Certidumbre de la incertidumbre

Isaac Asimov titula así uno de sus magníficos ensayos y relaciona, muy acertadamente, el determinismo decimonónico con la creencia juvenil de saberlo todo cuando, en realidad, todo se ignora.En cierta forma, dice, la ciencia de principios del siglo XIX era "lo bastante joven para saberlo todo". De esa época de la historia es la siguiente reflexión: "Una inteligencia que, en un instante dado, conociera todas las fuerzas que animan a la naturaleza, y la situación respectiva de los seres que la componen, y si por otra parte ella fuera suficientemente vasta como para someter a análisis esos datos, abarcaría en una misma fórmula, los movimientos de los más grandes cuerpos del universo y aquellos del átomo más liviano; nada sería incierto para ella, y el porvenir, como el pasado, estaría presente ante sus ojos." (P.S. Laplace (1840) "Essai philosophique sur les probabilités").

Es claro que se comprendía que realmente nosotros no conocemos la posición y la velocidad exacta de todas las partículas del Universo, en ningún instante, y que estamos casi seguros de no conocerlas nunca. Pero en principio podríamos conocerlas y eso hacía al Universo completamente determinado. Como decía Asimov:" ¿No era una sensación magnífica la de ser lo bastante joven para saberlo todo?". Desgraciadamente, a principios del siglo XX nos esperaban dos teorías físicas capaces de quitarnos esa magnífica sensación y de hacernos más viejos y más sensatos: la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica.

La mecánica cuántica elevaba la propia incertidumbre a la categoría de principio: el mero hecho de medir altera la magnitud medida. Eso, básicamente, ya se sabía pero se jugaba con el razonamiento de que aunque la incertidumbre de la medida nunca sería cero, siempre podríamos acercarla a cero tanto como quisiéramos. Pero en 1927 el físico alemán Werner Heisenberg formalizó esta idea, enunciando lo que llamó "principio de incertidumbre", que es admitido como un principio fundamental del Universo físico.

Este principio, aplicado a la incertidumbre en la posición y en el momento (momento= masa por velocidad) de una partícula se escribe de la siguiente forma:
(Incertidumbre en la posición) x (Incertidumbre en el momento) = > h /2Pi (igual o mayor que constante de acción de Planck partida por 2 Pi)

"En cierto modo, la incertidumbre brota de la estructura granulosa del Universo; del hecho de que energía y masa se presentan en individualidades de cuantía fija, determinada en último término por la cuantía de la constante h de Planck. Si dicha constante fuera nula, no habría ninguna incertidumbre; si fuese muy grande, todo sería tan incierto que el Universo parecería caótico".

La granulosidad del Universo es bien fina, tan fina que antes del siglo XX nunca había sido notada. Siempre había parecido que que todas las medidas podían afinarse cuanto lo permitiesen nuestro tiempo y paciencia; y que en "principio", podría conseguirse una precisión de ilimitada proximidad a la incertidumbre nula. Todavía podríamos dudar de si el interés en no considerarla, practicamente nula, es puramente filosófico, pero la realidad se impone: no solamente no podemos ignorarla, sino que nuestro propio mundo no sería tal como es (la propia estabilidad de los átomos sin ir más lejos) sin la existencia del principio de incertidumbre.

El principio de incertidumbre es consecuencia directa de la existencia del cuanto de acción de Planck (h), la mínima acción, siendo la acción una energía multiplicada por un tiempo, que no puede ser menor que la constante h. Esto trae consigo el que continuamente se esté creando y destruyendo una energía, llamada por eso virtual (energía del vacío), que convierte el vacío estable y plano, que suponía la mecánica clásica, en un verdadero hervidero de energía y partículas que se crean y se destruyen. Nada queda quieto y el vacío se retuerce formando algo que no se ha dudado en llamar espuma cuántica (a las distancias del orden de la longitud de Planck). En este marco de inestabilidad es difícil pensar en conseguir la certidumbre y determinación clásicas, cuando no existe una verdadera referencia espaciotemporal.

Del libro:"El electrón es zurdo y otros ensayos científicos".
Isaac Asimov (Ed. Alianza)
ISBN: 8420677310. ISBN-13: 9788420677316

Energía del vacío, ¿estructura fractal?

En 1975 Benoit Mandelbrot publicó un ensayo titulado” Los objetos fractales: forma, azar y dimensión” . En la introducción comentaba los conceptos de objeto fractal y fractal como términos que había inventado a partir del adjetivo latino “fractus” ( roto, fracturado). Posteriormente, en 1982, publicó el libro “The Fractal Geometry of Nature”, en donde proponía : “Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.”

Han sido propuestas otras definiciones y, de hecho, estamos ante un concepto geométrico para el que aún no existe un una definición precisa, ni una teoría única y comúnmente aceptada.
Kenneth Falconer, en su obra titulada “Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications”, en1990, describe un concepto de estructura fractal ‘F’ como la que satisface alguna(s) de las propiedades siguientes:

(1).- “F” posee detalle a todas las escalas de observación;
(2).- No es posible describir “F” con Geometría Euclidiana, tanto local como globalmente;
(3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística;
(4).- La dimensión fractal de “F” es mayor que su dimensión topológica;
(5).- El algoritmo que sirve para describir “F” es muy simple, y posiblemente de carácter recursivo.


La energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío satisface, prácticamente, todas estas propiedades. Desde distancias astronómicas hasta la longitud de Planck (10^-35 metros), conocemos el orden de su valor. Posee autosemejanza, pues para cualquier región del espacio con una longitud característica L su valor depende de una constante ((h*c)/( long.Planck)) y del inverso de L .No es posible describirla con geometría euclidiana, por su discontinuidad intrínseca, al depender de la propia existencia del cuanto de acción de Planck, si bien en distancias macroscópicas los escalones de variación tienden a disminuir con el inverso de dicha distancia (L).El algoritmo que sirve para describirla es muy simple, su valor en cada escala L es siempre del orden: ((h*c) / ( long.Planck)) / (L) .
La energía del vacío determina, para cada valor de L, la estructura general de esa región. Para distancias del orden de la longitud de Planck el espacio está curvado como alrededor de un agujero negro, pero con una estructura que llamamos de espuma cuántica, cuyo detalle desconocemos por no tener todavía una teoría cuántica de la gravedad. Para distancias astronómicas su curvatura es practicamente nula y observamos el vacío trasparente y estable que conocemos. La energía cuántica del vacío es, por todo esto, una magnitud escalar adecuada para el estudio de la estructura general del espacio vacío.

Todo fractal esconde parte de su magnitud. ¿ Puede ser esta propiedad, natural en las estructuras fractales, la respuesta a la llamada energía oscura, causante de la aceleración en la expansión del Universo?

Un fractal muy sencillo nos puede ilustrar lo que digo. Supongamos que queremos calcular la longitud de una costa. Al hacer el primer intento utilizamos como unidad de medida sobre el plano 15 kilómetros y nos salen 6 segmentos. La longitud de la costa sería de 90 km.(15 x 6). En un segundo intento tratamos de afinar más y medimos con una "regla" de 7 Km, encontrando esta vez 15 segmentos y, por tanto, una longitud de costa de 105 Km. (7 x 15). Conforme escojamos la unidad de medida más pequeña, conseguimos adaptarnos mejor a las irregularidades de la costa y encontramos una longitud total mayor. Con la energía del vacío podría pasar algo semejante (sólo semejante, no exactamente igual). En el caso de la costa, suponiendo una medida mínima de longitud, y aplicándola como unidad de medida, resultaría una longitud total de costa mucho mayor que las encontradas: cuando comparamos la medida máxima encontrada con las medidas menores, interpretaríamos que existe parte de la costa escondida ( longitud de costa visible por la medida y longitud de costa escondida u "oscura"). Aunque la comparación no es exacta, podría estar pasando algo similar con la energía oscura.


La geometría fractal puede ser el instrumento adecuado para el estudio de ciertas características fractales de las fluctuaciones cuánticas de la energía del vacío. La información que podamos extraer de ellas podría ayudarnos a entender mejor el comienzo y el final de nuestro Universo.

Espacios fibrados y renglones torcidos.

Si cogemos una cinta por los extremos, realizamos un giro de 180º y unimos dichos extremos, obtendremos lo que se llama una cinta de Moebius. Es un modelo de una superficie con sólo una cara y sólo un borde. La cinta contiene una circunferencia en el centro y podemos pensar que está formada por segmentos iguales que cortan esa circunferencia en ángulos rectos. En cierta forma, podemos verla como un segmento que va girando a medida que lo trasladamos a lo largo de la circunferencia.

La cinta de Moebius es un fibrado, un objeto matemático que consiste en un espacio base, que en este caso es la circunferencia, la fibra, que es la figura que se traslada a lo largo del espacio base, y una información extra, que sirve para definir el objeto o espacio total del fibrado, que en este caso es el ángulo de giro de la fibra, cuando se traslada a lo largo de la circunferencia. El ángulo debe estar relacionado con la forma de la fibra para que éstas se acoplen bien y den el espacio total del fibrado. Cuando la fibra es un segmento, los ángulos posibles son los múltiplos de 180º. Si tomamos como fibra un triángulo equilátero el ángulo de giro debería ser cualquier múltiplo de 120º, y si utilizamos un cuadrado el ángulo sería un múltiplo de 90º.

El paso de la mecánica clásica a la teoría cuántica extiende la base de su formulación a nuevas propiedades de relatividad, de simetría y de leyes de conservación, pero necesita del concepto de fibrado o espacio fibrado. El concepto de espacio fibrado, mucho más rico que el espacio clásico, es lo que realiza de forma natural la extensión al nuevo paradigma cuántico. En física cuántica el espacio fibrado es un encaje de dos espacios, uno llamado base, que es un espacio de puntos, y el otro llamado fibra que es el espacio de los grados de libertad interna de los campos cuánticos. Incluso en los casos más sencillos, la fibra no se reduce a un punto pues un campo cuántico es un campo no de probabilidades, sino de amplitudes de probabilidad (una amplitud de probabilidad es un número complejo cuyo módulo al cuadrado es una probabilidad). La fase en cada punto del espacio-tiempo es un grado de libertad interna y la fibra de un campo escalar es el espacio en el cual se puede cambiar la fase.

La fibra, el espacio interno es difícil de imaginar, pero utilizando el símil de la curvatura que se consigue con el efecto sobre una pelota de ping-pong nos podemos hacer una idea. Además, como la pelota es blanca y pequeña, el espectador no puede apreciar el movimiento circular de la misma que queda reducida a un punto en movimiento. Para los espectadores, todo el espacio contenido en la superficie de la pelota y en su interior se ha convertido en la fibra.

Cuando reflexionaba sobre el tema de este post se me ocurrió lo de los renglones torcidos. Como decía Einstein en una de sus reflexiones filosóficas:"Creo en el Dios de Spinoza que se manifiesta en la ordenada armonía de lo que existe, no en un Dios que se preocupa del destino y de las acciones del ser humano”. Me vino a la mente el dicho popular:" Dios escribe recto en renglones torcidos". Parece que Dios ha necesitado de los renglones torcidos de los fibrados, y de otras sutilezas matemáticas intrincadas, para crear la mecánica cuántica y con ella este mundo, que, sin embargo, nos parece un escrito recto y armonioso.


Para saber más:

- "Las esculturas simbólicas de John Robinson", número 37 de la revista Mètode de la Universidad de Valencia. Autor: Ronnie Brown, University of Wales.

- " La materia-espacio-tiempo", de Gilles Cohen-Tannoudji y Michel Spiro (físico teórico y experimental, respectivamente. El segundo colaboró en el experimento que permitió descubrir, en 1983, los bosones intermedios, necesarios para unificar las interacciones electromagnéticas y nuclear débil).

- " El camino a la realidad", el último libro de Roger Penrose (explica con mucho detalle los fibrados).

Vacío cuántico, puro azar

Todo el conocimiento se encuentra intimamente relacionado, cada eslabón cuenta y la importancia del mismo puede ser difícilmente calibrado en el momento que surge.En 1827 un botánico escocés, Robert Brown, estudiaba algo aparentemente "insignificante" la suspensión de partículas de polen en una solución acuosa, y observó que las partículas estabán animadas por un movimiento caótico e incesante.Entonces no pasaba de ser una simple curiosidad, primero atribuida a la propia vitalidad del polen, pero con el tiempo, sirvió como base para que, en 1905 un gran físico, Albert Einstein publicara un artículo sobre el movimiento requerido, por la teoría cinética molecular, de pequeñas partículas suspendidas en un líquido estacionario. Por métodos estadísticos obtuvo una ecuación que representaba el movimiento de las moléculas de agua golpeando a los granos de polen o a cualquier otro pequeño cuerpo. En esta ecuación figuraba el tamaño de la molécula de agua, lo que resulta sorprendente pues entonces todavía había científicos que no creían en la existencia real de átomos y moléculas y sólo los consideraban ficciones teóricas útiles para comprender las reacciones químicas.

En este trabajo, Einstein explicaba el movimiento descubierto por Brown (movimiento browniano) y proporcionaba una evidencia experimental de la existencia de los átomos. Dio también un considerable y decisivo impulso a la mecánica estadística y a la teoría cinética de los fluidos. Setenta años después, el matemático e ingeniero Benoït Mandelbrot inventa el término fractal y escribe el influyente artículo "Fractals: Form, chance and dimension", que practicamente formalizó el nacimiento de una nueva rama de las matemáticas: la geometría fractal. El movimiento browniano se define como un fractal de dimensión fractal 2, un movimiento aleatorio puro capaz de cubrir el plano (de ahí el valor de su dimensión fractal igual a 2).


Mientras tanto, se había descubierto el cuanto de acción (h) y se había desarrollado una nueva y revolucionaria rama de la física: la mecánica cuántica. El vacío absoluto e inmutable de la mecánica clásica se poblaba de partículas y energías virtuales (*) gracias a la existencia de ese mínimo de acción posible, pues su existencia permite que se "cree" y se "destruya" una cantidad de energía E durante un tiempo T, siempre que su producto (E) x (T) sea menor que el valor del cuanto de acción de Planck (h). El producto (E) x (T) de una región del espacio vacío queda acotado por h pero puede adoptar cualquier valor de forma aleatoria. Este producto no tiene que ver, aparentemente, nada con el movimiento browniano pero, sin embargo representa el mismo azar puro. Sus valores aleatorios, convenientemente representados, no podríamos diferenciarlos de la trayectoria de una partícula de polen bombardeada por moléculas de agua.

La discontinuidad (salto en su valor) y la aleatoriedad que presenta el producto (E) x (T) de las de las fluctuaciones cuánticas del vacío, le confieren características de objeto fractal ( ver condiciones de Kenneth Falconer para los fractales) . Su dimensión fractal dividida por su dimensión topológica sería justamente 2, el valor de la dimensión fractal del movimiento browniano (en las variables con dimensión topológica mayor que la unidad es muy conveniente, para evitar la dispersión de valores y facilitar la homogeneidad, que en lugar de dar la dimensión fractal se de el cociente entre ésta y la dimensión topológica).

(*)Como curiosidad, es interesante conocer el llamado efecto Casimir, por el cual dos placas de metal muy cercanas (separación del orden de micras) experimentan una presión que tiende a atraerles debido a las condiciones de no cancelación que producen estas placas en el vacío cuántico.

El quark y el jaguar

Murray Gell-Mann recibió el Premio Nobel de Física en 1969 por ser el descubridor del quark, la partícula del átomo que junto con los leptones forman todas las demás partículas que constituyen la materia visible. Pero no sólo es uno de los físicos que mayor influencia han tenido en la segunda mitad del siglo XX, sino también un curioso, tenaz y universal pensador multipasional . Además de ser profesor de física en el California Institute of Technology, dirige el Instituto de Santa Fe, que ayudó a fundar, y a un equipo de científicos que investigan sobre temas tan variados como la mecánica cuántica, el sistema inmunológico del ser humano, la evolución de los lenguajes humanos y la economía en general como un sistema complejo adaptativo. En su libro "El quark y el jaguar" expone cómo ha vivido y sigue viviendo la aventura intelectual entre lo simple y lo complejo.

En el prólogo del libro comenta:" He vivido durante décadas entre dos pasiones intelectuales, por una parte mi labor profesional, en la que trato de comprender las leyes universales que goviernan los constituyentes últimos de toda la materia, y por otra parte mi vocación de estudiante aficionado de la evolución de la vida y la cultura humana. Siempre tuve la impresión de que, de alguna forma, ambas pasiones estaban íntimamente ligadas, pero durante mucho tiempo fui incapaz de descubrir cómo ( a excepción del tema común de la belleza de la naturaleza)"

La aventura intelectual entre lo simple y lo complejo es formidable. Existe un enorme vacío entre la física fundamental de las partículas elementales como electrones, protones o neutrones y la complejidad que representan los seres vivos o las sociedades humanas.Las partículas elementales son rigurosamente intercambiables, no poseen individualidad, se comportan de la misma manera dondequiera que se encuentren en el universo, y sin embargo, Gell-Mann piensa que las leyes mecanocuánticas fundamentales de la física dan lugar a la individualidad. La evolución física del universo, regida por dichas leyes, ha producido objetos particulares, como nuestro propio planeta y después, a través de procesos como la evolución biológica, han dado lugar a objetos particulares como los jaguares o los seres humanos, capaces de desarrollar el lenguaje y la civilización y de descubrir esas mismas leyes fundamentales.

En este libro, Murray Gell-Mann habla en un lenguaje ameno y sin ningún tipo de formulación matemática sobre lo más simple y lo complejo. Está dividido en cuatro partes: Lo simple y lo complejo, El universo cuántico, Selección y adaptación y Diversidad y sostenibilidad.

¿Qué hay de común entre un niño que aprende su lengua materna y una cepa de bacterias defendiéndose de un antibiótico?¿ En qué se parecen el investigador científico que tantea nuevas teorías y el artista que duda delante de su obra?.... Un precioso libro que hay que leer.


"El quark y el jaguar", de Tusquets Editores. 1995. Barcelona.
Colección Metatemas (38).
Libros para pensar la ciencia.
Magnífica colección dirigida por Jorge Wagensberg.