La medida natural de las cosas

La relación que tratamos de establecer entre dos cantidades puede ser engañosa. En ocasiones los valores más lógicos de las mismas nos alejan de la realidad y del fenómeno que tratamos de estudiar. El sentido común nos puede dar una aproximación del resultado capaz de guiarnos para encontrar la solución correcta, la que se amolda de verdad a la realidad.



Supongamos que queremos relacionar dos cantidades que se corresponden con una realidad palpable, por ejemplo dos longitudes de un determinado objeto, y nos dan las siguientes medidas: 2 y 1/2, 3 y 1/3, 4 y 1/4, ... n y 1/n. Siendo n un número natural. La división entre ellas no nos ofrece ningún conflicto, será 4, 9, 16, ... n², nos está dando la cantidad de veces que una cantidad es mayor que otra. Sin embargo hay relaciones que pueden dar equívocos si nos dejamos guiar por el resultado puramente matemático. Por ejemplo, si nos fijamos en la figura que representa el fractal clásico llamado copo de Koch y su construcción, vemos que en cada iteración sustituimos un segmento de 3 unidades por cuatro segmentos de una unidad: justamente la relación entre log 4/ log 3 nos da la dimensión fractal de la figura, que es 1.261859… Si lo que queremos relacionar son las dos longitudes representadas por cualquier número natural N y su inverso 1/N, al hallar la relación similar a la anterior, del copo de Koch, nos encontramos con un valor negativo, -1, una dimensión negativa para un fractal, cuando físicamente no tiene ningún sentido, pues la dimensión fractal siempre es igual a la topológica (o dimensión aparente) más un coeficiente dimensional, tanto mayor cuanto más irregular es el fractal.


Matemático y lógico, Kronecker defendía que la aritmética y el análisis deben estar fundados en los números enteros prescindiendo de los irracionales e imaginarios. Fue autor de una frase muy conocida entre los matemáticos: "Dios hizo los naturales; el resto es obra del hombre" (Eric Temple Bell 1986, p.477. Men of Mathematics ).

Esa es la cuestión, en nuestro caso debemos convertir 1/N y N en dos nuevos números naturales que al relacionarnos, para expresar el valor que representa la dimensión del objeto, nos de un resultado coherente con la realidad que estamos observando. Las figuras que siguen a este párrafo nos aclaran el camino a tomar para encontrar una posible solución, para este caso particular.


Vemos la construcción de una figura cuando N=3, N=4 y N=5. En la primera figura si damos el valor 3 al lado, su perímetro será 27 (3³), pero si le damos el valor 1/3, su nuevo perímetro será 3. Así ocurre para N=4 ó N=1/4 , etc, y en general para cualquier valor N y 1/N (con N finito, aunque tan grande como queramos). Siempre ocurrirá que si el lado es N el perímetro será N³ y si el lado es 1/N el perímetro será N, sin que para ello varíe la forma de la figura.


La conversión natural será la que transforma la pareja de medidas (1/N, N) en (N, N³) y el valor irregular, -1, que encontrábamos para la dimensión fractal de la curva se convertiría en 3. Este valor le daría a la curva la capacidad de llenar el espacio. Es un fractal con dimensión entera, de forma similar al caso de un movimiento aleatorio puro, que de cada N² pasos realizado sólo se aleja N, de cualquier punto arbitrario de referencia que consideremos, y por tanto tiene una dimensión fractal igual a 2, capaz de llenar el plano.

En realidad, para nuestro caso (1/N, N), existen infinitas conversiones, responden a la expresión :

Dim. fractal (*)= 1 + 2/logL(N) , siendo L(N) el valor del lado que consideremos, como función de N. Para L(N)= 1/N tenemos el valor -1, para L(N)=N, le corresponde el valor 3, como hemos dicho. Para valores de exponente natural más negativos (1/N² ) y mayores la dimensión se acerca asintóticamente a l. Para valores mayores de N, como N², N³, o de mucho mayor exponente el valor asintótico será también 1.

Al final no podemos confiar ciegamente en el valor que nos dan las matemáticas, pues el mundo que representan es mucho más amplio que el mundo real y siempre necesitaremos de nuestro sentido común, en el análisis de los resultados encontrados. Por otra parte, paradójicamente, en ocasiones ocurre lo contrario: el sentido común nos ciega y nos impide ver una realidad más profunda que subyace en los resultados matemáticos.

(*)Tomando logaritmos en base N





Dualidad T, (1/N,N)



Como simple curiosidad, sobre el intercambio de valores 1/N y N, y como culturilla sobre teoría de cuerdas, todo esto puede recordarnos la llamada Dualidad-T:



En la expresión que representa los cuadrados de las energías de las excitaciones de una cuerda en un espacio con una dimensión curvada o compactada, K. Kikkawa y M. Yamanaka en 1984, observaron que la fórmula sigue teniendo el mismo aspecto si hacemos el intercambio R <--> 1/R. Siendo R el radio microscópico de la dimensión que se curva.

Desde un punto de vista físico esto indica que las energías de las excitaciones de una cuerda, cuando hay una dimensión extra de radio R, es la misma que la de una cuerda cuando el radio es 1/R. No ya las energías, sino todas las propiedades físicas de ambos sistemas son exactamente las mismas. Llama la atención, pues cuando R aumenta 1/R decrece, contradiciendo la experiencia de la vida diaria, que nos dice que las cosas pequeñas difieren de las grandes. Para una cuerda ello no es así.


Sobre "Unificación y dualidad en teoría de cuerdas", ver el número de agosto de 1998 de Investigación y Ciencia, de Luis E. Ibáñez Santiago.

Lo que esconden los fractales y la energía oscura, una hipótesis

Los fractales esconden bajo sus “arrugas” parte de sí mismos. Suponiendo la hipótesis de un vacío cuántico fractal, la escurridiza energía oscura podría ser la consecuencia de la estructura fractal de las fluctuaciones cuánticas del vacío que conforman todo el espacio.

La medida de la costa de Bretaña
Benoït Mandelbrot se preguntaba cuánto medía la costa de Bretaña, o cualquier costa real que suele ser irregular e intrincada. Un geógrafo se lo habría respondido perfectamente, pero no era esa la repuesta que buscaba Mandelbrot. El geógrafo da por sentado que al medir la costa tiene que hacerlo con unos criterios prácticos determinados, se atiene a ellos, la mide y la registra para siempre en los libros de geografía.

Para Mandelbrot, la pregunta era mucho más transcendente de lo que puede parecer a simple vista, porque se dio cuenta de que la medida dependía de la unidad de medida con la que fuera a efectuarse. Si la mínima unidad de medida a tomar fuera un kilómetro hallaríamos un valor, y si esa mínima unidad fuera el doble encontraríamos un resultado menor. Conforme la unidad utilizada es menor, al efectuar la medida nos acercamos mejor a las irregularidades del terreno y hallamos un valor mayor. Para una costa matemática teórica, de hecho, la unidad de medida la podemos hacer tender a cero tanto como queramos y el resultado obtenido siempre será mayor. En el límite la longitud de cualquier costa teórica es infinita.

Dimensión fraccionaria de una costa
Las costas son ejemplos sencillos de unos objetos matemáticos que Benoït Mandelbrot llamó fractales, porque su estructura es discontinua, rota o fracturada (del latín “fractus”) y mantienen el mismo aspecto a diferentes escalas. A diferencia de los objetos geométricos continuos que conocemos como líneas o planos, los fractales son capaces de “llenar” más espacio del que deberían llenar. Las costas fractales, como líneas que son, deberían tener la capacidad de llenar una dimensión, pero realmente llenan 1.25, 1.30, 1.35… etc. Su dimensión, que es fraccionaria, está entre la línea y el plano, es decir entre 1 y 2, y conforme son más irregulares mayor es su dimensión, a la que llamamos dimensión fractal.



Vacío clásico y vacío cuántico
El vacío clásico y continuo es, en cierta forma, como una costa lineal y regular, sin entrantes ni salientes. El vacío cuántico es muy diferente, sus fluctuaciones le confieren una estructura irregular que nos puede recordar la estructura fractal de las costas de los países. De “lejos” no es diferente del vacío clásico, pero de “cerca” nos ofrece una visión muy diferente, las fluctuaciones ganan protagonismo porque dependen del inverso de la distancia: a distancia mitad son el doble de intensas. Esta diferencia entre el vacío clásico y el cuántico se puede observar, perfectamente, tratando de seguir las trayectorias de las partículas subatómicas. En el vacío clásico estas están bien definidas y son líneas continuas, en el vacío cuántico no existen como tales, no son propiamente trayectorias pues conforme las tratamos de observar con más detalle, más irregulares aparecen. Son fractales con una dimensión 2.

¿Vacío cuántico como un fractal?
Todo esto hace pensar en la posibilidad de considerar el vacío cuántico como una fractal, en el que la energía de las fluctuaciones cuánticas determinaría su grado de irregularidad, y en base a su valor (un escalar) se podría calcular la dimensión fractal de estas fluctuaciones que conforman todo el espacio.

Lo que esconden los fractales y la energía oscura, una hipótesis
Entre dos puntos A y B del espacio euclídeo se puede trazar una recta. La distancia entre los dos puntos siguiendo esta recta es la longitud de la misma. Sin embargo si esa recta la convertimos en una costa fractal real (sin las infinitas irregularidades de una costa fractal matemática), la distancia entre los dos puntos, siguiendo la costa, se puede hacer todo lo grande que se desee dependiendo de la cantidad de irregularidades de la misma.

Si observamos esta línea costera en la distancia, las irregularidades se disimulan y su aspecto se acerca al de una línea mucho más regular. Su distancia aparente también estará cercana a la de la línea recta AB. Sabremos la distancia real AB a través de la costa fractal y la distancia aparente, vista la costa desde lejos. En cierta forma parece que ha desaparecido una parte de la costa, una parte que desde lejos no logramos observar, porque queda escondida entre las irregularidades del fractal.

Si suponemos la hipótesis fractal de las fluctuaciones cuánticas del vacío, ¿la parte escondida por este inmenso fractal podría ser la llamada energía oscura?




En la figura:(representación del vacío
cuántico), los trazos más anchos se corresponden con fermiones (quarks, electrones...) y sus antipartículas, mientras que los trazos más finos corresponden a bosones (gluones, fotones, W+, W-, Z0,...). En lo concerniente al color de los quarks y gluones, se corresponden con la carga de color de los mismos mientras que las partículas insensibles a la interacción fuerte aparecen en blanco o gris.)



Lo que sabemos hasta ahora de la energía oscura
La naturaleza exacta de la energía oscura es una materia de especulación. Se conoce que es muy homogénea, no muy densa y no se conoce la interacción con ninguna de las fuerzas fundamentales más que la gravedad. Como no es muy densa, unos 10−29 g/cm³, es difícil de imaginar experimentos para detectarla en laboratorio. La energía oscura sólo puede tener un profundo impacto en el Universo, ocupando el 70% de toda la energía, debido a que por el contrario llena uniformemente el espacio vacío.

Dos posibles formas de la energía oscura son la constante cosmológica, una densidad de energía constante que llena el espacio en forma homogénea y campos escalares como la quintaesencia: campos dinámicos cuya densidad de energía puede variar en el tiempo y el espacio. De hecho, las contribuciones de los campos escalares que son constantes en el espacio normalmente también se incluyen en la constante cosmológica. Se piensa que la constante cosmológica se origina en la energía del vacío. Los campos escalares que cambian con el espacio son difíciles de distinguir de una constante cosmológica porque los cambios pueden ser extremadamente lentos.
Para distinguir entre ambas se necesitan mediciones muy precisas de la expansión del Universo, para ver si la velocidad de expansión cambia con el tiempo. La tasa de expansión está parametrizada por la ecuación de estado. La medición de la ecuación estado de la energía oscura es uno de los mayores retos de investigación actual de la cosmología física.