2006/11/28

Simetría de grupo: relatividad especial,invarianza, leyes de conservación, clasificación de las partículas elementales...


Cuando estudiaba en el instituto la teoría de grupos no tenía ni idea para que servía todo aquello, pero las representaciones de los elementos, componiéndose unos con otros mediante las diferentes operaciones que se definían, mostraban un orden sorprendente. Me habría impresionado saber que esas simetrías que presentaban y su belleza simple, puramente matemática, representa a la perfección la simetría del espaciotiempo y de las partículas subatómicas de las que estamos formados. La utilidad, aparte de la belleza, siempre es un aliciente añadido, la naturaleza suele “confundir” la una con la otra: la solución más útil y eficaz suele ser, además, la más bella. La teoría de grupos es por su sencillez, potencia y armonía una verdadera teoría NATURAL.

De forma muy simple, se habla de que existe simetría cuando se realiza una operación sobre algún objeto y este permanece invariante ( invarianza). Una esfera tiene simetría de forma ante un giro o ante un desplazamiento, es decir, sigue conservando su aspecto ante estas operaciones de simetría. Este tipo de simetrías continuas ( independiente de la magnitud del ángulo girado, o de la cantidad de la variable considerada) se encuentran, fácilmente, en la naturaleza y de ellas se desprenden leyes tan fundamentales como la conservación de la energía, tal como demostró en un importante teorema la eminente matemática Emmy Noether, a principios del siglo XX ( simetrías contínuas <--> leyes de conservación).
La idea básica de la aplicación de la teoría de grupos al mundo físico es describir, simbólicamente, estas operaciones de simetría utilizando el álgebra. Si una rotación sobre un eje 1 con un determinado ángulo la llamamos R1, R2 y R3 serán otras dos rotaciones diferentes sobre ejes llamados 2 y 3 con distintos ángulos. El producto R2xR1 se entenderá como la aplicación del giro R1 y después del giro R2. Este producto tiene tres propiedades simples pero muy importantes que se encuentran en la base de la bella teoría de grupo: asociativa [ R1x(R2xR3) = (R1xR2)xR3], existencia de identidad o elemento neutro ( rotación nula) y de inverso o elemento simétrico ( dos rotaciones dejan el objeto como la rotación nula). De estos tres simples axiomas brota la bella estructura de la teoría matemática de grupo.

Las propias leyes de transformación espaciotemporal de Einstein ( teoría de la relatividad restringida) son una generalización de las transformaciones del espacio de tres dimensiones al espacio de tres dimensiones espaciales más el tiempo ( espaciotiempo de Minkowski). Eugene Wigner, en 1939 escribió un artículo demostrando que cuando se aplicaba la condición algebraica de grupo de simetría a una descripción matemática del mundo, automáticamente se presuponía que se cumplirían los principios de relatividad especial y, además, las partículas elementales podían clasificarse con sencillez.


Las partículas se podían clasificar por el valor de su masa en reposo ( fuese o no cero) y por una propiedad, puramente cuántica, su espín – una especie de rotación intrínseca- cuyo valor en unidades especiales referenciadas a la constante de Plank, sólo puede ser de valor entero 0,1,2,3 ... o fraccionario 1 /2 , 3/2, 5/2, etc.
Las partículas con espín entero son llamadas bosones y las de espín fraccionado fermiones. Esta clasificación es de gran importancia porque según la clase de giro o espín que presenten las partículas sus reacciones son completamente diferentes.Los bosones son partículas de “fuerza” y los fermiones de “materia”, los primeros pueden ocupar el mismo estado cuántico y para los segundos eso es imposible .

De tres simples axiomas brota la bella estructura de la teoría matemática de grupo.


FIGURAS.- Primera: Representación de un grupo sencillo de cuatro elementos con leyes de composición interna (+) y (x), llamadas así porque al aplicarlas a sus elementos el resultado sigue perteneciendo al grupo ( "i" es la ráiz cuadrada de -1).Este grupo por ser conmutativo ( AxB =BxA), se llama abeliano o conmutativo. El elemento neutro del grupo es el +1, y el simétrico de -1 es -1, el de i es -i, etc.Segunda: El matemático N. Abel , genial introductor de la teoría de grupos, de trágica y temprana muerte a los 26 años. Tercera: Ilustración sobre Einstein/ teoría relatividad especial. Cuarta: Representación bosón-fermión.

Para saber más : Excelente artículo de Astrocosmo.

2 comentarios:

Fede dijo...

Muy interesante el ausnto de las simetrías. A mí reconozco que cada día me sorprende más. Es como descubrir las matemáticas otra vez. Recomiendo el libro "La simetría y la belleza del universo", de Lederman y Hill, publicado en Metatemas. Muy ameno y bien explicado todo.

Salvador dijo...

El post trata de hacer un poquito más interesante una parte de las matemáticas que resulta un tanto aburrida.Su conexión con la realidad la hace más cercana y nos da otra perspectiva que nos ayuda a entenderla. Un saludo.