2020/05/20

Primero un punto, y estalló el Big Bang...


...10.000 millones de años después un primitivo mundo de ARN, la vida.


Toda la complejidad del Universo y, posteriormente, de la vida comenzó a partir  de ese extraordinario punto. Primero la Gran Explosión y después de millones de años, como consecuencia de centenares de estallidos estelares, del polvo de estrellas… la vida. La explosión del Big Bang fue lo que Roger Penrose describió como una “explosión en perfecto orden”, lo que significa que aconteció con una mínima entropía (mínimo desorden), gracias a lo cual han podido desarrollarse estructuras tan ordenadas como la propia vida.

 
Universo en expansión.Wikipedia.
Pero lo más sorprendente es pensar en la información asociada a toda la complejidad que observamos en el Universo y en la vida en la Tierra. ¿Esa información, de alguna forma, estaba en el inicio, en el punto de estallido del Big Bang? Es difícil pensar que estuviera como lo está cuando consultamos la información contenida en un libro, de forma tan accesible y directa. La información debía encontrarse de una forma muy sutil: directamente y al mismo tiempo entrelazada mediante las leyes naturales implicadas y todo relacionado con una mínima entropía, que fue como la "cuerda" para el desarrollo del orden y estructura del futuro Universo. La futura teoría sobre la gravedad cuántica, capaz de compatibilizar la mecánica cuántica con la relatividad general, deberá dar respuestas a este enigma sobre el nacimiento de nuestro universo.


Porque sobre la creación de la materia/energía a partir de la nada se sabe que la masa total del Universo cerrado es igual a cero: todo el Universo puede surgir sin gastos de energía. Se cumple la ley de conservación de la energía pues la clave está en que la  energía del campo gravitatoria es negativa, mientras que la energía de la materia es positiva. La energía total es igual a cero... Pero qué ocurre con la información asociada a este proceso y su posterior desarrollo. ¿Toda la información surgió de la nada también? Igual que no se puede perder información en un agujero negro, ¿la información puede aparecer de la nada?


Teoría de la gravedad cuántica
Lo que al menos sabemos de la futura teoría de la gravedad cuántica es que el propio espacio-tiempo no es el fundamental, eterno e inmóvil referente que siempre hemos creído sino que emerge de una entidad fundamental discreta (no continua) y su propia  geometría debe estar inextricablemente ligada a las relaciones causales entre sucesos.
Radiación de fondo, el eco del Big Bang. Wikipedia


Según nuestras leyes físicas, el punto inicial del que proviene el Big Bang es una singularidad en donde ni el espacio ni las leyes que conocemos tienen sentido. La gravedad cuántica nos indica, en cambio, que la entidad de la que venía esa singularidad es discreta, más fundamental que el espacio-tiempo y ligada a la causalidad entre sucesos... Esa entidad anterior al espacio-tiempo y al Big Bang liga causalmente el antes y el después del nacimiento de nuestro Universo ...

El primitivo mundo de ARN
Volviendo a los orígenes de la vida en la Tierra, el llamado primitivo mundo de ARN fue una etapa temprana, quizás primordial, durante la cual las moléculas de ARN tuvieron un papel mucho más evidente en la herencia, el metabolismo y, particularmente, el origen y los primeros pasos en la evolución de la biosíntesis proteínica. La abrumadora evidencia de las propiedades estructurales, reguladoras y catalíticas de las moléculas de ARN, junto con su ubicuidad en los procesos celulares, solo se puede explicar reconociendo que representaron un papel clave en la evolución temprana de la vida, tal vez incluso en su origen (revista Mètode, UV).


La hipótesis del mundo de ARN es uno de los principales candidatos a explicar el proceso natural del surgimiento u origen de la vida. Propone que la vida en la Tierra surgió a partir de la versátil actividad de las moléculas de ARN, desarrollando posteriormente una membrana celular a su alrededor y convirtiéndose así en la primera célula procariota, estas moléculas de ARN no solo fueron el origen de los organismos celulares, sino también de los virus que por su parte no desarrollaron una estructura celular (Wikipedia).
 
Árbol filogenético, en el centro los ancestros comunes. Wikipedia.

Estructuras disipativas
El nacimiento de la vida tuvo mucho que ver con las llamadas estructuras disipativas que suponen la aparición de estructuras coherentes, autoorganizadas, en sistemas alejados del equilibrio. Se trata de un concepto de Ilya Prigogine, que recibió el Premio Nobel de Química «por una gran contribución a la acertada extensión de la teoría termodinámica a sistemas alejados del equilibrio, que sólo pueden existir en conjunción con su entorno».


El término estructura disipativa busca representar la asociación de las ideas de orden y disipación. El nuevo hecho fundamental es que la disipación de energía y de materia, que suele asociarse a la noción de pérdida y evolución hacia el desorden, se convierte, lejos del equilibrio, en fuente de orden. Lo que ocurre es que estas estructuras, tal como la vida, extraen el orden y la materia del entorno y devuelven desorden: disminuyen su entropía a costa del entorno.

La pregunta sigue en el aire: ¿en ese primer instante, en ese punto primordial estaba de alguna forma la información suficiente para que la propia materia se organizara y se pensara a si misma y al vasto Universo que la contiene? ¿La teoría de la gravedad cuántica nos dará las respuestas que nos plantea ese punto primordial que hizo estallar, en un estallido ordenado y "bajo-entrópico", el Universo de la nada "gravito-cuántica" que lo precedía?¿Estamos en uno de tantos universos que componen un inmenso “multi-Universo" (multiverso)?

2020/04/02

Números primos y sus cuadrados próximos



Representación de los números primos en función de su cuadrado más próximo. Una forma simple de observar su distribución no aleatoria.


¿Son aleatorios? 

Entre los números naturales 1, 2, 3 ,4 , 5, 6, 7, ,..., , n, existen unos números especiales que sólo son divisibles por la unidad y por ellos mismos. Estos números son llamados números primos y desde que se conocen han producido una extraña fascinación entre los matemáticos. Existen infinitos, Euclides realizó la primera demostración conocida de su infinitud alrededor del 300 a.C., pero su distribución, aparentemente aleatoria, sigue siendo una incógnita… Aunque se sabe que está íntimamente conectada con los ceros de la función zeta a través de la hipótesis de Riemann. Y por otra parte, es conocida su distribución en forma espiral, primero por la llamada espiral de Ulam (1963) y posteriormente por la de Sacks (1994).

 

Wikipedia. Espiral de Sacks. Claudio Rocchini.

Comparando su distribución no aleatoria


Si observamos la lista de los números primos que existen dentro de la primera centena de números naturales, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97, es difícil saber si su distribución tiene algo de particular. De hecho, si comparamos esa lista con una distribución aleatoria de 25 números (sin repetición, entre 1/100), 5, 8, 11, 13, 14, 16, 18, 19, 28, 34, 37, 38, 46, 48, 49, 55, 57, 60, 69, 81, 82, 84, 87, 99, 100, no es fácil determinar grandes diferencias entre ambas listas, a simple vista.




Casualmente, después de leer sobre caminos aleatorios y el último premio Abel, pensé en considerar la sucesión de primos como una especie de camino y se me ocurrió representar los números primos en función de su cuadrado más cercano y ver lo que pasaba...  Es interesante, el 2 sería igual a 4-2, el 3 a 4-1, el 5 a 4+1 y así hasta el 97, según la siguiente tabla. Se compara el resultado con otra tabla de 25 números aleatorios, sin repetición, en el mismo rango, 1/100.



25 números aleatorios en función de cuadrados.
5 = 4+1
48=49-1
8 = 9-1
49=49+0
11=9+2
55=49+6
14=16-2
57=64-7
15=16-1
60=64-4
18=16+2
69=64+5
19=16+3
81=81+0
23=25-2
82=81+1
28=25+3
84=81+3
34=36-2
87=81+6
37=36+1
99=100-1
38=36+2
100= 100+0
46=49-3



25 primeros primos en función de cuadrados.
2 = 4-2
43 = 49-6
3 = 4-1    A
47 = 49-2
5 = 4+1   A
53 = 49+4
7 = 9-2    B
59 = 64-5
11 = 9+2  B
61 = 64-3  E
13 = 16-3 C
67 = 64+3 E
17 = 16+1
71 = 64+7
19 = 16+3 C
73 = 81-8  F
23 = 25-2
79 = 81-2  G
29 = 25+4
83 = 81+2 G
31 = 36-5  D
89 = 81+8  F
37 = 36+1
97 = 100-3
41 = 36+5  D




Observamos que hay 7 parejas de números, marcadas como A,B,C,D,E,F y G que equidistan, por arriba y por debajo, de un cuadrado: el 3 y el 5 tienen en medio al 4, el 7 y el 11 en medio tienen al 9, el 13 y el 19 tienen el 16 y así hasta el 73 y el 89 que equidistan del 81. En la tabla de los números aleatorios no observamos ni una sola pareja de este tipo, aunque no sería extraño observar, casualmente, alguna.




En otros rangos de numeración encontramos más parejas de números primos, por ejemplo: 137 y 151 equidistan de 144, al igual que 139 y 149; igual ocurre con 157 y 181 respecto al cuadrado 169. En el rango de 200/300, tenemos 211 y 239 que equidistan de 225, igual que 223 y 227. Además tenemos el  241 y 271 que equidistan del cuadrado 256.


 Distribución en rangos 900/1000 y 9900/10100



En rangos más elevados, por ejemplo en el 800/900, observamos el 881 y el 919 que equidistan del cuadrado 900. Conforme avanzamos y los números son más elevados ocurre menos, porque los cuadrados empiezan a escasear más que los números primos: del 900 al 1000 sólo tenemos dos cuadrados, el 900 y el 961, mientras que existen 14 números primos. En el rango 1/100 existen 9 números cuadrados y 24 números primos, lo que permite que se vea mucho mejor la distribución no aleatoria en base a la mínima distancia con los cuadrados. ¡Hasta en el rango 9900/10100, encontramos tres equidistancias de primos con un cuadrado: el 9931 y el 10069 con el cuadrado 10000, junto con los números primos 9907 y 10093 y los números 9901 y 10099! En los casos en que los números primos no equidistan, exactamente, de un cuadrado central observamos que se sitúan de forma casi simétrica por abajo y por arriba del mismo, dando la impresión de cierto orden alejado, desde luego, de la distribución aleatoria.Posiblemente es este fenómeno el que permite las visualizaciones en espiral de Ulam y Sacks.

Conexión con la física cuántica



…"Existe1 una conexión entre la Hipótesis de Riemann y la física cuántica, recientes descubrimientos vinculan al comportamiento de ciertos elementos a escala atómica con los números primos, parece ser  que hay ciertos patrones en los niveles  energéticos de los átomos grandes,  como los del uranio, que comparten propiedades muy parecidas  con ciertos patrones de los números primos,  se trata de un patrón tan marcado que no puede ser una mera coincidencia".


Termino como en otro de mis post dedicados a los números primos: Cualquier pequeñísima parcela que deseemos estudiar del campo de los números primos se vuelve más y más intrincada e interesante, y la mayoría de las veces parece como el agua que intentamos retener y se nos escapa entre los dedos. 



Al menos se puede hacer una pequeña acotación en su número:

Número de cuadrados < número de primos < numero de naturales:


               
     { n1/2 < n/ln(n) < n } siendo n/ln(n) el número de primos hasta n (teorema de nºs primos) y n1/2 es el número de cuadrados hasta n.

      Para n--> infinito, las tres expresiones tienden a infinito.


Un abrazo amigos.

 


Nota. 1: Tomado del blog MasScience. Rzedowski, M., (2006). Los enigmáticos números primos [En línea].México: Departamento de Control Automático del Cinvestav, Recuperado el 1 de Junio  de 2018  desde http:// eclipse.red.cinvestav.mx/publicaciones/revista/






2020/03/08

El caos que vino del orden: el efecto mariposa



En el siglo XVIII el gran filósofo, matemático y astrónomo Pierre Simon Laplace, en plena euforia por el éxito de las leyes newtonianas, suponía que con esas leyes en la mano y con lo datos necesarios: “Una inteligencia abarcaría en la misma fórmula los movimientos de los cuerpos más gigantescos del cosmos y los del átomo más imperceptible; para ella no habría nada incierto, y así el futuro como el pasado estarían ante sus ojos”. Isaac Asimov, muchos años después, en uno de sus ensayos sobre la incertidumbre, comparaba esa actitud con la del joven que es lo suficientemente inmaduro para creer que lo sabe todo. Con los años van desapareciendo muchas certidumbres y de la misma forma, a principios del siglo XX con la teoría de la relatividad de Einstein, con la física cuántica y la incertidumbre de Heisenberg, los viejos esquemas deterministas fueron cayendo y dejando tras de si un mundo menos seguro e intuitivo. Aún así, hasta mediados del siglo pasado todavía era una creencia general entre los científicos que dado un conocimiento aproximado de las condiciones iniciales, y, conociendo la ley natural, podía calcularse el comportamiento aproximado de un sistema.

Atractorde Lorenz. Wikipedia.

Se creía que de la misma forma que los astrónomos consiguieron hacer sus previsiones sobre los movimientos de los astros, con el conocimiento de las leyes que se tenía sobre el tiempo atmosférico y la potencia de cálculo que iban a brindar los ordenadores se iba a poder prever, cada vez con mayor aproximación, el tiempo atmosférico. Se suponía que el problema que se planteaba era semejante, una cuestión de aproximaciones, que siendo cada vez mejores, conseguirían una mejor previsión a largo plazo. El optimismo irreal que caracterizó los años 1950 y 1960, en lo que a a la previsión del tiempo atmosférico se refería, se vio truncado por un asombroso descubrimiento del meteorólogo y matemático Edward Lorenz. 


Lorenz, como matemático que era, trató de extraer la esencia de lo que ocurría con el tiempo atmosférico y encontró unas sencillas y, aparentemente, anodinas ecuaciones diferenciales. No parecían tener nada de particular, pero al tratar de representarlas se dio cuenta, por casualidad, de que una diferencia mínima en los datos de entrada originaba que, al pasar el tiempo, el patrón representado variara de forma completamente diferente. Descubrió los sistemas muy sensibles a las condiciones iniciales: una pequeñísima variación en los datos de entrada originaba resultados completamente diferentes. Estudiando estos sistemas en un espacio abstracto llamado espacio de fases se descubrió que mientras los sistemas conocidos tendían a figuras concretas y sencillas como puntos o circunferencias, llamadas atractores, estos otros tendían a figuras de complejidad infinita que fueron bautizados con el nombre de atractores extraños. El primero de estos atractores es el atractor llamado la mariposa de Lorenz que aparece en la figura superior.


Caos, James Gleick
A partir de sistemas conocidos y regidos por ecuaciones en “completo orden” obtenemos unos sistemas que parecen llevar el caos en lo más profundo de su esencia. De forma exagerada, pero muy ilustrativa, Lorenz explicaba que los sistemas relacionados con el tiempo meteorológico eran tan sensibles a las condiciones iniciales que el simple aletear de una mariposa, en un rincón de China, podría variar las condiciones climatológicas en Alabama. A partir de un orden establecido, se producen infinidad de realimentaciones en las que intervienen la convección del fluido caliente, su velocidad y la transferencia del calor entre diferentes capas del mismo. El orden lineal es sustituido por la no linealidad caótica y muy sensible a las más pequeñas variaciones. 


 Libro muy recomendable: "CAOS, la creación de una ciencia", de James Gleick. Una obra maestra de la divulgación de esta nueva ciencia que es el caos. Una ciencia de las cosas cotidianas: del arte y de la economía, de los ritmos biológicos y de los atascos de circulación, de las cascadas y del tiempo…

2020/01/08

Gravitación cuántica, distancia fundamental y teoría de cuerdas


La teoría de la relatividad general de Einstein establece una relación directa entre la gravitación y la geometría del espaciotiempo. Esto supone que una teoría cuántica de la gravitación implicará una estructura cuántica del propio espaciotiempo. Y en esta estructura deberá jugar un papel importante una especie de "cuanto espacial", o mínima distancia de interacción. Un nuevo límite fundamental en la Naturaleza, similar a la velocidad de la luz o al cuanto de acción, ahora en la escala de las distancias.

Las dos grandes teorías físicas de las que disponemos, la relatividad general y la mecánica cuántica parecen no llevarse bien entre ellas. La relatividad general está formulada de una manera clásica y esa esencia choca con la formulación cuántica. De hecho, la aplicación directa de las reglas de la mecánica cuántica a la teoría de gravitación de Einstein da lugar a inconsistencias matemáticas. El camino más fácil es intentar formular una teoría cuántica de las ondas gravitacionales, o "arrugas" o vibraciones de la geometría espaciotemporal similares a las ondas electromagnéticas. Cuánticamente, se pueden ver como conjuntos coherentes de partículas, de la misma forma que una onda electromagnética es un conjunto coherente de fotones. Los equivalentes gravitacionales de los fotones se denominan gravitones.

---Distancia fundamental---

A medida que consideramos distancias cada vez menores, las interacciones entre gravitones producen cascadas de creación y aniquilación demasiado violentas, de tal forma que la delicada estructura que funcionaba para las demás partículas fracasa estrepitosamente para los gravitones. Existe una especie de realimentación en la interacción entre gravitones, pues interactúan mediante otros gravitones y esto hace que se pierda la sencilla linealidad que presentan otras fuerzas. Esta cuestión es la causante de que la teoría cuántica de los gravitones no sea renormalizable.

Lo más asombroso es que, por lo que se sabe en otros casos similares de teorías no renormalizables, una explicación posible es que el gravitón no sea una partícula fundamental, sino que tenga componentes a una escala de distancias determinada por la intensidad intrínseca de la interacción gravitacional. Si esto es correcto, el gravitón revelaría sus componentes en la vecindad de al escala de Planck, la única magnitud con dimensiones de longitud que se puede formar con las tres constantes fundamentales de la física, c, h y G (unos 10-33 centímetros).

Para que nos hagamos idea de la dificultad a la que nos enfrentamos en la formulación de una teoría cuántica de la gravitación, a la distancia de Planck las fluctuaciones cuánticas cambian la estructura geométrica e incluso topológica del espaciotiempo, pudiendo crear agujeros incluso negros microscópicos, de ahí que sean tan importantes a esas distancias como los gravitones. Esta es la vieja idea de Wheeler, que habló de la estructura "espumosa" del espaciotiempo cuántico.

---Teoría de cuerdas y agujeros negros---

Otra vez nos encontramos con nuestros viejos amigos lo agujeros negros, ahora en forma microscópica como resultado de las fluctuaciones cuánticas a escalas de la distancia de Planck. Lo que hemos aprendido de ellos, pero sobre todo la teoría de cuerdas, o la idea de que las partículas que denominamos elementales son en realidad objetos extensos en una dimensión, cuerdas diminutas cuya dinámica esta especificada por sus modos de vibración: cada modo de vibración independiente representaría un tipo diferente de partícula. Esta teoría, básicamente muy sencilla en sus planteamientos iniciales, conduce a una estructura matemática de riqueza insospechada, cuya exploración por parte de físicos y matemáticos aún pertenece a las generaciones futuras.

Hay dos clases básicas de cuerdas, según sean cerradas sobre sí mismas o abiertas, con los extremos libres. Las cuerdas cerradas siempre tienen un modo de vibración que se puede identificar con el gravitón, mientras que las cuerdas abiertas siempre tienen un fotón. El resultado es que las cuerdas predicen la existencia de gravitación en el sector cerrado, y de interacciones del tipo de la interacción electromagnética en el sector abierto. Pero se ha descubierto que las cuerdas no son los únicos objetos fundamentales de la teoría, existen regiones singulares a las cuales las cuerdas abiertas estarían enganchadas, se conocen como D-branas: pueden ser objetos puntuales (D-partículas), tener una dimensión (D-cuerdas), dos dimensiones extendidas (D-membranas), etc.

Cuando las cuerdas o D-branas (generalizando) alcanzan un alto grado de excitación sobre su estado de mínima energía, se convierten en agujeros negros. Esto se entiende bastante bien a nivel cuantitativo gracias a un importante cálculo de Andrew Strominger y Cumrum Vafa, de la Universidad de Harvard, aunque sólo en el caso de agujeros negros con mucha simetría. En este caso el número de estados de un agujero negro, según los cálculos independientes (no cuerdísticos) de Bekenstein y Hawking, coincide con el de un sistema adecuado de D-branas.

---Espaciotiempo no conmutativo, el principio básico---

Como en el caso de la mecánica cuántica, en que el principio básico del que emanaba las propias relaciones de indeterminación de Heisenberg era la no conmutatividad entre posiciones y velociadades, la imposibilidad por principio de conocer ambas cantidades con total definición, en nuestro caso de una teoría de la gravitación cuántica se busca un principio de no conmutatividad puramente espaciotemporal. El tipo de estructura matemática necesaria fue descubierto por el matemático francés Alain Connes en los años ochenta, una geometría cuántica en la cual las coordenadas espaciales son matrices que no conmutan entre sí, en analogía exacta con las posiciones y velocidades de una partícula. De hecho ya se ha comprobado que las cuerdas abiertas poseen propiedades matemáticas que recuerdan esta geometría no conmutativa. Posteriormente se ha llegado a la conclusión de que las D-branas son los propios ladrillos del espaciotiempo: el espaciotiempo adquiere así una naturaleza granular a la escala de Planck, una especie de retículo de D-branas trenzadas mediante las cuerdas abiertas.

Una propiedad matemática tan elemental como es la no conmutatividad está en la base de lo que será la futura teoría de gravitación cuántica. Los retículos espaciales que sustituyen a las coordenadas no conmutan, es decir si X es el operador cuántico de la coordenada x e Y es el operador de la y, el producto XY es diferente al producto YX. Las coordenadas clásicas son simples números reales que por descontado son conmutables, pues da lo mismo multiplicar las coordenadas xy en ese orden o en el contrario yx. Esta diferencia tan abismal nos da una idea de la nueva complejidad necesaria para poder describir
 correctamente la realidad del espaciotiempo.

Reedición de un antiguo post, gracias amigos. Un abrazo.