Juegos matemáticos de "magia" y estructura de grupo

Las simetrías que presenta la estructura algebraica de grupo pueden dar soporte a una infinidad de juegos matemáticos de magia.

Imaginemos la siguiente operación que llamaremos Expresión Alfa[7,1000000]: elevo el número 7 al exponente 3x10^1000000 , a continuación sumo todas las cifras del resultado, a esa suma la divido por 9 y hallo el resto (Nota**) (módulo 9). Si digo que para ese número, de millones de cifras, el resultado es 1 y además puedo asegurarlo sin ni siquiera intentar la operación podría parecer casi un juego de magia pero, en realidad, el resultado es casi tan elemental como elevar la unidad a cualquier potencia finita y tan grande como queramos: el resultado será siempre 1.

La clave de ese aparente juego de magia matemática la tiene una estructura algebraica muy importante, llamada grupo, sobre la que ya hemos hablado otras veces (Ver1) (Ver 2) .

El grupo de módulo 9 de la suma de cifras de un conjunto de números con el producto.
Establecemos una operación interna (producto) entre los elementos de un conjunto {1,2,4,5,7,8} y observamos el grafo correspondiente de su estructura de grupo, donde aparecen las relaciones de cada uno de los elementos con todos los demás (los valores 1,2,4,5,7 y 8 no son arbitrarios, corresponden al resto (mod 9) de la suma de las cifras de cada uno de los números primos que existen(Nota ***), excepto el 3):



A la vista de los resultados observamos algunas propiedades interesantes:

Sum.mod.9 (2² ) = 4.
Sum.mod.9 (2³ ) = 8.
Sum.mod.9 (2⁴ ) = 7.
Sum.mod.9 (2⁵ ) = 5.
Sum.mod.9 (2⁶) = 1.
Sum.mod.9 (2¹ ) = 2.

Lo que significa que el 2 con la operación producto es capaz de generar todos los elementos del grupo. Se puede comprobar que al 5 le ocurre lo mismo. Por otra parte, encontramos que:

Sum.mod.9 (2⁶) = 1. Expresión (a).
Sum.mod.9 (4³) = 1. Expresión (b).
Sum.mod.9 (5⁶) = 1. Expresión ( c ).
Sum.mod.9 (7³) = 1. Expresión (d).
Sum.mod.9 (8²) = 1. Expresión (e).

Dado que Sum.mod.9 (1ⁿ) = 1, cualquiera que sea n finito, encontramos que cada una de las expresiones (a), (b), ( c), (d) y (e) podría dar una relación finita, pero arbitrariamente grande de expresiones del tipo Expresión Alfa que hemos utilizado al comienzo de este post. Para esa, en concreto, hemos tomado la expresión (d) a la que hemos elevado al exponente 1000 000.

Nota(**) En lugar de 1000 000 vamos a ver un par de ejemplos sencillos con exponentes más asequibles. Por ejemplo exponente 3x10: 7³⁰=22539340290692258087863249. La suma de las cifras dividida por nueve (mod 9) da de resto "1".,

Otro ejemplo, exponente 3x7 : 7²¹ =558545864083284007, etc. O el más sencillo de todos 7³=343. La suma de las cifras es 10, y 10/9 es una división de resto "1".
Para verlo más fácil: cualquier número formado por la unidad seguida de ceros elevado a cualquier potencia finita siempre dará la unidad seguida de ceros, por lo que la suma de sus cifras siempre será la unidad. Esto que se ve muy claro en este caso ocurre igual con números cuya suma de cifras también da "1" (módulo 9): 91 y 19, 28 y 82, 46 y 64... por ejemplo: 9=6240321451, la suma de las cifras da 28, 28/9=3, con resto "1". Con el resto de números de esta lista ocurre igual.

Nota(***): La distribución de los primos menores de 1000 respecto al resto módulo 9 de la suma de sus cifras (excepto el 3), por curiosidad, es la siguiente: Resto 1(27), resto 2(30), resto 4(26), resto 5(29), resto 7(26) y resto 8(29). En total 167 números primos.