2019/06/13

Sobre gravitación cuántica y agujeros negros

Algunas notas, casi al azar, sobre gravitación cuántica y agujeros negros
Sobre espacio-tiempo y paradigma holográfico:
Conforme avanza nuestro conocimiento sobre el universo aparecen más interrogantes, vuelven las eternas preguntas que se han hecho los filósofos de todos los tiempos, aunque la perspectiva ha cambiado sustancialmente. Los principios básicos que vislumbramos sobre la gravedad cuántica nos indican que el propio espacio-tiempo no es el fundamental, eterno e inmóvil referente que siempre hemos creído sino que emerge de una entidad fundamental discreta (no continua) y su propia geometría debe estar inextricablemente ligada a las relaciones causales entre sucesos.
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Extraña luz de agujero negro:
Un agujero negro del que no salga nada (el caso clásico), ni presente al exterior ninguna manifestación cuando engulle materia con mucha entropía, sugiere una forma demasiado fácil de disminuir la entropía de la materia exterior al mismo. Conforme arrojáramos al agujero materia con gran entropía haríamos disminuir la entropía exterior. Serían agujeros por los que se “escaparía” el cumplimiento de la segunda ley de la termodinámica, la tendencia natural al aumento de entropía o desorden (ver nota final sobre la entropía). Desde el Bing Bang, una explosión en perfecto orden , la entropía total del Universo no ha dejado de crecer y así será hasta la llamada muerte térmica .


La extraña luz de los agujeros negros, bautizada como radiación de Hawking que fue quien la descubrió, devuelve desorden, entropía, a nuestro Universo que sigue degradándose sin remedio hasta su muerte final (la energía de la radiación calorífica es la energía más degradada). Sin esa tenue luz los agujeros negros engullirían, además de materia, desorden. El determinismo clásico los hace más negros pero menos reales… la realidad, por una vez, no es tan “negra” como la pintan.

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Dragones alados y agujeros negros:
Agujeros negros, agujeros de gusano, túneles en el espacio-tiempo, viajes en el tiempo, distorsión espacial y temporal, todos estos conceptos que parecen sacados de una novela de ciencia ficción, forman parte ya de la ciencia seria que se investiga en la actualidad, y no deja de ser una paradoja que la física, la ciencia más pura y dura, se ocupe de cuestiones, en otro tiempo, esotéricas. La materia a la que nos agarramos como lo más sólido, simple y real que tenemos se está convirtiendo, cada vez más, en algo lleno de misterio y complejidad. La física cuántica y la teoría de la relatividad general nos la presentan como algo siempre en movimiento que se confunde con el propio espacio y tiempo. Conforme tratamos de entender sus propias entrañas se nos aparece como formando una especie de entidad compleja que algún premio Nóbel no ha dudado en llamar: la materia-espacio-tiempo. Las extrañas criaturas que son los agujeros negros, con la curiosidad que han despertado entre los físicos, a comprender mejor el mundo que nos rodea. En cierta forma su negra belleza ha arrojado un rayo de luz sobre nuestro conocimiento del universo que nos cobija.



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Antes del Big Bang, la espuma cuántica:

La mecánica cuántica nos prepara en cierta forma la mente para imaginar la creación del Universo a partir de una nada cuajada de fluctuaciones cuánticas pre-espaciotemporales. Ya en el Universo actual nos enseña que el vacío es un verdadero hervidero de creación y aniquilación de partículas virtuales que, a distancias del orden de Planck, se convierte en la llamada "espuma" cuántica del espacio-tiempo. En ella nada de lo que conocemos y nos es familiar cuenta pues entramos en los dominios de la desconocida, hasta ahora, gravedad cuántica.
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Radiación de Hawking:
Conforme más sabemos de estas exóticas criaturas estelares, más nos sorprenden. Hemos descubierto que emiten radiación (llamada de Hawking) y no son tan negros como nos los pintaban; que el área de su horizonte de sucesos nos mide toda su entropía y nos delata la magnitud del desorden exterior que ha devorado, y que mueren en medio de un estallido de energía brutal. Parecía que nos lo querían esconder todo, y, sin embargo, nos cuentan cosas que sin ellos nunca habríamos sabido sobre el propio nacimiento del Universo y de su final, pues sus propiedades llevan años alumbrando la dirección que debemos tomar para descubrir la futura teoría de la gravedad cuántica: la llave del pasado y del futuro del Universo.

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Gravitación cuántica, distancia fundamental y teoría de cuerdas:
Una propiedad matemática tan elemental como es la no conmutatividad está en la base de lo que será la futura teoría de gravitación cuántica. Los retículos espaciales que sustituyen a las coordenadas no conmutan, es decir si X es el operador cuántico de la coordenada x e Y es el operador de la y, el producto XY es diferente al producto YX. Las coordenadas clásicas son simples números reales que por descontado son conmutables, pues da lo mismo multiplicar las coordenadas xy en ese orden o en el contrario yx. Esta diferencia tan abismal nos da una idea de la nueva complejidad necesaria para poder describir correctamente la realidad del espaciotiempo.

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Un abrazo amigos.

2019/05/31

Sobre fractales y algo más / About fractals and more


El estudio de un sencillo fractal nos lleva a generalizar una característica esencial que nos permite relacionar a cualquier fractal isotrópico, sea cual sea su dimensión y el escalar que lo representa, con su dependencia con la distancia entre dos de sus puntos. Esto aplicado al estudio de las fluctuaciones de energía del vacío (suponiendo su estructura fractal) nos lleva a sospechar que la especial geometría dimensiones ordinarias/enrolladas, que supone la teoría de supercuerdas, tuvo un papel crucial en la propia naturaleza del cuanto de acción.


The study of a simple fractal leads us to generalize an essential characteristic that allows us to relate to any isotropic fractal, whatever its dimension and the scalar that represents it, with its dependence with the distance between two of its points. This applied to the study of the energy fluctuations of the vacuum (assuming its fractal structure) leads us to suspect that the special geometry ordinary/compacted dimensions, which supposes the theory of superstrings, had a crucial role in the nature itself of the quantum action.

 Desde el principio impresiona la simplicidad y la potencia del concepto de fractal: se construyen con una mínima información, que constituye la esencia de su estructura, y una infinidad de repeticiones gobernadas por esa información (fractal y prefractal).

 
Primera iteración
Un fractal clásico es la llamada curva de Koch, de la que aquí vemos la primera iteración, que resulta de sustituir un segmento de longitud AE por los cuatro segmentos AB, BC, CD y DE. Sobre cada uno de los cuatro segmentos se va repitiendo la misma estructura y obtenemos esta figura en la sexta iteración:

Sexta iteración
 Una figura de una complejidad asombrosa que se ha construido a partir de una serie de repeticiones que siguen la misma tónica que nos indica la primera: a partir de un simple segmento de longitud 3 sustituido por cuatro segmentos, tal como nos indica la primera iteración, de longitud total 4.

El segmento inicial está inmerso en una dimensión, una línea recta, los cuatro segmentos que lo sustituyen trascienden esa dimensión para expresarse ya en dos dimensiones. De hecho, la relación entre esa distancia inicial de valor 3 y la final de valor 4 va a definir la llamada dimensión fractal de la figura resultante. En este caso será (log 4) / (log 3), que da un valor 1,26186: el fractal es capaz de cubrir una dimensión de ese valor, es decir entre una línea y un plano.

Es interesante resaltar que la distancia en línea recta (en una dimensión) entre A y E es de 3, mientras que sobre el fractal (a través del plano) sería de 4. La relación entre estas cantidades y la dimensión fractal (Df) podemos escribirla de otra forma:
              4 = 3Df, que es lo mismo, de otra forma, que escribir Df = log4/log3.
Esto nos está diciendo que la distancia recorrida sobre un fractal (4) es la mínima distancia (3) elevada al valor de la dimensión de dicho fractal. Esta forma veremos que es mucho más interesante para analizar la dependencia espacial de un fractal con la distancia. Porque lo que hablamos para un fractal tan sencillo, de dimensión topológica la unidad, lo podremos generalizar para fractales de dos o tres dimensiones topológicas y de otras cantidades escalares diferentes a las líneas, superficies o volúmenes. El paso previo será generalizar la dimensión fractal a lo que podremos llamar dimensión fractal relativa.

Dimensión fractal relativa: Observando la curva de Koch, como ejemplo de un fractal clásico, podemos decir que su dimensión fractal es:
               Df = 1 + 0,26186 = Dimensión topológica + Coeficiente dimensional
Pues la dimensión topológica de una línea es la unidad, y el coeficiente dimensional que se le suma es tanto mayor cuanto más irregular es el fractal. Si a esta expresión la dividimos por el valor de la dimensión topológica obtenemos la dimensión fractal relativa (que en realidad es un valor adimensional):
         (A)    Dfr. = (Dim.Top. + Coef.) / (Dim.Top.) = 1 + Coef./ Dim.Top.
Al final observamos que obtenemos, para cualquier fractal, una expresión equivalente a la que teníamos para una sencilla curva fractal (siempre que sea isótropo, pues estamos reduciendolo a un fractal semejante de dimensión topológica la unidad).

En general tendremos que el escalar que representa el fractal que estemos estudiando, llamémosle Ef será igual a la distancia implicada elevada a la dimensión fractal relativa, Dfr.    

 Con el descubrimiento del cuanto de acción, nos dimos cuenta de que el vacío se llenaba de la llamada energía del vacío, de fluctuaciones cuánticas de energía …
” el principio de incertidumbre establece que las fluctuaciones cuánticas del vacío están acotadas y dependen del inverso de la distancia: esa es la razón de que observemos el vacío transparente y maravillosamente vacío. Conforme aumenta la distancia las fluctuaciones del vacío son más pequeñas; así podemos disfrutar de todo el mundo que nos rodea, del sol, de los más preciosos paisajes y, en las noches estrelladas, recrearnos en la observación del inmenso firmamento”.

 Un supuesto: La estructura de la energía de las fluctuaciones del vacío tiene estructura fractal.
 Hemos visto que la curva de Koch viene determinada por la distancia en línea recta y la distancia recorrida sobre el plano, según la iteración primera. La distancia mínima (3) elevada al exponente Dimensión fractal nos da el valor de la distancia recorrida sobre el fractal representada por el escalar 4. La energía de las fluctuaciones del vacío depende del inverso de la distancia, es decir que la distancia está elevada al exponente -1. Dicha energía será el escalar que necesitamos para definir la estructura del propio vacío.
  
La expresión (A) la podemos escribir más fácilmente, cambiando cada concepto por letras griegas:
(1)  D/ δ = (δ + ε) / δ   : D= Dim.fractal;  δ= Dim.topológica;   ε= coef. Dimensional o de arrugamiento.   
“El factor negativo, que supone una resta de dimensiones, me hizo pensar en las dimensiones enrolladas previstas por la teoría de supercuerdas, la más prometedora teoría que trata de unificar las cuatro interacciones fundamentales: gravedad, electromagnetismo, fuerza débil y fuerte. Dicha teoría necesita de 9 dimensiones espaciales para ser consistente, y dado que sólo conocemos 3, se ha especulado con la existencia de otras 6 que, supuestamente, estarían “enrolladas” sobre si mismas, compactadas alrededor de un radio extremadamente pequeño (del orden de la longitud de Planck,10-35metros). Así para distancias mucho mayores que ese radio sólo serían perceptibles las 3 dimensiones ordinarias.

En cierta forma, para esas distancias, el número de dimensiones enrolladas se resta al total de las topológicas para dejar tan sólo 3 dimensiones aparentes. Una operación contraria al efecto de la dimensión del factor de arrugamiento (coeficiente dimensional), que se suma a la dimensión topológica.

En la expresión (1) si hallamos el cociente D/δ para un Universo con el mismo número de dimensiones enrolladas que la dimensión del factor de arrugamiento (transformación: δ --> δε), encontramos la expresión siguiente:

(2) D/δ = (δ) / (δ - ε). Para ε = 6, δ =3, el cociente D/δ toma el valor -1 de forma natural y lógica. Sin dimensiones enrolladas el factor ε = 6 supone una dimensión fractal 9 y una dependencia de la energía de las fluctuaciones con la raíz cúbica de la distancia (D/δ = 3). El efecto de las dimensiones enrolladas (en el momento que quedó configurado geométricamente el universo y el propio cuanto de acción) la corrige hasta dejarla dependiente del inverso de la distancia, lo que repercute en la forma en que advertimos el vacío cuántico: completamente vacío y estable.


Para un universo con un número de dimensiones enrolladas (coeficiente dimensional negativo) igual a la dimensión del factor de arrugamiento (coeficiente positivo) de la energía de las fluctuaciones, se consigue la estabilización de esta energía que de otra forma dependería de la raíz cúbica de la distancia y no de su inverso. El vacío y toda la materia que contiene estarían deformados y serían inestables.”




2019/05/16

Estructuras disipativas, método científico y entropía


De la interacción con nuestro entorno intercambiamos materia y obtenemos energía y conocimiento en bruto que después convertimos en ciencia y tecnología. La vida, los ecosistemas y, en cierta forma, las propias sociedades humanas son un tipo especial de estructuras llamadas disipativas que obtienen orden (disminuyen su entropía) a costa del entorno. Son estructuras abiertas que aumentan su información útil a partir de la información exterior. En el límite, este fenómeno es el que lleva a la ciencia a confirmar con experimentos la veracidad de sus teorías

Estructuras disipativas
En el equilibrio o cerca de él, no se produce nada interesante, todo es lineal. Cuando pueden ocurrir cosas sorprendentes es lejos del equilibrio: si llevamos un sistema lo bastante lejos del equilibrio, entra en un estado inestable con relación a las perturbaciones en un punto llamado de bifurcación. A partir de entonces la evolución del sistema está determinada por la primera fluctuación, al azar, que se produzca y que conduzca al sistema a un nuevo estado estable. Una fluctuación origina una modificación local de la microestructura que, si los mecanismos reguladores resultan inadecuados, modifica la macroestructura. Lejos del equilibrio, la materia se autoorganiza de forma sorprendente y pueden aparecer espontáneamente nuevas estructuras y tipos de organización que se denominan estructuras disipativas. Aparece un nuevo tipo de orden llamado orden por fluctuaciones : si las fluctuaciones del ambiente aumentan fuera de límite, el sistema, incapaz de disipar entropía a ese ambiente, puede a veces "escapar hacia un orden superior" emergiendo como sistema más evolucionado.

En estos nuevos tipos de estructuras y orden se basan la vida, la organización de un termitero, los ecosistemas y las propias organizaciones y sociedades humanas. Pero lo más importante es que este nuevo orden en el que el determinismo y el azar se llevan de la mano si que es un universal. Estas estructuras, al igual que la vida no aparecen y progresan por pura casualidad o accidente como se creía.


El método científico como límite del intercambio de información con el entorno.
Como comentaba en el post anterior, nuestros genes transportan una información preciosa conseguida del entorno a través de millones de años de intercambio y evolución. Nacemos, casi, como una hoja de papel en blanco, y a partir de entonces seguimos aprendiendo de nuestro exterior. De nuestros padres, de las demás personas y seres, del comportamiento de los otros, de todo lo que nos pasa y de la información que nos llega. Lo externo, como un todo, nos hace como somos. A la ciencia como estructura, en cierta forma le pasa igual. A través del método científico necesita, para avanzar, contrastar las teorías mediante experimentos que confirmarán o no su adecuación a la realidad. En ese sentido desde la menor prueba al mayor de los experimentos, son la forma de interactuar con el entorno para ganar en orden, información y complejidad. Experimentos tan formidables como los que se están realizando, o se realizarán, con el LHC nos permitirán confirmar un montón de teorías y suposiciones, o nos ayudarán a concebir otras nuevas, que seguirán cambiando nuestra sociedad y a nosotros mismos en un baile sin fin en la escala de la complejidad.


Y en ese curioso "baile", incluso si llega a ocurrir lo que se ha llegado a denominar "La singularidad" (singularidad tecnológica), la aparición de los ordenadores ultralistos (máquinas "más inteligentes que los seres humanos") como cuenta el artículo de 1993 escrito por el ingeniero informático y escritor de ciencia ficción Vernor Vinge, en el que sostiene que la aceleración del progreso tecnológico nos ha llevado "al borde de un cambio comparable a la aparición de la vida humana en la Tierra", la esencia no cambiará. En el hipotético futuro en el que las supermáquinas inteligentes o cualquier supercivilización nos supere, seguirá necesitando de su entorno para aprender y aprender cada vez más, seguirán necesitando contrastar sus hipótesis con la realidad y confrontando su tecnología con esa misma realidad.

Reflexiones: multiversos, espespacio-tiempo, mito
¿Hasta cuando? Hay un límite, nuestro universo no es infinito y su final será la llamada muerte térmica, la uniformidad total de la que ya no se podrá extraer ni energía ni información, el estado de máxima entropía y máximo desorden. Aunque haciendo una suposición más de ciencia ficción que de ciencia, antes de llegar a esto es de suponer que alguna de las civilizaciones más avanzadas habrá aprendido todo lo que se puede aprender sobre las leyes físicas de este universo, y podría tener una tecnología capaz de llevarla a otros universos en estados menos degradados (suponiendo que vivimos en un multiverso).


Entre todo esto, una reflexión más: seguimos suponiendo el espacio y el tiempo como el contenedor fundamental de todo lo que es y acontece en el universo (multiverso), pero las dos teorías física más formidables con las que contamos, la relatividad general y la mecánica cuántica y sobre todo su incipiente fusión a la que llamamos gravedad cuántica, nos cuentan que ni el espacio ni el tiempo son las entidades fundamentales que creemos sino que dimanan de otra puramente cuántica subyacente. El universo, el nuestro, tuvo un principio, pero ¿ el multiverso si existe tuvo un principio o siempre estuvo ahí? Es más, ¿tiene sentido seguir hablando en términos de tiempo y espacio, tal como los conocemos, sabiendo que hay alguna entidad cuántica más fundamental de la que emanan?

Primero fue el mito para explicar la realidad que no entendíamos, le han seguido la filosofía y la ciencia, y conforme avanzamos con ella nos va adentrando en un mundo que cada vez nos parece más mítico y menos real. Caminamos como un ciego que sólo cuenta con su inteligencia y su metódico bastón científico, y vivimos tiempos de grandes cambios que, espero, pronto (1) nos darán una nueva bella teoría sobre gravedad cuántica que nos ayude a entender mejor este mundo y a nosotros mismos. Un abrazo.

(1) Soy muy optimista.
La primera figura (estructuras disipativas) está tomada del estupendo blog "Hombres que corren con lobos"

Un amigo nos comenta sobre el interesantísimo cuento de Isaac Asimov:" La última pregunta". Os lo recomiendo.
Reedición del post del mismo nombre de 2016. Un abrazo amigos.

2019/05/09

Diez dimensiones, supercuerdas y fractales


Uno de los post más visitados, con casi 6.000 visitas (contabilizadas sólo en 2007), fue este que vuelvo a publicar. Espero que a los nuevos visitantes os guste y a los más antiguos también. En este post se supone la hipótesis fractal para la energía de las fluctuaciones cuánticas. 



Al respecto es importante repasar el concepto de estructura fractal de Kenneth Falconer en su obra titulada “Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications”, en 1990. En ella describe un concepto de estructura fractal ‘F’ como la que satisface alguna(s) de las propiedades siguientes:

(1).- “F” posee detalle a todas las escalas de observación;
(2).- No es posible describir “F” con Geometría Euclidiana, tanto local como globalmente;
(3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística;
(4).- La dimensión fractal de “F” es mayor que su dimensión topológica;
(5).- El algoritmo que sirve para describir “F” es muy simple, y posiblemente de carácter recursivo.

Según este concepto, la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacíotendría estructura fractal. A continuación seguimos con el post que vuelvo a publicar: 


La teoría de supercuerdas predice que la unificación de todas las fuerzas ocurre a la energía de Planck, o 1016 miles de millones de electronvoltios ( mil billones de veces mayor que las energías de que disponemos en los aceleradores actuales). Esto significa que la verificación experimental de la misma escapa a nuestras posibilidades y a las que nos podría brindar un futuro previsible y supone que la teoría decadimensional ( tres dimensiones ordinarias+ seis compactadas + el tiempo) no es verificable directamente .Sin embargo puede haber alguna forma de verificación indirecta. En muchas universidades los físicos están tratando de diseñar experimentos que nos delaten su presencia, pero es posible que su impronta haya quedado reflejada en la propia naturaleza del cuanto de acción, y las fluctuaciones cuánticas del vacío nos puedan decir algo determinante al respecto.




Benoit Mandelbrot decía que la geometría fractal nos enseña a observar este viejo mundo con unos nuevos ojos. La existencia del cuanto de acción que está íntimamente unida a la propia naturaleza de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío obliga a que su estructura sea discontinua, escalonada, fractal, por ello la geometría fractal puede enseñarnos algo que antes no podíamos ver.

Mandelbrot, se preguntaba cual era la longitud de una costa y observaba que esa longitud dependía de la unidad de medida que se adoptara para medirla. Si la unidad es de 5 km. la longitud nos da un valor, pero si la unidad es de 100 metros nos encontramos con un resultado mucho mayor, y conforme hacemos más pequeña la unidad de medida nos podremos adaptar mejor a las irregularidades y obtendremos un valor aún mayor. En el caso de una costa fractal ideal, podremos disminuir cuanto queramos la unidad de medida y acabaremos obteniendo un valor infinito.
Mandelbrot
En las fluctuaciones ocurre algo similar, pero nos encontramos que para una determinada distancia D su valor es del orden de E, mientras que para una distancia 4D será del orden de E/4 y así hasta llegar a distancias muy grandes, por ejemplo 10 000 D, en que la energía implicada es muy pequeña, del orden de E/10 000. Es como si al medir la distancia de costa entre Barcelona y Valencia nos encontráramos que es muchísimo menor que la distancia de costa entre nuestros dos pies cuando paseamos por la playa.

La Universidad de Chile (2004), en su revista Ciencia Abierta , me publicó el artículo “ Estabilización del vacío cuántico y dimensiones enrolladas”, ( después otros dos más completos) sobre la posibilidad de que el estudio de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío nos estuviera evidenciando, indirectamente, la existencia de las 6 dimensiones enrolladas que necesita la teoría de supercuerdas. Los cálculos parecen indicar que en el estado en que se adoptó la configuración de 3 dimensiones ordinarias y 6 enrolladas, debió decidirse la propia naturaleza del cuanto de acción.

De ser correctos los resultados significarían una evidencia de la existencia de las 10 dimensiones que necesita la teoría de supercuerdas para ser considerada una realidad plena.

Todo parece formar parte, en cierta manera, de una sola realidad: 10 dimensiones, supercuerdas y fractales.

Un abrazo amigos!!!

2019/04/08

La extraña medida cuántica en un espacio de infinitas dimensiones: el espacio de Hilbert


El espacio de Hilbert es una pura construcción matemática pero responde a la perfección a lo que hacía falta para elaborar la teoría cuántica. De no haberse descubierto habría habido que inventarlo para las necesidades de la teoría.

En teoría clásica las cantidades físicas a medir se asocian a simples números, cuyo producto es conmutativo: a*b= b*a . En mecánica cuántica dichas cantidades u observables se asocian a operadores(1) cuyo producto, por el contrario, no es necesariamente conmutativo. Mientras que la física clásica se desarrolla en el espacio ordinario, la mecánica cuántica lo hace en una generalización de este espacio ordinario llamado espacio de Hilbert. Esta generalización permite que operaciones matemáticas intuitivas y fácilmente visualizables en dos y tres dimensiones puedan extenderse a espacios de más dimensiones o, íncluso, a espacios con un número infinito de dimensiones.

Mientras que el espacio ordinario es un espacio vectorial métrico(2), en donde se definen vectores (que podemos identificar como flechitas más o menos largas y orientadas hacia cualquier dirección) como son las fuerzas o las velocidades, en el espacio de Hilbert que tiene infinitas dimensiones los vectores se generalizan como funciones. Las transformaciones que obran sobre los vectores del espacio convirtiéndolos en otros vectores del mismo espacio se llaman operadores(1) . Vectores y operadores tienen propiedades de linealidad: toda combinación lineal, de coeficientes complejos, de vectores es un vector; un operador transforma un vector en otro vector, y toda combinación lineal de vectores, también en un vector. El producto escalar de dos vectores asocia a estos dos vectores un número complejo que depende linealmente de cada uno de ellos. En el espacio ordinario de dos dimensiones si A(a1,a2) y B(b1,b2) son dos vectores, con sus dos coordenadas, el valor a1*b1 + a2*b2 sería el número que expresaría su producto escalar, en base al cual se establece la métrica (2) o la forma de medir en dicho espacio bidimensional.

El formalismo de la teoría cuántica se interesa, por una parte, por los estados del sistema físico y, por otra, por las magnitudes físicas observables relativas a este sistema. Los estados se asocian a los vectores de un espacio de Hilbert y los observables, a los operadores que actúan en este espacio. Un vector del espacio de Hilbert se llama vector propio de un operador cuando la acción de este operador sobre el vector consiste en multiplicarlo por un número llamado propio: (Operador_P) (vector_A) = a0 (vector_A) , siendo a0 el valor propio.

La expresión anterior representa una medida en un sistema cuántico. Al medir el estado del sistema representado por el vector_ A mediante el operador_P hemos encontrado el valor real a0, su valor propio, que corresponde a un observable del sistema representado por el operador. Este observable puede ser una medida de energía, de velocidad, de distancia, etc. El operador más importante de la teoría cuántica es el operador asociado a la energía total del sistema: el hamiltoniano. El total de los valores propios, u observables, del hamiltoniano se llama espectro del sistema. En un sistema atómico, el espectro comprende una serie discreta de valores propios, que se corresponden con los niveles de energía del átomo, nivel fundamental y niveles excitados.

La conmutación y no conmutación de los observables es una de las propiedades más interesantes de la teoría cuántica. Supongamos que dos observables no conmutan, como la posición "q" y el impulso "p", con sus operadores Q y P. Esto significa que no podemos medir el impulso en un estado en que se puede medir la posición, y viceversa. Esta es la expresión rigurosa de la desigualdad de Heisenberg también llamada Principio de Indeterminación.

En la mecánica cuántica una representación de un sistema se define por un conjunto completo de observables que conmutan, y proporciona toda la información susceptible de ser recogida sobre el sistema cuántico.

Lo nuevo respecto a la teoría clásica es que puede haber una segunda representación, es decir, un segundo conjunto completo de observables que conmutan, pero que no conmutan con los de la primera representación. Se dice entonces que las dos representaciones son complementarias. Dependiendo de las magnitudes que midamos (los observables elegidos) tendremos una representación u otra del sistema.

Algo de historia sobre el nacimiento de los espacios de Hilbert:

"¿Quién de nosotros no querría levantar el velo tras el que se esconde el futuro y asomarse, aunque fuera por un instante, a los próximos avances de nuestra ciencia y a los secretos de su desarrollo ulterior en los siglos futuros?".

Así comenzó David Hilbert (1862-1943) su intervención en el Congreso Internacional de Matemáticas celebrado en París en 1900. A continuación planteó 23 problemas que han modelado buena parte del desarrollo de las matemáticas en el siglo XX. Hace 102 años Hilbert era, en contraste con la situación de Einstein durante su annus mirabilis 1905 recién conmemorado, uno de los matemáticos con mayor prestigio y, probablemente, el más influyente.

Por aquellos años, el campo de estudio de Hilbert y sus colaboradores eran las ecuaciones integrales. Los estudiantes de secundaria aprenden que una ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en las que hay un número desconocido, la incógnita, cuyo valor se puede calcular efectuando operaciones. En una ecuación integral la incógnita no es un número, sino una función -una gráfica- cuya fórmula se quiere conocer y que aparece en la ecuación dentro de una integral. En la serie de artículos Fundamentos de una teoría general de las ecuaciones integrales, Hilbert analizó las técnicas introducidas para estudiar estas ecuaciones por Poincaré y Fredholm a finales del XIX, mejorando sus resultados. En el cuarto artículo de esta serie, publicado en 1906, Hilbert prueba que las ecuaciones integrales pueden resolverse como un sistema de infinitas ecuaciones lineales con infinitas incógnitas.

En el bachillerato se estudian los sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas: tres números ligados por las ecuaciones cuyo valor se desea calcular. Estos números se pueden ver como las coordenadas -largo, ancho y alto- de un punto en el espacio, lo que permite usar herramientas geométricas como ángulos y distancias para resolver el sistema. Lo que hizo Hilbert fue construir herramientas geométricas análogas para un espacio, llamado Espacio de Hilbert, en el que los puntos tienen infinitas coordenadas, no sólo las tres cotidianas.



Como curiosidad, sobre la medida del número de partículas en un estado de Fock:
De acuerdo con la mecánica cuántica el número de partículas de un sistema cuántico, en un estado físico totalmente general, no tiene por qué estar bien definido resultando posible al hacer una medida del número de partículas diferentes resultados. Sin embargo, en ciertos casos el sistema puede tener un estado físico peculiar en el que el número de partículas sí esté totalmente bien definido, los estados en los que eso sucede son precisamente los estados de Fock.

Edición de un antiguo post. Un saludo amigos.

2019/01/11

La arruga es bella y ... prefractal

(Desplazamiento sobre un fractal)

Afirmar que la arruga es bella puede tener mucho sentido, en realidad representa toda una revolución,  porque desde siempre se ha considerado lo contrario. Las figuras regulares y planas, lo lineal, eran lo bello desde la geometría clásica de Euclides, pero esa perfección, que supone, sabemos que no es real. En la realidad no hay ninguna línea perfecta, ni  existe ninguna superficie completamente plana.
Wikiperro, Shar Pei
Aunque sabemos que no es real, Imaginemos una superficie perfectamente plana que ocupará exactamente, como sabemos, dos dimensiones y por tanto con dos números la podremos definir: largo por ancho. Si la superficie no es tan plana y tiene “arrugas”, en toda su extensión, en realidad estará ocupando un espacio mayor que las dos dimensiones: ocupará, además, una pequeña parte de la tercera dimensión, la altura. Si ampliáramos cualquier pequeña parte de su superficie y volviéramos a ver otra superficie semejante también arrugada, y  siguiéramos ampliando superficies más y más pequeñas volviendo a observar todavía más, en un proceso de infinitas ampliaciones, estaríamos ante un objeto matemático que Benoît Mandelbrot denominó fractal. En cada una de las ampliaciones volveríamos a ver algo semejante a la primitiva superficie arrugada (autosimilitud).


Pero en la realidad no podemos realizar infinitas ampliaciones de una superficie, porque la materia no es continua sino discreta, y formada por átomos. Después de unas cuantas ampliaciones ya no nos encontraríamos con ninguna superficie sino con algo completamente diferente, una cadena de átomos. Por eso en el mundo real más que de fractales debemos hablar de algo parecido a ellos que llamamos prefractales. Conforme se asemejen más a un fractal matemático (en un mayor número de escalas), más veces los podremos ampliar y conservarán su aspecto primitivo.
Arrugas sobre papel de aluminio 

En cierta forma, podríamos decir que los fractales tienen “arrugas” hasta en sus “mismísimas entrañas” y ello les confiere la propiedad de ocupar un espacio geométrico mayor que el que les corresponde por ser líneas o planos. De hecho, a la superficie  aludida más arriba le corresponde una dimensión dos, pero dependiendo de su grado de irregularidad (rugosidad) a la dimensión dos le tendremos que añadir un coeficiente dimensional, de tal forma que la suma de ambos será su dimensión fractal. Su valor en este caso podría ir de poco más de dos hasta, prácticamente, tres. Una superficie suficientemente “arrugada” e irregular podría tener una dimensión fractal de valor tres, es decir, sería capaz de ocupar un volumen.

Los fractales siempre ocupan un espacio mayor de lo que nos indica su dimensión geométrica, por eso su dimensión fractal siempre es mayor que uno o dos en los casos de líneas o de planos. Y es precisamente su dimensión fractal la que nos indica su grado de irregularidad. En la realidad los objetos fractales se llaman prefractales y dependiendo de su grado de autosimilitud se comportarán de forma más o menos parecida a los fractales matemáticos.


Desplazamiento sobre un fractal, dimensión fractal relativa

El fractal, como hemos comentado, ocupa un espacio mayor que el que nos indica su dimensión topológica. En el caso de la superficie sumamente irregular y arrugada que se ha indicado más arriba vemos que es capaz de ocupar una tercera dimensión, aparte de las dos que le corresponde por ser una superficie. Esta superficie es capaz de tener una dimensión fractal de valor tres, porque ocupa un volumen entero, tres dimensiones.

El cociente "Dimensión fractal/ Dimensión topológica", o dimensión fractal relativa, nos ofrece un valor más significativo que el de la simple dimensión fractal. Una línea fractal también puede "llenar" un volumen y tendrá una dimensión fractal de valor tres pero en este caso su dimensión fractal relativa será de 3/1, es decir 3. En el caso de la superficie arrugada que hemos visto su dimensión fractal relativa será 3/2 que nos indica un valor menor de irregularidad y rugosidad.

La dimensión fractal relativa nos da una información muy valiosa sobre la dependencia espacial del fractal. De hecho, la dimensión fractal relativa 3/2 de la superficie, que hemos indicado, nos dice que para alejarnos n pasos efectivos de un punto arbitrario de la superficie, deberemos efectuar n^(3/2) pasos (ene elevado a tres medios). Mientras que en una superficie lisa y uniforme deberíamos efectuar n pasos, en una superficie rugosa de dimensión fractal 3 sería n elevado a 3/2.

La dimensión fractal relativa nos da una información muy valiosa sobre la dependencia espacial del fractal.

Para entenderlo mejor: paseo sobre el puro azar de un movimiento browniano

La trayectoria caótica de un movimiento browniano tiene una dimensión fractal de valor 2. Eso significa que para alejarnos 10 pasos efectivos de un punto arbitrario deberíamos dar una media de 100 pasos, es decir 10x10 pasos, el cuadrado de 10. Una trayectoria que, al fin y al cabo es una linea, tiene dimensión fractal 2 y es capaz de "llenar" todo un plano (dimensión 2).