Fractales, una geometría natural

La geometría tan intuitiva que nos enseñan en la escuela, basada en líneas, puntos y superficies supone, en realidad, un gran esfuerzo de abstracción porque estos elementos idealizados no existen en el mundo cotidiano. Una línea real o una superficie están llenas de irregularidades que pasamos por alto para abstraer su esencia y plasmarla en conceptos más sencillos como recta y plano.


Con los fractales, en cierta manera, deshacemos esa abstracción y nos acercamos un poco más al objeto real. Benoït Mandelbrot utiliza el ejemplo sencillo de un objeto real, como son las costas de los países, para aproximarnos a los fractales. Son líneas quebradas que siguen teniendo un aspecto parecido cuando cambiamos de escala. Precisamente estas dos propiedades son las que definen a un fractal: discontinuidad (rotura, fractura, de ahí su nombre) y autosemejanza con el cambio de escala. Medimos su grado de fractura e irregularidad con un simple número que llamamos dimensión fractal.

Repasando intuitivamente el concepto de dimensión, observamos que un punto no tiene medida (dimensión cero); a una recta la medimos en metros o centímetros lineales, lo que significa asignarle dimensión uno (una sola medida: largo); a una superficie la debemos medir en metros o centímetros cuadrados (dimensión dos: largo por ancho) y a un volumen lo medimos en metros o centímetros cúbicos (dimensión tres: largo por ancho por alto). Un fractal, generalmente, tendrá una dimensión (su dimensión fractal) que estará entre cero y uno, entre uno y dos o entre dos y tres.


Supongamos el caso más sencillo, una recta fractal representada por un hilo arrugado, e imaginemos que tiene dimensión fractal 1,25. Si otro hilo tiene dimensión fractal 1,35, la simple comparación de sus dimensiones fractales supone que este segundo hilo está más arrugado que el primero, presenta más irregularidades. La parte entera de la dimensión fractal (en este caso 1) nos está informando que el objeto con el que tratamos es una recta, la parte fraccionaria nos mide su grado de irregularidad.

La dimensión fractal también da la capacidad que tiene el objeto de ocupar el espacio. El hilo con dimensión fractal 1,35 es capaz de llenar el plano mejor que el de dimensión 1,25. De hecho, si seguimos arrugándolo más aumentaremos su dimensión fractal y cuando esté cercana a 2 habremos conseguido llenar, casi por completo, una superficie con el hilo. Un fractal clásico de este tipo es la llamada curva de Peano.

Los fractales son objetos esencialmente sencillos, se generan fácilmente por ordenador. Mediante muy pocas órdenes de programación, y a partir de un número mínimo de datos, se crean verdaderas maravillas de una riqueza y complejidad extraordinarias. El fractal de Mandelbrot es un ejemplo. Conforme intentamos ampliar, con medios informáticos, cualquiera de sus partes nos encontramos con un nuevo paisaje similar al original pero con nuevos y sorprendentes detalles. Podemos seguir así cuanto deseemos y nos permita la potencia de nuestro ordenador, se nos seguirá mostrando un nuevo mundo fantástico, que nunca llega a repetirse, en cada nueva ampliación. Un mundo surgido casi de la nada, de una sencilla expresión que se encadena y realimenta con nuevos datos.

Valor posterior = (valor anterior)² + constante (Con una condición restrictiva).

La observación de estos fractales creados por ordenador, nos recuerda siempre a algún objeto natural desconocido pero cercano, posiblemente, porque esa economía de medios para lograr complejidad es una característica muy propia de la Naturaleza. Es la estrategia adoptada para lograr la mejor distribución de los vasos sanguíneos por todo el cuerpo, la disposición óptima del ramaje de los árboles o de los pliegues del cerebro para conseguir la mayor superficie en el mínimo espacio.

De mi colaboración con Libro de Notas, columna mensual "Ciencias y letras"

Hawking y el LHC, 100 dólares contra 6.000 millones de euros

Stephen Hawking lanzó ayer una de sus famosas apuestas. Esta vez apuesta 100 dólares a que no se encontrará la famosa partícula del bosón de Higgs. Es una apuesta insignificante sobre los resultados de un dispositivo que cuesta la friolera de 6.000 millones de euros, pero todo el mundo sabe que las consecuencias del experimento, tanto si se encuentra como si no se encuentra el famoso bosón, cambiarán la física. Si existe y tiene las propiedades predichas por el Modelo Estándar de Física de Partículas, el LHC lo tiene que encontrar, si no se descubre nos tendríamos que replantear toda la física de partículas.

Además de encontrar el bosón de Higgs hay una serie de posibles descubrimientos que pueden estar esperando en el túnel del LHC. Uno de ellos es toda una familia de partículas llamadas supersimétricas que duplica las ya conocidas. Una de esas partículas supersimétricas, el neutralino, tiene un atractivo teórico especial porque es el mejor candidato para constituir la misteriosa materia oscura. Otro de los posibles hallazgos podría ser el descubrimiento de nuevas dimensiones del espacio, sería posible que cada "punto" del espacio tenga sus propias dimensiones compactadas como predicen las teorías de cuerdas. Gracias a las energías implicadas en el LHC podremos "ver" la estructura espacial desde "mucho más cerca" y este hecho podría depararnos más de una sorpresa.

Sobre la posible formación de microagujeros negros, algo que en los últimos meses ha levantado toda una polémica en la red, en una entrevista que hoy publica el periódico El País,  el físico teórico español en el CERN Álvaro de Rújula indica:" Si hay dimensiones extras, puede que se logren formar en el LHC microagujeros negros, y no son nada peligrosos: con la misma convicción que los físicos sabemos que tirar una manzana no es tan peligroso como tirar una granada de mano, sabemos que los microagujeros negros son inofensivos".


Se habla mucho de lo que ha costado construir el LHC, pero los gobiernos de decenas de países no se han gastado miles de millones de euros para saber qué pasaba en el Universo una milmillonésima de segundo después del Big Bang(***). El interés del LHC es que el reproducir las condiciones extremas del Universo primordial nos puede ayudar a responder algunas de las preguntas sobre cuáles son las leyes fundamentales de la naturaleza para las que aún no tenemos respuesta. Cualquiera de esas respuestas pueden ser tan, aparentemente, anodinas como lo debió ser para la mayoría de los no entendidos en físicas el descubrimiento del cuanto de acción, llamado de Planck, hace más de 100 años. Sin embargo fue la base de la mecánica cuántica, gracias a la cual ahora estoy escribiendo este post en el ordenador y existe internet, los móviles, la televisión, nuestros automóviles modernos y todos los dispositivos electrónicos que, en general, nos permiten una vida mejor y que inundan nuestras casas, lugares de trabajo, hospitales o escuelas.

Gane o no gane la apuesta Stephen Hawking, el LHC cambiará nuestras vidas y la de nuestros hijos.

(***) (Apuntes científicos desde el MIT) La teoría actual del origen del Universo nos dice que todo empezó con lo que se suele llamar la Gran Explosión (el Big Bang en inglés). Este apelativo metafórico nos incita a pensar en un instante inicial muy “ruidoso”, una especie de fuegos artificiales, pero el Big Bang empezó en silencio, y sería más adecuado imaginarlo como una “explosión” en la que se crean el espacio y el tiempo. Si tratamos de entender ese instante con la teoría de la Relatividad General nos encontramos con una singularidad, un universo primigenio en el que la temperatura y densidad eran infinitas. Estas condiciones extremas son imposibles de imaginar, por lo que seguramente indican que nuestras teorías no son válidas para extrapolar hasta el mismo momento inicial.

A partir de ese momento el Universo se empezó a expandir rápidamente y a medida que crecía su tamaño se iba “enfriando”, o lo que es lo mismo, la energía de las partículas que contenía disminuía. Cuando sólo había transcurrido una milmillonésima de segundo después del Big Bang, el universo tenía una temperatura aproximadamente 100.000 veces superior a la del Sol y las partículas fundamentales que lo habitaban chocaban constantemente entre ellas con energías aproximadamente de 14 TeV. Estas condiciones son precisamente las que se quieren reproducir en el LHC. Al hacer colisionar partículas a 14 TeV, lo que queremos es entender qué sucedía en el Universo sólo una milmillonésima de segundo después del Big Bang.