2019/11/07

El espín, el misterioso giro de las partículas cuánticas


En la física clásica las partículas como el electrón eran consideradas puntuales. Sin embargo, años antes de que en 1922 Stern y Gerlach realizaran un experimento que permitía deducir que los electrones tienen un momento magnético intrínseco (por giro sobre sí mismo) con sólo dos valores posibles, ya eran conocidas ciertas anomalías (efecto Zeeman anómalo) con relación al desdoblamiento de líneas espectrales esperado. Esto, por muy extraño que pareciera entonces, sólo podía ocurrir si los electrones giraban sobre sí mismos (observaciónal final del post) y no eran, por tanto, partículas puntuales. En 1926 los jóvenes físicos Goudsmit y Uhlenbeck propusieron la atrevida idea de que el electrón tiene un momento angular (o cinético) intrínseco (el espín), es decir, que la partícula gira "de alguna manera" sobre sí misma de modo que produce precísamente ese momento magnético anómalo observado.

La ecuación de Dirac:

Durante algún tiempo no se supo cómo incluir ese espín en la ecuación de ondas del electrón, hasta que Dirac trabajando para construir una teoría cuántica-relativista del electrón encontró, sin buscarlo, justamente el mismo campo magnético que surge del modelo de electrón con espín. En sus propias palabras: " No me interesaba incluir el espín en la ecuación de onda, ni siquiera consideré esa cuestión. Fue una gran sorpresa para mi descubrir después que el caso más simple ya implicaba el espín."

La obtención por Dirac de una ecuación que, partiendo de primeros principios, permite deducir el espín fue recibida con enorme expectación entre sus colegas en las navidades de 1927, antes de su publicación en los Proceedings of the Royal Society a principios de 1928. Esta ecuación proporcionaba la explicación de los niveles energéticos esperados para el átomo de hidrógeno (sus líneas espectrales : cada tipo de átomo emite un conjunto único de colores, estas líneas de color o líneas espectrales son la "firma" de los átomos).

El espín es un concepto puramente cuántico, realmente no un giro físico:

Estableciendo con precisión la teoría cuántica del momento cinético (o angular), se halla que los valores pueden ser múltiplos semienteros de h (+1/2h ó -1/2h). Esto que puede ser paradójico, pues sugiere la existencia de una acción menor que h o mínimo cuanto de acción, se resuelve precisamente introduciendo el concepto de espín (o momento cinético intrínseco). Mientras que el momento cinético orbital siempre es entero, el espín puede ser semientero.

El espín es un concepto puramente cuántico: clásicamente, el momento angular intrínseco de una partícula puntual sólo puede ser nulo (un punto no puede girar sobre sí mismo). Con relación a los campos cuánticos el espín está relacionado con el número de componentes del campo. siendo S es espín del campo, el número de componentes será igual a 2S+1. Así, un campo escalar es un campo de un componente, es decir, un operador definido en cada punto del espacio-tiempo, y un solo observable o magnitud medible de tipo escalar; los cuantos asociados son partículas de espín cero. Un campo vectorial, como el campo eléctrico, por ejemplo, es un campo de tres componentes: tres operadores en cada punto del espacio-tiempo (tres observables o magnitudes a medir asociadas cada una a un operador). Los cuantos asociados son partículas de espín 1. Las partículas de espín 1/2 son los cuantos de un campo de dos componentes o campo espinorial. Un campo tensorial es un campo de cinco componentes, como el gravitatorio; los cuantos asociados son partículas de espín 2, como el llamado gravitón.

Partículas de fuerza y partículas de materia:

Gracias a la ley de conservación del momento cinético, no hay problema de "semicuanto de acción": si, en una transición, el momento cinético es semientero en el estado inicial, lo es también en el estado final y, por tanto, toda interacción implica un múltiplo necesariamente entero del cuanto de acción. Esta ley de conservación del carácter semientero del momento cinético indica que las partículas de espín semientero encierran una propiedad, en cierto modo indestructible. De hecho, todas las partículas de materia, los fermiones, son partículas de espín semientero, mientras que los cuantos de los campos de interacción o fuerza, los bosones, son partículas de espín nulo o entero. Respecto a los fermiones, el principio de exclusión de Pauli manifiesta la impenetrabilidad de la materia. Mientras que dos o más bosones pueden estar en el mismo estado y la magnitud de la fuerza que representan aumenta, dos fermiones no pueden estar en el mismo estado a la vez según el principio de exclusión de Pauli. Los bosones son partículas de fuerza y los fermiones de materia.

El misterioso "giro" de las partículas cuánticas las convierte en fermiones o partículas de materia, o en bosones o partículas de fuerza. En partículas impenetrables o en partículas capaces de sumar su fuerza para dar mayor o menor intensidad a las interacciones de la materia.

Es recomendable leer el post:La extraña medida cuántica en un espacio de infinitas dimensiones: el espacio de Hilbert.
También el post sobre el condensado Bose-Einstein.

(**) Observación importante: En un principio la explicación lógica era pensar en un giro físico de las partículas que originaría el momento observado, pero la explicación correcta era la introducción de un número cuántico adicional con sólo dos valores posibles, +1/2 h y -1/2 h. Realmente el espín es una propiedad puramente cuántica que se manifiesta como un giro, con su momento correspondiente asociado. No es físicamente un giro de la partícula.


Nueva edición del post. Un abrazo amigos.

2019/10/10

Números primos, números de una sola pieza


Entre los números naturales 1, 2, 3 ,4 , 5, 6, 7, ,..., , n, existen unos números especiales que sólo son divisibles por la unidad y por ellos mismos. Estos números son llamados números primos y desde que se conocen han producido una extraña fascinación entre los matemáticos. Existen infinitos, Euclides realizó la primera demostración conocida de su infinitud alrededor del 300 a.C., pero su distribución, aparentemente aleatoria, sigue siendo una incógnita.

En cierta forma, estos números podríamos decir que son "de una pieza", y todos los demás números naturales se pueden construir a partir de ellos mediante un proceso llamado factorización. Los primeros números primos menores de cien son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. Cada uno de ellos sólo se puede escribir como: 2 = 2, 3 = 3,..., 29 = 29,..., 67=67, ..., etc. Mientras que el resto de números naturales necesitan expresarse en función de los números primos: 4 = 2x2, 9 = 3x3, 6 = 3x2, 8 = 2x2x2, ...,30 = 2x3x5, etc.


Se conoce una importante expresión llamada teorema de los números primos que nos da la cantidad de números primos que existen hasta un determinado número. Aproximadamente, para números suficientemente grandes, la expresión es:cantidad de números primos = (número)/Logaritmo Neperiano(número). Aplicando la fórmula para (número)=1000, obtenemos 145 primos, cuando en realidad hay 168. Para 5000 nos acercamos un poquito más, la expresión nos da 587 y en realidad existen 669, y conforme probamos números mayores nos acercamos más, aunque las cifras convergen muy lentamente: para 1000 el 86,3%, para 5000 el 87,7% y para 50000 el 90%.

Lagunas con ausencia de números primos:

Entre 1 y 100 existen 25 números primos, como hemos visto, y en la lista observamos grupos de números compuestos, una especie de lagunas con ausencia de números primos: del 24 al 28 y del 90 al 96. Entre el 100 y el 200 hay 23 primos: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149,151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191,193, 197, 199. Y encontramos lagunas como la del 182 al 190. Nos podemos preguntar si existen lagunas más grandes entre números primos. A simple vista, parece que no vamos a encontrar ninguna de estas lagunas de forma clara con una suficiente cantidad de números, pero no es así. Podemos encontrar tantas como queramos y de la longitud que deseemos, para ello utilizaremos la siguiente expresión (pueden encontrarse muchas más): n!+2 , desde 2 hasta n. Vamos a ver algunos ejemplos: para n=3, 3!=3x2x1=6; 6+2=8 y 6+3=9. Hemos encontrado la primera laguna formada por el 8 y el 9. Seguimos con n=4: 4!=4x3x2x1=24; 24+2=26, 24+3=27 y 24+4=28. Hemos encontrado tres números compuestos seguidos, pero con esta expresión podemos encontrar cuantos queramos, por ejemplo 101 números seguidos (al menos): 102!+2, 102!+3, 102!+3, ..., 102!+101,102!+102.

¿De cuántas piezas están hechos los números?

Volviendo al título del post, se pueden ver los números compuestos como formados por piezas de números primos. Un número compuesto cualquiera, por ejemplo, el 6 es igual al producto de dos números primos 2x3, podemos considerarlo como formado por dos piezas, la pieza 2 y la pieza 3. En cambio los números primos, como el 7, están formados por sólo una pieza. En un símil musical el número primo podría considerarse como armónico principal y único, y el número compuesto como una composición de armónicos primos que formarían su espectro o descomposición factorial.

Analizando la factorización de un número como producto de números primos, podríamos imaginar que cualquier número está formado por tantas piezas como factores primos lo componen. Se observa como curiosidad que los números del orden de 100 estarían formados, como media, por un producto de 2,7 números primos, los del orden de 1000 por un producto de 2,96 números primos, los de 10000 por un producto de 3,16 números, los de 100000 por 3,3, los de 1000000 por 3,42 y los de 10000000 por 3,64. Observamos que la cantidad de "piezas" necesarias para formar cualquier número aumentan muy lentamente, y ese aumento, además, decrece. Es un tanto asombroso que mientras un número de 3 cifras necesita tres primos para factorizarse (está hecho de tres piezas), uno de 10 cifras sólo necesita cuatro (está hecho de cuatro piezas). Claro que al hablar de piezas estas son tan dispares como el 3 y el 2000003, ambos son números primos.

En un extraño (e imaginario) mundo cuántico formado por números enteros, sería fácil descubrir los números primos. Todos los números compuestos se verían como una borrosa superposición de armónicos primos mientras que los números primos aparecerían claros y estables con una sola configuración fácilmente distinguible. Algo de esto debe le debe ocurrir a Daniel Tammet, un joven autista inglés con una sorprendente capacidad para los números. Cuando piensa en ellos ve formas, colores y texturas que le permiten distinguirlos de una manera asombrosa. Al multiplicar dos números ve dos sombras; al instante aparece una tercera sombra que se corresponde con la respuesta a la pregunta. Cuando piensa en algún número sabe reconocerlo como primo o compuesto. Estuve viendo el reportaje sobre su vida, sus facultades como matemático y su prodigiosa memoria. Sus capacidades son asombrosas. En una semana logró aprender, desde cero, suficiente islandés (un idioma catalogado como muy difícil) para mantener perfectamente una entrevista en la televisión de Islandia.

A alguien le podría parecer que el estudio de los números primos no tiene ninguna utilidad, desde luego se equivoca (ojo, el algoritmo de encriptación RSA nos permite las transacciones fiables). Cualquier saber matemático, por muy absurdo que nos parezca está relacionado con infinidad de campos aparentemente inconexos. Cualquier avance en el conocimiento sobre los números primos, por ejemplo, podría ser decisivo para resolver algún problema del campo más increible que se nos ocurra, tanto matemático como físico. La realidad es conexa y conforme la vamos comprendiendo vemos que el conocimiento que tenemos de ella también lo es.


Una novela sobre investigación de números primos:

Sobre los números primos recuerdo haber leído una novela interesantísima titulada "El tío Petros y la conjetura de Goldbach". La trama discurre a través de las vicisitudes de un matemático obsesionado por comprobar la famosa conjetura de Goldbach sobre los números primos, uno de los problemas abiertos más antiguos en matemáticas. Su enunciado es el siguiente: Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos. Confieso que logró atraparme al igual que le ha pasado a infinidad de lectores. Es muy entretenida y recomendable.

... Mi agradecimiento a la página Descartes, del Ministerio de Educación, que me ha facilitado los cálculos de factorización de grandes números que he necesitado.
... Recomiendo visitar esta magnífica página sobre números primos (en inglés).

Nuestro amigo Tito Eliatron nos envía dos interesantísimos enlaces de su blog a una charla del matemático, Medalla Fields, Terry Tao:Primera parte de la charlasegunda parte. Gracias Tito.

2019/09/19

Nota al margen, el tiempo y el espacio


Ni el espacio ni el tiempo son las dos entidades fundamentales que pensábamos, son emergentes y la entidad fundamental que los determina es cuántica y ligada a la causalidad...(Teoría cuántica de la gravedad).


Ayer y hoy, el tiempo

Ayer tenía 10 años, hoy tengo bastantes más. El tiempo pasa y pasa, no se detiene... Y aunque hay varios tipos de tiempo, el que nos interesa a nosotros, el de nuestro día a día, es implacable. 

Reloj, detalle de Dalí
El tiempo del mundo subatómico, el de las pequeñas partículas que forman todo nuestro universo está regido por la mecánica cuántica y sus extrañas leyes, el tiempo cósmico dominado por grandes masas y velocidades de vértigo se adelanta o atrasa según las propiedades del sistema en donde se mida. Las grandes velocidades o las inmensas masas lo afectan y lo disocian de unos sistemas a otros, según la relatividad general de Einstein. 

En nuestro mundo macroscópico un determinado suceso es seguido por otro, pero en el microcosmos dominado por la mecánica cuántica un sistema puede encontrarse en los dos estados a la vez y en muchos más estados de forma coherente. Precisamente esta extraña propiedad es la que hace tan potentes a los ordenadores cuánticos, capaces de resolver, en su día, procesos prácticamente imposibles para un superordenador clásico. 

Lástima que la coherencia cuántica y la coexistencia de diferentes estados (incompatibles) no sea posible en nuestro incoherente mundo, pero si en ese microcosmos es capaz de existir no perdemos la esperanza de poder entender mejor el tiempo y la manera de domesticarlo.


Mini entrelazada, el espacio
Mini no ha estudiado física, pero sabe de sobra lo que es el espacio. No tiene la agilidad ni la coordinación de movimientos de sus amigos, los otros gatitos del jardín, pero sabe muy bien dentro de sus limitaciones como moverse entre las plantas y los árboles, y donde está el lugar más fresco en verano o el lugar más caliente en invierno. La idea esencial que tenemos del espacio en el que transcurre nuestra vida cotidiana, y sus propiedades no difiere mucho de la idea que tiene Mini, pero en realidad lo que conocemos de él no deja de ser pura apariencia, por raro que nos parezca.
Gatita Mini
El espacio nos separa, observamos todo lo que nos rodea e identificamos diferentes objetos, animales o personas…Están separados en el espacio (y por el espacio), tienen identidades distintas. Pero esto que es evidente a nuestra escala no lo es tanto al nivel de los átomos y partículas que constituyen nuestra materia. A ese nivel, dos o más partículas, si se encuentran en un estado llamado de entrelazamiento cuántico tienen una misma función de onda que las determina como una única entidad: por mucha distancia que separe una partícula de otras entrelazadas con ella seguirán siendo una sola cosa, una sola realidad y lo que le ocurra a una de ellas tendrá una repercusión inmediata en las otras por muy separadas en el espacio que se encuentren Estamos hablando de partículas, de algo extremadamente pequeño, sin embargo, ya se ha observado en experimentos el entrelazamiento de millones de átomos.
Imaginemos que Mini tiene un precioso collar que le avisa cuando yo le voy a poner comida. Es un reloj formado por tres pequeñas piezas entrelazadas cuánticamente como un todo, una de las cuales es una especie de campanilla avisadora. En nuestro mundo no funcionaría así, pero en el microcosmos de la mecánica cuántica Mini podría quedarse con la pieza de la campanilla y las otras dos piezas podrían estar en Australia o en Pekín: el reloj seguiría funcionando como un único sistema y seguiría avisándole la campanilla dos veces al día, por la mañana y por la tarde noche, cada vez que yo le pongo comida.
El espacio, en esencia, no es realmente lo que nos parece. Si lo fuera, la mecánica cuántica no sería tan extraordinariamente extraña. Y no sólo eso, la otra gran teoría de la física, la teoría de la relatividad de Einstein, ya nos demostró que el espacio no permanece invariable como nos indicaba la mecánica clásica de Newton. El espacio no es invariable, se estira o se comprime dependiendo de las propiedades físicas de los sistemas en los que lo medimos. El espacio, desde luego, no es tal como se cree Mini, aunque a ella le importa bien poco.


2019/08/27

La bella teoría y la revista Espacio, sobre el Universo


Lecturas sobre el Universo:

Gracias a Carlos Martín, blogger de Novedades Científicas me enteré, con gran satisfacción, que la revista Espacio nos ha dedicado este mes de noviembre una reseña en el apartado Ciberespacio (página 20): "En esta bitácora se ofrece una ventana a todas las teorías que intentan explicar cómo es nuestro Universo y por qué es de esa manera. Su autor las desgrana de manera sencilla y también encuentra un hueco para comentar libros o noticias al respecto".




Junto a La bella teoría, se citan otros tres blogs científicos muy interesantes: Novedades CiéntíficasCurioso pero inútil y El Tamiz .


En los últimos meses he dedicado algunas entradas a temas relacionados directamente con el espacio. Aprovecho la ocasión para hacer un recordatorio. Se ha hablado del

Big Bang como una explosión en "perfecto orden", sobre
Las corrientes de estrellas,

El misterio de la matería-antimateria o sobre

"Antes" del Big Bang.

La muerte del universo,

Las estrellas como fuente de orden o baja entropía,

Los agujeros negros y su "pelo",

El universo elegante,

Los tres primeros minutos del universo,



Gracias a la revista Espacio y a los pacientes lectores.

2019/06/13

Sobre gravitación cuántica y agujeros negros

Algunas notas, casi al azar, sobre gravitación cuántica y agujeros negros
Sobre espacio-tiempo y paradigma holográfico:
Conforme avanza nuestro conocimiento sobre el universo aparecen más interrogantes, vuelven las eternas preguntas que se han hecho los filósofos de todos los tiempos, aunque la perspectiva ha cambiado sustancialmente. Los principios básicos que vislumbramos sobre la gravedad cuántica nos indican que el propio espacio-tiempo no es el fundamental, eterno e inmóvil referente que siempre hemos creído sino que emerge de una entidad fundamental discreta (no continua) y su propia geometría debe estar inextricablemente ligada a las relaciones causales entre sucesos.
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Extraña luz de agujero negro:
Un agujero negro del que no salga nada (el caso clásico), ni presente al exterior ninguna manifestación cuando engulle materia con mucha entropía, sugiere una forma demasiado fácil de disminuir la entropía de la materia exterior al mismo. Conforme arrojáramos al agujero materia con gran entropía haríamos disminuir la entropía exterior. Serían agujeros por los que se “escaparía” el cumplimiento de la segunda ley de la termodinámica, la tendencia natural al aumento de entropía o desorden (ver nota final sobre la entropía). Desde el Bing Bang, una explosión en perfecto orden , la entropía total del Universo no ha dejado de crecer y así será hasta la llamada muerte térmica .


La extraña luz de los agujeros negros, bautizada como radiación de Hawking que fue quien la descubrió, devuelve desorden, entropía, a nuestro Universo que sigue degradándose sin remedio hasta su muerte final (la energía de la radiación calorífica es la energía más degradada). Sin esa tenue luz los agujeros negros engullirían, además de materia, desorden. El determinismo clásico los hace más negros pero menos reales… la realidad, por una vez, no es tan “negra” como la pintan.

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Dragones alados y agujeros negros:
Agujeros negros, agujeros de gusano, túneles en el espacio-tiempo, viajes en el tiempo, distorsión espacial y temporal, todos estos conceptos que parecen sacados de una novela de ciencia ficción, forman parte ya de la ciencia seria que se investiga en la actualidad, y no deja de ser una paradoja que la física, la ciencia más pura y dura, se ocupe de cuestiones, en otro tiempo, esotéricas. La materia a la que nos agarramos como lo más sólido, simple y real que tenemos se está convirtiendo, cada vez más, en algo lleno de misterio y complejidad. La física cuántica y la teoría de la relatividad general nos la presentan como algo siempre en movimiento que se confunde con el propio espacio y tiempo. Conforme tratamos de entender sus propias entrañas se nos aparece como formando una especie de entidad compleja que algún premio Nóbel no ha dudado en llamar: la materia-espacio-tiempo. Las extrañas criaturas que son los agujeros negros, con la curiosidad que han despertado entre los físicos, a comprender mejor el mundo que nos rodea. En cierta forma su negra belleza ha arrojado un rayo de luz sobre nuestro conocimiento del universo que nos cobija.



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Antes del Big Bang, la espuma cuántica:

La mecánica cuántica nos prepara en cierta forma la mente para imaginar la creación del Universo a partir de una nada cuajada de fluctuaciones cuánticas pre-espaciotemporales. Ya en el Universo actual nos enseña que el vacío es un verdadero hervidero de creación y aniquilación de partículas virtuales que, a distancias del orden de Planck, se convierte en la llamada "espuma" cuántica del espacio-tiempo. En ella nada de lo que conocemos y nos es familiar cuenta pues entramos en los dominios de la desconocida, hasta ahora, gravedad cuántica.
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Radiación de Hawking:
Conforme más sabemos de estas exóticas criaturas estelares, más nos sorprenden. Hemos descubierto que emiten radiación (llamada de Hawking) y no son tan negros como nos los pintaban; que el área de su horizonte de sucesos nos mide toda su entropía y nos delata la magnitud del desorden exterior que ha devorado, y que mueren en medio de un estallido de energía brutal. Parecía que nos lo querían esconder todo, y, sin embargo, nos cuentan cosas que sin ellos nunca habríamos sabido sobre el propio nacimiento del Universo y de su final, pues sus propiedades llevan años alumbrando la dirección que debemos tomar para descubrir la futura teoría de la gravedad cuántica: la llave del pasado y del futuro del Universo.

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Gravitación cuántica, distancia fundamental y teoría de cuerdas:
Una propiedad matemática tan elemental como es la no conmutatividad está en la base de lo que será la futura teoría de gravitación cuántica. Los retículos espaciales que sustituyen a las coordenadas no conmutan, es decir si X es el operador cuántico de la coordenada x e Y es el operador de la y, el producto XY es diferente al producto YX. Las coordenadas clásicas son simples números reales que por descontado son conmutables, pues da lo mismo multiplicar las coordenadas xy en ese orden o en el contrario yx. Esta diferencia tan abismal nos da una idea de la nueva complejidad necesaria para poder describir correctamente la realidad del espaciotiempo.

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Un abrazo amigos.

2019/05/31

Sobre fractales y algo más / About fractals and more


El estudio de un sencillo fractal nos lleva a generalizar una característica esencial que nos permite relacionar a cualquier fractal isotrópico, sea cual sea su dimensión y el escalar que lo representa, con su dependencia con la distancia entre dos de sus puntos. Esto aplicado al estudio de las fluctuaciones de energía del vacío (suponiendo su estructura fractal) nos lleva a sospechar que la especial geometría dimensiones ordinarias/enrolladas, que supone la teoría de supercuerdas, tuvo un papel crucial en la propia naturaleza del cuanto de acción.


The study of a simple fractal leads us to generalize an essential characteristic that allows us to relate to any isotropic fractal, whatever its dimension and the scalar that represents it, with its dependence with the distance between two of its points. This applied to the study of the energy fluctuations of the vacuum (assuming its fractal structure) leads us to suspect that the special geometry ordinary/compacted dimensions, which supposes the theory of superstrings, had a crucial role in the nature itself of the quantum action.

 Desde el principio impresiona la simplicidad y la potencia del concepto de fractal: se construyen con una mínima información, que constituye la esencia de su estructura, y una infinidad de repeticiones gobernadas por esa información (fractal y prefractal).

 
Primera iteración
Un fractal clásico es la llamada curva de Koch, de la que aquí vemos la primera iteración, que resulta de sustituir un segmento de longitud AE por los cuatro segmentos AB, BC, CD y DE. Sobre cada uno de los cuatro segmentos se va repitiendo la misma estructura y obtenemos esta figura en la sexta iteración:

Sexta iteración
 Una figura de una complejidad asombrosa que se ha construido a partir de una serie de repeticiones que siguen la misma tónica que nos indica la primera: a partir de un simple segmento de longitud 3 sustituido por cuatro segmentos, tal como nos indica la primera iteración, de longitud total 4.

El segmento inicial está inmerso en una dimensión, una línea recta, los cuatro segmentos que lo sustituyen trascienden esa dimensión para expresarse ya en dos dimensiones. De hecho, la relación entre esa distancia inicial de valor 3 y la final de valor 4 va a definir la llamada dimensión fractal de la figura resultante. En este caso será (log 4) / (log 3), que da un valor 1,26186: el fractal es capaz de cubrir una dimensión de ese valor, es decir entre una línea y un plano.

Es interesante resaltar que la distancia en línea recta (en una dimensión) entre A y E es de 3, mientras que sobre el fractal (a través del plano) sería de 4. La relación entre estas cantidades y la dimensión fractal (Df) podemos escribirla de otra forma:
              4 = 3Df, que es lo mismo, de otra forma, que escribir Df = log4/log3.
Esto nos está diciendo que la distancia recorrida sobre un fractal (4) es la mínima distancia (3) elevada al valor de la dimensión de dicho fractal. Esta forma veremos que es mucho más interesante para analizar la dependencia espacial de un fractal con la distancia. Porque lo que hablamos para un fractal tan sencillo, de dimensión topológica la unidad, lo podremos generalizar para fractales de dos o tres dimensiones topológicas y de otras cantidades escalares diferentes a las líneas, superficies o volúmenes. El paso previo será generalizar la dimensión fractal a lo que podremos llamar dimensión fractal relativa.

Dimensión fractal relativa: Observando la curva de Koch, como ejemplo de un fractal clásico, podemos decir que su dimensión fractal es:
               Df = 1 + 0,26186 = Dimensión topológica + Coeficiente dimensional
Pues la dimensión topológica de una línea es la unidad, y el coeficiente dimensional que se le suma es tanto mayor cuanto más irregular es el fractal. Si a esta expresión la dividimos por el valor de la dimensión topológica obtenemos la dimensión fractal relativa (que en realidad es un valor adimensional):
         (A)    Dfr. = (Dim.Top. + Coef.) / (Dim.Top.) = 1 + Coef./ Dim.Top.
Al final observamos que obtenemos, para cualquier fractal, una expresión equivalente a la que teníamos para una sencilla curva fractal (siempre que sea isótropo, pues estamos reduciendolo a un fractal semejante de dimensión topológica la unidad).

En general tendremos que el escalar que representa el fractal que estemos estudiando, llamémosle Ef será igual a la distancia implicada elevada a la dimensión fractal relativa, Dfr.    

 Con el descubrimiento del cuanto de acción, nos dimos cuenta de que el vacío se llenaba de la llamada energía del vacío, de fluctuaciones cuánticas de energía …
” el principio de incertidumbre establece que las fluctuaciones cuánticas del vacío están acotadas y dependen del inverso de la distancia: esa es la razón de que observemos el vacío transparente y maravillosamente vacío. Conforme aumenta la distancia las fluctuaciones del vacío son más pequeñas; así podemos disfrutar de todo el mundo que nos rodea, del sol, de los más preciosos paisajes y, en las noches estrelladas, recrearnos en la observación del inmenso firmamento”.

 Un supuesto: La estructura de la energía de las fluctuaciones del vacío tiene estructura fractal.
 Hemos visto que la curva de Koch viene determinada por la distancia en línea recta y la distancia recorrida sobre el plano, según la iteración primera. La distancia mínima (3) elevada al exponente Dimensión fractal nos da el valor de la distancia recorrida sobre el fractal representada por el escalar 4. La energía de las fluctuaciones del vacío depende del inverso de la distancia, es decir que la distancia está elevada al exponente -1. Dicha energía será el escalar que necesitamos para definir la estructura del propio vacío.
  
La expresión (A) la podemos escribir más fácilmente, cambiando cada concepto por letras griegas:
(1)  D/ δ = (δ + ε) / δ   : D= Dim.fractal;  δ= Dim.topológica;   ε= coef. Dimensional o de arrugamiento.   
“El factor negativo, que supone una resta de dimensiones, me hizo pensar en las dimensiones enrolladas previstas por la teoría de supercuerdas, la más prometedora teoría que trata de unificar las cuatro interacciones fundamentales: gravedad, electromagnetismo, fuerza débil y fuerte. Dicha teoría necesita de 9 dimensiones espaciales para ser consistente, y dado que sólo conocemos 3, se ha especulado con la existencia de otras 6 que, supuestamente, estarían “enrolladas” sobre si mismas, compactadas alrededor de un radio extremadamente pequeño (del orden de la longitud de Planck,10-35metros). Así para distancias mucho mayores que ese radio sólo serían perceptibles las 3 dimensiones ordinarias.

En cierta forma, para esas distancias, el número de dimensiones enrolladas se resta al total de las topológicas para dejar tan sólo 3 dimensiones aparentes. Una operación contraria al efecto de la dimensión del factor de arrugamiento (coeficiente dimensional), que se suma a la dimensión topológica.

En la expresión (1) si hallamos el cociente D/δ para un Universo con el mismo número de dimensiones enrolladas que la dimensión del factor de arrugamiento (transformación: δ --> δε), encontramos la expresión siguiente:

(2) D/δ = (δ) / (δ - ε). Para ε = 6, δ =3, el cociente D/δ toma el valor -1 de forma natural y lógica. Sin dimensiones enrolladas el factor ε = 6 supone una dimensión fractal 9 y una dependencia de la energía de las fluctuaciones con la raíz cúbica de la distancia (D/δ = 3). El efecto de las dimensiones enrolladas (en el momento que quedó configurado geométricamente el universo y el propio cuanto de acción) la corrige hasta dejarla dependiente del inverso de la distancia, lo que repercute en la forma en que advertimos el vacío cuántico: completamente vacío y estable.


Para un universo con un número de dimensiones enrolladas (coeficiente dimensional negativo) igual a la dimensión del factor de arrugamiento (coeficiente positivo) de la energía de las fluctuaciones, se consigue la estabilización de esta energía que de otra forma dependería de la raíz cúbica de la distancia y no de su inverso. El vacío y toda la materia que contiene estarían deformados y serían inestables.”




2019/05/16

Estructuras disipativas, método científico y entropía


De la interacción con nuestro entorno intercambiamos materia y obtenemos energía y conocimiento en bruto que después convertimos en ciencia y tecnología. La vida, los ecosistemas y, en cierta forma, las propias sociedades humanas son un tipo especial de estructuras llamadas disipativas que obtienen orden (disminuyen su entropía) a costa del entorno. Son estructuras abiertas que aumentan su información útil a partir de la información exterior. En el límite, este fenómeno es el que lleva a la ciencia a confirmar con experimentos la veracidad de sus teorías

Estructuras disipativas
En el equilibrio o cerca de él, no se produce nada interesante, todo es lineal. Cuando pueden ocurrir cosas sorprendentes es lejos del equilibrio: si llevamos un sistema lo bastante lejos del equilibrio, entra en un estado inestable con relación a las perturbaciones en un punto llamado de bifurcación. A partir de entonces la evolución del sistema está determinada por la primera fluctuación, al azar, que se produzca y que conduzca al sistema a un nuevo estado estable. Una fluctuación origina una modificación local de la microestructura que, si los mecanismos reguladores resultan inadecuados, modifica la macroestructura. Lejos del equilibrio, la materia se autoorganiza de forma sorprendente y pueden aparecer espontáneamente nuevas estructuras y tipos de organización que se denominan estructuras disipativas. Aparece un nuevo tipo de orden llamado orden por fluctuaciones : si las fluctuaciones del ambiente aumentan fuera de límite, el sistema, incapaz de disipar entropía a ese ambiente, puede a veces "escapar hacia un orden superior" emergiendo como sistema más evolucionado.

En estos nuevos tipos de estructuras y orden se basan la vida, la organización de un termitero, los ecosistemas y las propias organizaciones y sociedades humanas. Pero lo más importante es que este nuevo orden en el que el determinismo y el azar se llevan de la mano si que es un universal. Estas estructuras, al igual que la vida no aparecen y progresan por pura casualidad o accidente como se creía.


El método científico como límite del intercambio de información con el entorno.
Como comentaba en el post anterior, nuestros genes transportan una información preciosa conseguida del entorno a través de millones de años de intercambio y evolución. Nacemos, casi, como una hoja de papel en blanco, y a partir de entonces seguimos aprendiendo de nuestro exterior. De nuestros padres, de las demás personas y seres, del comportamiento de los otros, de todo lo que nos pasa y de la información que nos llega. Lo externo, como un todo, nos hace como somos. A la ciencia como estructura, en cierta forma le pasa igual. A través del método científico necesita, para avanzar, contrastar las teorías mediante experimentos que confirmarán o no su adecuación a la realidad. En ese sentido desde la menor prueba al mayor de los experimentos, son la forma de interactuar con el entorno para ganar en orden, información y complejidad. Experimentos tan formidables como los que se están realizando, o se realizarán, con el LHC nos permitirán confirmar un montón de teorías y suposiciones, o nos ayudarán a concebir otras nuevas, que seguirán cambiando nuestra sociedad y a nosotros mismos en un baile sin fin en la escala de la complejidad.


Y en ese curioso "baile", incluso si llega a ocurrir lo que se ha llegado a denominar "La singularidad" (singularidad tecnológica), la aparición de los ordenadores ultralistos (máquinas "más inteligentes que los seres humanos") como cuenta el artículo de 1993 escrito por el ingeniero informático y escritor de ciencia ficción Vernor Vinge, en el que sostiene que la aceleración del progreso tecnológico nos ha llevado "al borde de un cambio comparable a la aparición de la vida humana en la Tierra", la esencia no cambiará. En el hipotético futuro en el que las supermáquinas inteligentes o cualquier supercivilización nos supere, seguirá necesitando de su entorno para aprender y aprender cada vez más, seguirán necesitando contrastar sus hipótesis con la realidad y confrontando su tecnología con esa misma realidad.

Reflexiones: multiversos, espespacio-tiempo, mito
¿Hasta cuando? Hay un límite, nuestro universo no es infinito y su final será la llamada muerte térmica, la uniformidad total de la que ya no se podrá extraer ni energía ni información, el estado de máxima entropía y máximo desorden. Aunque haciendo una suposición más de ciencia ficción que de ciencia, antes de llegar a esto es de suponer que alguna de las civilizaciones más avanzadas habrá aprendido todo lo que se puede aprender sobre las leyes físicas de este universo, y podría tener una tecnología capaz de llevarla a otros universos en estados menos degradados (suponiendo que vivimos en un multiverso).


Entre todo esto, una reflexión más: seguimos suponiendo el espacio y el tiempo como el contenedor fundamental de todo lo que es y acontece en el universo (multiverso), pero las dos teorías física más formidables con las que contamos, la relatividad general y la mecánica cuántica y sobre todo su incipiente fusión a la que llamamos gravedad cuántica, nos cuentan que ni el espacio ni el tiempo son las entidades fundamentales que creemos sino que dimanan de otra puramente cuántica subyacente. El universo, el nuestro, tuvo un principio, pero ¿ el multiverso si existe tuvo un principio o siempre estuvo ahí? Es más, ¿tiene sentido seguir hablando en términos de tiempo y espacio, tal como los conocemos, sabiendo que hay alguna entidad cuántica más fundamental de la que emanan?

Primero fue el mito para explicar la realidad que no entendíamos, le han seguido la filosofía y la ciencia, y conforme avanzamos con ella nos va adentrando en un mundo que cada vez nos parece más mítico y menos real. Caminamos como un ciego que sólo cuenta con su inteligencia y su metódico bastón científico, y vivimos tiempos de grandes cambios que, espero, pronto (1) nos darán una nueva bella teoría sobre gravedad cuántica que nos ayude a entender mejor este mundo y a nosotros mismos. Un abrazo.

(1) Soy muy optimista.
La primera figura (estructuras disipativas) está tomada del estupendo blog "Hombres que corren con lobos"

Un amigo nos comenta sobre el interesantísimo cuento de Isaac Asimov:" La última pregunta". Os lo recomiendo.
Reedición del post del mismo nombre de 2016. Un abrazo amigos.