Espacios fibrados y renglones torcidos

Parece que Dios ha necesitado de los renglones torcidos de los fibrados, y de otras sutilezas matemáticas intrincadas, para crear la mecánica cuántica y con ella este mundo, que, sin embargo, nos parece un escrito recto y armonioso.

Si cogemos una cinta por los extremos, realizamos un giro de 180º y unimos dichos extremos, obtendremos lo que se llama una cinta de Moebius. Es un modelo de una superficie con sólo una cara y sólo un borde. La cinta contiene una circunferencia en el centro y podemos pensar que está formada por segmentos iguales que cortan esa circunferencia en ángulos rectos. En cierta forma, podemos verla como un segmento que va girando a medida que lo trasladamos a lo largo de la circunferencia.

La cinta de Moebius es un fibrado, un objeto matemático que consiste en un espacio base, que en este caso es la circunferencia, la fibra, que es la figura que se traslada a lo largo del espacio base, y una información extra, que sirve para definir el objeto o espacio total del fibrado, que en este caso es el ángulo de giro de la fibra, cuando se traslada a lo largo de la circunferencia. El ángulo debe estar relacionado con la forma de la fibra para que éstas se acoplen bien y den el espacio total del fibrado. Cuando la fibra es un segmento, los ángulos posibles son los múltiplos de 180º. Si tomamos como fibra un triángulo equilátero el ángulo de giro debería ser cualquier múltiplo de 120º, y si utilizamos un cuadrado el ángulo sería un múltiplo de 90º.

El paso de la mecánica clásica a la teoría cuántica extiende la base de su formulación a nuevas propiedades de relatividad, de simetría y de leyes de conservación, pero necesita del concepto de fibrado o espacio fibrado. El concepto de espacio fibrado, mucho más rico que el espacio clásico, es lo que realiza de forma natural la extensión al nuevo paradigma cuántico. En física cuántica el espacio fibrado es un encaje de dos espacios, uno llamado base, que es un espacio de puntos, y el otro llamado fibra que es el espacio de los grados de libertad interna de los campos cuánticos. Incluso en los casos más sencillos, la fibra no se reduce a un punto pues un campo cuántico es un campo no de probabilidades, sino de amplitudes de probabilidad (una amplitud de probabilidad es un número complejo cuyo módulo al cuadrado es una probabilidad). La fase en cada punto del espacio-tiempo es un grado de libertad interna y la fibra de un campo escalar es el espacio en el cual se puede cambiar la fase.

La fibra, el espacio interno es difícil de imaginar, pero utilizando el símil de la curvatura que se consigue con el efecto sobre una pelota de ping-pong nos podemos hacer una idea. Además, como la pelota es blanca y pequeña, el espectador no puede apreciar el movimiento circular de la misma que queda reducida a un punto en movimiento. Para los espectadores, todo el espacio contenido en la superficie de la pelota y en su interior se ha convertido en la fibra.

Cuando reflexionaba sobre el tema de este post se me ocurrió lo de los renglones torcidos. Como decía Einstein en una de sus reflexiones filosóficas:"Creo en el Dios de Spinoza que se manifiesta en la ordenada armonía de lo que existe, no en un Dios que se preocupa del destino y de las acciones del ser humano”. Me vino a la mente el dicho popular:" Dios escribe recto en renglones torcidos". Parece que Dios ha necesitado de los renglones torcidos de los fibrados, y de otras sutilezas matemáticas intrincadas, para crear la mecánica cuántica y con ella este mundo, que, sin embargo, nos parece un escrito recto y armonioso.


Para saber más:

- "Las esculturas simbólicas de John Robinson", número 37 de la revista Mètode de la Universidad de Valencia. Autor: Ronnie Brown, University of Wales.

- " La materia-espacio-tiempo", de Gilles Cohen-Tannoudji y Michel Spiro (físico teórico y experimental, respectivamente. El segundo colaboró en el experimento que permitió descubrir, en 1983, los bosones intermedios, necesarios para unificar las interacciones electromagnéticas y nuclear débil).

- " El camino a la realidad", el último libro de Roger Penrose (explica con mucho detalle los fibrados).

Reedición del post del mismo nombre del 13/03/07. Un saludo amigos.

Reflexiones sobre la ciencia para juristas, economistas... y demás gente curiosa

La ciudad de Alejandría, en el norte de Egipto, ha sido una de las ciudades más importantes en relación con la cultura y la ciencia. En su famosa biblioteca, se albergaban infinidad de libros que contenían gran parte del saber del mundo antiguo. Allí se realizaron numerosos descubrimientos por personas de diferentes países. Sin embargo, entonces la ciencia y la cultura eran el privilegio de unos pocos, y los nuevos descubrimientos ni se explicaban ni se popularizaban. La mayoría de la población no tenía la menor idea de lo que estaba sucediendo dentro de aquellos muros, y los resultados de las investigaciones, salvo excepciones, no se traducían en algo útil para aquellas gentes. Por ello, no es de extrañar que nadie acudiese en ayuda de Hypatia de Alejandría cuando los seguidores de Cirilo la asesinaron salvajemente en el año 415. Hypatia, mujer de gran talento y cultura, fue el último científico que trababajó en la biblioteca. Poco después, nadie se preocupó en evitar el incendio y total destrucción de la biblioteca por una muchedumbre enfurecida. La pérdida fue irreparable: la mayor parte de las grandes obras del mundo antiguo desaparecieron para siempre.

Tal vez, los acontecimientos habrían sido otros si los habitantes de Alejandría hubieran sabido que, allí, se estaban sentando las bases de las matemáticas, la física, la astronomía, la biología, la medicina y la literatura. Por eso, es una tarea importantísima para el científico la divulgación de los trabajos que realiza, de esta forma la gente puede entender su esfuerzo e implicarse, en cierta forma, en la aventura que supone la investigación científica.

Los resultados de las investigaciones científicas se han plasmado en avances tecnológicos cuyo desarrollo se inició, fundamentalmente, en el siglo XIX, con la primera Revolución industrial, y se ha incrementado, de forma extraordinaria, en los últimos cincuenta años, con el advenimiento de la electrónica y la informática, soportes indiscutibles de la revolución tecnológica que estamos viviendo. Como decía Karl Popper, filósofo de la ciencia austríaco, en una conferencia pronunciada en el Foro Príncipe de Asturias de la Expo-92:" El trabajo manual exhaustivo, pesado y devastador, que tuvieron que realizar millones de hombres y mujeres ha desaparecido en las sociedades occidentales. Yo pude conocerlo y nadie que no lo hiciera podrá tener idea alguna de la diferencia: esta es la verdadera revolución que debemos al denostado crecimiento de la tecnología."

La ciencia y la tecnología que de ella deriva sigue siendo todavía la gran desconocida, cuando no denostada, como decía Popper. En estos momentos, el conocimiento de los principios de la ciencia y sus implicaciones debería ser una parte esencial en la formación de cualquier persona . Además, hay una serie de elementos en el método científico que son de gran valor en otros aspectos de la vida. El primero y quizá el más destacado sea una visión racional del mundo. Las cosas suceden con arreglo a unas leyes, y, por ello, se pueden conocer y predecir.La física, en particular, y la ciencia en general nos ayuda a pensar en términos cuantitativos, lo que no implica el utilizar matemáticas más o menos complejas, sino más bien el tener una idea aproximada de los órdenes de magnitud de las variables que intervienen en el problema.El segundo elemento es de uso imprescindible en el campo de la investigación; se trata de identificar entre un conjunto, en ocasiones muy amplio, de factores aquellos que tienen una mayor influencia en el fenómeno objeto de estudio. Esta técnica se debería aplicar en otras muchas situaciones, pero no suele utilizarse con demasiada frecuencia.


El tercer elemento se refiere a la belleza, por una parte deberíamos considerar la propia belleza del método científico y la emoción que embarga al investigador en los instantes en que realiza un descubrimiento, y, por otra habría que combatir la idea equivocada al considerar que la ciencia, de alguna manera, le resta belleza a la observación de la naturaleza. El movimiento de los astros no se afea porque conozcamos algo sobre las leyes que lo gobiernan o sobre la composición y estructura de las estrellas y de los planetas. Uno de los físicos más destacados de este siglo, el premio Nobel Richard Feynman, lo expresaba del modo siguiente:!¿Qué clase de hombres son los poetas que pueden hablar de Júpiter como si fuese un hombre, pero permanecen callados si se trata de una inmensa esfera giratoria compuesta de metano y amoníaco?".

Reflexiones interesantes que se plantean en el libro que acabo de leer: "Física para juristas, economistas... y demás gente curiosa". Roberto González Amado. Ed. Crítica. Barcelona 1996.ISBN 84-7423-792-0.
Breve descripción:A través de la física, la más básica de las ciencias de la naturalezam este libro, basado en un curso interdisciplinar que el autor impartió en la Universidad Carlos III de Madrid (es catedrático de física aplicada en dicha universidad), ilustra la esencia del método científico para todas aquellas personas curiosas que estén dispuestas a realizar una lectura paciente y reflexiva. Asimismo, esta obra es imprescindible para los profesores y estudiantes de bachillerato, para los primeros años de las carreras de ciencias e ingeniería, así como para los cursos de humanidades.

Nota al margen: Hoy es el Día de Acción Blog 2008, contra la pobreza en el mundo

Hace algún tiempo, en una sección de opinión de El País de la Comunidad Valenciana, me publicaron una corta y sentida reflexión sobre la pobreza, las guerras, el hambre y la sinrazón. Se llamaba EL POEMA MÁS HERMOSO y recordarlo me parece una bonita forma de celebrar ESTE DÍA:


"Los poemas más hermosos, las más armoniosas teorías matemáticas, la mejor de las músicas o las pinturas más excelsas nunca serán nuestros. Miles, millones de vidas en todo el mundo son tiradas a la cuneta en absurdas guerras. Miles, millones de vidas son truncadas por la intolerancia y la sinrazón. Millones de niños mueren de hambre sin tener la más mínima oportunidad de desarrollo. Cualquiera de los miles de cadáveres anónimos que desfilan por nuestros televisores podría haber sido el próximo Einstein, Miguel Ángel, el próximo Shakespeare... Nunca conoceremos el poema más hermoso. El más grande de los poetas (o de los científicos) yace, víctima precoz, en una fosa común."



La ciencia, en cierta forma, tiene alguna"ventaja" sobre el arte.Es la propia Naturaleza la que nos va "dictando" sus leyes, nosotros las interpretamos y, más pronto o más tarde, llegamos a conocerlas mejor. El buen científico escucha e interpreta el "dictado", que la mayoría no llega a entender, pero si ese científico falla siempre habrá otro que sepa entender el "dictado". El edificio de la ciencia se va construyendo con conocimiento y acumulación de ese conocimiento. El arte se crea y no es acumulativo. Si Miguel Angel o Shakespeare no hubieran llegado a poder expresar su genio nos habríamos perdido SU maravillosa obra.


La historia de uno de los más grandes genios matemáticos tiene que ver, precisamente, con la más extrema pobreza. Nació en el lugar y el tiempo equivocado y sólo por una serie de casualidades consiguió no malograrse. Me refiero a Ramanujan. Un saludo amigos.

Richard Feynman, sus diagramas y sus bongos

Richard Phillips Feynman (1918-1988) fue uno de los físicos más brillantes y originales del siglo XX. Con una curiosidad ilimitada ante los fenómenos de la naturaleza, hizo contribuciones relevantes en diversos campos de la física y también fue un excelente divulgador, capaz de transmitir su pasión por la ciencia. De una intuición extraordinaria, buscaba siempre abordar los problemas de la física de manera diferente a la de los otros, quería presentar las cuestiones conocidas fuera de los caminos ya trillados.

Repasar las contribuciones de Feynman a la física es recorrer la mayor parte de la física del siglo XX. Abrió nuevas vías en campos como la mecánica cuántica, la electrodinámica cuántica, la materia condensada, las interacciones y partículas elementales, la física no lineal o la información y la computación cuánticas. A esta larga lista se puede añadir también su papel pionero en la gravedad cuántica y en las llamadas nanotecnologías. El 1965 recibió el premio Nobel de Física, compartido con J. Schwinger y S. Tomonaga, por sus trabajos en electrodinámica cuántica. De manera independiente, los tres científicos llegaron a mostrar como abordar el estudio cuántico y relativista de sistemas con cargas eléctricas, como electrones y positrones, en interacción con campos electromagnéticos. Pero el método de Feynman ilustra muy bien su talante. Donde sus colegas escribían largas fórmulas matemáticas, Feynman dibujaba, literalmente, los procesos físicos que quería estudiar, a partir de los cuales podía hacer los cálculos con unas reglas precisas. Actualmente , el uso de "diagramas de Feynman", o variantes de estos diagramas, es el procedimiento estándar para efectuar cálculos en muchos y diferentes campos de la física.

Es un tópico referirse a la excelencia de Feynman como comunicador. Muchos de los asistentes a sus clases y charlas recuerdan la fascinación que Feynman ejercía sobre la audencia, cosa a la que no era ajeno su carácter histriónico. Para Feynman, el aula era un teatro y él un actor que debía mantener una intriga mientras hablaba de física y escribía números y fórmulas en la pizarra. Con esta intención preparaba muy cuidadosamente clases y charlas como si fueran piezas de teatro clásico, con presentación, trama y desenlace. Su forma apasionada de hablar de física lo convirtió en un conferenciante popular; muchas de sus conferencias han sido trascritas y publicadas en forma de libro, e incluso algunas grabadas para la televisión.

Feynman dio clase sólo a estudiantes del último curso y de doctorado, con una única e importante excepción. Los cursos 1961-62 y 1962-63 hizo un curso de física para estudiantes de primero y segundo año que se ha convertido en uno de los cursos de física más famosos. Las clases fueron grabadas, trascritas y publicadas con el título "The Feynman Lectures on Physics", en tres volúmenes que se continúan editando y traduciendo hoy en día.


La afición de Feynman a tocar los bongos era bien conocida y una prueba más del carácter extrovertido del físico. Su amigo Ralph Leighton escribió dos libros con anécdotas que Feynman contaba durante las reuniones semanales que organizaban para tocar este instrumento.Los dos libros, cuyos títulos originales son "Surely you are joking, Mr. Feynman" y "What do you care what other people think?" continúan publicándose con mucho éxito. Y es que a feynman le gustaba mucho contar historias divertidas, en las que él tenía a menudo el papel más destacado.

Pero la verdadera popularidad le llegó a raíz de su participación en la comisión encargada de investigar el accidente del Challenguer, en enero de 1986. El transbordador espacial explotó poco después de despegar y la transmisión en directo por televisión del accidente amplificó su impacto social. Una buena mitad del segundo libro de anécdotas está dedicada a esta participación. Contrariando mucho al presidente de la comisión, que quería controlar todo el proceso, Feynman hizo por libre su propia investigación, siguiendo su costumbre. Pronto se convenció de que el problema estaba en las juntas de goma que cerraban el depósito de combustible, que no podían soportar las bajas temperaturas existentes en el momento del lanzamiento, y decidió hacer una demostración durante una de las sesiones públicas de la comisión. Los periodistas presentes difundieron su intervención y todo el mundo entendió la causa principal del accidente, Feynman se convirtió en un icono popular y pronto aparecieron en las tiendas camisetas con sus diagramas.

En palabras de su colega Schwinger, Feynman era el ejemplo de aquel que "goza en seguir el ritmo de un tambor diferente". Las leyes de la física pueden ser a menudo formuladas de muchas formas, diferentes a primera vista, hasta que cierto trabajo matemático nos demuestra que son idénticas. Feynman decía que este es un hecho misterioso, que nadie entiende, y en él veía un reflejo de la simplicidad de la naturaleza.

Nota sobre la figura de diagramas: El diagrama de la figura (parte izquierda) es uno de los primeros que se publicaron. Visualiza la interacción entre dos electrones mediante el intercambio de un fotón virtual ( línea ondulada). El diagrama esquematiza la versión mecanocuántica de la repulsión entre partículas dotadas de la misma carga. El diagrama de la figura (parte derecha) contiene un conjunto de diagramas que recoge las formas posibles en que dos electrones intercambian dos fotones. Todas las posibilidades deben ser evaluadas y agregadas como parte del cálculo de la probabilidad de que dos electrones colisionen. Al organizar el cálculo con los diagramas, Feynman había resuelto un viejo quebradero de cabeza que llevaba años lastrando a los mejores físicos teóricos del mundo.

Gracias a la revista Mètode de la Universidad de Valencia y a Jesús Navarro, del IFIC (Centro Mixto CSIC-Universitat de València)