Relatividad y espaciotiempo

Hay un antes y un después de la teoría de relatividad especial de Einstein (1905). Es significativo lo que dice Leslie Pearce Williams, profesor Emeritus de la Historia de la Ciencia en la Cornell University de New York, en el prólogo del excelente libro (recopilación de textos) La teoría de la relatividad: sus orígenes y su impacto: “Antes de 1905 era posible explicar la ciencia al profano utilizando términos verbales que, aunque difusos, podían entenderse. Desde entonces esto resultaba ya imposible, porque la cualidad peculiar de la teoría especial de la relatividad era que violaba todos los principios del sentido común… a partir de entonces los modelos ya no eran mecánicos sino matemáticos”.

El tiempo y el espacio absoluto de la mecánica clásica de Newton pasaron a la historia cuando se demostró que no existía realmente una referencia espacial inmóvil, una especie de sustrato que lo llenaba todo llamado “éter lumínico”, ni existía un tiempo universal. Cada sistema pasaba a tener un tiempo y pasaba a ser la referencia para la medida de los demás. Bien es verdad que esto sólo se puede apreciar en los sistemas que se mueven a velocidades no despreciables respecto a la velocidad de la luz, por lo que cualquier medición que realizemos en nuestra vida cotidiana no se ve afectada por las correcciones relativistas.

Trescientos años antes, el gran Galileo Galilei en su notable principio de relatividad ya había observado que no existe modo alguno de distinguir localmente el movimiento uniforme, es decir el movimiento no acelerado, respecto a algún supuesto absoluto inmóvil. Mucho antes que Einstein utilizara los trenes en sus experimentos mentales, de forma similar, Galileo pensaba en la cabina principal bajo la cubierta de un gran barco. Allí no habría forma de distinguir, en los movimientos de los animales encerrados, si el barco permanecía quieto o en movimiento uniforme.

Mucho después, ya en el siglo XIX, el desencadenante de la revolución que supuso la teoría de la relatividad fueron una serie de experimentos que se realizaron en la segunda mitad de la centuria para detectar las corrientes del “éter” sobre la superficie de la Tierra y la influencia de las mismas sobre la velocidad de la luz. El éter era un supuesto material que se creía necesario para la propagación de las vibraciones de la luz en el vacío. En 1887 Albert A. Michelson y Edward W. Morley realizaron en Cleverland (Ohio) un experimento que desde entonces ha adquirido la categoría de clásico. Sus resultados fueron negativos, la velocidad de la luz medida a favor y en contra del supuesto éter resultó ser la misma, y aunque poco después el físico holandés H. A. Lorentz logró salvar la existencia del éter a costa de postular la contracción de los objetos al moverse a través del éter, la vieja concepción del tiempo y el espacio absolutos había sido herida de muerte. La ciencia contemporánea no podía explicar la razón de que la velocidad de la luz fuera siempre la misma, tanto si emanaba de un cuerpo en reposo como si lo hacía de un cuerpo moviéndose a gran velocidad.

Poincaré y Einstein descubrieron, independientemente, que las ecuaciones de Maxwell, relativas a la propagación de las ondas electromagnéticas (la luz es una onda electromagnética) también satisfacen un principio de relatividad similar al galileano sobre su invarianza, al pasar de un sistema de referencia en reposo a uno en movimiento (Lorentz también había abordado esta cuestión hacia 1895).


Einstein tuvo que elegir entre el principio de relatividad (invarianza de las leyes físicas en cualquier sistema de referencia en reposo o en movimiento uniforme) y la física de Galileo-Newton. Si bien estas leyes se habían verificado, siempre había sido a velocidades muy pequeñas comparadas con la velocidad de la luz y eso le dio la clave: la relatividad válida debía ser la inherente a las ecuaciones de la propagación de la luz de J.K.Maxwell.

Poco después de que Einstein publicara el artículo en el que describía su teoría especial de la relatividad (1905) Sobre la electrodinámica de cuerpos en movimiento, su antiguo profesor Hermann Minkowski ponía la guinda que faltaba. En un histórico discurso de inauguración de la 80 reunión de la Asamblea general alemana de científicos naturales y físicos el 21 de septiembre de 1908 pronunció una célebre frase: “Las ideas sobre el espacio y el tiempo que deseo mostrarles hoy descansan en el suelo firme de la física experimental, en la cual yace su fuerza. Son ideas radicales. Por lo tanto, el espacio y el tiempo por separado están destinados a desvanecerse entre las sombras y tan sólo una unión de ambos puede representar la realidad”.

La relatividad especial de Einstein mantiene el principio según el cual las leyes de la física se expresan de la misma manera en dos referenciales en movimiento rectilineo uniforme, en relación uno con el otro. Pero, para que la velocidad de la luz sea la misma en los dos referenciales, como de hecho y según todos los experimentos así ocurre, hay que renunciar al caracter absoluto del tiempo y del espacio (de su métrica espacial). El espacio ya no es independiente del tiempo, ni éste lo es del espacio. Además en las expresiones que ligan los dos conceptos aparece una constante ligada a ambos de forma indisoluble: la velocidad de la luz. Esto hace que las longitudes medidas en un sistema ya no sean invariantes y dependan de la velocidad del mismo, y lo mismo ocurre con los tiempos.

Nuestra percepción basada en el espacio de tres dimensiones que conocemos, con un tiempo independiente del espacio no es exacta. Es válida para nuestro mundo cotidiano (de bajas velocidades comparadas con la de la luz), pero dista de ser la realidad. Hasta tal punto que lo que conocemos como la paradoja de los gemelos no es ni siquiera una paradoja en el nuevo marco del espaciotiempo. En esta paradoja se explica que un gemelo se queda en la tierra mientras el otro sale a viajar, en una nave interplanetaria a velocidades cercanas a la luz, y al volver al cabo de un año encuentra a su hermano veinte o treinta años mayor que él. En la geometría relativista del espaciotiempo de Minkowski, que es una geometría no plana (no euclidiana), el intervalo de tiempo del gemelo que se queda es mayor que los dos intervalos temporales (ida más vuelta) del gemelo que viaja. El gemelo que viaja toma “un simple atajo” en el espaciotiempo. El camino temporal más recto, en el espaciotiempo, no consiste en quedarse en tierra sino en viajar a velocidades elevadas, aunque entonces también intervienen aceleraciones y esto queda dentro del marco de la relatividad general.

Texto extraído de mi columna mensual de Libro de notas: Ciencias y letras.

Números complejos y tiempo imaginario.

Poco después de que Einstein publicara sus trabajos sobre relatividad especial, el matemático alemán Hermann Minkowski se dio cuenta de que, en cierto modo, el tiempo debía ser considerado como la cuarta coordenada complementaria de las tres coordenadas del espacio. En su discurso de inauguración de la 80 reunión de la Asamblea general alemana de científicos naturales y físicos el 21 de septiembre de 1908 pronunció una célebre frase:"Las ideas sobre el espacio y el tiempo que deseo mostrarles hoy descansan en el suelo firme de la física experimental, en la cual yace su fuerza. Son ideas radicales. Por lo tanto, el espacio y el tiempo por separado están destinados a desvanecerse entre las sombras y tan sólo una unión de ambos puede representar la realidad".



Desde entonces el espacio-tiempo cuatridimensional pasó a llamarse espacio de Minkowski. Si empleamos x,y y z para las tres coordenadas del espacio, tomaremos ct para la cuarta coordenada de tiempo, siendo c la velocidad de la luz. Sin embargo debemos multiplicar ct por otro factor que, sin destrozar la armonía del sistema tetradimensional de las coordenadas haga a la coordenada de tiempo físicamente diferente de las tres coordenadas espaciales. La matemática nos suministra precisamente este factor conocido como una "unidad imaginaria" que se designa con el símbolo i (i= raíz cuadrada de -1).

Los números complejos, con una parte real y otra imaginaria, también juegan un papel esencial en los formulismos de la mecánica cuántica. La propia probabilidad de los sucesos cuánticos llega a expresarse en función de números complejos llamados amplitudes de probabilidad. La probabilidad real se halla a partir de estos números, sumando el cuadrado de su parte real y el cuadrado de su parte imaginaria.

Esto nos da una idea de la importancia de los estos números, tanto en la teoria de la relatividad como en la mecánica cuántica y nos ayuda a introducirnos en la teoría de Hartle-Hawking sobre los comienzos del universo, que supone un universo sin límites y con un tiempo imaginario, como se entiende la parte no real de un número complejo.

Universo sin límites:Entre 1982 y 1983 Hawking trabajó con Jim Hartle, profesor de Física de la Universidad de California, en Santa Bárbara, y experto en relatividad y gravitación. En esta época demostraron la inexistencia de fronteras al calcular el estado inicial del Universo por medio de una aproximación de teoría cuántica de la gravedad. Si la propuesta de ausencia de límites es correcta, no habría ninguna singularidad, y las leyes de la Ciencia serían siempre válidas, incluso al comienzo del Universo.El modelo Hartle-Hawking, en principio, poseía una singularidad de Big-Bang cuando se le aplicaba la relatividad general clásica. En cambio, en la versión cuántica, carecía de singularidad.


En cierta forma los ceros y los infinitos que aparecen en la física clásica son suavizados por la mecánica cuántica: La energía más baja en el vacío no es nunca cero, como tampoco es nunca cero la extensión de un punto físico . La existencia del cuanto de acción impide una energía cero del vacío, como impide la medida exacta, a la vez, de una variación de energía y del tiempo asociado a dicha variación.El punto físico menor sería la llamada longitud de Planck, del orden de 10^-35 metros, lo que también elimina el infinito que resultaría de considerar las partículas subatómicas como puntuales: su densidad sería infinita y resultarían microscópicos agujeros negros.

Según el modelo de Hartle-Hawking si comenzamos en el momento presente y vamos hacia atrás en el tiempo, lo que aparentemente sería el punto origen de la descripción del tiempo real convencional, la naturaleza del tiempo cambia: la componente imaginaria del tiempo se hace más y más prominente hasta que, en último término, lo que debería ser la singularidad de la teoría clásica se desvanece. El Universo existiría porque es una estructura matemática autoconsistente. Puede imaginarse el tiempo real como una línea que va del principio al final del Universo. Pero también puede considerarse otra dirección del tiempo en ángulo recto al tiempo real. Esta última se denomina la dirección imaginaria del tiempo. En el tiempo imaginario, no habría ninguna singularidad en la que dejaran de regir las leyes de la Ciencia, ni ninguna frontera del Universo tras la cual tuviera que apelarse a Dios. El Universo no sería creado ni destruído. Simplemente existiría. Quizás el tiempo imaginario sea el auténtico tiempo real y lo que llamamos tiempo real sea sólo un producto de nuestra imaginación. En el tiempo real, el Universo tiene un principio y un fin. En el tiempo imaginario no hay singularidades ni límites.




Hartle: "Tiempo imaginario no se refiere a la imaginación: hace referencia a los números complejos. Como demostraron Einstein y Minkowsky, el espacio-tiempo constituye una geometría cuatridimensional. Es posible ir aún más lejos de estos conceptos. Si se miden las direcciones del tiempo utilizando números complejos, se obtiene una simetría total entre espacio y tiempo, que es, matemáticamente, un concepto muy bello y natural". Don N. Page: " En la formulación de la ausencia de límites de Hartle-Hawking, el tiempo es imaginario, y en vez de tener un borde es como si se tratara de la superficie del planeta Tierra. Suponiendo tiempo imaginario, el Universo no tuvo comienzo, no tiene límite, es una totalidad en sí mismo”.


Recientemente ( 2002) y en base al descubrimiento de la aceleración que se está produciendo en la expansión del Universo, Susskind ha presentado un trabajo que desafía la teoría de Hartle-Hawking. En un artículo reciente (diciembre de 2006) Don N. Page ( University of Alberta) ilustra los argumentos de Susskind. Independientemente de que el modelo sea verdadero o no, nos habrá valido para conocer mejor los orígenes del Universo y para conocer las poderosas propiedades de los números complejos.

Roger Penrose (junto con Stephen Hawking, uno de los físicos actuales más brillantes), en su último libro” El camino a la realidad”, nos comenta: “... los números complejos componen una notable unidad con la naturaleza.Es como si la propia naturaleza estuviera tan impresionada por el alcance y consistencia del sistema de los números complejos como lo estamos nosotros, y hubiera confiado a estos números las operaciones detalladas de su mundo en sus escalas más minúsculas”. Se refiere a la mecánica cuántica, pero realmente su importancia se refleja en toda la naturaleza, porque la cosmología, en los primeros instantes del universo se confunde con el mundo microscópico de las partículas elementales.