Fractales, física clásica y nuevas teorías (I)

Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y las cortezas de los árboles no son lisas, ni los relámpagos viajan en una línea recta.

Mandelbrot, 1982, de su libro Introduction to The Fractal Geometry of Nature

Cristales de hielo de naturaleza prefractal

En la naturaleza que observamos a nuestro alrededor no solemos ver nada parecido a un cuadrado, a una esfera o a una línea recta. La geometría que nos ensañaron en la escuela en base a líneas rectas y figuras geométricas regulares sólo la encontramos en la realidad artificial que nos hemos construido y a pesar de eso, y gracias a la influencia que ha tenido en la educación su enseñanza desde Euclides, hemos creído en su existencia en un mundo ideal del que este sería una burda copia. En la naturaleza observamos una geometría diferente, mucho más cercana a la que el matemático Benoît Mandelbrot llamó geometría fractal.

En la física clásica, la que conocíamos hasta los comienzos del siglo XX, ocurría algo similar hasta que apareció la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad. La referencia inamovible del absoluto que suponía el espacio y el tiempo de la mecánica newtoniana desapareció, primero con la relatividad especial y después con la relatividad general. Previamente, en el campo matemático se desarrollaron geometrías no euclidianas durante el siglo XIX, por Gauss, Riemann o Lobachevsky, entre otros, cuya ayuda fue crucial para el desarrollo de las nuevas teorías físicas.

Geometría euclidiana y no euclidiana

Tenemos dos teorías soberbias sobre la realidad, la mecánica cuántica y la teoría de relatividad general. La mecánica cuántica es capaz de integrar tres de las cuatro fuerzas fundamentales que existen (electromagnetismo, nuclear fuerte y nuclear débil) y describir perfectamente la naturaleza microscópica de la materia, pero no la gravedad. Para explicar la gravedad en su menor detalle y los fenómenos de magnitud cósmica tenemos la relatividad general. Lo “bonito” sería una sola teoría para explicar las cuatro fuerzas fundamentales, lo que se suele llamar una teoría del todo, pero lo trágico es que no tenemos forma, hasta el momento, de conseguir esa belleza.

En este punto, alrededor de los años 80 del siglo XX, apareció la teoría de cuerdas  que propone que las partículas materiales aparentemente puntuales son en realidad estados de vibración  de un objeto más básico llamado cuerda. El gravitón, o partícula que expresa la fuerza de la gravedad, sería una cuerda vibrante cerrada, un bosón de spin 2. Pero uno de los principales problemas de esta teoría es que los modos de vibración de las cuerdas necesitan 9 dimensiones espaciales y una temporal, dimensiones que desde luego no observamos y que se supone están compactadas en un espacio diminuto del orden de la longitud de Planck. Después de unos 30 años esta teoría se resiste a ser demostrada y no ha predicho ningún efecto comprobable mediante experimento.

Teoría de cuerdas

Por la misma época que la teoría de cuerdas surgió una teoría llamada gravedad cuántica de bucles  (LQG, por Loop Quantum Gravity), supone que el espacio no es continuo sino que consta de una serie de pedacitos indivisibles de espacio-tiempo del tamaño de la longitud de Planck. Wikipedia:Estos átomos del espacio-tiempo forman una malla densa en cambio incesante que, en condiciones normales, nunca apreciaremos, pues el espaciado dentro de la malla es tan pequeño que nos parece ser un continuo. La LQG define el espacio-tiempo como una red de enlaces abstractos que conecta estos volúmenes de espacio.

Esta teoría, lejos todavía de ser una teoría completa, ha tenido muchos menos seguidores que la teoría de cuerdas, pero ha conseguido importantes éxitos en el estudio de los agujeros negros y evita singularidades al tratar de aplicar la relatividad general al Big Bang.

Siete monedas y una teoría del TODO (II)

Resulta sorprendente como la resolución de problemas aparentemente intrascendentes, como colocar 6 monedas iguales tangentes a otra del mismo tamaño, puede llevar a solucionar cuestiones tan importantes como la propia estructura del universo. La clave última de esta conexión está en la simetría: en términos matemáticos, debajo de todo objeto simétrico yace una estructura matemática llamada grupo . Ejemplos típicos de objetos tridimensionales simétricos son la esfera, el cilindro o el cono.

Todos sabemos como colocar 6 monedas iguales tangentes a otra moneda del mismo tamaño. En una dimensión superior podemos colocar doce esferas, cuidadosamente apiladas, de forma que cada una de las cuales toca a una esfera central. Pero no se conoce cual es el número óptimo en ninguna dimensión superior a 3, excepto en dimensión 8, donde el grupo E8 nos proporciona un retículo en el que cada esfera toca a otras 240 (y en dimensión 24, que el retículo de Leech nos permite colocar 196560 esferas de dimensión 24 tangentes a una esfera central). El objeto matemático que permite esta proeza en 8 dimensiones se cree, desde hace tiempo, que puede jugar un papel importante en la teoría capaz de unificar todas las interacciones y partículas elementales existentes.

Garrett Lisi en su trabajo publicado en la web arXiv explica como ha podido "colocar", dentro del E8 dada su configuración extraordinariamente simétrica y compacta, los diferentes grupos de Lie SU(3), que representa las simetrías asociadas a la fuerza nuclear fuerte, los SU(2) x U(1) referentes a la fuerza electrodébil y el grupo de Lorentz SO(3,1) asociado a las matemáticas de la relatividad general. Todas las partículas y las fuerzas conocidas expresadas en una bella estructura matemática unificada, concisa y elegante.

Un poquito sobre teoría de grupos:

El grupo es una estructura matemática, en principio muy sencilla, que se establece a partir de un conjunto G con una operación " º " tal que aplicada a sus miembros da como resultado otro miembro del conjunto (operación interna). Esta operación tiene las siguientes propiedades:

Asociativa: Para todo g1,g2,g3 pertenecientes a G se cumple que (g1 º g2) º g3 = g1 º (g2 º g3).
Elemento neutro: Existe un elemento neutro e, perteneciente a G, tal que para cualquier elemento g del conjunto G : e º g = g º e = g . Como ocurre con la unidad para el producto, o el cero para la suma de números enteros.
Elemento inverso o simétrico: Para todo g perteneciente a G, existe un elemento llamado inverso_de_g tal que: g º (inverso_de_g) = (inverso_de_g) º g = e ( donde e es el elemento neutro).

Si además se cumple que g1 º g2 = g2 º g1 , o propiedad conmutativa, entonces el grupo se llama abeliano.Esto que en el instituto nos creíamos que sólo valía para enredar y darnos la lata, nos puede ayudar a desentrañar los misterios de la composición íntima de nuestro universo.

Como ejemplo, podemos ver en la figura un grupo compuesto por cuatro elementos, las potencias del número imaginario i que es la ráiz cuadrada de -1, o las rotaciones de 0º, 90º,180º ó 270º. Bien con la suma o con el producto, como operaciones de composición interna, vemos que podemos establecer un cuadro en donde observamos todas las relaciones entre los elementos del grupo. La propiedad conmutativa le confiere una simetría completa al cuadro.

En este grupo sólo necesitamos una tabla de 4 x 4, imáginemos la complejidad y la simetría tan maravillosa que encierra el grupo E8 que necesita de una tabla 453060 x 453060 para expresar las relaciones entre sus elementos. Para darnos una idea del tamaño y complejidad del E8, se ha comparado con el Proyecto del Genoma Humano.Su estructura posee 248 dimensiones y toda la información que se ha necesitado y generado para resolver el problema ocupa alrededor de 60 Gigabytes y según uno de los integrantes del grupo de matemáticos que ha desentrañado su estructura: "después de comprender las matemáticas subyacentes tardamos unos 2 años en implementarlo en un ordenador", la supercomputadora "Sage".

El cálculo del E8 es parte de un proyecto llamado Atlas de los Grupos de Lie y Representaciones que tiene por objetivo determinar las representaciones unitarias de todos los grupos de Lie, uno de los problemas sin resolver en matemáticas.

Como nos ayuda la estructura de grupo:

Apoyándonos en el grupo sencillo de la figura podemos hacernos una idea de como nos ayudan los grupos en nuestra búsqueda del conocimiento de las partículas elementales y sus interacciones. Supongamos que este grupo nos muestra una simetría que refleja la relación de tres partículas conocidas relacionadas mediante cierta interacción. Cuando analizamos el problema nos damos cuenta de que para completar la relación entre ellas necesitamos de otra partícula desconocida para completar el cuadro. En base a simetrías matemáticas podemos saber como será esa partícula y como se relaciona con las demás, además ese conocimiento nos permitirá diseñar experimentos para detectarla.

Si conseguimos relacionar todas las partículas y sus interacciones mediante simetrías matemáticas podemos obtener una serie de grupos capaces de representarlas. Si esos grupos conseguimos encuadrarlos en otro grupo superior habremos conseguido lo que intenta hacer Lisi con el grupo E8.

Volviendo a la teoría de Lisi:

Algunos físicos argumentan que la idea de Lisi podría ser complementaria de la teoría de cuerdas. De hecho, los físicos que han trabajado en esta teoría, ya han utilizado el modelo E8 para describir un patrón de espacio extra-dimensional llamado Variedad de Calabi-Yau, que se supone existiría al lado de las tres dimensiones que vemos.

Como decía en el anterior post, el futuro y los nuevos experimentos en base a las conjeturas que permite su teoría nos dirán si se equivoca o no. Tal como se dice en la cabecera de este blog : La aventura científica se convierte en la búsqueda de las más sencillas y potentes simetrías (belleza) capaces de descifrar, de la forma más simple, la aparente complejidad del mundo que nos rodea.

Físico surfista busca Teoría del TODO ( I )

Un físico norteamericano independiente y surfista, llamado Garrett Lisi, parece que está dando mucho que hablar desde que, el 6 de noviembre del año pasado, colgara un trabajo de 30 páginas llamado "Una excepcionalmente simple teoría del Todo", en la página web arXiv.org de la Universidad de Cornell, donde se pueden aportar y leer libremente trabajos inéditos sobre física, matemáticas, computación , biología, etc. La base matemática de su teoría la ha encontrado en el llamado E8, el mayor de los grupos de Lie simples excepcionales, que se "manifestó" por primera vez en 1889 ante los ojos incrédulos del matemático Wilhelm Killing que estudiaba las llamadas álgebras de Lie. Curiosamente, a pesar de la expectación despertada, la posible conexión entre este grupo y una futura teoría del TODO no es ninguna novedad. Se pueden encontrar artículos de divulgación de hace como 15, 20 años, o más, donde se habla sobre las grandes esperanzas depositadas en este excepcional, extraordinariamente simétrico, y compacto grupo.

La variedad de partículas elementales que se encontraron a lo largo del siglo pasado, necesitó del uso de simetrías para entender las relaciones entre ellas. Una simetría existe cuando la expresión matemática de las leyes de la física es independiente o invariante del sistema de referencia, ya sea espacio-temporal o del espacio abstracto donde varían los números cuánticos que caracterizan a las partículas. Y el lenguaje apropiado para manejar simetrías es la teoría de grupos.

Existen simetrías de tipo general y otras de tipo local, en las que se exige que las transformaciones que forman el grupo correspondiente varíen de punto a punto en el espacio cuatridimensional cotidiano. A estas simetrías se les denomina simetrías de norma o gauge y para que sean exactas se requiere la existencia de campos que representan las fuerzas. Campos asociados a partículas cuyo intercambio entre las partículas ordinarias son la causa de las interacciones: en la interacción electromagnética esas partículas son los fotones, consecuancia de la simetría gauge asociada al grupo llamado U(1). Las interacciones débiles junto con las electromagnéticas resultan de la simetría gauge SU(2) X U(1), y las interacciones entre quarks de una simetría gauge SU(3) que opera en el espacio tridimensional llamado de color.

Garrett Lisi ha encontrado un mecanismo, todavía no verificado y no exclusivo, por el que las matemáticas subyacentes en todas las fuerzas y sus partículas fundamentales asociadas quedan incluidas en el marco matemático del E8, el mayor de los grupos de Lie simples (de ahí que titule su teoría como "excepcionalmente simple"). También aporta una solución (no la solución) para el problema de la gravedad cuántica y predice el número exacto de partículas fundamentales, sus propiedades y sus masas, la naturaleza del espacio-tiempo y la constante cosmológica. Sin embargo, su teoría dista de ser completa, no es definitiva sobre la cuestión de la gravedad cuántica y sobre todo trata de explicar a posteriori, sin demostrar que las soluciones encontradas son únicas y las que, ineludiblemente, tuvo que adoptar nuestro universo. Así y todo, hay opiniones serias y positivas sobre las posibilidades de su teoría, en principio más sencilla que la teoría de cuerdas, pues no serían necesarias las dimensiones extras sino sólamente las cuatro dimensiones espacio-temporales conocidas.

Predice una serie de partículas alguna de las cuales se podría encontrar en los proximos experimentos del acelerador LHC (Gran Colisionador de Hadrones). Sería un serio indicador de que la teoría apunta hacia el camino correcto.


Continuará...