Fractales "superdensos" e ... "invisibles"

Super dense and invisible fractals

Fractal de Mandelbrot.Wikipedia

Sobre trayectorias:Una trayectoria clásica, tal como la hemos estudiado en la escuela, es una línea y su dimensión es la unidad. Una trayectoria fractal, como pueda ser la correspondiente a un movimiento browniano, puede tener una dimensión mucho mayor que la unidad. De hecho el movimiento browniano tiene dimensión fractal 2, es decir, puede "llenar" un plano: precisamente eso es lo más característico de los fractales, aparte claro está de su autosemejanza a diferentes escalas; su dimensión topológica nos dice lo que son, líneas, planos o espacios pero es su dimensión fractal la que nos indica las dimensiones que son capaces de "llenar."

Por eso, la dimensión fractal consta de dos sumandos, uno es la dimensión topológica que en el caso de una línea es la unidad y el otro sumando es un coeficiente dimensional, tanto mayor cuanto más iregular e intrincado sea el fractal. En el caso del movimiento browniano, el coeficiente dimensional es, también, la unidad por lo que su dimensión fractal es 2.

Puede haber trayectorias fractales capaces de ocupar tres dimensiones, con dimensión fractal 3. Es decir, fractales que son líneas pero son capaces de llenar tres dimensiones espaciales. A este tipo de fractales les podríamos  llamar superdensos porque ocupan el triple del espacio topológico del que deberían ocupar. ¡Lo curioso es que, posiblemente, existan algunos de estos fractales que a pesar de ser tan densos e intrincados apenas son visibles, a partir de ciertas distancias!

En el dominio de la teoría de cuerdas:Imaginemos que este universo está regido por la teoría de cuerdas, con tres dimensiones ordinarias y seis compactadas. Es posible que la energía cuántica del vacío sea tan superdensa como la trayectoria que hemos descrito anteriormente y sea capaz de llenar las nueve dimensiones totales (hipotético). De hecho, a primera vista parece todo lo contrario porque debido a la existencia del cuanto de acción la energía del vacío asociada a una distancia es inversamente proporcional a la misma. 

Si consideramos dicha energía del vacío como un fractal, observamos que nos encontramos con la paradoja de que conforme consideramos distancias más grandes el fractal es más pequeño. Aquí podremos leer el artículo sobre el particular en la revista Aleph Zero nº74.

Si la hipótesis es correcta, nos encontramos con un fractal de dimensión nueve, cuando su dimensión topológica es tres (la energía es espacial), pero su apariencia de vacío esconde un fractal superdenso. En tres dimensiones su valor es proporcional al inverso de la distancia, pero en nueve puede llegar a ser mucho mayor (proporcional a la distancia).

De hecho, como ocurre en el movimiento browniano, cada n pasos efectivos significan n^2 totales. El log n^2/ log n = 2, da la dimensión fractal del movimiento, donde el log. del numerador es el valor observado en 3 dimensiones y el log, del denominador es el observado en una dimensión. En nuestro caso, de la energía de las fluctuaciones cuánticas, el valor del numerador es el "observado" en 9 dimensiones (n*Ep) y el del denominador el observado en nuestras tres dimensiones ordinarias (Ep/n). Arriba es proporcional a la distancia y abajo inversamente proporcional, siendo Lp la longitud de Planck, n= distancia/Lp y Ep la energía de Planck: el resultado de la dimensión fractal  es -1 (del orden de log n /log 1/n). Lo que permite un vacío muy denso en distancias pequeñas e invisible a las distancias ordinarias y cósmicas.

Esta hipótesis más comprensible en: Revista Elementos Universidad Puebla

En inglés (traslate Google):

Super dense and invisible fractals

About trajectories : A classic trajectory, as we have studied it in school, is a line and its dimension is unity. A fractal trajectory, such as the one corresponding to a Brownian motion, can have a dimension much greater than unity. In fact, Brownian motion has fractal dimension 2, that is, it can "fill" a plane: this is precisely what is most characteristic of fractals, apart of course from their self-similarity at different scales; their topological dimension tells us what they are, lines, planes or spaces, but it is their fractal dimension that tells us the dimensions they are capable of "filling."

For this reason, the fractal dimension consists of two addends , one is the topological dimension, which in the case of a line is unity and the other adding is a dimensional coefficient, the greater the more irregular and intricate the fractal is. In the case of Brownian motion, the dimensional coefficient is also unity, so its fractal dimension is 2.

There may be fractal trajectories capable of occupying three dimensions, with fractal dimension 3. That is, fractals that are lines but are capable of filling three spatial dimensions. We could call these types of fractals superdense because they occupy three times the topological space that they should occupy. The funny thing is that, possibly, there are some of these fractals that, despite being so dense and intricate, are hardly visible, from certain distances!

In the domain of string theory : Let's imagine that this universe is governed by string theory, with three ordinary dimensions and six compact ones. It is possible that the quantum energy of the vacuum is as superdense as the trajectory we have described above and is capable of filling all nine dimensions ( hypothetical ). In fact, at first glance it seems the opposite because due to the existence of the quantum of action, the vacuum energy associated with a distance is inversely proportional to it. 

If we consider this vacuum energy as a fractal, we observe that we find ourselves with the paradox that as we consider larger distances the fractal is smaller. Here we can read the article on the subject in Aleph Zero magazine nº74 .

If the hypothesis is correct, we find a fractal of dimension nine, when its topological dimension is three (the energy is spatial), but its appearance of emptiness hides a super dense fractal. In three dimensions its value is proportional to the inverse of the distance, but in nine it can be much higher (proportional to the distance).

In fact, as in Brownian motion, every n effective steps means total n ^ 2. The log n ^ 2 / log n = 2, gives the fractal dimension of the movement, where the log. of the numerator is the value observed in 3 dimensions and the log, of the denominator is the observed in one dimension. In our case, of the energy of quantum fluctuations, the value of the numerator is the "observed" in 9 dimensions (n ​​* Ep) and that of the denominator is the one observed in our three ordinary dimensions (Ep / n) . Up is proportional to distance and down is inversely proportional, where Lp is Planck's length, n = distance / Lp and Ep is Planck's energy: the result of the fractal dimension is -1 (of the order of log n / log 1 / n ). This allows a very dense vacuum at small distances and invisible at ordinary and cosmic distances.

This hypothesis is more understandable in : Magazine Elements Puebla University