El bucle fractal

Hola amigos, esta entrada es fruto de mi colaboración con el colectivo DeHavilland (Barcelona). El número 7 del fanzine Clift#7 gira en torno al bucle, la repetición y el infinito como conceptos abstractos que el ser humano difícilmente es capaz de abarcar pero que, por alguna razón, nos fascina ...

"Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y las cortezas de los árboles no son lisas, ni los relámpagos viajan en línea recta". Benoït Mandelbrot, de su libro Introduction to The Fractal Geometry of Nature.

La geometría tan intuitiva que nos enseñan en la escuela, basada en líneas, puntos y superficies (geometría euclídea) supone, en realidad, un gran esfuerzo de abstracción porque estos elementos idealizados no existen en el mundo cotidiano. Una línea real o una superficie están llenas de irregularidades que pasamos por alto para abstraer su esencia y plasmarla en conceptos más sencillos como recta y plano.

Clift número 7: El bucle.

Con los fractales deshacemos esa abstracción y nos acercamos un poco más al objeto real. Benoït Mandelbrot, en cierta forma, el "inventor de la geometría fractal" utiliza el ejemplo sencillo de un objeto real, como son las costas de los países, para aproximarnos a los fractales. Son líneas quebradas que siguen teniendo un aspecto parecido cuando cambiamos de escala. Precisamente estas dos propiedades son las que definen a un fractal: estructura fracturada, de ahí su nombre, y autosemejanza con el cambio de escala. Medimos su grado de fractura e irregularidad con un simple número que llamamos dimensión fractal.

El fractal, como la propia vida, parte de una especie de "semilla geométrica" que requiere una mínima información y su estructura se desarrolla por métodos recursivos a partir de ella (bucles). Su potencia constructiva reside en la iteración de una mínima estructura geométrica que viene definida por un simple número: su dimensión fractal. Un fractal clásico es la curva de Koch, matemático sueco que la describió en 1904. Es como un copo de nieve (se le suele llamar copo de nieve de Koch) y su dimensión fractal igual a 1,26186... Obedece a una semilla geométrica que consiste en sustituir un segmento recto “___“, de medida 3,  por cuatro segmentos quebrados “_/\_”, donde los dos centrales forman un pico con ángulo de 60 º. A cada uno de estos cuatro segmentos se le vuelve aplicar la misma iteración y así de forma indefinida. Tanto las plantas como los animales somos el resultado de un proceso similar, a partir de la célula huevo de la que procedemos. En el ADN del núcleo se encuentran codificados sus sistemas vitales y sus órganos, todo lo que será, al nacer, el nuevo individuo. Pero si toda esa información estuviera contenida de forma directa y lineal, como se encuentra en un libro, no habría forma de que la célula original la pudiera contener. Una forma más eficiente sería tener codificada sólo la instrucción que se debe repetir para formar un órgano, de la misma forma en la que funcionan los fractales. Y esa es la forma de guardar información a la que ha llevado el fenómeno de la evolución de las especies.

En los procesos constructivos de la vida, la naturaleza recrea estructuras fractales en base a su simplicidad y aprovechamiento máximo de un mínimo de recursos. En los procesos de rotura y fracturación que conlleva la formación del paisaje inanimado, la naturaleza al romper estructuras ordenadas en varios niveles deja ver ese orden en la propia fractura. Los materiales se rompen porque antes han estado unidos y su cohesión inicial respondía a unas determinadas características que, también, quedan reflejadas con la dimensión fractal de la rotura.

“… La naturaleza y el ser humano pintan con distinto pincel los infinitos cuadros que encierra el paisaje. La diferencia está en la geometría. Por un lado, la geometría euclidiana, fría, trazada con tiralíneas por la razón humana, a golpe de máquina, ya sea ésta un simple arado o una potente excavadora. Por otro, la cálida y obstinada geometría de la curva y de la bifurcación dibujada sensualmente por la naturaleza”. Una introducción al mundo de los fractales. PARQUE de las CIENCIAS. Granada.

La geometría fractal es una geometría de la naturaleza, mientras que la  euclídea, que nos han enseñado desde pequeños, es artificial y humana. Nos podemos preguntar por qué razón ésta ha “triunfado” sobre aquella. En realidad, la razón que buscamos la podemos encontrar en la propia palabra “geometría” que es la conjunción de dos palabras griegas “geo”, tierra, y “metria”, medida. La geometría euclídea nació, en principio, para medir la tierra, los campos las propiedades. La línea recta es la más fácil de medir. Los soberanos necesitaban medir las tierras para saber los tributos que tenían que pedir, o bien al realizar la compraventa de un terreno se debía saber con exactitud su medida. Cualquier otra geometría no basada en la recta y en las figuras geométricas regulares no habría sido nada práctica.

Clift número 6

Una línea recta que mida 20 metros es posible medirla en un momento, con un sencillo instrumento que llamamos metro. Un fractal que de extremo a extremo mida, también, esos 20 metros puede medir 40, 60, 80 o muchísimo más metros dependiendo de la mínima unidad de medida que adoptemos. Si para medirlo tomamos una cinta flexible que se adapte bastante bien a sus irregularidades obtendremos una medida, pero con otra cinta que se adapte aún mejor conseguiremos otra medida mayor. Si el fractal que queremos medir fuese un fractal matemático perfecto su longitud, de hecho, sería infinita, ¡aunque de extremo a extremo midiese 20 metros!

Debido a la autosimilitud, se dice que las estructuras fractales no varían con la escala a la que se miren. Al observar las ramas de un árbol advertimos que cada rama vuelve a dividirse en ramas más pequeñas, y éstas a su vez siguen dividiéndose. Con un rio y sus afluentes ocurre lo mismo: si lo observamos en su conjunto tiene la misma estructura que al observar sus afluentes y subafluentes. La geometría de la vida se funde con la geometría de la tierra en un único paisaje donde predomina la curva y la ramificación, el paisaje natural generado por la repetición de mecanismos simples y persistentes.

Los fractales:

- Son objetos esencialmente sencillos, se generan fácilmente por ordenador. Mediante muy pocas órdenes de programación, y a partir de un número mínimo de datos (semilla geométrica), se crean verdaderas maravillas de una riqueza y complejidad extraordinarias. El fractal de Mandelbrot es un ejemplo. Conforme intentamos ampliar, con medios informáticos, cualquiera de sus partes nos encontramos con un nuevo paisaje similar al original pero con nuevos y sorprendentes detalles. Podemos seguir así cuanto deseemos y nos permita la potencia de nuestro ordenador, se nos seguirá mostrando un nuevo mundo fantástico, que nunca llega a repetirse, en cada nueva ampliación. Un mundo surgido casi de la nada, de una sencilla expresión que se encadena y realimenta con nuevos datos.

 La observación de estos fractales creados por ordenador, nos recuerda siempre a algún objeto natural desconocido pero cercano, posiblemente, porque esa economía de medios para lograr complejidad es una característica muy propia de la naturaleza. Es la estrategia adoptada para lograr la mejor distribución de los vasos sanguíneos por todo el cuerpo, la disposición óptima del ramaje de los árboles o de los pliegues del cerebro para conseguir la mayor superficie en el mínimo espacio.

- Son capaces de ocupar un espacio de mayor dimensión que su propia dimensión topológica (o aparente). De hecho, la dimensión fractal siempre superior a la aparente mide esa capacidad del fractal: una línea que, lógicamente, tiene una dimensión unidad puede ocupar por completo un espacio de dos dimensiones como es un plano, por ejemplo. Es el caso del movimiento browniano o aleatorio, de dimensión fractal 2. Una superficie completamente plana tiene dimensión 2, pero si la arrugamos es capaz de ir ocupando más y más la tercera dimensión hasta poder ocupar un espacio de tres dimensiones. Lo lineal es incapaz de "salirse" de su dimensión: una línea recta sólo se puede transformar en otra línea recta, la recursividad no la lleva a nada nuevo ni diferente. A un plano perfecto le ocurre lo mismo, la recursividad lo hace volver, infinitamente, sobre sí mismo sin ninguna posibilidad de transformación, pero la no linealidad de un fractal es capaz de descubrirnos mundos de infinita complejidad a base de una simplicidad reiterada.

Clift#4: Hez

- “Esconden" de forma natural parte de su magnitud: una superficie arrugada o una línea  muy irregular y retorcida pueden esconder su verdadera superficie o longitud en varios órdenes de magnitud. La superficie de nuestros pulmones tiene una dimensión fractal de alrededor de 2,7, es decir cerca de 3, y mide alrededor de… ¡100 metros cuadrados! La corteza cerebral humana con una dimensión fractal de 2,8  supone, también, una optimización del espacio craneal existente. Si la naturaleza nos hubiera construido con geometría euclidiana o lineal tendríamos una cabeza inmensa, para poder alojar esa misma corteza cerebral lisa, sin arrugas. Lo mismo ocurriría si consideráramos toda la superficie pulmonar necesaria o la red vascular: arterias, venas y capilares. Seríamos una especie de monstruos ineficientes e inviables condenados a desaparecer.

El orden lleva asociado un grado importante de predicción, al caos le sucede lo contrario. Los sistemas lineales, representan el orden, son predecibles y cómodos de manejar, de ahí nuestra tendencia a generalizarlos. Ante un sinfín de situaciones generalizamos, proyectamos los datos del presente para tratar de averiguar un comportamiento futuro y casi siempre nos va bien. Pero existen sistemas que se resisten: pequeñas variaciones, incertidumbres, en los datos iniciales desembocan en situaciones finales totalmente descontroladas e impredecibles. Son los llamados sistemas caóticos.

El estudio de estos sistemas se realiza en el llamado espacio de fases, un espacio abstracto en el que se representan todas las variables dinámicas del sistema. La  representación de los sistemas caóticos da lugar a unas figuras geométricas llamadas atractores extraños que son en realidad fractales. El primero de éstos fue hallado, por casualidad, por el meteorólogo Edward Lorenz cuando trataba de encontrar un modelo matemático que permitiera predecir el comportamiento de grandes masas de aire. Cuando reflexionó sobre los resultados se dio cuenta que el sistema era extremadamente sensible a las condiciones iniciales: pequeñas perturbaciones en los datos de partida tienen una gran influencia sobre el resultado final. El atractor captaba la esencia de la verdadera atmósfera.

Vio más que azar en su modelo del tiempo: una fina estructura geométrica, orden disfrazado de casualidad. Para explicar de una manera gráfica – y exagerada - la cuestión se le ocurrió que el simple aleteo de una mariposa, que no se hubiera tenido en cuenta en los datos iniciales, podía modificar una predicción hasta hacerla totalmente inviable después de un determinado tiempo (el efecto mariposa).

Los fractales, sencillas estructuras no lineales y autosemejantes definen la esencia de la forma de las montañas, de los ríos, del ramaje de los árboles, de los pliegues de nuestros pulmones o de nuestro cerebro. Los encontramos, también, en las propias entrañas del impredecible tiempo atmosférico, en el simple aleteo de una mariposa capaz de cambiar el tiempo atmosférico a miles de kilómetros, y en una infinidad de procesos no lineales que necesitan del “bucle fractal” para desarrollarse en toda su riqueza, desde la absoluta simplicidad. Como decía Mandelbrot, fueron tomados como monstruos cuando nacieron de brillantes mentes matemáticas a finales del siglo XIX, pero su apariencia, contraria a la intuición, se ha convertido en un instrumento indispensable para aprehender la realidad que nos rodea.