Nota al margen: Paisaje por el infinito de los números primos

                N^{Densidad_primos_N}     = e     para N tendiendo a infinito

De los números primos sabemos que son infinitos, como ya demostró Euclides sobre el 300 a.C, pero su distribución, aparentemente, aleatoria sigue siendo una incógnita. Sobre el particular conocemos una expresión que nos da su cantidad aproximada hasta un determinado número. Esta expresión se llama teorema de los números primos y nos dice que: 

La cantidad de números primos=(Número)/Logaritmo Neperiano(Número) 

(La expresión del principio es una forma diferente de esta misma)

Aplicando la fórmula para (Número)=1000, obtenemos 145 primos, cuando en realidad hay 168. Para 5000 nos acercamos un poquito más la expresión nos da 587 y en realidad existen 669, y conforme probamos números mayores nos acercamos más, aunque las cifras convergen muy lentamente: para 1000 el 86,3%, para 5000 el 87,7% y para 50000 el 90%.

Infinito potencial e infinito actual (***):

Se entiende que los números primos sean infinitos, como también lo son los números naturales, y el hecho de que su principal propiedad dependa de que sólo sean divisibles por la unidad o por ellos mismos no plantea ningún problema esencial en el ámbito finito, por muy grandes que sean, pero no parece que pueda ocurrir lo mismo en el infinito… El crecimiento sin fin, lo que Aristóteles llamaba infinito potencial nunca ha planteado grandes problemas en las matemáticas: un número natural siempre tiene otro posterior que es mayor y así podemos seguir sin llegar nunca a un final (infinito). El infinito actual ya ha sido otra cosa. Tuvo que llegar Cantor y la teoría de conjuntos para considerar un infinito en acto:” En el conjunto N de los números naturales, no tiene sentido decir que los elementos de N devienen o que se hacen cada vez más grandes. Están todos allí, simplemente, actualmente (acto/potencia). Todos los conjuntos matemáticos tienen existencia actual, en ese sentido los conjuntos están dados, y con ellos la totalidad de sus elementos (Palacios et al.,1995 Los matematicuentos. ISBN 950-550-182).

Vista del infinito desde el la zona finita:

Cuando escribí el post sobre los números primos como hechos de una pieza, me llamó la atención la cantidad de extensas lagunas que podemos encontrar sin números primos. Conforme se hacen mayores los números primos es de suponer que se encontraran lagunas más y más extensas porque en el límite, conforme consideremos números mayores, la densidad de números primos tiende a cero, tal como se desprende de la expresión del teorema de números primos (densidad para N= 1/Log.Nep.(N) ver nota final). Cada vez más, las lagunas serán más grandes y más frecuentes, se presentarán en todas las combinaciones posibles: ¿muchas pequeñas, muchas grandes, algunas pequeñas con alguna grande, algunas grandes con muchas pequeñas… hasta que la mayor de todas las lagunas tenderá a limitar con el propio infinito?… ¿El infinito, como una especie de agujero negro matemático, sólo puede limitar con una cierta protección que lo separe de lo finito: una inmensa laguna sin números primos?

Vista del infinito desde la zona infinita:

Dado que el conjunto total de los números primos tiene infinitos elementos,el subconjunto de primos infinitos debe ser, a su vez, un conjunto con un número infinito de elementos. Infinitas “piezas” de longitud infinita que, en cierta forma, no se pueden “doblar” ni por la mitad ni por un tercio ni por ninguna de sus partes, porque no tiene partes. Infinitas “barras” con una cierta y perfecta “rigidez” que les confiere su propia longitud: un valor diferente en algunas unidades, más o menos, hará que esa rigidez se rompa y se desmorone en infinitas barras de longitudes diversas, también rígidas (números primos).

En la región de los números primos de valor infinito se irán sucediendo, supuestamente, de una forma igualmente irregular y sin ningún tipo de ley conocida los progresivos números primos:

InfinitoPrimo_n, InfinitoPrimo_n+1, InfinitoPrimo_n+2, ...InfinitoPrimo_n+m…Pero aquí, además, ¿podría ocurrir que entre un primo y su posterior número primo exista una completa sucesión infinita de números naturalesy que a esta le suceda una sucesión finita hasta el siguiente?…

De hecho, tal como indicaba en el post sobre “los números primos, números de una pieza”, en el ámbito finito podemos encontrar tantas lagunas con ausencia de números primos como queramos, y tan grandes como deseemos. Si ello es así, ¿podemos extender las inmensas lagunas finitas que podemos encontrar en el ámbito finito a lagunas infinitas en el ámbito infinito? En ese dominio nunca podremos entrar hasta que no conozcamos más sobre estos fascinantes números. La aleatoriedad que presentan y su infinitud es una combinación capaz de despertar la imaginación de los matemáticos, y siempre supondrá un acicate para estudiarlos y permitir así progresar las matemáticas y la ciencia. 

Reflexiones:
A la vista de estos paisajes infinitos y las reflexiones sobre ellos, una pregunta que me hacía, suponiéndonos en los “dominios del infinito”, hasta donde llegan los números primos, ¿entre un número primo y su posterior número primo puede existir una sucesión infinita de números naturales?,  no se puede plantear así, pues, en el ámbito infinito no pueden sucederse los números primos tal como se suceden en el ámbito finito. Nada es igual:  A un número primo en el ámbito finito le sigue otro primo que resulta de sumar al primero una cantidad finita. En el ámbito infinito se tendrían que sumar cantidades infinitas (o finitas más infinitas) y a partir de sumas infinitas no conseguiríamos nada… infinito más infinito (o más finito) es, también, infinito…

Repitiendo lo dicho más arriba: “Dado que el conjunto total de los números primos tiene infinitos elementos, el subconjunto de primos infinitos debe ser, a su vez, un conjunto con un número infinito de elementos”. Esta reflexión nos presenta un panorama extraño, pues parece indicarnos que la inmensa mayoría de los números primos (los números primos infinitos) permanece alejado de nuestro alcance. La solución creo que está cerca de lo que se indicaba antes al decir: “Cada vez más, las lagunas (de ausencia de primos) serán más grandes y más frecuentes, se presentarán en todas las combinaciones posibles: ¿muchas pequeñas, muchas grandes, algunas pequeñas con alguna grande, algunas grandes con muchas pequeñas… hasta que la mayor de todas las lagunas tenderá a limitar con el propio infinito?… (El número de primos es cada vez menor hasta que en el límite, en el infinito, tiende a cero).

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -      Sobre el infinito actual        - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

(***)El texto de Borges (2002), que es un fragmento del relato “El Aleph”, nos acerca a la idea del infinito actual:

“Aclaró que un Aleph es uno de los puntos del espacio que contiene todos los puntos. [...] –Sí, el lugar donde están, sin confundirse, todos los lugares del orbe, vistos desde todos los ángulos.”

Y más abajo continúa:

“Lo que vieron mis ojos fue simultáneo: lo que transcribiré, sucesivo, porque el lenguaje lo es. Algo, sin embargo, recogeré.

En la parte inferior del escalón, hacia la derecha, vi una pequeña esfera tornasolada, de casi intolerable fulgor. Al principio la creí giratoria; luego comprendí que ese movimiento era una ilusión producida por los vertiginosos espectáculos que encerraba. El diámetro del Aleph sería de dos o tres centímetros, pero el espacio cósmico estaba ahí, sin disminución de tamaño. Cada cosa (la luna del espejo, digamos) era infinitas cosas, porque yo claramente la veía desde todos los puntos del universo. Vi el populoso mar, vi el alba y la tarde, vi las muchedumbres de América, vi una plateada telaraña en el centro de una negra pirámide, vi un laberinto roto (era Londres), vi interminables ojos inmediatos escrutándose en mí como en un espejo, vi todos los espejos del planeta y ninguno me reflejó, vi en un traspatio de la calle Soler las mismas baldosas que hace treinta años vi en el zaguán de una casa en Fray Bentos, vi racimos, nieve, tabaco, vetas de metal, vapor de agua, vi convexos desiertos ecuatoriales y cada uno de los granos de arena [...]”. http://funes.uniandes.edu.co/5592/1/FrancoDosconcepcionesAlme2006.pdf

--------------------Nota final sobre densidad de números primos----------------------------------

La expresión que nos da la densidad de los números primos, densidad para N = 1/Log.Nep.(N),  y que supone que para N tendiendo a infinito dicha densidad es cero, nos acerca a una visión un tanto extraña. Los números primos que más conocemos, los que podemos encontrar hasta N=100 ó N=1000, vemos que están intercalados entre los no primos y son, relativamente, numerosos (hasta 1000 hay hasta168 números primos) pero la expresión nos indica que son extremadamente escasos. Si como media existiera  uno entre 1000 millones, su densidad sería 10^-9 , si fuera de uno entre un billón su densidad sería de 10^-12  y si fuera de uno entre un trillón sería de 10^-18. Estos valores aunque pequeñísimos son infinitamente mayores que cero.

Números primos, números de una sola pieza

Entre los números naturales 1, 2, 3 ,4 , 5, 6, 7, ,..., , n, existen unos números especiales que sólo son divisibles por la unidad y por ellos mismos. Estos números son llamados números primos y desde que se conocen han producido una extraña fascinación entre los matemáticos. Existen infinitos, Euclides realizó la primera demostración conocida de su infinitud alrededor del 300 a.C., pero su distribución, aparentemente aleatoria, sigue siendo una incógnita.

En cierta forma, estos números podríamos decir que son "de una pieza", y todos los demás números naturales se pueden construir a partir de ellos mediante un proceso llamado factorización. Los primeros números primos menores de cien son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. Cada uno de ellos sólo se puede escribir como: 2 = 2, 3 = 3,..., 29 = 29,..., 67=67, ..., etc. Mientras que el resto de números naturales necesitan expresarse en función de los números primos: 4 = 2x2, 9 = 3x3, 6 = 3x2, 8 = 2x2x2, ...,30 = 2x3x5, etc.


Se conoce una importante expresión llamada teorema de los números primos que nos da la cantidad de números primos que existen hasta un determinado número. Aproximadamente, para números suficientemente grandes, la expresión es: cantidad de números primos = (número)/Logaritmo Neperiano(número). Aplicando la fórmula para (número)=1000, obtenemos 145 primos, cuando en realidad hay 168. Para 5000 nos acercamos un poquito más, la expresión nos da 587 y en realidad existen 669, y conforme probamos números mayores nos acercamos más, aunque las cifras convergen muy lentamente: para 1000 el 86,3%, para 5000 el 87,7% y para 50000 el 90%.

Lagunas con ausencia de números primos:

Entre 1 y 100 existen 25 números primos, como hemos visto, y en la lista observamos grupos de números compuestos, una especie de lagunas con ausencia de números primos: del 24 al 28 y del 90 al 96. Entre el 100 y el 200 hay 23 primos: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149,151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191,193, 197, 199. Y encontramos lagunas como la del 182 al 190. Nos podemos preguntar si existen lagunas más grandes entre números primos. A simple vista, parece que no vamos a encontrar ninguna de estas lagunas de forma clara con una suficiente cantidad de números, pero no es así. Podemos encontrar tantas como queramos y de la longitud que deseemos, para ello utilizaremos la siguiente expresión (pueden encontrarse muchas más): n!+2 , desde 2 hasta n. Vamos a ver algunos ejemplos: para n=3, 3!=3x2x1=6; 6+2=8 y 6+3=9. Hemos encontrado la primera laguna formada por el 8 y el 9. Seguimos con n=4: 4!=4x3x2x1=24; 24+2=26, 24+3=27 y 24+4=28. Hemos encontrado tres números compuestos seguidos, pero con esta expresión podemos encontrar cuantos queramos, por ejemplo 101 números seguidos (al menos): 102!+2, 102!+3, 102!+3, ..., 102!+101,102!+102.

¿De cuántas piezas están hechos los números?

Volviendo al título del post, se pueden ver los números compuestos como formados por piezas de números primos. Un número compuesto cualquiera, por ejemplo, el 6 es igual al producto de dos números primos 2x3, podemos considerarlo como formado por dos piezas, la pieza 2 y la pieza 3. En cambio los números primos, como el 7, están formados por sólo una pieza. En un símil musical el número primo podría considerarse como armónico principal y único, y el número compuesto como una composición de armónicos primos que formarían su espectro o descomposición factorial.

Analizando la factorización de un número como producto de números primos, podríamos imaginar que cualquier número está formado por tantas piezas como factores primos lo componen. Se observa como curiosidad que los números del orden de 100 estarían formados, como media, por un producto de 2,7 números primos, los del orden de 1000 por un producto de 2,96 números primos, los de 10000 por un producto de 3,16 números, los de 100000 por 3,3, los de 1000000 por 3,42 y los de 10000000 por 3,64. Observamos que la cantidad de "piezas" necesarias para formar cualquier número aumentan muy lentamente, y ese aumento, además, decrece. Es un tanto asombroso que mientras un número de 3 cifras necesita tres primos para factorizarse (está hecho de tres piezas), uno de 10 cifras sólo necesita cuatro (está hecho de cuatro piezas). Claro que al hablar de piezas estas son tan dispares como el 3 y el 2000003, ambos son números primos.

En un extraño (e imaginario) mundo cuántico formado por números enteros, sería fácil descubrir los números primos. Todos los números compuestos se verían como una borrosa superposición de armónicos primos mientras que los números primos aparecerían claros y estables con una sola configuración fácilmente distinguible. Algo de esto debe le debe ocurrir a Daniel Tammet, un joven autista inglés con una sorprendente capacidad para los números. Cuando piensa en ellos ve formas, colores y texturas que le permiten distinguirlos de una manera asombrosa. Al multiplicar dos números ve dos sombras; al instante aparece una tercera sombra que se corresponde con la respuesta a la pregunta. Cuando piensa en algún número sabe reconocerlo como primo o compuesto. Estuve viendo el reportaje sobre su vida, sus facultades como matemático y su prodigiosa memoria. Sus capacidades son asombrosas. En una semana logró aprender, desde cero, suficiente islandés (un idioma catalogado como muy difícil) para mantener perfectamente una entrevista en la televisión de Islandia.

A alguien le podría parecer que el estudio de los números primos no tiene ninguna utilidad, desde luego se equivoca (ojo, el algoritmo de encriptación RSA nos permite las transacciones fiables). Cualquier saber matemático, por muy absurdo que nos parezca está relacionado con infinidad de campos aparentemente inconexos. Cualquier avance en el conocimiento sobre los números primos, por ejemplo, podría ser decisivo para resolver algún problema del campo más increible que se nos ocurra, tanto matemático como físico. La realidad es conexa y conforme la vamos comprendiendo vemos que el conocimiento que tenemos de ella también lo es.


Una novela sobre investigación de números primos:

Sobre los números primos recuerdo haber leído una novela interesantísima titulada "El tío Petros y la conjetura de Goldbach". La trama discurre a través de las vicisitudes de un matemático obsesionado por comprobar la famosa conjetura de Goldbach sobre los números primos, uno de los problemas abiertos más antiguos en matemáticas. Su enunciado es el siguiente: Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos. Confieso que logró atraparme al igual que le ha pasado a infinidad de lectores. Es muy entretenida y recomendable.

... Mi agradecimiento a la página Descartes, del Ministerio de Educación, que me ha facilitado los cálculos de factorización de grandes números que he necesitado.
... Recomiendo visitar esta magnífica página sobre números primos (en inglés).

Nuestro amigo Tito Eliatron nos envía dos interesantísimos enlaces de su blog a una charla del matemático, Medalla Fields, Terry Tao: Primera parte de la charla, segunda parte. Gracias Tito.