2014/03/17

Polvo fractal con dimensión entera (reedición de un post clásico)


Como comentaba en el post sobre el “Vacío cuántico, vacío fractal ”,  la existencia del cuanto de acción ha destruido por completo la propia noción de trayectoria clásica.

Laurent Nóttale complementó la definición de Richard Feynman (1965) y A. Hibbs sobre las trayectorias virtuales típicas de una partícula cuántica, indicando que los caminos cuánticos posibles son, en número infinitos, y todos son curvas fractales caracterizadas por una propiedad geométrica común: su dimensión fractal es 2.

En algunos foros he leído que no se entendía bien lo de la dimensión fractal entera, en este caso 2, pero tal como indicaba en la expresión general de la dimensión fractal:

Dimensión fractal = dimensión topológica + factor dimensional

( El factor dimensional, siempre positivo, es tanto mayor cuanto más irregular es el fractal: indica la capacidad de ocupar más espacio del que indica su propia dimensión topológica)

Si el factor dimensional es entero, también lo será la dimensión fractal. Eso es lo que ocurre con las trayectorias virtuales en mecánica cuántica y también en una serie de fractales típicos, como puede ser el fractal del movimiento browniano en un plano (dimensión fractal 2)  o la curva de Peano (dimensión fractal 2) que tiene más de 100 años de existencia.


Si una curva clásica tiene dimensión topológica 1, cuando hablamos de curvas fractales con una dimensión  entre 1 y 2 estamos indicando que son capaces de ocupar parte del plano. Y es precisamente esa capacidad la que viene expresada por el factor dimensional.  En el caso de la curva de Peano o del movimiento browniano, en el límite, ocupan todo el plano, de ahí que su dimensión fractal sea 2 , la propia dimensión del plano.



Como ejemplo, todavía más llamativo, observamos en la figura un fractal clásico
 (el primero que se conoce), el polvo de Cantor que toma toma su nombre de Georg  Cantor  que en 1883 lo utilizó como herramienta de investigación para una de sus principales preocupaciones: el continuo.





A partir de una recta se le van quitando los segmentos centrales hasta conseguir una serie infinita de puntos aislados, de ahí el nombre de polvo. Si restablecemos de forma escalonada  el segmento que antes le quitábamos, el nuevo fractal sigue  teniendo estructura quebrada y autosemejante , pero ahora en lugar de tener una dimensión fractal igual a log 2/ log 3 tiene una dimensión entera: log 3/ log 3 =1. Nos ayuda, también,  a entender como se calcula, de forma práctica, la dimensión fractal de una figura.



Esta otra figura es una síntesis de dos de los fractales clásicos, Koch  y  Cantor, y nos ayuda de forma intuitiva a entender el cálculo de su dimensión fractal. En la figura original de Koch, sobre los segmento A1-B1-D1-E1 se construye  la figura que forman los segmentosA-B-C-D-E. Su dimensión fractal es  log 4/ log 3  ( cuatro segmentos sobre tres). En la nueva construcción se ha sustraido 1/4 de cada uno de los segmentos superiores para dejar 4 segmentos de longitud 3/4: al final son 3 sobre 3 (log 3/ log 3 = 1).

Se pueden construir infinidad de fractales con dimensión entera y, precisamente, esa irregularidad que representa una dimensión fractal entera en un fractal creo que nos ayuda a entendelos mejor.

NOTA: Este post se publicó también en la revista Ciencia Abierta de la Universidad de Chile, en el número 31, sección de Educación, artículo nº 14 de dicha sección. Allí se añadió una parte más sobre la llamada dimensión de Hausdorff-Besicovitch:


En 1975 Benoit Mandelbrot publicó un ensayo titulado” Los objetos fractales: forma, azar y dimensión”. En la introducción comentaba los conceptos de objeto fractal y fractal como términos que había inventado a partir del adjetivo latino “fractus” ( roto, fracturado). Posteriormente, en 1982, publicó el libro “The Fractal Geometry of Nature”, en donde proponía : “Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.”

De forma simplificada, esa dimensión tan rara se podría entender de la siguiente manera: Una línea recta de longitud N queda recubierta por un número N de segmentos de longitud unidad. Podemos expresarlo diciendo que longitud_línea = N(+1). Un cuadrado con lado N queda recubierto por N2 pequeños cuadrados de lado la unidad. De forma similar a la línea se puede expresar que superficie_cuadrado = (N)(+2). Sabemos que una línea recta tiene dimensión topológica 1 y una superficie dimensión 2. Para
recubrirlos necesitamos un elemento similar pero más pequeño ND veces (en estos ejemplos de magnitud unidad). En general, el exponente D , generalizado a cualquier objeto, representa la dimensión de Hausdorff-Besicovitch del objeto.

Han sido propuestas otras definiciones y, de hecho, estamos ante un concepto geométrico para el que aún no existe un una definición precisa, ni una teoría única y comúnmente aceptada.

Kenneth Falconer, en su obra titulada “Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications”, en 1990, describe un concepto de estructura fractal ‘F’ como la que satisface alguna(s) de las propiedades siguientes:
(1).- “F” posee detalle a todas las escalas de observación;
(2).- No es posible describir “F” con Geometría Euclidiana, tanto local
como globalmente;
(3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística;
(4).- La dimensión fractal de “F” es mayor que su dimensión topológica;
(5).- El algoritmo que sirve para describir “F” es muy simple, y
posiblemente de carácter recursivo.

En resumen, una técnica análoga a la que los biólogos aplican al concepto de vida.

Cuando observamos un fractal, de hecho, apreciamos algo que nos es familiar, más cercano que las perfectas figuras geométricas clásicas que nos han enseñado en el colegio.

Las ramificaciones de los árboles, las roturas imperfectas de una montaña o una costa, la disposición de la máxima superficie en un mínimo espacio de nuestro tejido pulmonar...

Los fractales nos acercan a la compleja "simplicidad" de la Naturaleza.

2014/02/03

Agujeros negros/blancos y paradigma holográfico


Curiosidades sobre hologramas
Además de ser tridimensional, la imagen registrada en un holograma difiere
de una fotografía convencional en un sentido muy importante.Si se corta
una fotografía normal por la mitad, cada parte contendrá sólo la mitad de
la imagen contenida en la fotografía original. En cambio, si se corta un
holograma por la mitad y se proyecta un haz de láser a través de una de
las secciones, se comprobará que cada mitad contiene la imagen
completa del holograma original, con menor definición. Cada
diminuta parte del holograma contiene no sólo su propio "bit" de
información, sino también todo otro "bit" de información correspondiente
al resto de la imagen; en consecuencia, se puede cortar un holograma
en pedazos y cada porción individual contendrá una versión borrosa pero
completa de la imagen entera. Dicho de otro modo, en un holograma
cada parte de la imagen interpenetra todas las demás partes,
de la misma forma que en el universo no local todas sus partes se interpenetran.

Seguir leyendo.. (El universo como holograma multidimensional)



Agujero negro/agujero blancoEn una ocasión, meditando sobre
este fenómeno tan asombroso
pensé en lo que significan los
agujeros negros con relación al
resto del universo. En cierta
forma, pensé, si admitimos que el
universo es un inmenso holograma
(David Bohm), cada agujero negro supone una especie de "corte", o separación, en dicho holograma. En un sentido clásico esa separación no tendría trascendencia pero en el sentido holográfico ese pedazo de universo separado intentaría reproducir, de forma más borrosa, al universo entero:
Podría significar que se abre a un nuevo espacio-tiempo, en forma de agujero blanco, creando un nuevo universo con una constante
de Planck mayor que en el nuestro, porque supondría una menor
definición, un "grano fotográfico" mayor y un universo "más borroso",
con menor grado de información.



Constante de mínima acción y máxima información en una región del espacio
Continuando con este razonamiento y partiendo de la igualdad que liga tres
constantes universales para definir la menor longitud posible Lp (longitud
de Planck), (Lp)2 = h G/c3, observamos que el cociente Lp2/h que liga el
cuanto de acción con la superficie de Planck lo podemos igualar a un cociente
de constantes G/c3(constante de la gravitación universal dividida por
velocidad de la luz al cubo). A priori, parece lógico que si en un universo
nuevo emergente, más "borroso" que el nuestro, el valor del cuanto de
acción es mayor también lo debería ser la mínima longitud definible en él.
Por lo que vemos, realmente, queda relacionado el valor de h no con Lp
sino con Lp2 , con una superficie. Seguir leyendo...
Es significativo, porque la máxima información contenida en
cualquier región del espacio depende de la superficie que la
envuelve, expresada en unidades mínimas de superficie de
Planck (Lp2 ). En cierta forma parece que, en el hipotético caso de que
en otros universos la constante de mínima acción de Planck sea diferente,
ésta estaría relacionada con la cantidad de información que puedan encerrar
dichos universos.

Reedición del post del mismo título de fecha 18/2/2011. Un abrazo amigos.

2014/01/26

Sobre el amor, las ciencias y las letras

Libro de notas cerró el pasado 20 de diciembre, después de más de 10 años y 200.000 seguidores en twitter. Era "El diarío de los mejores contenidos de La Red en español" y  tuve el honor de ser colaborador del mismo durante seis años. Esta fue mi última columna:
Una personita muy importante para mí, con apenas cinco años, me sorprendía con afirmaciones trascendentes sobre el infinito y algunas otras cuestiones peliagudas. Recuerdo que un día me dejó perplejo al soltarme a bocajarro: “ Papá, el infinito nunca para, siempre se está haciendo”. No sé cómo llegó a esa conclusión ni en base a qué, pero en su mente infantil era una evidencia pura e incontestable. Aquellas afirmaciones parecían relacionadas con las cuestiones sobre la vida, la muerte o el mundo que parecen preocupar en un momento determinado de la primera infancia a muchos niños.
Han pasado los años y con veintiuno ha descubierto algo tan inconmensurable como aquello: el amor. Cuando le dije que iba a escribir el último post en LdN me volvió a dejar perplejo, como tantas veces más: me pidió que lo escribiera sobre ese sentimiento tan importante en nuestras vidas (¡¿?!). Entonces me vino a la mente una antigua reflexión que versaba sobre el Paraíso Perdido y la perfecta comunicación que debimos perder con él :” Nuestra obsesión por hacernos oír, por comunicarnos debe venir de la añoranza del Paraíso Perdido. No puedo imaginar un Paraíso más perfecto que aquel en que cada pensamiento y sentimiento se comunicaban “sin llegar a comunicarse”. Sólo pensando o sintiendo se hacían, de inmediato, “públicos” . No existía diferencia entre público y privado, todo debía fluir espontáneamente, sin salir del yo ya era de todos y al contrario. No había barreras, no había límites… “
En la medida que la incomunicación nos hace desgraciados, imagino lo dichosos que nos debía hacer la perfecta comunicación (amor) en el Paraíso Perdido”. El amor llena el ansia de completud que tenemos desde que perdimos el Paraíso y se nos desterró al aislamiento e incompletud de nuestro ser. Cuando amamos somos uno con el ser amado, volvemos a ser completos, recuperamos lo perdido y por eso, mientras no lo encontramos, pasamos la vida buscándolo. Eso vale para las personas y, en cierta forma, para lo que nos hace felices. Y ahí entran, también, nuestras aficiones, nuestros pequeños o grandes amores por las ciencias o las letras: amor por el teatro, por la literatura, por la pintura … y, ¿por qué no?, por las matemáticas y sus hermosos teoremas, o por la física, o por los animales y la biología…
Gerald Holton es profesor de física e historiador de la ciencia en Harvard y un verdadero especialista en Einstein, hasta tal punto que fue la persona elegida por la familia del científico para clasificar toda su documentación, después de su muerte. Una vez, le preguntaron, cuál es la característica esencial de un científico y Holton respondió: “Tal vez mis colegas sonrían, pero creo que igual que algunas personas están enamoradas del dinero y otras se enamoran del arte, los científicos están enamorados de la química o de la física o de las matemáticas… El científico se enamora muy joven y deja todo de lado por ese amor . Stephen Jay Gould decía que la ciencia significa que al final del día, en el laboratorio, sabes que el 99% del tiempo de trabajo ha sido tiempo perdido, y encima todavía tienes que limpiar las jaulas de los ratones. La ciencia es una actividad que exige muchísima dedicación y tiempo”.
La ciencia, el arte o la filosofía, por ejemplo, cuando los amamos de verdad nos hacen completos. Y en ocasiones llegamos a tener “relaciones” tormentosas no sólo con la persona que amamos sino con nuestras más arraigadas aficiones, capaces de absorbernos totalmente. En todo lo que nos enamora siempre está la búsqueda de la felicidad y la completud “perdida”.
Al final el amor y el infinito no son tan distintos. En cierta forma ese infinito de los cinco años se corresponde con el infinito que llena el corazón enamorado a los veintiuno .
Despido esta columna, después de casi siete años, con una última reflexión sobre las ciencias y las letras: No es tan diferente un científico de un poeta (un artista). La poesía está ahí, como las leyes de la naturaleza o el más precioso de los teoremas, solo hace falta descubrirla. El poeta descubre la belleza, al igual que el científico; extrae la poesía de la realidad, de la misma forma que el científico es capaz de extraer las leyes que la gobiernan. Ante la armonía, la simplicidad inteligente y la belleza de las soluciones que adopta la naturaleza, el científico se convierte en poeta. Y sólo así es capaz de desentrañar sus leyes más profundas. De hecho, las simetrías desempeñan un papel esencial en la ciencia actual. Se han realizado espectaculares descubrimientos con la simple presunción, y posterior comprobación, de ciertas simetrías matemáticas – ¿poesía? – que la naturaleza se empeña en respetar. Hasta tal punto es así que la aventura científica se convierte en la búsqueda de las más sencillas y potentes simetrías capaces de descifrar, de la forma más simple, la aparente complejidad del mundo que nos rodea . En cierta forma, la complejidad, tal como la entendemos y vivimos, no es más que un reflejo de nuestras propias limitaciones. La poesía es capaz de soslayarlas y dejarnos entrever el mundo maravilloso que existe más allá de nuestros límites racionales. El progreso de la ciencia necesita del científico/poeta capaz de cambiar el marco de nuestra visión miope de la realidad.
Cambiando las referencias de partida las preguntas más complejas se convierten en respuestas obvias. Cada vez que las preguntas se complican necesitamos reformularlas dentro de un nuevo marco en el que se hace imprescindible la valentía del artista/científico y el rigor del científico/artista. El arte es humano y la ciencia también. Y en todo lo humano cuenta, y mucho, el corazón .
A mis hijas Alba y Zoe
¡¡¡Viva LibrodeNotas !!!

2014/01/02

El bucle fractal



Hola amigos, esta entrada es fruto de mi colaboración con el colectivo DeHavilland (Barcelona). El número 7 del fanzine Clift#7 gira en torno al bucle, la repetición y el infinito como conceptos abstractos que el ser humano difícilmente es capaz de abarcar pero que, por alguna razón, nos fascina ...

"Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y las cortezas de los árboles no son lisas, ni los relámpagos viajan en línea recta". Benoït Mandelbrot, de su libro Introduction to The Fractal Geometry of Nature.

La geometría tan intuitiva que nos enseñan en la escuela, basada en líneas, puntos y superficies (geometría euclídea) supone, en realidad, un gran esfuerzo de abstracción porque estos elementos idealizados no existen en el mundo cotidiano. Una línea real o una superficie están llenas de irregularidades que pasamos por alto para abstraer su esencia y plasmarla en conceptos más sencillos como recta y plano.

Clift número 7: El bucle.

Con los fractales deshacemos esa abstracción y nos acercamos un poco más al objeto real. Benoït Mandelbrot, en cierta forma, el "inventor de la geometría fractal" utiliza el ejemplo sencillo de un objeto real, como son las costas de los países, para aproximarnos a los fractales. Son líneas quebradas que siguen teniendo un aspecto parecido cuando cambiamos de escala. Precisamente estas dos propiedades son las que definen a un fractal: estructura fracturada, de ahí su nombre, y autosemejanza con el cambio de escala. Medimos su grado de fractura e irregularidad con un simple número que llamamos dimensión fractal.

El fractal, como la propia vida, parte de una especie de "semilla geométrica" que requiere una mínima información y su estructura se desarrolla por métodos recursivos a partir de ella (bucles). Su potencia constructiva reside en la iteración de una mínima estructura geométrica que viene definida por un simple número: su dimensión fractal. Un fractal clásico es la curva de Koch, matemático sueco que la describió en 1904. Es como un copo de nieve (se le suele llamar copo de nieve de Koch) y su dimensión fractal igual a 1,26186... Obedece a una semilla geométrica que consiste en sustituir un segmento recto “___“, de medida 3,  por cuatro segmentos quebrados “_/\_”, donde los dos centrales forman un pico con ángulo de 60 º. A cada uno de estos cuatro segmentos se le vuelve aplicar la misma iteración y así de forma indefinida. Tanto las plantas como los animales somos el resultado de un proceso similar, a partir de la célula huevo de la que procedemos. En el ADN del núcleo se encuentran codificados sus sistemas vitales y sus órganos, todo lo que será, al nacer, el nuevo individuo. Pero si toda esa información estuviera contenida de forma directa y lineal, como se encuentra en un libro, no habría forma de que la célula original la pudiera contener. Una forma más eficiente sería tener codificada sólo la instrucción que se debe repetir para formar un órgano, de la misma forma en la que funcionan los fractales. Y esa es la forma de guardar información a la que ha llevado el fenómeno de la evolución de las especies.

En los procesos constructivos de la vida, la naturaleza recrea estructuras fractales en base a su simplicidad y aprovechamiento máximo de un mínimo de recursos. En los procesos de rotura y fracturación que conlleva la formación del paisaje inanimado, la naturaleza al romper estructuras ordenadas en varios niveles deja ver ese orden en la propia fractura. Los materiales se rompen porque antes han estado unidos y su cohesión inicial respondía a unas determinadas características que, también, quedan reflejadas con la dimensión fractal de la rotura.

“… La naturaleza y el ser humano pintan con distinto pincel los infinitos cuadros que encierra el paisaje. La diferencia está en la geometría. Por un lado, la geometría euclidiana, fría, trazada con tiralíneas por la razón humana, a golpe de máquina, ya sea ésta un simple arado o una potente excavadora. Por otro, la cálida y obstinada geometría de la curva y de la bifurcación dibujada sensualmente por la naturaleza”. Una introducción al mundo de los fractales. PARQUE de las CIENCIAS. Granada.

La geometría fractal es una geometría de la naturaleza, mientras que la  euclídea, que nos han enseñado desde pequeños, es artificial y humana. Nos podemos preguntar por qué razón ésta ha “triunfado” sobre aquella. En realidad, la razón que buscamos la podemos encontrar en la propia palabra “geometría” que es la conjunción de dos palabras griegas “geo”, tierra, y “metria”, medida. La geometría euclídea nació, en principio, para medir la tierra, los campos las propiedades. La línea recta es la más fácil de medir. Los soberanos necesitaban medir las tierras para saber los tributos que tenían que pedir, o bien al realizar la compraventa de un terreno se debía saber con exactitud su medida. Cualquier otra geometría no basada en la recta y en las figuras geométricas regulares no habría sido nada práctica.

Clift número 6

Una línea recta que mida 20 metros es posible medirla en un momento, con un sencillo instrumento que llamamos metro. Un fractal que de extremo a extremo mida, también, esos 20 metros puede medir 40, 60, 80 o muchísimo más metros dependiendo de la mínima unidad de medida que adoptemos. Si para medirlo tomamos una cinta flexible que se adapte bastante bien a sus irregularidades obtendremos una medida, pero con otra cinta que se adapte aún mejor conseguiremos otra medida mayor. Si el fractal que queremos medir fuese un fractal matemático perfecto su longitud, de hecho, sería infinita, ¡aunque de extremo a extremo midiese 20 metros!

Debido a la autosimilitud, se dice que las estructuras fractales no varían con la escala a la que se miren. Al observar las ramas de un árbol advertimos que cada rama vuelve a dividirse en ramas más pequeñas, y éstas a su vez siguen dividiéndose. Con un rio y sus afluentes ocurre lo mismo: si lo observamos en su conjunto tiene la misma estructura que al observar sus afluentes y subafluentes. La geometría de la vida se funde con la geometría de la tierra en un único paisaje donde predomina la curva y la ramificación, el paisaje natural generado por la repetición de mecanismos simples y persistentes.

Los fractales:
- Son objetos esencialmente sencillos, se generan fácilmente por ordenador. Mediante muy pocas órdenes de programación, y a partir de un número mínimo de datos (semilla geométrica), se crean verdaderas maravillas de una riqueza y complejidad extraordinarias. El fractal de Mandelbrot es un ejemplo. Conforme intentamos ampliar, con medios informáticos, cualquiera de sus partes nos encontramos con un nuevo paisaje similar al original pero con nuevos y sorprendentes detalles. Podemos seguir así cuanto deseemos y nos permita la potencia de nuestro ordenador, se nos seguirá mostrando un nuevo mundo fantástico, que nunca llega a repetirse, en cada nueva ampliación. Un mundo surgido casi de la nada, de una sencilla expresión que se encadena y realimenta con nuevos datos.

 La observación de estos fractales creados por ordenador, nos recuerda siempre a algún objeto natural desconocido pero cercano, posiblemente, porque esa economía de medios para lograr complejidad es una característica muy propia de la naturaleza. Es la estrategia adoptada para lograr la mejor distribución de los vasos sanguíneos por todo el cuerpo, la disposición óptima del ramaje de los árboles o de los pliegues del cerebro para conseguir la mayor superficie en el mínimo espacio.

- Son capaces de ocupar un espacio de mayor dimensión que su propia dimensión topológica (o aparente). De hecho, la dimensión fractal siempre superior a la aparente mide esa capacidad del fractal: una línea que, lógicamente, tiene una dimensión unidad puede ocupar por completo un espacio de dos dimensiones como es un plano, por ejemplo. Es el caso del movimiento browniano o aleatorio, de dimensión fractal 2. Una superficie completamente plana tiene dimensión 2, pero si la arrugamos es capaz de ir ocupando más y más la tercera dimensión hasta poder ocupar un espacio de tres dimensiones. Lo lineal es incapaz de "salirse" de su dimensión: una línea recta sólo se puede transformar en otra línea recta, la recursividad no la lleva a nada nuevo ni diferente. A un plano perfecto le ocurre lo mismo, la recursividad lo hace volver, infinitamente, sobre sí mismo sin ninguna posibilidad de transformación, pero la no linealidad de un fractal es capaz de descubrirnos mundos de infinita complejidad a base de una simplicidad reiterada.
Clift#4: Hez

- “Esconden" de forma natural parte de su magnitud: una superficie arrugada o una línea  muy irregular y retorcida pueden esconder su verdadera superficie o longitud en varios órdenes de magnitud. La superficie de nuestros pulmones tiene una dimensión fractal de alrededor de 2,7, es decir cerca de 3, y mide alrededor de… ¡100 metros cuadrados! La corteza cerebral humana con una dimensión fractal de 2,8  supone, también, una optimización del espacio craneal existente. Si la naturaleza nos hubiera construido con geometría euclidiana o lineal tendríamos una cabeza inmensa, para poder alojar esa misma corteza cerebral lisa, sin arrugas. Lo mismo ocurriría si consideráramos toda la superficie pulmonar necesaria o la red vascular: arterias, venas y capilares. Seríamos una especie de monstruos ineficientes e inviables condenados a desaparecer.

El orden lleva asociado un grado importante de predicción, al caos le sucede lo contrario. Los sistemas lineales, representan el orden, son predecibles y cómodos de manejar, de ahí nuestra tendencia a generalizarlos. Ante un sinfín de situaciones generalizamos, proyectamos los datos del presente para tratar de averiguar un comportamiento futuro y casi siempre nos va bien. Pero existen sistemas que se resisten: pequeñas variaciones, incertidumbres, en los datos iniciales desembocan en situaciones finales totalmente descontroladas e impredecibles. Son los llamados sistemas caóticos.

El estudio de estos sistemas se realiza en el llamado espacio de fases, un espacio abstracto en el que se representan todas las variables dinámicas del sistema. La  representación de los sistemas caóticos da lugar a unas figuras geométricas llamadas atractores extraños que son en realidad fractales. El primero de éstos fue hallado, por casualidad, por el meteorólogo Edward Lorenz cuando trataba de encontrar un modelo matemático que permitiera predecir el comportamiento de grandes masas de aire. Cuando reflexionó sobre los resultados se dio cuenta que el sistema era extremadamente sensible a las condiciones iniciales: pequeñas perturbaciones en los datos de partida tienen una gran influencia sobre el resultado final. El atractor captaba la esencia de la verdadera atmósfera.

Vio más que azar en su modelo del tiempo: una fina estructura geométrica, orden disfrazado de casualidad. Para explicar de una manera gráfica – y exagerada - la cuestión se le ocurrió que el simple aleteo de una mariposa, que no se hubiera tenido en cuenta en los datos iniciales, podía modificar una predicción hasta hacerla totalmente inviable después de un determinado tiempo (el efecto mariposa).

Los fractales, sencillas estructuras no lineales y autosemejantes definen la esencia de la forma de las montañas, de los ríos, del ramaje de los árboles, de los pliegues de nuestros pulmones o de nuestro cerebro. Los encontramos, también, en las propias entrañas del impredecible tiempo atmosférico, en el simple aleteo de una mariposa capaz de cambiar el tiempo atmosférico a miles de kilómetros, y en una infinidad de procesos no lineales que necesitan del “bucle fractal” para desarrollarse en toda su riqueza, desde la absoluta simplicidad. Como decía Mandelbrot, fueron tomados como monstruos cuando nacieron de brillantes mentes matemáticas a finales del siglo XIX, pero su apariencia, contraria a la intuición, se ha convertido en un instrumento indispensable para aprehender la realidad que nos rodea.


2013/11/18

Geometría fractal del vacío cuántico

Mediante un instrumento matemático sencillo y propiedades
 básicas de las fluctuaciones cuánticas del vacío descubrimos
 su estructura oculta.



A veces lo más sorprendente es lo que ocurre cada día. La transparencia del
vacío, por ejemplo, que todo el mundo da por natural y lógica, puede que no lo
sea tanto. Sobre todo si consideramos las tremendas energías asociadas al
vacío cuántico. A la menor distancia posible,10-35metros, llamada longitud de
Planck, se le asocia una masa del orden de 2x 10-5 gramos. Si mantuviéramos
la misma relación y asignáramos la masa correspondiente a un metro, nos
encontraríamos con la friolera de 1.2 x 1024 toneladas. Pero las fluctuaciones
cuánticas del vacío están acotadas y dependen del inverso de la distancia: esa
es la razón de que observemos el vacío transparente y completamente vacío.
El cuanto de acción es el responsable de la energía asociada al vacío, de sus
fluctuaciones cuánticas. Su extremada pequeñez nos permite ver nuestro
mundo cotidiano con una apariencia continua, como la textura de una película
fotográfica con grano extremadamente fino. Así podemos distinguir entre las
propiedades macroscópicas de la materia, que rigen nuestra vida habitual, y las
microscópicas o cuánticas que determinan el comportamiento del mundo
corpuscular.

Geometría determinada por la energía del vacío
Las fluctuaciones de energía determinan la propia geometría del espacio. No
son simples variaciones sobre un fondo fijo y estable, por lo que analizando su
estructura podremos averiguar algo más sobre la referencia espaciotemporal
que determinan. Por una parte son no diferenciables, hasta el punto de que son la
causa directa de la desaparición del concepto clásico de trayectoria continua en
el vacío. Por otra parte su estructura es auto semejante a cualquier escala:
Si tomamos cualquier distancia mayor que la distancia de Planck, por pequeña
que sea (diámetro atómico, por ejemplo) y cualquier otra distancia de orden
cósmico (diámetro de un cúmulo estelar), a una distancia doble le
corresponderá una energía del vacío mitad, y a una distancia mitad una
energía del vacío doble (inverso de la distancia).
En base a estas simples propiedades consideraremos una hipótesis de trabajo:
que la estructura asociada a la energía del vacío de las fluctuaciones cuánticas
es fractal  y trataremos de estudiar sus características.

Dimensión fractal
La característica más especial de los fractales es su dimensión. Siempre es
positiva y superior a su dimensión topológica. En cierta manera, de forma
intuitiva nos indica la dimensión del espacio que son capaces de ocupar. Una
cuartilla es un ejemplo de objeto de dimensión topológica 2, pero si la
arrugamos conseguimos que ocupe un espacio de mayor dimensión, entre 2 y
3 (normalmente fraccionario). Lo mismo ocurre con una línea (dimensión 1) que
si la hacemos lo suficientemente intrincada e irregular es capaz de ocupar un
plano (dimensión 2) e incluso un espacio (dimensión 3). Si la línea llega a
ocupar el plano su dimensión fractal será 2 y si ocupa el espacio tridimensional,
su dimensión fractal será 3. Conforme mayor sea su dimensión fractal, más
intrincado e irregular será el fractal: a su dimensión topológica se le suma un
coeficiente dimensional que completa el valor de su dimensión. Este
coeficiente, normalmente fraccionario, nos indica el grado de irregularidad del
fractal.

Dependencia espacial en los fractales ...  Leer todo el artículo

2013/10/13

El Big Bang, una explosión en perfecto orden



La curvatura del espacio-tiempo se manifiesta como un efecto marea. Si caemos hacia una gran masa sentiremos que nuestro cuerpo se estira en la dirección de caida y se aplasta en las direcciones perpendiculares a aquella. Esta distorsión de marea aumenta a medida que nos acercamos, de forma que para un cuerpo que caiga a un agujero negro de varias masas solares el efecto lo destrozaría, destrozaría sus moléculas, sus átomos, después, sus núcleos y todas las partículas subatómicas que lo constituyeran. Un verdadero efecto desorganizador, y motor de desorden, de la gravedad en su máximo exponente. No sólo la materia, sino el propio espacio-tiempo encuentran su final en las llamadas singularidades del espacio-tiempo que representan los agujeros negros. Son consecuencias que se deducen de las ecuaciones clásicas de la relatividad general de Einstein y de los teoremas de singularidad de Penrose y Hawking.



Si los agujeros negros son singularidades en donde colapsa la materia y el propio espacio-tiempo, existen otro tipo de singularidades. Utilizando la dirección inversa del tiempo nos encontramos con la singularidad incial en el espacio-tiempo que llamamos Big Bang. Esta singularidad representa todo lo contrario, la creación del espacio-tiempo y de la materia. Aunque podríamos pensar que hay una completa simetría entre los dos fenómenos, cuando los estudiamos con detenimiento encontramos que no pueden ser exactamente inversos en el tiempo. La diferencia entre ellos contiene la clave del origen de la segunda ley de la termodinámica, la famosa ley que dice que :"La cantidad de entropía, o desorden, de cualquier sistema aislado termodinámicamente tiende a incrementarse con el tiempo, hasta alcanzar un valor máximo". También contine la clave de la llamada flecha del tiempo.


La entropía (o medida del desorden) en un agujero negro es elevadísima. De hecho, para hacernos una idea, la compararemos con la entropía que suponíamos que contribuía en mayor manera al total del Universo, la correspondiente a la radiación de fondo. Esta entropía, en unidades naturales, considerando la constante de Boltzman como unidad, es del orden de 108 por cada barión del Universo, mientras que la entropía por barión en el Sol es del orden de la unidad. Mediante la fórmula de Bekenstein-Hawking se encuentra que la entropía por barión en un agujero negro de masa solar (en agujeros más masivos es todavía mayor) es del orden de 1020 en unidades naturales.


Para un Big Crunch, o "crujido" final en que colapsara todo el Universo en un gigantesco agujero negro, la entropía por barión sería del orden de 1031. La existencia de la segunda ley de la termodinámica sería imposible en un universo que emergiera con ese desorbitado desorden,siguiendo una simetría temporal entre singularidades de colapso y de creación. De hecho el Big Bang fue una gran explosión en completo orden. Dio lugar a nuestro espacio-tiempo y a la materia de nuestro Universo y desde entonces ha ido aumentando la entropía, según la segunda ley, y marcando una flecha del tiempo que va desde este inicio al final del Universo.




El orden inicial, tal como apunta Penrose y se comenta en la entrada "las estrellas, fuente de orden y de baja entropía", es el responsable de todo nuestro orden actual y futuro, y de la organización que presentan nuestros organismos vivos.


Hasta tal punto fue ordenada la explosión inicial, que la distorsión destructiva a la que me refería al principio, que tiende a infinito en un agujero negro, fue igual a cero en el Big Bang. Esta distorsión del espacio-tiempo, con conservación de volumen, debida al tensor de curvatura espacio-temporal llamado Weyl, fue nula.


Comentario del autor (18-09-2007):
A diferencia de lo que ocurre en la implosión de la materia para formar un agujero negro, que es un fenómeno capaz de crear cantidades inmensas de entropía (o desorden), en el momento de la "explosión" del Big Bang la entropía fue mínima, de hecho es la única forma en que se puede dar un Universo con la segunda ley de la termodinámica. A partir de entonces la entropía no ha dejado de crecer.
Lo que ocurre es que la "explosión" del Big Bang no lo fue en el sentido que conocemos: algo que estalla en el espacio y en el tiempo, fue el propio "estallido" del espacio-tiempo. Para entenderlo se suele poner el ejemplo de un globo cuando se hincha. Debemos imaginar que la superficie del globo es el propio espacio-tiempo que se ensancha aunque de forma muy violenta, formando el propio espacio-tiempo que conocemos. No hay un centro estático de la explosión, porque todo se aleja de todo, tal como observamos en la expansión actual del Universo.



Reedición del post de fecha 26/09/2007. Un saludo amigos.

2013/09/21

Modulando geométricamente la dimensión y las características espaciales de un fractal. Punto característico.

Geometric modulation of the spatial characteristics of a fractal.


 The relative fractal dimension give us a clearer idea, than simple fractal dimension, the degree of irregularity of fractal and certain spatial features of the same. Moreover, modifying the fractal geometry can achieve vary significantly, its spatial properties.


La dimensión fractal relativa, como veremos, nos da una idea más clara, que la simple dimensión fractal, del grado de irregularidad del fractal y de ciertas características espaciales del mismo. Por otra parte, modificando la geometría del objeto fractal podemos conseguir variar, significativamente, sus propiedades espaciales. Incluso hasta el punto de hacer desaparecer sus características más evidentes como fractal.

Fractal

Dimensión fractal relativa y dependencia espacial de un fractal:
Supongamos una superficie fractal con dimensión D = 2,356.  El valor de la dimensión que excede a 2 nos da una medida de la irregularidad del fractal y la llamaremos ε. Entonces, la dimensión fractal D = δ + ε  (dimensión topológica o aparente más coeficiente dimensional ε). El coeficiente dimensional ε, en cierta forma, nos ofrece una idea de la capacidad del fractal para ocupar parte de la tercera dimensión y, por tanto, del espacio. Podemos tener otro fractal con el mismo valor dimensional y, sin embargo, ser mucho más irregular que el primero: por ejemplo una curva que casi llene el espacio. Puede tener la misma dimensión, pero es mucho más irregular porque su dimensión topológica es 1, a diferencia de la superficie fractal cuya dimensión topológica es 2. Vemos así que la dimensión de un fractal no nos da una idea real de su irregularidad si no la comparamos con su dimensión topológica.

Para variables con dimensión topológica distinta de la unidad es conveniente hablar del cociente D/ δ, que llamaremos dimensión fractal relativa, más que, simplemente, de su dimensión fractal. Reducimos así la dispersión de resultados y encontramos más fácilmente símiles con ejemplos sencillos como trayectorias unidimensionales. Tendremos:

(1)   Dimensión relativa = D/ δ = ( δ + ε ) / δ. Esta expresión nos ayudará a entender cómo se pude modular la dimensión y las características de un fractal modificando la geometría del espacio.

Pero antes nos fijaremos en una propiedad muy interesante que presentan las curvas fractales continuas como son la curva de Koch o el movimiento browniano. Concretando el caso del movimiento browniano, su dimensión es 2 pues es capaz de recubrir una superficie: esto está relacionado con que este movimiento para alejarse N pasos efectivos de cualquier punto arbitrario necesita recorrer N2  pasos totales. Esa capacidad de “vagabundeo” está íntimamente relacionada con la dimensión fractal. Generalizando:
(2)   Distancia efectiva dimens.fractal = Distancia total sobre el fractal.   
      
La expresión de la dimensión fractal relativa, en cierta forma, nos reduce cualquier fractal continuo de dimensión topológica mayor que la unidad a una especie de curva fractal equivalente. Cuanto más isótropo sea el fractal más fiel será la conversión realizada, porque ésta lógicamente no conserva las propiedades direccionales o anisótropas del fractal original. Una vez realizada la conversión podremos aplicar la expresión (2), aunque con mucho cuidado, considerando las características de cada fractal con el que estemos trabajando. Sustituiremos en la expresión (2) la dimensión fractal por la generalización que supone la dimensión fractal relativa.

En el caso de un fractal de dimensión topológica 2, al calcular su dimensión fractal estamos comparando una superficie plana con otra rugosa y de esa comparación extraemos el valor de su dimensión. En el caso de fractales de dimensión topológica 3 o más hacemos algo similar, por lo que en general al dividir la dimensión fractal por la dimensión topológica, para averiguar la dimensión fractal relativa, obviamos el número de dimensiones y volvemos a una  comparación entre magnitudes de una sola dimensión.

Sumando o restando dimensiones:
Dimensiones compactadas
Volviendo a la superficie fractal del comienzo, vemos que el coeficiente dimensional ε se añade a la dimensión topológica. A partir de esta constatación nos podemos hacer la siguiente pregunta: ¿Existe algún fenómeno que represente una resta de dimensiones? Desde luego, si a una superficie la enrollamos a lo largo de una de sus dimensiones hasta convertirla en una línea habremos pasado de un objeto de 2 dimensiones a otro de 1 dimensión, habremos restado una dimensión. En cierta forma, esta operación geométrica representa una resta de dimensiones mientras que la irregularidad de un fractal, expresada por el coeficiente dimensional ε, supone una suma a la dimensión topológica del objeto.

Con todo lo visto hasta ahora vamos a seguir avanzando hacia lo que se puede llamar la modulación geométrica de la dimensión y de las  características espaciales de un fractal. Imaginemos un fractal con dimensión D, dimensión topológica δ  y coeficiente dimensional ε. Si a este fractal aplicamos la transformación T capaz de enrollar o compactar un número de dimensiones ε1, la expresión (1) quedaría:
(3)   Dimensión relativa = ( δ - ε1 + ε ) / (δ - ε1)
Variando el valor ε1 podremos modificar tanto la dimensión del fractal como sus características espaciales. Para ε1= ε tenemos un punto característico que simplifica la expresión (3) dejándola en la forma:
(4)   Dimensión relativa característica = ( δ) / (δ - ε)
Para sistemas sin dimensiones compactadas tendremos la expresión (1) para definir la dimensión fractal relativa y, por tanto, la dependencia espacial del fractal con la distancia. Para sistemas con dimensiones compactadas tenemos la expresión (3).
Supongamos un sistema con dimensión fractal  δ + ε  y del que  conocemos la dependencia del fractal con la distancia que, además sorprendentemente, representa un exponente negativo, supongamos -1. Con estos datos y dado que la dependencia implica un exponente negativo sabemos que existen dimensiones compactadas. Aplicaremos la relación (3) y averiguaremos  ε1.En este caso el valor de ε1 es  (2 δ + ε)/2. Si ese valor fuese igual a ε entonces  estaríamos en el caso de la expresión (4). Para ello δ/2 = ε.

Ejemplo significativo:
 (PhysOrg.com) - Por lo general, pensamos en el espacio-tiempo como cuatro dimensiones, con tres dimensiones espaciales y una dimensión de tiempo. Sin embargo, esta perspectiva euclidiana es sólo uno de las muchas posibles posibilidades  multi-dimensionales de espacio-tiempo. Por ejemplo, la teoría de cuerdas predice la existencia de dimensiones adicionales - seis, siete y hasta 20 o más. Como explican los físicos a menudo, es imposible visualizar estas dimensiones extra, sino que existen principalmente para satisfacer las ecuaciones matemáticas.
Lea más en: "El espacio tiempo puede tener propiedades fractales en una escala cuántica":    http://phys.org/news157203574.html 


Espuma cuántica
         Vacío clásico y vacío cuántico
 

El vacío clásico y continuo es, en cierta forma, como una costa lineal y regular, sin entrantes ni salientes. El vacío cuántico es muy diferente, sus fluctuaciones le confieren una estructura irregular que 
nos puede recordar la estructura fractal de las costas de los países. De “lejos” no es diferente del vacío clásico, pero de “cerca” nos ofrece una visión muy diferente, las fluctuaciones ganan protagonismo porque dependen del inverso de la distancia: a distancia mitad son el doble de intensas. Esta diferencia entre el vacío clásico y el cuántico se puede observar, perfectamente, tratando de seguir las trayectorias de las partículas subatómicas. En el vacío clásico estas están bien definidas y son líneas continuas, en el vacío cuántico no existen como tales, no son propiamente trayectorias pues conforme las tratamos de observar con más detalle, más irregulares aparecen. Son fractales con una dimensión 2. 

                                     ¿Vacío cuántico como un fractal? 


Todo esto hace pensar en la posibilidad de considerar el vacío cuántico como una fractal, en el que la energía de las fluctuaciones cuánticas determinaría su grado de irregularidad, y en base a su valor (un escalar) se podría calcular la dimensión fractal de estas fluctuaciones que conforman todo el espacio. 
Si admitimos esta posibilidad y  aplicamos la expresión (4), dado que la energía de las fluctuaciones del vacío dependen del inverso de la distancia:
Tendremos que, siendo δ = 3, el valor de (δ) / (δ - ε) = -1, luego ε = 6. 

Según esta hipótesis estaríamos en un universo con 6 dimensiones compactadas.

Referencias:

-B.MANDELBROT:Los objetos fractales. Tusquets Editores,Barcelona,1987

-G.COHEN-TANNOUDJI,M.SPIRO:La materia-espacio-tiempo .Espasa-Calpe,Madrid,1988

-S.WEINBERG, “ et al”:Supercuerdas¿Una teoría de todo?. Edición de P.C.W.Davies y
J.Brown.Alianza Editorial,Madrid,1990.

-M.KAKU: Hiperespacio .Crítica (Grijalbo Mondadori) ,Barcelona,1996.

-J. SALVADOR RUIZ FARGUETA: Estabilización cuántica y dimensiones
enrolladas. Nº 23, 2004, Revista Ciencia Abierta, Universidad de Chile.

-J.SALVADOR RUIZ FARGUETA: El sorprendente vacío cuántico. Revista
Elementos (Benemérita Universidad Autónoma de Puebla) nº 53 ,2004,
pp.52-53. ( También en la web: http://www.elementos.buap.mx/num53/htm/52.htm )