Espacios con dimensiones compactadas, una hipótesis

¿La geometría que relaciona las 3 dimensiones ordinarias con las 6 dimensiones compactadas, según la teoría de cuerdas, pudo configurar la propia naturaleza del cuanto? La hipótesis de la naturaleza fractal de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío parecen indicarlo.

Could the geometry that relates the 3 ordinary dimensions with the 6 compacted dimensions, according to string theory, configure the very nature of the quantum? The hypothesis of the fractal nature of the energy of the quantum fluctuations of the vacuum seems to indicate this.

“El vacío no es el estado de energía cero. Es simplemente un estado de mínima energía”.

Nacimiento del Universo de la nada

La masa total del Universo cerrado es igual a cero: Esto significa que todo el Universo puede surgir sin gastos de energía. Se cumple la ley de conservación de la energía pues la clave está en que la energía del campo gravitatoria es negativa, mientras que la energía de la materia es positiva. La energía total es igual a cero.

El nacimiento y posterior expansión del Universo fue a partir de una singularidad inicial parecida, en cierta forma pero al revés en el tiempo, a lo que ocurre en un agujero negro. A partir de una distancia del orden de la distancia de Planck, 10^(-33) centímetros, en donde los efectos cuánticos de la gravedad son decisivos, las fluctuaciones cuánticas del llamado campo del punto cero (vacío cuántico), descritas como “espuma” del espacio-tiempo por el famoso físico norteamericano J.A.Wheeler, fueron la semilla de nuestro inmenso Universo.

El paisaje cósmico

Según expone Leonard Susskind en su libro “Paisaje cósmico/Teoría de cuerdas y el mito del diseño inteligente”, existe una especie de paisaje teórico poblado por unos 10^500 posibles vacíos con sus leyes diferentes. Esta extensa variedad predicha por la teoría de cuerdas, es la única explicación conocida de las propiedades extraordinariamente especiales de nuestro Universo que permiten nuestra propia existencia.

La historia observable de nuestro Universo empezó hace unos 14.000 millones de años en un punto del “paisaje” con una densidad de energía suficiente para “inflar” (inflación, Paul Steinhardt) nuestra región de espacio hasta multiplicarla por 10^20 (y seguramente es una enorme subestimación). Se convirtió energía potencial en calor y partículas, proceso que se llama recalentamiento.

Esa inmensidad de posibles vacíos, tienen leyes diferentes incluso -es de suponer- cuantos diferentes y diferente número de dimensiones. De hecho, partiendo de un vacío inicial con 9 dimensiones compactadas, tuvo que existir un estado en que quedó determinada la energía y la masa tridimensional, tal como las conocemos, e incluso la propia naturaleza del cuanto (de acción). Es posible, incluso, que dicha naturaleza tuviera un origen en la propia geometría que adoptó nuestro universo, es decir con tres dimensiones ordinarias y otras 6 compactadas.

¿Una geometría del cuanto?

Aunque hasta el momento son meras hipótesis, partiendo de la consideración de que la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío tiene estructura fractal, he encontrado una sencilla expresión que liga la naturaleza del cuanto de acción con la geometría “dimensiones ordinarias/compactadas”.

Tomando el cuanto generalizado como un producto de la energía, en δ dimensiones, por el tiempo elevado a una variable de peso “f”:

Energía(δ) x tiempo^f, donde f tiene el siguiente valor: f = [(δ + ε)/δ ] -2  , siendo δ el número de dimensiones ordinarias y   ε  el número de dimensiones compactadas. 

Una dimensión fractal, aparente, negativa

La dimensión fractal de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío tiene un valor -1, relacionado con el hecho de que es inversamente proporcional a la distancia que se considere: si para un espacio de longitud característica L se halla una energía E, para otro de longitud L/2 la energía asociada será de 2E.

En realidad la energía de las fluctuaciones tiene una dimensión fractal de 9, es decir, aunque su dimensión topológica es de 3, son tan intrincadas que son capaces de cubrir las 9 dimensiones totales, 3 ordinarias más otras 6 compactadas.

Hay unas figuras que he llamado ovillos de Alba, que tienen mucho que ver en como llegué a estos datos. En la serie general de estos ovillos, la primera figura sería un segmento de longitud unidad. La segunda de las figuras, con n=2, sería un rombo de lado 1/2 y perímetro 2. La tercera una especie de trébol de tres hojas (n=3) con lado 1/3 y perímetro 3. Se observa que para n tendiendo a infinito, la figura estará formada por infinitas circunferencias tangentes en un punto a otra circunferencia interior e igual a estas.

 

Estas figuras u ovillos relacionan los valores 1/n y n , y cambian de forma según varía el valor de n. En este primer caso n=6 (seis figuras enlazadas), si hacemos que el valor del lado sea 1/n, el perímetro valdrá n. Para n=6 el lado medirá 1/6 y el perímetro sería: (1/6) x (6x6)= 6. En la siguiente figura, que he representado, n tomará el valor 11 (once figuras enlazadas).

Los ovillos conservan la forma cuando el lado es n (o cualquier potencia positiva o negativa de n), en lugar de 1/n. Pero el nuevo perímetro, para este valor del lado, será n^3. La relación entre perímetro y lado sigue siendo, lógicamente, n^2. Esta relación es la que nos ayudará a encontrar el verdadero valor del fractal energía de las fluctuaciones, porque para hallar la dimensión fractal de un objeto se comparan dos magnitudes, que en las curvas fractales son las distancias de los segmentos básicos que constituyen la esencia del fractal. Como ejemplo veremos un caso sencillo de curva fractal, el movimiento browniano, que es el que siguen las partículas en un líquido cuando son golpeadas, al azar, por las moléculas del líquido que se agitan desordenadamente en función de la temperatura. Si cada golpe es considerado como un paso, para que una partícula se aleje de un punto arbitrario n pasos en línea recta la partícula dará en total alrededor de n2 pasos. 

Dimensión fractal.- Para hallar la dimensión fractal de la curva relacionamos los pasos totales y los efectivos: Dim. fractal = Log (n2)/Log(n)=2. Es decir una curva de dimensión topológica 1, tiene una dimensión fractal 2 que le hace capaz de recubrir un espacio de esa dimensión, es decir un plano. Al valor de su dimensión topológica que llamaremos δ=1 le sumamos un coeficiente dimensional ε=1, la suma (δ + ε) es lo que llamamos dimensión fractal. Además la dimensión fractal nos da la dependencia del fractal con la distancia: En este caso el valor 2 nos indica también la dependencia del fractal con la distancia efectiva o en línea recta, pues para n pasos del fractal la distancia efectiva es n^(1/2) o en general n^(1/Dim.fractal).

La dimensión fractal de la energía del vacío

En el caso de la energía esta relación nos da, también, la dependencia del fractal con la distancia. En los fractales con dimensión topológica mayor que la unidad, a esa relación hay que multiplicarla por la dimensión topológica para hallar la verdadera dimensión fractal. En el caso que nos ocupa  de la energía de las fluctuaciones las magnitudes a comparar son n con n^(-1) o bien n^3 con n. Es decir Log (n)/Log(n^(-1))  o bien Log (n3)/Log(n). El primer caso nos da un valor negativo que debe enmascarar la realidad, tomaremos el segundo que nos da un valor de 3 al que habremos que multiplicar por 3 por ser esta la dimensión topológica de la energía. Es decir, aunque la dimensión topológica de la energía es 3, su dimensión fractal es 9 lo que permite que recubra las 9 dimensiones, las tres dimensiones ordinarias más las 6 compactadas.

En condiciones normales la dimensión fractal relativa será igual a expresión (1): (δ + ε)/δ, donde δ es el número de dimensiones ordinarias y   ε es un coeficiente dimensional que se suma al número δ  para darnos la dimensión fractal. Pero, ¿qué ocurre en un espacio con el número de dimensiones compactadas igual a este coeficiente dimensional?. El coeficiente dimensional suma dimensiones a δ, mientras que las dimensiones compactadas restan.Entonces la expresión (1) cambia dado que  δ→(δ - ε):

La expresión (1) se convierte en: δ/(δ - ε) expresión (2). Esto significa que en nuestro universo con δ=3 y  ε=6, donde ε es igual al número de dimensiones compactadas y al coeficiente dimensional que se suma a la dimensión topológica para formar la llamada dimensión fractal, la dimensión fractal relativa es: expresión (1)= 9/3. Aunque aparenta ser la expresión (2)=-3/6=-1. 

Este sería el caso de nuestro universo, según la teoría de cuerdas, con 6 dimensiones compactadas y otras 3 ordinarias. 

Para saber mucho más: 

Revista Elementos de la Universidad de Puebla

Revista de divulgación Aleph Zero

Mis artículos en Ciencia Abierta, antigua revista de la fac. de Física y Matemáticas de la U.Chile