece un nuevo tipo de orden llamado orden por fluctuaciones : si las fluctuaciones del ambiente aumentan fuera de límite, el sistema, incapaz de disipar entropía a ese ambiente, puede a veces "escapar hacia un orden superior" emergiendo como sistema más evolucionado.


En estos nuevos tipos de estructuras y orden se basan la vida, la organización de un termitero, los ecosistemas y las propias organizaciones y sociedades humanas. Pero lo más importante es que este nuevo orden en el que el determinismo y el azar se llevan de la mano si que es un universal. Estas estructuras, al igual que la vida no aparecen y progresan por pura casualidad o accidente como se creía.


Me despido con unas palabras de Prigogine:"... En nuestro tiempo, nos hallamos muy lejos de la visión monolítica de la física clásica. Ante nosotros se abre un universo del que apenas comenzamos a entrever las estructuras. Descubrimos un mundo fascinante, tan sorprendente y nuevo como el de la exploración de la infancia."

Nota explicativa sobre la figura: Hacia 1900, Henri Bénard realizó una serie de experiencias de convección en capas delgadas, con la superficie superior expuesta al aire, que presentaron características muy peculiares. En estas experiencias una capa delgada de fluido era calentada desde abajo (así llevamos al sistema lejos del equilibrio), se establecía el flujo convectivo y se observaba en la superficie un diagrama complicado (autoorganización) que consistía en la división poligonal en celdas similares a un mosaico. El diagrama llegaba a ser un ordenamiento acabado de hexágonos regulares dispuestos como en un panal de abejas, como se indica en la figura.

Dragones alados y agujeros negros

Después de un post tan denso y pesado como el anterior vuelvo a presentaros a uno de mis clásicos a modo de lectura veraniega.

Los agujeros negros, esas extrañas y poderosas criaturas intuidas por la relatividad general de Einstein, son a esta época y sociedad técnica como los terribles y alados dragones de fuego eran al medioevo. Posiblemente, gozan de las mismas características de seres extraordinarios mitad verdad, mitad mentira, de las que gozaban aquellos dragones míticos. Y sin embargo son reales.

Técnicamente responden a lo que se llama una singularidad del espacio-tiempo, es decir, son lugares en donde la materia, el espacio y el tiempo colapsan. En un agujero negro dejan de tener sentido las leyes físicas tal y como las conocemos. Es un objeto estelar en donde la materia está tan comprimida, es tan densa, como toda la masa de la Tierra apretujada en la cabeza de un alfiler. Por efecto de la atracción gravitatoria que se genera ni los propios rayos de luz son capaces de escapar. En consecuencia vemos una especie de agujero sin luz, al que llamamos “agujero negro”.

El agujero negro es el resultado del último estadio de la vida de ciertas estrellas. A partir de una cierta masa, cuando el combustible nuclear de la estrella se acaba, las reacciones termonucleares no pueden impedir que la fuerza de la gravedad atraiga toda la materia de la estrella hacia el centro de la misma.

En las proximidades del llamado horizonte de sucesos del agujero, el lugar donde la materia, tal como la conocemos, conoce el último estadio antes de ser engullida, la distorsión del espacio y del tiempo es de tal calibre que una nave espacial que se encontrara allí la veríamos como suspendida, quieta, en reposo mientras que los tripulantes de la misma estarían experimentando una caída a gran velocidad hacia el abismo negro. Su tiempo y el nuestro quedan disociados debido al desmesurado efecto de la gravedad en las proximidades del agujero. El espacio queda también terriblemente distorsionado por un efecto brutal de marea: a pequeñas distancias la fuerza de atracción es extremadamente variable, de modo que una barra de hierro se estiraría como un chicle. Allí prolifera la llamada materia exótica capaz de desencadenar una especie de minúsculos túneles en el espacio tiempo que son no menos interesantes que los agujeros negros. Esos túneles son llamados “agujeros de gusano” y son capaces, al menos en teoría, de comunicar dos lugares distantes en el espacio y en el tiempo. Su estabilidad y tamaño vienen determinados por la cantidad de materia exótica que les aportemos y son la respuesta hipotética a los viajes interestelares a galaxias que se encuentren a millones de años-luz de nosotros.

Agujeros negros, agujeros de gusano, túneles en el espacio-tiempo, viajes en el tiempo, distorsión espacial y temporal, todos estos conceptos que parecen sacados de una novela de ciencia ficción, forman parte ya de la ciencia seria que se investiga en la actualidad, y no deja de ser una paradoja que la física, la ciencia más pura y dura, se ocupe de cuestiones, en otro tiempo, esotéricas. La materia a la que nos agarramos como lo más sólido, simple y real que tenemos se está convirtiendo, cada vez más, en algo lleno de misterio y complejidad. La física cuántica y la teoría de la relatividad general nos la presentan como algo siempre en movimiento que se confunde con el propio espacio y tiempo. Conforme tratamos de entender sus propias entrañas se nos aparece como formando una especie de entidad compleja que algún premio Nóbel no ha dudado en llamar: la materia-espacio-tiempo. Las extrañas criaturas que dan nombre a este artículo han contribuido, con la curiosidad que han despertado entre los físicos, a comprender mejor el mundo que nos rodea. En cierta forma su negra belleza ha arrojado un rayo de luz sobre nuestro conocimiento del universo que nos cobija.

Para saber más:
KIP S. THORNE (1995),”Agujeros negros y tiempo curvo”, ed. Crítica. Barcelona.
ROGER PENROSE(1991),”La nueva mente del emperador”, ed.Grijalbo Mondadori. Barcelona.
GILLES COHEN-TANNOUDJI Y MICHEL SPIRO(1988),”La materia-espacio-tiempo”, Espasa-Universidad.Madrid.
STEPHEN W. HAWKING Y ROGER PENROSE(1994),”Cuestiones cuánticas y cosmológicas”, Alianza Universidad.Madrid.
MICHIO KAKU(1996),”Hiperespacio”,ed.Crítica.Barcelona.

Dos fractales clásicos y unas fluctuaciones cuánticas

Sobre dos fractales clásicos, la curva de Koch y el polvo de Cantor, y cómo analizando el cálculo de su dimensión fractal somos capaces de calcular la dimensión fractal de las fluctuaciones cuánticas del vacío (hipótesis fractal sobre las mismas).

Siguiendo el post de hace varias semanas sobre "El vacío cuántico, una hipótesis fractal", vamos a calcular el valor de la dimensión fractal de las fluctuaciones cuánticas del vacío.La generalización del cálculo nos ofrecerá pruebas de que la naturaleza del cuanto de acción, causa de las propias fluctuaciones, puede haber dependido de la geometría adoptada por el Universo, o viceversa. Para ello nos valdremos de dos fractales clásicos, el polvo o conjunto de Cantor y la curva de Koch ambos en la figura anexa donde se explica su construcción. Nos fijaremos en el caso de la curva de Kock: El segmento inicial, de longitud 3, se convierte en los cuatro segmentos de longitud total 4. Se sabe que una homotecia de razón tres multiplica las longitudes por 3, las superficies por 3² = 9, los volúmenes por 3³ = 27, y más generalmente, el "volumen" de objeto de dimensión d por 3^d . Entonces tenemos 3^d = 4 para el copo de Koch, lo que da:
d = log 4 /log 3 = 1,26186...

Para nuestro propósito sobre las fluctuaciones ensayaremos un método general que involucra dos medidas diferentes. En la geometría euclideana no tendría sentido, pero la medida en las estructuras fractales depende de la magnitud de la unidad con la que se haga, de hecho en un fractal puramente matemático la distancia sobre la curva entre dos puntos cercanos tiende a infinito cuando la unidad de medida tiende a cero.

Realizaremos la medida sobre la mínima estructura del fractal, a partir de la cual se define el todo por simples iteraciones.

En la curva de Koch ( primera iteración) medimos la distancia entre los puntos 1-4 con una regla cuya mínima medida sea 3 y obtendremos que dicha distancia es 3 (una sola medida). Si medimos la distancia con una regla de mínima distancia 1, la medida 1-4 nos dará ahora como resultado 4 (cuatro medidas). El cociente entre los logaritmos de estos números nos da la dimensión fractal de la curva de Koch ( log 4 / log 3 = 1,26186.. ).

En el caso del conjunto de Cantor, las medidas involucradas son 3 y 2 (desde 3 segmentos hasta 2, y así en cada iteración) y la dimensión fractal del conjunto será log 2 / log 3. Es evidente que para un segmento lineal continuo encontraríamos el mismo valor para las dos medidas y el cociente entre sus dos logaritmos sería la unidad, que es la dimensión de una línea recta clásica euclideana.

Sobre estas premisas trataremos de calcular la dimensión fractal de las fluctuaciones cuánticas(*** Ver:La cuestión de la medida). Si nos fijamos en la figura anexa observamos que las medidas implicadas en el cálculo deben ser 1/4 y 4, pues partiendo de la distancia A-A1, a la que le asignamos el valor de energía de referencia E0, el valor entre los extremos A-B será 4 E0 para cuatro medidas consecutivas: A-A1 + A1-A2 + A2-A3 + A3-B. O bien E0/4 para una sola medida directa A-B. Aunque hemos tomado n=4 (por trabajar sobre un n concreto) no hay ninguna razón para tomar un valor de n determinado y el cálculo lo haremos general para n y 1/n ( n será natural y finito). Pero nos ocurre como en el caso del conjunto de Cantor. Entonces debíamos comparar 1 con 2/3 que a la hora de manejar logaritmos nos daría resultados absurdos, por lo que realmente hicimos el cambio: (1)---> (3) y (2/3) ---> (2) que nos permite comparar números naturales. En el caso que nos ocupa el cambio será:(1/n)--->(n) y (n)--->(n³) ( para n natural y finito, aunque puede ser arbitrariamente grande). Posteriormente, en un siguiente post, comprobaremos ampliamente la justificación de este cambio. La dimensión fractal de la energía de las fluctuaciones cuánticas será:

(Dim. topológica energía) x log n³ /log n = (3) x (3) = 9 . --->(*Expresión A*)

Es decir la dimensión topológica de la energía, que es igual a 3, queda multiplicada por el factor 3 que da cuenta de la irregularidad del fractal que representan. En los dos casos de curvas que hemos estudiado anteriormente la dimensión topológica es la unidad, de ahí que por simplificación no aparezca la dimensión topológica multiplicada.

Nos encontramos con un caso similar a lo que ocurre con una trayectoria completamente aleatoria (movimiento browniano de la primera figura). Como simple trayectoria es una línea de dimensión topológica 1, pero debido a sus irregularidades tiene una dimensión fractal 2, lo que nos indica que es capaz de recubrir un plano (dimensión 2). Las fluctuaciones cuánticas que tienen dimensión topológica 3 son capaces de recubrir un espacio de dimensión 9. ¿Por qué dimensión fractal 9? ¿Puede llevarnos la hipótesis fractal de las fluctuaciones a encontrar las 6 dimensiones compactadas de la teoría de supercuerdas?

En un próximo post generalizaremos el cálculo de la dimensión fractal de las fluctuaciones y veremos que nos da una pista sorprendente sobre las posibles dimensiones compactadas.




(***) La cuestión de la medida: En los fractales, debido a su irregularidad en todas las escalas, las medidas entre dos puntos varían según la magnitud de la unidad que se tome. El caso más sencillo y característico es la longitud de una costa. Entre dos puntos podemos encontrar una medida completamente diferente según consideremos la unidad de medida de 2000 metros, 1000 metros ó 500 metros. Conforme ésta unidad sea menor se adaptará mejor a las irregularidades y obtendremos una medida mayor. En el caso de las fluctuaciones cuánticas del vacío, si para una distancia D obtenemos una energía E0, para otra distancia 2D la medida directa sería E0/2 (una sola medida) y, en general, para la distancia nD sería E0/n.


Nota complementaria: 14/07/08.

Sobre el movimiento browniano:

En honor al "ministro iñigo" indico un link de la Wikipedia inglesa en la que puede comprobar lo que yo le indico, y él me niega, sobre la dimensión fractal del movimiento browniano, muy importante para seguir el supuesto de estructura fractal de las fluctuaciones cuánticas. Un libro clásico sobre el tema, donde también figura este fractal natural y se especifica su dimensión fractal, es el de : K.Falconer "The geometry of fractal sets". Cambridge University Press.

El movimiento aleatorio puro o browniano tiene una dimensión fractal igual a 2, sea la dimensión que sea la del espacio en el que se manifiesta. Lo que confundía a nuestro amigo era suponer que dado que este movimiento es capaz de tomar cualquier dirección en el espacio de 2, 3 ó más dimensiones, también sería capaz de recubrirlo. En este caso el movimiento browniano tendría un valor diferente según el espacio en el que se desarrollara pero no ocurre así, tal como parece intuirse (a mi también me ocurrió).

Sobre la elección de energía de las fluctuaciones cuánticas como escalar de medida:

A diferencia de otras magnitudes, la energía de las fluctuaciones del vacío no es un escalar cualquiera, representa el propio marco del espacio tiempo en fluctuación y su estudio como fractal nos puede dar más información sobre las posibles dimensiones compactadas, sobre el cuanto (que está en el origen de las propias fluctuaciones) y algún indicio sobre la relación del mismo con las configuraciones del espacio-tiempo (gravedad cuántica).

En la (*Expresión A*) , sobre la dimensión fractal, el cociente de logaritmos siempre será igual a 1 en las estructuras continuas no fractales, las dos medidas de las que hemos hablado coincidirán y por tanto sólo tendremos la dimensión topológica.


A modo de ejemplo:

Vamos a imaginar un sencillo mundo, que llamaremos V, de sólo una dimensión. La principal ley que tendremos en cuenta es la de la constitución más íntima de su espacio unidimensional (ver dibujo y supongamos n=4): para una longitud 7 (equivalente al lado AC) la energía (lineal) de vacío asociada hace que esa longitud se quiebre y se convierta en los lados iguales de un triángulo de longitud 4, cada uno (AB y BC).

Los habitantes de V conocen esa ley porque han observado la influencia de las masas sobre la deformación de su espacio y conocen la energía de vacío, pero desde su perspectiva no necesitan de más dimensiones que una para explicarla y en esa única dimensión está bien definida. La única medida real de longitud en ese mundo unidimensional entre A y C es 8, y la medida de 7 es completamente ficticia. Sin embargo suponiendo una geometría fractal serían capaces de descubrir un mundo bidimensional más amplio que el suyo.

Volviendo a nuestro mundo de tres dimensiones espaciales, la hipótesis fractal sobre las fluctuaciones cuánticas del vacío podría confirmar de forma semejante un mundo de más dimensiones espaciales que las tres conocidas.

La prehistoria de la materia, la era hadrónica

Estoy leyendo el libro titulado "La historia de la materia, del Big Bang al origen de la vida", de León Garzón Ruipérez (Ed. Nobel,1994) que me recomendó un amigo. Me he detenido en la llamada era hadrónica, una especie de era prehistórica de la materia de duración casi "infinitisimal" en que comienzaron a formarse los componentes básicos de la misma. Se inició con una temperatura ligeramente superior al umbral que corresponde a la formación del neutrón, unos 10¹³ K, y se extiendió desde una diezmillonésima hasta una diezmilésima de segundo, contado desde el origen del Universo. El Universo era en ese momento un plasma completamente ionizado y globalmente neutro, con un predominio aplastante de la radiación sobre la materia, siendo de hecho la concentración de los fotones unos mil millones de veces superior a la de cada partícula. Por ello suele decirse que el sistema constaba de radiación y una ligerísima contaminación de partículas. A causa de la gran abundancia de los fotones en relación con las partículas, los choques entre ellos debieron ser mucho más frecuentes que entre las partículas, mientras que éstas no podrían evitar las colisiones con los fotones.


Los hadrones (ver: Gran Colisionador de Hadrones, LHC) se consideran agregados de quarks que se mantienen enlazados mediante la fuerza nuclear fuerte, la más intensa de las cuatro interacciones conocidas. La agrupación de los quarks puede ser por trios o parejas, originando dos subclases: bariones y mesones. Estos últimos se consideran formados por un quark y un antiquarks. Los quarks son : up (arriba), down (abajo), charm (encanto), strange (extraño), top (cima) y bottom (fondo), por lo que las posibilidades de existencia de hadrones son muy numerosas. Solamente considerando los tres primeros, el número de posibles agrupamientos (con repetición) es de diez. Con los u y d, que son los constituyentes de la materia ordinaria, resultan los siguientes agregados: uuu, uud, udd y ddd.

Como las cargas de los quarks son u=2/3, d=-1/3, en unidades de carga del electrón, es fácil comprobar que las cuatro combinaciones anteriores poseen respectivamente las cargas 2, 1, 0. -1. De todos estos hadrones, el segundo y el tercero son precisamente el protón y el neutrón. En cuanto a los mesones, es interesante considerar los piones PI+, PI cero y PI-, cuyas agrupaciones son, respectivamente u anti d, u anti u, d anti u.

Casi parece cosa de magia que podamos saber lo que ocurrió en los primeros instantes después del Big Bang, pero debido a la enorme velocidad de los procesos nucleares en relación con el enfriamiento, es posible, por aplicación de los métodos termodinámicos, describir el estado del sistema del Universo en expansión a cualquier temperatura. Esta desciende de acuerdo con la expresión: T = 1,5 10¹⁰/(raiz cuadrada del tiempo) , expresando la temperatura en grados absolutos o Kelvin y el tiempo en segundos.Rebasado el umbral (hacia abajo) correspondiente a los nucleones, estos dejan de producirse, al no disponer los fotones de la suficiente energía térmica para ello, y no se puede evitar, por contra, que desaparezcan por aniquilación. De no ser porque existió un ligero exceso de nucleones sobre antinucleones hubieran desaparecido para siempre, dejando únicamente como huella de su presencia los rayos gamma (fotones). Así es que muy pronto desaparecieron todos los antinucleones y quedó un resto, una ligera contaminación de materia que constaba de neutrones, protones, piones, muones (positivos y negativos), electrones y positrones y neutrinos y antineutrinos.

En apenas una "milésima de un suspiro" la sopa primigenia del Big Bang, en la que ni siquiera se habían formado los nucleones (protones y neutrones), pues únicamente se encontraban los quarks todavía no confinados, pasó a contener los elementos esenciales para poder formar los primeros núcleos atómicos. Con estos empieza la historia de la materia, con aquellos la "prehistoria". En esa "milésima de milésimas" se decidió toda la historia posterior.Sin esa ligera asimetría entre materia y antimateria nada habría sido igual y este Universo no habría dado ni la materia ni la vida. Esa parece ser la sutil constante en el desarrollo posterior de la materia y de la organización de las estructuras que, lejos del equilibrio, luchan por arrebatar el orden al entorno para autoorganizarse en sistemas cada vez más complejos, en lucha directa con el segundo principio de la termodinámica que establece que cualquier sistema cerrado tiende a la máxima entropía o al mínimo orden.

Para una visión más general ver el post: Los tres primeros minutos del Universo.