Fractales, física clásica y nuevas teorías (II)

¿La energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío tiene estructura prefractal? (**Nota**)
Detrás de esta sencilla hipótesis quizás podamos encontrar seis dimensiones compactadas y el origen de la energía oscura.

Como se comentaba en la anterior entrada, en la naturaleza observamos una geometría diferente a la euclidea, mucho más cercana a la que el matemático Benoît Mandelbrot llamó geometría fractal. Aunque en ella, lógicamente, el fractal puramente matemático no se puede dar pues su estructura no se puede repetir en un número infinito de escalas. Por esa razón se llama prefractal, es decir fractal en un número finito de escalas.

Concepto de estructura fractal

Fractal natural (prefractal)

Con los fractales, estamos ante un concepto geométrico para el que aún no existe un una definición precisa, ni una teoría única y comúnmente aceptada.

Kenneth Falconer, en su obra titulada “Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications”, en1990, describe un concepto de estructura fractal ‘F’ como la que satisface alguna(s) de las propiedades siguientes:

(1).- “F” posee detalle a todas las escalas de observación;
(2).- No es posible describir “F” con Geometría Euclidiana, tanto local como globalmente;
(3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística;
(4).- La dimensión fractal de “F” es mayor que su dimensión topológica;
(5).- El algoritmo que sirve para describir “F” es muy simple, y posiblemente de carácter recursivo.

En resumen, una técnica análoga a la que los biólogos aplican al concepto de vida.

La curva de Koch

Los fractales  más sencillos, como la curva de Koch, nos enseñan lo fundamental de su esencia. En este  caso su característica más importante, su dimensión fractal, resulta de una relación entre dos cantidades escalares. En cada nueva iteración un segmento de medida tres es sustituido por otros cuatro segmentos de medida la unidad, tal como aparece en la figura. La relación (log 4)/(log 3) = 1,261859 … nos da la dimensión fractal de esa curva y determina su forma a todas las escalas.

En el vacío, la existencia del cuanto de acción, que está íntimamente unida a la propia naturaleza de la energía de las fluctuaciones cuánticas, obliga a que su estructura sea discontinua, escalonada, fractal (prefractal), lejos de la continuidad clásica (Esta es una hipótesis de la que se parte: Estructura fractal de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío. El planteamiento es mucho más particular que el que representa la relatividad de escala de Laurent Nóttale). Hasta el punto de que las trayectorias de las partículas, electrones, protones, átomos, etc, ha dejado de ser una verdadera trayectoria para convertirse en curvas fractales de dimensión 2 (Laurent Nóttale complementó la definición de Richard Feynman (1965) y A. Hibbs sobre las trayectorias virtuales típicas de una partícula cuántica, indicando que los caminos cuánticos posibles son, en número infinitos, y todos son curvas fractales caracterizadas por una propiedad geométrica común: su dimensión fractal es 2). Por  ello la geometría fractal puede enseñarnos algo que antes no podíamos ver.

Energía del vacío y curva de Koch

Las fluctuaciones cuánticas de energía del vacío no son simples variaciones sobre un fondo absoluto y estático, determinan la propia geometría del espacio, por lo que analizando su estructura podremos averiguar algo más sobre la referencia espaciotemporal que determinan. La forma en que se puede proceder a analizarlas es idéntica a como se determina la dimensión fractal de una costa o cualquier figura fractal sencilla como la curva de Koch. La pauta que nos guía, en nuestro caso, es la variación de la energía virtual de las fluctuaciones con la distancia. Desde distancias astronómicas hasta la longitud de Planck la energía asociada está siempre en proporción inversa a dicha distancia: si para una distancia D se le asocia una energía E, para una distancia 2D se le asocia una energía E/2.

En las curvas fractales analizamos la relación existente entre los segmentos característicos (escalares) que definen su construcción, en el vacío cuántico debemos tomar una relación entre dos magnitudes escalares capaces de definir la forma del espacio. Esas magnitudes que varían con la escala son los diferentes valores que toma la energía del vacío según como se mida. En la curva de Koch encontrábamos un valor 3 si mediamos la distancia AE en una dimensión (línea recta) y otro valor 4 si la mediamos en dos dimensiones, ABCDE.

Suponiendo una hipótesis fractal para la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío

Podríamos tener algo similar:

Entre dos puntos arbitrarios A y E, en tres dimensiones, la energía de las fluctuaciones tendría un valor relacionado con el inverso de la distancia, entre dichos puntos. En nueve dimensiones (propuesta teoría de cuerdas) su valor estaría relacionado en proporción directa a la distancia (lo que se corresponde con el valor encontrado para la densidad de la energía oscura).

(Para seguir paso a paso el desarrollo de la hipótesis, sin hacer demasiado pesado el post, se puede visitar la página Mi_ciencia_abierta y de forma más sencilla el artículo de la revista Elementos, de la Universidad de Puebla, El sorprendente vacío cuántico)

Gravedad cuántica de bucles

Generalizando los resultados obtenidos, en base a ciertas aproximaciones y a las hipótesis de las que se parte, se puede llegar a los siguientes resultados:

A pesar de lo intrincadas e irregulares que son las fluctuaciones cuánticas su dependencia con el inverso de la distancia permite al vacío cuántico que se nos presente de forma, prácticamente, similar al vacío clásico a pesar de las tremendas energías a las que se encuentra asociado. En este efecto tuvo mucho que ver la particular geometría que, hipotéticamente,  adoptó nuestro Universo: 3 dimensiones espaciales ordinarias y 6 compactadas. Esta geometría y la propia naturaleza del cuanto de acción están íntimamente ligadas. Con otra geometría diferente las reglas de la mecánica cuántica en nuestro universo serían completamente diferentes.

La estabilidad del espacio-tiempo, de la materia y de la energía tal como los conocemos sería imposible y, a la postre, tampoco sería posible la belleza que esta estabilidad posibilita así como la propia inteligencia y armonía que, en cierta forma, subyace en todo el Universo.

En cierta forma, la malla que constituye el espacio-tiempo que supone la teoría llamada gravedad cuántica de bucles, en primera aproximación, estaría conformada por la energía de las fluctuaciones. Las nueve dimensiones espaciales de la teoría de cuerdas, admitiendo la hipótesis fractal de las fluctuaciones, configurarían esa dualidad de energías del vacío: en nuestro mundo tridimensional la energía del vacío depende del inverso de la distancia, en las nueve dimensiones (seis de ellas compactadas) daría lo que llamamos energía oscura, capaz de acelerar la expansión del universo.

(**Nota**) Un fractal matemático observa la misma estructura en infinitas escalas. En la naturaleza no se puede hablar de auto semejanza en infinitas escalas por lo que en lugar de  fractal se utiliza el término prefractal. En el caso de la energía cuántica del vacío estaríamos hablando de más de 50 órdenes de magnitud en el recorrido de las escalas, lo que supone un caso extraordinario en la naturaleza.

Una propuesta sobre la energía oscura

A proposal on dark energy

Admitiendo una hipótesis fractal para la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío y suponiendo que dicha energía sea capaz de recubrir las 9 dimensiones espaciales sugeridas por la teoría de supercuerdas...la energía oscura parece emerger de forma natural.

Admitting a fractal hypothesis for the energy of the quantum vacuum fluctuations and assuming that this energy is capable of coating 9 spatial dimensions suggested by superstring theory ... dark energy seems emerge naturally.

Composición cosmológica. Wikipedia

Fractales, el espacio que son capaces de ocupar

Una curva geométrica clásica tiene una dimensión topológica igual a la unidad, pero una curva fractal es capaz de llenar una superficie (dimensión 2) o, incluso, un espacio (dimensión 3). En estos caso se dice que tiene dimensión 2 ó dimensión 3, pues la dimensión fractal nos indica la capacidad que tiene la curva de ocupar un espacio de mayor dimensión a su dimensión topológica .

El que una curva fractal, cuya dimensión topológica es la unidad, sea capaz de ocupar un espacio de  dimensión 3 sería similar al hecho de que la energía del vacío de las fluctuaciones cuánticas (dimensión 3) fueran capaces de ocupar un espacio hipotético de 9 dimensiones (el sugerido por la teoría de supercuerdas). De hecho, la dimensión fractal relativa sería en los dos casos igual a 3.

Un fractal clásico, el movimiento browniano

Y hablando del espacio que es capaz de llenar un fractal, es interesante resaltar la dimensión fractal de un movimiento totalmente aleatorio en el espacio: el llamado movimiento browniano.

Dado que es capaz de cambiar aleatoriamente de dirección y explorar a lo largo de los tres ejes, podríamos aventurar que este tipo de movimiento llegaría  a recubrir un espacio de tres dimensiones, pero no es así. El movimiento browniano tiene dimensión fractal 2 y sólo sería capaz de llenar una superficie, no un plano.

Este movimiento goza de una propiedad muy curiosa. Imaginemos que medimos la distancia que es capaz de alejarse de un determinado punto; descubriremos que si se han dado n2 pasos, la distancia efectiva recorrida sólo será de n pasos. Es decir, la distancia total recorrida es igual a la distancia efectiva elevada a un factor de 2, que es precisamente su dimensión fractal. Esa misma propiedad es posible generalizarla a fractales de dimensión topológica mucho mayor que 1 si son continuos y, razonablemente, isótropos. Precisamente en estos casos la dimensión fractal relativa actúa de la misma forma que la dimensión fractal en las curvas.Volviendo al caso del movimiento browniano, la distancia efectiva está tomada en una dimensión (la línea recta) mientras que la distancia total recorrida está medida sobre el fractal, en las dos dimensiones que es capaz de recubrir.

Aplicando todo esto a la energía de las fluctuaciones del vacío

Si, con lo visto hasta ahora, nos centramos en la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío y suponemos que es capaz de recubrir las 9 dimensiones hipotéticas, que nos plantea la teoría de supercuerdas, encontraremos que la “energía total” es la “energía efectiva” elevada al cubo:  Energ. total = (Energ. efectiva)3  

La energía que hemos llamado “efectiva” es la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío en nuestras 3 dimensiones espaciales y depende del inverso de la distancia. A las distancias de nuestra vida cotidiana esa energía es completamente despreciable, pero conforme disminuyen éstas llega a hacerse significativa, hasta llegar a la llamada energía de Planck que se corresponde con la menor distancia posible llamada longitud de Planck (1,616199 x 10-35  metros). La energía que hemos llamado “total” sería la tomada en las 9 dimensiones hipotéticas. Si llamamos a “n” la distancia, la energía efectiva sería del orden de 1/n y la energía total sería una cantidad  que guarde la misma relación con 1/n que la relación (n3/n). El valor que encontramos es “n”. Es decir la energía “total” será proporcional a la distancia, no al inverso de la misma.                                              

(Ir a (+)Observaciones para entender mejor el hecho de aplicar la proporcionalidad de la relación (n3/n))

Conclusiones

Considerando la hipótesis fractal para la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío y que dicha energía sea capaz de recubrir el espacio de 9 dimensiones sugerido por la teoría de supercuerdas, ¡¡¡ encontramos una energía asociada a estas 9 dimensiones que coincidiría en magnitud con la llamada energía oscura!!! Una energía proporcional a la distancia, a diferencia de la energía de las fluctuaciones del vacío cuántico que es inversamente proporcional, capaz de mantener la aceleración expansiva del universo.

(+)Observaciones. Relación necesaria entre números naturales para averiguar la dimensión fractal.

Curva de Koch

Observamos en la figura la construcción de un fractal clásico llamado curva de Koch. La distancia en línea recta (en una dimensión) entre el extremo  A y el extremo E mide 3 segmentos, la distancia sobre el fractal entre A y E (a través de las dos dimensiones del plano) mide 4. Estas medidas son las que determinan la dimensión fractal de la curva: (log 4)/(log 3).

Imaginemos que al medir en línea recta el segmento AE encontramos un valor fraccionario, por el tipo de unidad de medida utilizada, por ejemplo 1/4. Con esa misma unidad de medida la distancia recorrida sobre el fractal sería de 1/3. Al tratar de hallar ahora su dimensión fractal haríamos el cociente: (log 1/3)/(log 1/4) y el resultado sería distinto, lo que resulta absurdo. Tenemos que encontrar la misma relación entre los dos segmentos pero expresada en números naturales. La encontramos al dividir estas dos fracciones:

1/3:1/4 = 4/3 , y el resultado 4 y 3 es el que buscamos.

En el caso de la proporción directa utilizada más arriba, con 1/n  y la relación (n3 / n) hemos hecho lo mismo. Podemos utilizar relaciones de proporcionalidad entre los segmentos, para tratar de encontrar una sencilla relación entre números naturales, aunque lógicamente, no las podremos utilizar entre los logaritmos de dichos segmentos. Abundando sobre el tema podéis leer este documento y ver este post.