Espacios fibrados y renglones torcidos.

Si cogemos una cinta por los extremos, realizamos un giro de 180º y unimos dichos extremos, obtendremos lo que se llama una cinta de Moebius. Es un modelo de una superficie con sólo una cara y sólo un borde. La cinta contiene una circunferencia en el centro y podemos pensar que está formada por segmentos iguales que cortan esa circunferencia en ángulos rectos. En cierta forma, podemos verla como un segmento que va girando a medida que lo trasladamos a lo largo de la circunferencia.

La cinta de Moebius es un fibrado, un objeto matemático que consiste en un espacio base, que en este caso es la circunferencia, la fibra, que es la figura que se traslada a lo largo del espacio base, y una información extra, que sirve para definir el objeto o espacio total del fibrado, que en este caso es el ángulo de giro de la fibra, cuando se traslada a lo largo de la circunferencia. El ángulo debe estar relacionado con la forma de la fibra para que éstas se acoplen bien y den el espacio total del fibrado. Cuando la fibra es un segmento, los ángulos posibles son los múltiplos de 180º. Si tomamos como fibra un triángulo equilátero el ángulo de giro debería ser cualquier múltiplo de 120º, y si utilizamos un cuadrado el ángulo sería un múltiplo de 90º.

El paso de la mecánica clásica a la teoría cuántica extiende la base de su formulación a nuevas propiedades de relatividad, de simetría y de leyes de conservación, pero necesita del concepto de fibrado o espacio fibrado. El concepto de espacio fibrado, mucho más rico que el espacio clásico, es lo que realiza de forma natural la extensión al nuevo paradigma cuántico. En física cuántica el espacio fibrado es un encaje de dos espacios, uno llamado base, que es un espacio de puntos, y el otro llamado fibra que es el espacio de los grados de libertad interna de los campos cuánticos. Incluso en los casos más sencillos, la fibra no se reduce a un punto pues un campo cuántico es un campo no de probabilidades, sino de amplitudes de probabilidad (una amplitud de probabilidad es un número complejo cuyo módulo al cuadrado es una probabilidad). La fase en cada punto del espacio-tiempo es un grado de libertad interna y la fibra de un campo escalar es el espacio en el cual se puede cambiar la fase.

La fibra, el espacio interno es difícil de imaginar, pero utilizando el símil de la curvatura que se consigue con el efecto sobre una pelota de ping-pong nos podemos hacer una idea. Además, como la pelota es blanca y pequeña, el espectador no puede apreciar el movimiento circular de la misma que queda reducida a un punto en movimiento. Para los espectadores, todo el espacio contenido en la superficie de la pelota y en su interior se ha convertido en la fibra.

Cuando reflexionaba sobre el tema de este post se me ocurrió lo de los renglones torcidos. Como decía Einstein en una de sus reflexiones filosóficas:"Creo en el Dios de Spinoza que se manifiesta en la ordenada armonía de lo que existe, no en un Dios que se preocupa del destino y de las acciones del ser humano”. Me vino a la mente el dicho popular:" Dios escribe recto en renglones torcidos". Parece que Dios ha necesitado de los renglones torcidos de los fibrados, y de otras sutilezas matemáticas intrincadas, para crear la mecánica cuántica y con ella este mundo, que, sin embargo, nos parece un escrito recto y armonioso.


Para saber más:

- "Las esculturas simbólicas de John Robinson", número 37 de la revista Mètode de la Universidad de Valencia. Autor: Ronnie Brown, University of Wales.

- " La materia-espacio-tiempo", de Gilles Cohen-Tannoudji y Michel Spiro (físico teórico y experimental, respectivamente. El segundo colaboró en el experimento que permitió descubrir, en 1983, los bosones intermedios, necesarios para unificar las interacciones electromagnéticas y nuclear débil).

- " El camino a la realidad", el último libro de Roger Penrose (explica con mucho detalle los fibrados).