La arruga es bella y ... prefractal

(Desplazamiento sobre un fractal)

Afirmar que la arruga es bella puede tener mucho sentido, en realidad representa toda una revolución,  porque desde siempre se ha considerado lo contrario. Las figuras regulares y planas, lo lineal, eran lo bello desde la geometría clásica de Euclides, pero esa perfección, que supone, sabemos que no es real. En la realidad no hay ninguna línea perfecta, ni  existe ninguna superficie completamente plana.

Wikiperro, Shar Pei

Aunque sabemos que no es real, Imaginemos una superficie perfectamente plana que ocupará exactamente, como sabemos, dos dimensiones y por tanto con dos números la podremos definir: largo por ancho. Si la superficie no es tan plana y tiene “arrugas”, en toda su extensión, en realidad estará ocupando un espacio mayor que las dos dimensiones: ocupará, además, una pequeña parte de la tercera dimensión, la altura. Si ampliáramos cualquier pequeña parte de su superficie y volviéramos a ver otra superficie semejante también arrugada, y  siguiéramos ampliando superficies más y más pequeñas volviendo a observar todavía más, en un proceso de infinitas ampliaciones, estaríamos ante un objeto matemático que Benoît Mandelbrot denominó fractal. En cada una de las ampliaciones volveríamos a ver algo semejante a la primitiva superficie arrugada (autosimilitud).

Pero en la realidad no podemos realizar infinitas ampliaciones de una superficie, porque la materia no es continua sino discreta, y formada por átomos. Después de unas cuantas ampliaciones ya no nos encontraríamos con ninguna superficie sino con algo completamente diferente, una cadena de átomos. Por eso en el mundo real más que de fractales debemos hablar de algo parecido a ellos que llamamos prefractales. Conforme se asemejen más a un fractal matemático (en un mayor número de escalas), más veces los podremos ampliar y conservarán su aspecto primitivo.

Arrugas sobre papel de aluminio 

En cierta forma, podríamos decir que los fractales tienen “arrugas” hasta en sus “mismísimas entrañas” y ello les confiere la propiedad de ocupar un espacio geométrico mayor que el que les corresponde por ser líneas o planos. De hecho, a la superficie  aludida más arriba le corresponde una dimensión dos, pero dependiendo de su grado de irregularidad (rugosidad) a la dimensión dos le tendremos que añadir un coeficiente dimensional, de tal forma que la suma de ambos será su dimensión fractal. Su valor en este caso podría ir de poco más de dos hasta, prácticamente, tres. Una superficie suficientemente “arrugada” e irregular podría tener una dimensión fractal de valor tres, es decir, sería capaz de ocupar un volumen.

Los fractales siempre ocupan un espacio mayor de lo que nos indica su dimensión geométrica, por eso su dimensión fractal siempre es mayor que uno o dos en los casos de líneas o de planos. Y es precisamente su dimensión fractal la que nos indica su grado de irregularidad. En la realidad los objetos fractales se llaman prefractales y dependiendo de su grado de autosimilitud se comportarán de forma más o menos parecida a los fractales matemáticos.


Desplazamiento sobre un fractal, dimensión fractal relativa

El fractal, como hemos comentado, ocupa un espacio mayor que el que nos indica su dimensión topológica. En el caso de la superficie sumamente irregular y arrugada que se ha indicado más arriba vemos que es capaz de ocupar una tercera dimensión, aparte de las dos que le corresponde por ser una superficie. Esta superficie es capaz de tener una dimensión fractal de valor tres, porque ocupa un volumen entero, tres dimensiones.

El cociente "Dimensión fractal/ Dimensión topológica", o dimensión fractal relativa, nos ofrece un valor más significativo que el de la simple dimensión fractal. Una línea fractal también puede "llenar" un volumen y tendrá una dimensión fractal de valor tres pero en este caso su dimensión fractal relativa será de 3/1, es decir 3. En el caso de la superficie arrugada que hemos visto su dimensión fractal relativa será 3/2 que nos indica un valor menor de irregularidad y rugosidad.

La dimensión fractal relativa nos da una información muy valiosa sobre la dependencia espacial del fractal. De hecho, la dimensión fractal relativa 3/2 de la superficie, que hemos indicado, nos dice que para alejarnos n pasos efectivos de un punto arbitrario de la superficie, deberemos efectuar n^(3/2) pasos (ene elevado a tres medios). Mientras que en una superficie lisa y uniforme deberíamos efectuar n pasos, en una superficie rugosa de dimensión fractal 3 sería n elevado a 3/2.

La dimensión fractal relativa nos da una información muy valiosa sobre la dependencia espacial del fractal.

Para entenderlo mejor: paseo sobre el puro azar de un movimiento browniano

La trayectoria caótica de un movimiento browniano tiene una dimensión fractal de valor 2. Eso significa que para alejarnos 10 pasos efectivos de un punto arbitrario deberíamos dar una media de 100 pasos, es decir 10x10 pasos, el cuadrado de 10. Una trayectoria que, al fin y al cabo es una linea, tiene dimensión fractal 2 y es capaz de "llenar" todo un plano (dimensión 2).

 

La sorprendente energía del vacío

Geometría determinada por la energía del vacío

Las fluctuaciones de energía del vacío determinan la propia geometría del espacio. No son simples variaciones sobre un fondo fijo y estable, por lo que analizando su estructura podremos averiguar algo más sobre la referencia espaciotemporal que determinan. Por una parte son no diferenciables, hasta el punto de que son la causa directa de la desaparición del concepto clásico de trayectoria continua en el vacío. Por otra parte su estructura es auto semejante a cualquier escala:

Si tomamos cualquier distancia mayor que la distancia de Planck, por pequeña que sea (diámetro atómico, por ejemplo) y cualquier otra distancia de orden cósmico (diámetro de un cúmulo estelar), a una distancia doble le

corresponderá una energía del vacío mitad, y a una distancia mitad una energía del vacío doble (inverso de la distancia).

En base a estas simples propiedades consideraremos una hipótesis de trabajo:

que la estructura asociada a la energía del vacío de las fluctuaciones cuánticas es fractal  y trataremos de estudiar sus características.

Dimensión fractal

La característica más especial de los fractales es su dimensión. Siempre es positiva y superior a su dimensión topológica. En cierta manera, de forma intuitiva nos indica la dimensión del espacio que son capaces de ocupar. Una cuartilla es un ejemplo de objeto de dimensión topológica 2, pero si la arrugamos conseguimos que ocupe un espacio de mayor dimensión, entre 2 y 3 (normalmente fraccionario). Lo mismo ocurre con una línea (dimensión 1) que si la hacemos lo suficientemente intrincada e irregular es capaz de ocupar un plano (dimensión 2) e incluso un espacio (dimensión 3). Si la línea llega a ocupar el plano su dimensión fractal será 2 y si ocupa el espacio tridimensional, su dimensión fractal será 3. Conforme mayor sea su dimensión fractal, más intrincado e irregular será el fractal: a su dimensión topológica se le suma un coeficiente dimensional que completa el valor de su dimensión. Este coeficiente, normalmente fraccionario, nos indica el grado de irregularidad del fractal.

Dependencia espacial en los fractales   

La líneas fractales gozan de una característica notable con relación a su dependencia espacial: una línea fractal capaz de recubrir el plano, para alejarse de cualquier punto arbitrario una distancia efectiva L debe recorrer una distancia media L². A otra línea fractal capaz de llenar el espacio le ocurre algo similar: para alejarse de cualquier punto arbitrario una distancia efectiva L, deberá recorrer, como media, una distancia total L³. Es decir, el valor de los exponentes 2 y 3 se corresponde con las dimensiones fractales de las líneas.

Sabiendo la dimensión del fractal podemos calcular su dependencia espacial y a la inversa. Lo que ocurre con las curvas fractales (dimensión topológica 1) lo podemos generalizar a cualquier estructura fractal continua (e isótropa) con mayor dimensión topológica, dividiendo su dimensión fractal por su dimensión topológica.

Reducimos así la dispersión de resultados y encontramos más fácilmente símiles con ejemplos sencillos como trayectorias unidimensionales. A este cociente le llamaremos dimensión fractal relativa:

Dim. frac. relativa = (dimens. topológica + coef. dimensional )/(dimens. topológica).

En nuestro caso conocemos que la energía asociada al vacío depende inversamente de la distancia (L^-1). Si fuera una simple línea (dimensión 1) encontraríamos que su dimensión fractal sería -1, pero como la energía es una magnitud tridimensional su dimensión fractal será -3, lo que obedece a un coeficiente dimensional negativo e igual a -6.

Tanto la dimensión fractal como el coeficiente dimensional negativos son resultados anómalos que obedecen a una causa sorprendente que estudiaremos a continuación. Siempre en base a la hipótesis fractal de las fluctuaciones que hemos planteado.

Para seguir leyendo más sobre el tema.

Cancelaciones: lo que esconden los fractales

Al  estudiar  trayectorias  fractales (1), como la de un movimiento browniano, se  observa un fenómeno de cancelaciones íntimamente relacionado con la dimensión fractal. En este movimiento, en concreto, para que el móvil se aleje  “n” pasos efectivos, de cualquier punto arbitrario, deben realizarse n²  pasos totales.  Es decir que el número de pasos que, en cierta forma, se han cancelado es de  (n² – n): el número total menos el número efectivo.

Un movimiento todavía más intrincado e irregular que el movimiento browniano sería una trayectoria  de dimensión fractal 3, es decir, capaz de “llenar” un espacio tridimensional. En este caso para que el móvil se aleje “n” pasos efectivos, de cualquier punto arbitrario, deben realizarse n³ pasos totales. Los pasos cancelados entonces serían (n³-n).

Las cancelaciones me han recordado  algo muy similar que ocurre con la energía virtual de las fluctuaciones del vacío. En este caso los “pasos” cancelados (ver link de referencia) son (n - 1/n), donde 1/n representa la dependencia inversa de la energía virtual con la distancia. Si hallamos la tasa de pasos cancelados  por paso (tasa de cancelación) encontramos que  en el caso de la energía virtual sería:

 (1- 1/n²)

En el caso de la trayectoria fractal de dimensión 3, curiosamente, encontramos la misma tasa, aunque, realmente no es ninguna casualidad. El exponente de “n”, en la expresión, es igual a la dimensión fractal menos uno, por lo que en determinados casos, en los que sólo sabemos la tasa de cancelación podremos saber la dimensión fractal de forma directa. Aunque tendremos que ir con cuidado, porque hemos generalizado a partir del caso sencillo de las trayectorias, es decir objetos geométricos de dimensión topológica 1.

 En nuestro caso el valor encontrado habrá que multiplicarlo por la dimensión topológica correspondiente, pues para objetos de mayor dimensión que una trayectoria, unificamos resultados al considerar la dimensión fractal relativa, que es el cociente entre la dimensión fractal y la topológica (ver link de referencia 1).

Es sólo una conjetura, pero la llamada energía oscura tiene un ligero "aroma" a cancelación fractal de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío (ver link de referencia 2). Un saludo amigos

Nota (1): Ojo, las trayectorias fractales no son realmente trayectorias como se entienden en la geometría convencional. Son discontinuas y de una infinita complejidad.

Link de referencia 1: Dos fractales clásicos y unas fluctuaciones cuánticas


Link de referencia 2: Mucho más sobre lo que esconden los fractales.