La relatividad general y los extraños rayos de luz fantasma

La visión que tenemos de una esfera desde cualquier punto del espacio es invariante, es exactamente la misma, pues la esfera es simétrica respecto a la rotación sobre cualquiera de sus infinitos ejes de simetría. Cada uno de los puntos de observación representa un referencial diferente y la invariancia observada se corresponde con una simetría llamada esférica.

Galileo Galilei, en la primera mitad del siglo XVII, utilizando como ejemplo un barco navegando a una velocidad constante en un mar calmado, describió la denominada invariancia galileana según la cual, y gracias a una simetría subyacente, las leyes fundamentales de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales (movimiento uniforme sin aceleraciones). No se advierte el movimiento, todo transcurre dentro del barco como cuando está parado. Este principio se aplica a la mecánica clásica newtoniana, en la cual las longitudes y tiempos no son afectados por el cambio en la velocidad y se amplió con la relatividad especial de Einstein donde las longitudes y los tiempos ya no son invariantes.

En física, detrás de las invariancias existen una serie de simetrías, en este caso más abstractas que la esférica, que comportan la existencia de leyes de conservación. Eso es lo que establece un bello teorema matemático, debido a Emmy Noether, y, llamado por ello teorema de Noether: A la invariancia respecto a una traslación le corresponde la ley de conservación del momento lineal, a la invariancia ante una rotación la ley de conservación del momento angular y la independencia ante cualquier referencial temporal se asocia a la ley de conservación de la energía.

Para los sistemas acelerados o sujetos a la acción de un campo gravitatorio, Einstein amplió su teoría de relatividad especial dando lugar a una nueva teoría de la gravitación llamada relatividad general, que generalizaba la teoría de gravitación de Newton.Las simetría e invariancias en el ámbito de esta teoría siguen cumpliendo, lógicamente, el teorema de Noether, pero cada vez podemos encontrar fenómenos más extraños y alejados del sentido común.


Uno de estos fenómenos tiene que ver con el título de este post, una especie de luz "fantasma" que aparece y desaparece según el punto de referencia desde el que observemos. Así, consideremos un electrón en caída libre en un campo de gravitación creado por un astro pesado. Para un observador situado en el astro, este electrón parece acelerado y, por tanto, irradia luz. Además, se puede detectar en el suelo esta luz que precede al electrón en su caída, por medio de una célula fotoeléctrica, o incluso de un fotomultiplicador que cuente uno por uno los fotones.

Para un observador en caída libre con el electrón, éste aparece en reposo y, por tanto, no irradia luz. Aunque se ponga ante el electrón un fotomultiplicador, no registrará nada, no detectará luz y no contará fotones. Dicho de otra manera, la luz detectada en un referencial es inexistente en otro. Esta paradoja se debe a que la energía no es un invariante relativista. La energía que transportan los fotones tiende a cero cuando se pasa progresivamente del referencial relacionado con el astro al relacionado con el electrón. La longitud de onda de la luz que está relacionada directamente con la energía de los fotones tiende al infinito (su frecuencia tiende a cero: Energía= h*frecuencia) y las líneas de campo toman la forma de estrella que se les conoce cuando provienen de una carga inmóvil.
Volviendo al símil geométrico:



Si en lugar de una esfera observamos un disco superfino, existen una serie de puntos de observación para los cuales el disco desaparece, sin embargo desde los puntos que pasan por la recta perpendicular al plano del disco la superficie observada será máxima. A diferencia de la esfera, la simetría del disco no es esférica y los puntos de observación en el plano del disco y en el plano perpendicular al mismo no son intercambiables.De la misma forma no son intercambiables los referenciales en el astro y en el sistema de caída libre que acompaña al electrón. En ambos casos es una cuestión de simetrías más o menos especiales y encubiertas, vemos o no vemos el disco por una razón, en cierta forma similar a la posibilidad de observar o no observar los rayos de luz.

Simetría de grupo: relatividad especial,invarianza, leyes de conservación, clasificación de las partículas elementales...

Cuando estudiaba en el instituto la teoría de grupos no tenía ni idea para que servía todo aquello, pero las representaciones de los elementos, componiéndose unos con otros mediante las diferentes operaciones que se definían, mostraban un orden sorprendente. Me habría impresionado saber que esas simetrías que presentaban y su belleza simple, puramente matemática, representa a la perfección la simetría del espaciotiempo y de las partículas subatómicas de las que estamos formados. La utilidad, aparte de la belleza, siempre es un aliciente añadido, la naturaleza suele “confundir” la una con la otra: la solución más útil y eficaz suele ser, además, la más bella. La teoría de grupos es por su sencillez, potencia y armonía una verdadera teoría NATURAL.

De forma muy simple, se habla de que existe simetría cuando se realiza una operación sobre algún objeto y este permanece invariante ( invarianza). Una esfera tiene simetría de forma ante un giro o ante un desplazamiento, es decir, sigue conservando su aspecto ante estas operaciones de simetría. Este tipo de simetrías continuas ( independiente de la magnitud del ángulo girado, o de la cantidad de la variable considerada) se encuentran, fácilmente, en la naturaleza y de ellas se desprenden leyes tan fundamentales como la conservación de la energía, tal como demostró en un importante teorema la eminente matemática Emmy Noether, a principios del siglo XX ( simetrías contínuas <--> leyes de conservación).
La idea básica de la aplicación de la teoría de grupos al mundo físico es describir, simbólicamente, estas operaciones de simetría utilizando el álgebra. Si una rotación sobre un eje 1 con un determinado ángulo la llamamos R1, R2 y R3 serán otras dos rotaciones diferentes sobre ejes llamados 2 y 3 con distintos ángulos. El producto R2xR1 se entenderá como la aplicación del giro R1 y después del giro R2. Este producto tiene tres propiedades simples pero muy importantes que se encuentran en la base de la bella teoría de grupo: asociativa [ R1x(R2xR3) = (R1xR2)xR3], existencia de identidad o elemento neutro ( rotación nula) y de inverso o elemento simétrico ( dos rotaciones dejan el objeto como la rotación nula). De estos tres simples axiomas brota la bella estructura de la teoría matemática de grupo.

Las propias leyes de transformación espaciotemporal de Einstein ( teoría de la relatividad restringida) son una generalización de las transformaciones del espacio de tres dimensiones al espacio de tres dimensiones espaciales más el tiempo ( espaciotiempo de Minkowski). Eugene Wigner, en 1939 escribió un artículo demostrando que cuando se aplicaba la condición algebraica de grupo de simetría a una descripción matemática del mundo, automáticamente se presuponía que se cumplirían los principios de relatividad especial y, además, las partículas elementales podían clasificarse con sencillez.


Las partículas se podían clasificar por el valor de su masa en reposo ( fuese o no cero) y por una propiedad, puramente cuántica, su espín – una especie de rotación intrínseca- cuyo valor en unidades especiales referenciadas a la constante de Plank, sólo puede ser de valor entero 0,1,2,3 ... o fraccionario 1 /2 , 3/2, 5/2, etc.
Las partículas con espín entero son llamadas bosones y las de espín fraccionado fermiones. Esta clasificación es de gran importancia porque según la clase de giro o espín que presenten las partículas sus reacciones son completamente diferentes.Los bosones son partículas de “fuerza” y los fermiones de “materia”, los primeros pueden ocupar el mismo estado cuántico y para los segundos eso es imposible .

De tres simples axiomas brota la bella estructura de la teoría matemática de grupo.


FIGURAS.- Primera: Representación de un grupo sencillo de cuatro elementos con leyes de composición interna (+) y (x), llamadas así porque al aplicarlas a sus elementos el resultado sigue perteneciendo al grupo ( "i" es la ráiz cuadrada de -1).Este grupo por ser conmutativo ( AxB =BxA), se llama abeliano o conmutativo. El elemento neutro del grupo es el +1, y el simétrico de -1 es -1, el de i es -i, etc.Segunda: El matemático N. Abel , genial introductor de la teoría de grupos, de trágica y temprana muerte a los 26 años. Tercera: Ilustración sobre Einstein/ teoría relatividad especial. Cuarta: Representación bosón-fermión.

Para saber más : Excelente artículo de Astrocosmo.