2014/06/20

Los tres primeros minutos del universo


Este es el título de un clásico de la divulgación científica. El Premio Nobel de Física de 1979 y profesor de la Universidad de Harvard Steven Weinberg nos explica en unos cuantos "fotogramas" la evolución de los tres primeros minutos del universo, previa introducción sobre la expansión del universo y sobre el fondo de radiación. Sus conocimientos sobre el microcosmos, sobre las partículas más pequeñas que forman la materia, nos abren las puertas a un espectáculo grandioso y único. Admite que no se puede empezar la "película" en el tiempo cero y con temperatura infinita, pero las cosas parecen bastante claras ya en el:

Primer fotograma: Cuando apenas ha transcurrido una centésima de segundo y la temperatura se ha enfriado hasta unos cien mil millones de grados Kelvin o absolutos ( el cero está sobre los -273 ºC), el universo está lleno de una sopa indiferenciada de materia y radiación, en estado de casi perfecto equilibrio térmico. Las partículas que más abundan son el electrón y su antipartícula, el positrón, fotones, neutrinos y antineutrinos. El universo es tan denso que incluso los huidizos neutrinos, que apenas interactúan con la materia, se mantienen en equilibrio térmico con el resto de la materia y radiación debido a sus rápidas colisiones. La densidad de la masa-energía en ese momento es del orden de 3,8 mil millones de veces la densidad del agua en condiciones terrestres normales. El tiempo característico de expansión del universo es de 0,02 segundos y el número de partículas nucleares (protones y neutrones) es del orden de un nucleón por 1000 millones de fotones, electrones o neutrinos. Las reacciones más importantes son: (a)Un antineutrino más un protón dan un positrón más un neutrón y viceversa.(b) Un neutrino más un neutrón dan un electrón más un protón y a la inversa.

Segundo fotograma: La temperatura ahora es de 30.000 millones de grados Kelvin y desde el primer fotograma han pasado 0,11 segundos. Nada ha cambiado cualitativamente, aunque la densidad de la energía ha disminuido con la cuarta potencia de la temperatura y el ritmo de expansión ha disminuido con su cuadrado. El tiempo característico de expansión es ahora de 0,2 segundos y las partículas nucleares todavía no se hallan ligadas a núcleos, aunque con la caída de la temperatura es ahora más fácil que los neutrones, más pesados, se conviertan en protones que al revés. Su balance es del 38% de neutrones por el 62% de protones.

Tercer fotograma: La temperatura del universo es de 10.000 millones de grados Kelvin. desde el primer fotograma han pasado 1,09 segundos y la densidad y la temperatura han aumentado el tiempo libre medio de los neutrinos y antineutrinos que empiezan a desacoplarse de la radiación, electrones y positrones y a comportarse como partículas libres. La densidad total de la energía es menor que en el fotograma anterior en la cuarta potencia de la razón de las temperaturas, por lo que viene a ser unas 380.000 veces mayor que la del agua. El tiempo característico de expansión es ahora de unos 2 segundos y los positrones y electrones comienzan a aniquilarse con mayor rapidez de la que pueden ser recreados a partir de la radiación. Todavía no se pueden formar núcleos estables, y la proporción neutrón-protón es ahora 24-76 %.

Cuarto fotograma: La temperatura es ahora de 3.000 millones de grados Kelvin, han pasado 13,82 segundos del primer fotograma y los electrones y positrones empiezan a desaparecer como componentes destacados del universo. El universo está lo bastante frío para que se formen diversos núcleos estables, como el helio común formado por dos protones y dos neutrones (He4). Los neutrones aún se convierten en protones, aunque más lentamente. La proporción de nucleones es ahora del 17% de nuetrones y del 83% de protones.

Quinto fotograma: La temperatura es de 1.000 millones de grados, sólo 70 veces más caliente que el Sol.Desde la primera imagen han pasado tres minutos y dos segundos. Los electrones y positrones han desaparecido, en su mayor parte, y los principales componentes del universo son ahora fotones, neutrinos y antineutrinos. Ahora el universo está lo suficientemente frío para que se mantengan unidos los núcleos del tritio y helio tres, así como los del helio ordinario, pero no se pueden formar, todavía, cantidades apreciables de núcleos más pesados. El balance neutrón-protón es ahora del 14-86 %.

Un poco más tarde: A los tres minutos y cuarenta y seis segundos del primer fotograma, la temperatura es de 900 millones de grados Kelvin y comienza la nucleosíntesis, la proporción en peso de helio es ya el doble de la proporción de neutrones entre las partículas nucleares, es decir del orden del 26%. A los 34 minutos y cuarenta segundos del primer fotograma (300 millones de grados) los procesos nucleares se han detenido y las partículas nucleares están ahora en su mayoría ligadas a núcleos de helio o son protones libres. hay un electrón por cada protón libre o ligado, pero la temperatura es todavía alta para que formen átomos estables.

Durante 700.000 años más el universo seguirá expandiendose y enfriándose, pero no ocurrirá nada de interés.Después podrán formarse núcleos y átomos estables y la falta de electrones libres hará que el contenido del universo sea transparente a la radiación. El desacoplamento de la materia y la radiación permitirá a la materia comenzar a crear galaxias y estrellas."Después de otros 10.000 millones de años, aproximadamente, los seres vivos comenzarán a reconstruir esta historia".
El primer fotograma podría resumirse como:" Al principio fue la luz". La radiación (luz) y la materia en equilibrio térmico y estado indiferenciado. Es la impresión más fuerte que guardo de cuando leí el libro la primera vez.

Libro:
"Los tres primeros minutos del universo". Steven Weinberg. Madrid 1980. Alianza Universidad. 
Nota: La segunda figura es el mapa de las anisotropías del fondo de radiación cósmica.

Reedición de uno de mis post clásicos. ¡Feliz verano amigos!

2014/05/31

Lisofractales, "lisos" por fuera y rugosos por dentro (1)


Imaginemos una línea fractal tan irregular e intrincada que fuera capaz de llenar el propio espacio tridimensional. Esta línea tendría una dimensión fractal de valor 3, porque es capaz de recubrir un espacio de dimensión 3 mientras su dimensión topológica es de sólo 1. Dado que la dimensión fractal es igual a la dimensión topológica más un coeficiente dimensional, en este caso dicho coeficiente sería nada menos que 2. En los fractales más “lisos” y regulares la dimensión fractal es mayor que su dimensión topológica (como ocurre con todo fractal) pero la diferencia entre ambas debe ser mucho menor que el 10%¡ En el caso de la línea fractal que nos ocupa es del 200 %!

Recreación Fractal  Artística 1: Navegando con Ulises Blogspot.com

Las líneas fractales tienen una dependencia muy determinada con la distancia. En el caso de la línea fractal de dimensión 3 la distancia que la aleja de cualquier punto arbitrario es del orden de la raíz cúbica del espacio total recorrido desde que pasó por dicho punto. En el movimiento browniano que tiene dimensión 2, la distancia efectiva a cualquier punto arbitrario es la raíz cuadrada  de la distancia total recorrida. En general la distancia total recorrida es la distancia efectiva elevada a la potencia d, siendo ésta la dimensión fractal de la línea.


Esta dependencia de las líneas fractales con la distancia se puede extender a superficies o a espacios con dimensión topológica mayor de una forma sencilla, siempre que las propiedades del fractal sean lo más isótropas posibles. Para ello dividimos la dimensión fractal del objeto a estudiar por su dimensión topológica y al resultado lo llamaremos dimensión fractal relativa. En cierta forma convertimos al fractal estudiado en una línea fractal, aunque lógicamente la trasformación no conserva las propiedades direccionales o anisótropas del fractal original.

Recreación Fractal Artística 2: Luisamr.blogspot.com

Los fractales que he llamado lisofractales exhiben sus curiosas propiedades en espacios en donde algunas de sus dimensiones son despreciables respecto a las otras. Puede haber recintos espaciales de N dimensiones en donde algunas de esas dimensiones queden reducidas a su mínima expresión: de hecho, entonces, el número de dimensiones significativas será un número N1 menor que N.


Vamos a ver un sencillo cálculo sobre todo esto: Imaginemos un fractal con dimensión topológica d y con un coeficiente dimensional e . Su dimensión fractal será:  d + e  . Y su dimensión fractal relativa será:  (d + e)/d  (Expresión A).
Ahora supongamos que restamos al número de dimensiones topológicas un valor igual a e de forma que d se convierte en d - e (nuevo valor de las dimensiones significativas). Entonces, el nuevo valor de la dimensión fractal relativa será ( sustituyendo d por d-e):
Nuevo valor de la dimensión fractal relativa = d /(d-e) (Expresión B).     
Hay una diferencia significativa entre la (Expresión A) y la (Expresión B), la primera sólo puede ser positiva pero la segunda puede ser, también, negativa. De hecho nos interesa  la posibilidad de que su valor sea (-1). En ese caso: d /(d-e)= -1. Que se cumple para
el valor de las nuevas dimensiones significativas d igual a e/2

Esquema explicativo sobre Lisofractales: los puntos representan focos de irregularidad del mismo.
En los lisofractales la magnitud del escalar que determina el fractal depende de la distancia elevada a (-1), es decir dicha magnitud es muy considerable en las pequeñas distancias e insignificante en las distancias mayores: "Liso por fuera (a lo lejos) y rugoso por dentro (de cerca)". Hay que destacar que considerando la (Expresión A), es decir sin restar ninguna dimensión topológica, la dependencia del fractal con la distancia dependería de la distancia elevada a 3, que es el valor de la expresión para d igual a e/2


Se puede generalizar para diferentes valores de la (Expresión B), no sólo (-1) que es el caso estudiado. Para valores más negativos: (-2), (-3), (-4),….., etc, el lisofractal se alisa muchísimo más en las grandes distancias, dado que estamos hablando de números que son exponentes negativos de la distancia, sin embargo el valor de la (Expresión A)  sólo va pasando muy lentamente de 3, para (Expresión B= -1), hasta 2, para (Expresión B= - infinito).



Los lisofractales nos indican que un medio fractal, muy irregular e intrincado a ciertas distancias, puede ser observado a otras distancias mayores como un medio completamente diferente y con apariencia regular y liso. Pero no estamos hablando de observarlo a distancia desde un punto exterior a él, sino desde su interior. Las observaciones sobre su irregularidad, en su interior, para una distancia d son completamente diferentes para otra distancia  n veces d. Lo podemos observar más claramente en el dibujo esquemático de arriba.


Para terminar, y de forma ilustrativa, añadiré que el VACÍO CUÁNTICO  exhibe las propiedades de un LISOFRACTAL,desde un punto de vista puramente geométrico.


Nota (1): La palabra "liso" proviene de la raíz griega liz (lis): “que no presenta asperezas ni rugosidad”. La palabra "fractal" viene del latín fractus, que significa quebrado o fracturado.

2014/05/20

Notas varias, collage claroscuro tirando al negro

Algunas notas, casi al azar, sobre gravitación cuántica y agujeros negros

Sobre espacio-tiempo y paradigma holográfico:
Conforme avanza nuestro conocimiento sobre el universo aparecen más interrogantes, vuelven las eternas preguntas que se han hecho los filósofos de todos los tiempos, aunque la perspectiva ha cambiado sustancialmente. Los principios básicos que vislumbramos sobre la gravedad cuántica nos indican que el propio espacio-tiempo no es el fundamental, eterno e inmóvil referente que siempre hemos creído sino que emerge de una entidad fundamental discreta (no continua) y su propia geometría debe estar inextricablemente ligada a las relaciones causales entre sucesos.
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Extraña luz de agujero negro:
Un agujero negro del que no salga nada (el caso clásico), ni presente al exterior ninguna manifestación cuando engulle materia con mucha entropía, sugiere una forma demasiado fácil de disminuir la entropía de la materia exterior al mismo. Conforme arrojáramos al agujero materia con gran entropía haríamos disminuir la entropía exterior. Serían agujeros por los que se “escaparía” el cumplimiento de la segunda ley de la termodinámica, la tendencia natural al aumento de entropía o desorden (ver nota final sobre la entropía). Desde el Bing Bang, una explosión en perfecto orden , la entropía total del Universo no ha dejado de crecer y así será hasta la llamada muerte térmica .


La extraña luz de los agujeros negros, bautizada como radiación de Hawking que fue quien la descubrió, devuelve desorden, entropía, a nuestro Universo que sigue degradándose sin remedio hasta su muerte final (la energía de la radiación calorífica es la energía más degradada). Sin esa tenue luz los agujeros negros engullirían, además de materia, desorden. El determinismo clásico los hace más negros pero menos reales… la realidad, por una vez, no es tan “negra” como la pintan.

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Dragones alados y agujeros negros:
Agujeros negros, agujeros de gusano, túneles en el espacio-tiempo, viajes en el tiempo, distorsión espacial y temporal, todos estos conceptos que parecen sacados de una novela de ciencia ficción, forman parte ya de la ciencia seria que se investiga en la actualidad, y no deja de ser una paradoja que la física, la ciencia más pura y dura, se ocupe de cuestiones, en otro tiempo, esotéricas. La materia a la que nos agarramos como lo más sólido, simple y real que tenemos se está convirtiendo, cada vez más, en algo lleno de misterio y complejidad. La física cuántica y la teoría de la relatividad general nos la presentan como algo siempre en movimiento que se confunde con el propio espacio y tiempo. Conforme tratamos de entender sus propias entrañas se nos aparece como formando una especie de entidad compleja que algún premio Nóbel no ha dudado en llamar: la materia-espacio-tiempo. Las extrañas criaturas que son los agujeros negros, con la curiosidad que han despertado entre los físicos, a comprender mejor el mundo que nos rodea. En cierta forma su negra belleza ha arrojado un rayo de luz sobre nuestro conocimiento del universo que nos cobija.



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Antes del Big Bang, la espuma cuántica:

La mecánica cuántica nos prepara en cierta forma la mente para imaginar la creación del Universo a partir de una nada cuajada de fluctuaciones cuánticas pre-espaciotemporales. Ya en el Universo actual nos enseña que el vacío es un verdadero hervidero de creación y aniquilación de partículas virtuales que, a distancias del orden de Planck, se convierte en la llamada "espuma" cuántica del espacio-tiempo. En ella nada de lo que conocemos y nos es familiar cuenta pues entramos en los dominios de la desconocida, hasta ahora, gravedad cuántica.
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Radiación de Hawking:
Conforme más sabemos de estas exóticas criaturas estelares, más nos sorprenden. Hemos descubierto que emiten radiación (llamada de Hawking) y no son tan negros como nos los pintaban; que el área de su horizonte de sucesos nos mide toda su entropía y nos delata la magnitud del desorden exterior que ha devorado, y que mueren en medio de un estallido de energía brutal. Parecía que nos lo querían esconder todo, y, sin embargo, nos cuentan cosas que sin ellos nunca habríamos sabido sobre el propio nacimiento del Universo y de su final, pues sus propiedades llevan años alumbrando la dirección que debemos tomar para descubrir la futura teoría de la gravedad cuántica: la llave del pasado y del futuro del Universo.

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Gravitación cuántica, distancia fundamental y teoría de cuerdas:
Una propiedad matemática tan elemental como es la no conmutatividad está en la base de lo que será la futura teoría de gravitación cuántica. Los retículos espaciales que sustituyen a las coordenadas no conmutan, es decir si X es el operador cuántico de la coordenada x e Y es el operador de la y, el producto XY es diferente al producto YX. Las coordenadas clásicas son simples números reales que por descontado son conmutables, pues da lo mismo multiplicar las coordenadas xy en ese orden o en el contrario yx. Esta diferencia tan abismal nos da una idea de la nueva complejidad necesaria para poder describir correctamente la realidad del espaciotiempo.

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Un abrazo amigos.

2014/03/17

Polvo fractal con dimensión entera (reedición de un post clásico)


Como comentaba en el post sobre el “Vacío cuántico, vacío fractal ”,  la existencia del cuanto de acción ha destruido por completo la propia noción de trayectoria clásica.

Laurent Nóttale complementó la definición de Richard Feynman (1965) y A. Hibbs sobre las trayectorias virtuales típicas de una partícula cuántica, indicando que los caminos cuánticos posibles son, en número infinitos, y todos son curvas fractales caracterizadas por una propiedad geométrica común: su dimensión fractal es 2.

En algunos foros he leído que no se entendía bien lo de la dimensión fractal entera, en este caso 2, pero tal como indicaba en la expresión general de la dimensión fractal:

Dimensión fractal = dimensión topológica + factor dimensional

( El factor dimensional, siempre positivo, es tanto mayor cuanto más irregular es el fractal: indica la capacidad de ocupar más espacio del que indica su propia dimensión topológica)

Si el factor dimensional es entero, también lo será la dimensión fractal. Eso es lo que ocurre con las trayectorias virtuales en mecánica cuántica y también en una serie de fractales típicos, como puede ser el fractal del movimiento browniano en un plano (dimensión fractal 2)  o la curva de Peano (dimensión fractal 2) que tiene más de 100 años de existencia.


Si una curva clásica tiene dimensión topológica 1, cuando hablamos de curvas fractales con una dimensión  entre 1 y 2 estamos indicando que son capaces de ocupar parte del plano. Y es precisamente esa capacidad la que viene expresada por el factor dimensional.  En el caso de la curva de Peano o del movimiento browniano, en el límite, ocupan todo el plano, de ahí que su dimensión fractal sea 2 , la propia dimensión del plano.



Como ejemplo, todavía más llamativo, observamos en la figura un fractal clásico
 (el primero que se conoce), el polvo de Cantor que toma toma su nombre de Georg  Cantor  que en 1883 lo utilizó como herramienta de investigación para una de sus principales preocupaciones: el continuo.





A partir de una recta se le van quitando los segmentos centrales hasta conseguir una serie infinita de puntos aislados, de ahí el nombre de polvo. Si restablecemos de forma escalonada  el segmento que antes le quitábamos, el nuevo fractal sigue  teniendo estructura quebrada y autosemejante , pero ahora en lugar de tener una dimensión fractal igual a log 2/ log 3 tiene una dimensión entera: log 3/ log 3 =1. Nos ayuda, también,  a entender como se calcula, de forma práctica, la dimensión fractal de una figura.



Esta otra figura es una síntesis de dos de los fractales clásicos, Koch  y  Cantor, y nos ayuda de forma intuitiva a entender el cálculo de su dimensión fractal. En la figura original de Koch, sobre los segmento A1-B1-D1-E1 se construye  la figura que forman los segmentosA-B-C-D-E. Su dimensión fractal es  log 4/ log 3  ( cuatro segmentos sobre tres). En la nueva construcción se ha sustraido 1/4 de cada uno de los segmentos superiores para dejar 4 segmentos de longitud 3/4: al final son 3 sobre 3 (log 3/ log 3 = 1).

Se pueden construir infinidad de fractales con dimensión entera y, precisamente, esa irregularidad que representa una dimensión fractal entera en un fractal creo que nos ayuda a entendelos mejor.

NOTA: Este post se publicó también en la revista Ciencia Abierta de la Universidad de Chile, en el número 31, sección de Educación, artículo nº 14 de dicha sección. Allí se añadió una parte más sobre la llamada dimensión de Hausdorff-Besicovitch:


En 1975 Benoit Mandelbrot publicó un ensayo titulado” Los objetos fractales: forma, azar y dimensión”. En la introducción comentaba los conceptos de objeto fractal y fractal como términos que había inventado a partir del adjetivo latino “fractus” ( roto, fracturado). Posteriormente, en 1982, publicó el libro “The Fractal Geometry of Nature”, en donde proponía : “Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.”

De forma simplificada, esa dimensión tan rara se podría entender de la siguiente manera: Una línea recta de longitud N queda recubierta por un número N de segmentos de longitud unidad. Podemos expresarlo diciendo que longitud_línea = N(+1). Un cuadrado con lado N queda recubierto por N2 pequeños cuadrados de lado la unidad. De forma similar a la línea se puede expresar que superficie_cuadrado = (N)(+2). Sabemos que una línea recta tiene dimensión topológica 1 y una superficie dimensión 2. Para
recubrirlos necesitamos un elemento similar pero más pequeño ND veces (en estos ejemplos de magnitud unidad). En general, el exponente D , generalizado a cualquier objeto, representa la dimensión de Hausdorff-Besicovitch del objeto.

Han sido propuestas otras definiciones y, de hecho, estamos ante un concepto geométrico para el que aún no existe un una definición precisa, ni una teoría única y comúnmente aceptada.

Kenneth Falconer, en su obra titulada “Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications”, en 1990, describe un concepto de estructura fractal ‘F’ como la que satisface alguna(s) de las propiedades siguientes:
(1).- “F” posee detalle a todas las escalas de observación;
(2).- No es posible describir “F” con Geometría Euclidiana, tanto local
como globalmente;
(3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística;
(4).- La dimensión fractal de “F” es mayor que su dimensión topológica;
(5).- El algoritmo que sirve para describir “F” es muy simple, y
posiblemente de carácter recursivo.

En resumen, una técnica análoga a la que los biólogos aplican al concepto de vida.

Cuando observamos un fractal, de hecho, apreciamos algo que nos es familiar, más cercano que las perfectas figuras geométricas clásicas que nos han enseñado en el colegio.

Las ramificaciones de los árboles, las roturas imperfectas de una montaña o una costa, la disposición de la máxima superficie en un mínimo espacio de nuestro tejido pulmonar...

Los fractales nos acercan a la compleja "simplicidad" de la Naturaleza.

2014/02/03

Agujeros negros/blancos y paradigma holográfico


Curiosidades sobre hologramas
Además de ser tridimensional, la imagen registrada en un holograma difiere
de una fotografía convencional en un sentido muy importante.Si se corta
una fotografía normal por la mitad, cada parte contendrá sólo la mitad de
la imagen contenida en la fotografía original. En cambio, si se corta un
holograma por la mitad y se proyecta un haz de láser a través de una de
las secciones, se comprobará que cada mitad contiene la imagen
completa del holograma original, con menor definición. Cada
diminuta parte del holograma contiene no sólo su propio "bit" de
información, sino también todo otro "bit" de información correspondiente
al resto de la imagen; en consecuencia, se puede cortar un holograma
en pedazos y cada porción individual contendrá una versión borrosa pero
completa de la imagen entera. Dicho de otro modo, en un holograma
cada parte de la imagen interpenetra todas las demás partes,
de la misma forma que en el universo no local todas sus partes se interpenetran.

Seguir leyendo.. (El universo como holograma multidimensional)



Agujero negro/agujero blancoEn una ocasión, meditando sobre
este fenómeno tan asombroso
pensé en lo que significan los
agujeros negros con relación al
resto del universo. En cierta
forma, pensé, si admitimos que el
universo es un inmenso holograma
(David Bohm), cada agujero negro supone una especie de "corte", o separación, en dicho holograma. En un sentido clásico esa separación no tendría trascendencia pero en el sentido holográfico ese pedazo de universo separado intentaría reproducir, de forma más borrosa, al universo entero:
Podría significar que se abre a un nuevo espacio-tiempo, en forma de agujero blanco, creando un nuevo universo con una constante
de Planck mayor que en el nuestro, porque supondría una menor
definición, un "grano fotográfico" mayor y un universo "más borroso",
con menor grado de información.



Constante de mínima acción y máxima información en una región del espacio
Continuando con este razonamiento y partiendo de la igualdad que liga tres
constantes universales para definir la menor longitud posible Lp (longitud
de Planck), (Lp)2 = h G/c3, observamos que el cociente Lp2/h que liga el
cuanto de acción con la superficie de Planck lo podemos igualar a un cociente
de constantes G/c3(constante de la gravitación universal dividida por
velocidad de la luz al cubo). A priori, parece lógico que si en un universo
nuevo emergente, más "borroso" que el nuestro, el valor del cuanto de
acción es mayor también lo debería ser la mínima longitud definible en él.
Por lo que vemos, realmente, queda relacionado el valor de h no con Lp
sino con Lp2 , con una superficie. Seguir leyendo...
Es significativo, porque la máxima información contenida en
cualquier región del espacio depende de la superficie que la
envuelve, expresada en unidades mínimas de superficie de
Planck (Lp2 ). En cierta forma parece que, en el hipotético caso de que
en otros universos la constante de mínima acción de Planck sea diferente,
ésta estaría relacionada con la cantidad de información que puedan encerrar
dichos universos.

Reedición del post del mismo título de fecha 18/2/2011. Un abrazo amigos.

2014/01/26

Sobre el amor, las ciencias y las letras

Libro de notas cerró el pasado 20 de diciembre, después de más de 10 años y 200.000 seguidores en twitter. Era "El diarío de los mejores contenidos de La Red en español" y  tuve el honor de ser colaborador del mismo durante seis años. Esta fue mi última columna:
Una personita muy importante para mí, con apenas cinco años, me sorprendía con afirmaciones trascendentes sobre el infinito y algunas otras cuestiones peliagudas. Recuerdo que un día me dejó perplejo al soltarme a bocajarro: “ Papá, el infinito nunca para, siempre se está haciendo”. No sé cómo llegó a esa conclusión ni en base a qué, pero en su mente infantil era una evidencia pura e incontestable. Aquellas afirmaciones parecían relacionadas con las cuestiones sobre la vida, la muerte o el mundo que parecen preocupar en un momento determinado de la primera infancia a muchos niños.
Han pasado los años y con veintiuno ha descubierto algo tan inconmensurable como aquello: el amor. Cuando le dije que iba a escribir el último post en LdN me volvió a dejar perplejo, como tantas veces más: me pidió que lo escribiera sobre ese sentimiento tan importante en nuestras vidas (¡¿?!). Entonces me vino a la mente una antigua reflexión que versaba sobre el Paraíso Perdido y la perfecta comunicación que debimos perder con él :” Nuestra obsesión por hacernos oír, por comunicarnos debe venir de la añoranza del Paraíso Perdido. No puedo imaginar un Paraíso más perfecto que aquel en que cada pensamiento y sentimiento se comunicaban “sin llegar a comunicarse”. Sólo pensando o sintiendo se hacían, de inmediato, “públicos” . No existía diferencia entre público y privado, todo debía fluir espontáneamente, sin salir del yo ya era de todos y al contrario. No había barreras, no había límites… “
En la medida que la incomunicación nos hace desgraciados, imagino lo dichosos que nos debía hacer la perfecta comunicación (amor) en el Paraíso Perdido”. El amor llena el ansia de completud que tenemos desde que perdimos el Paraíso y se nos desterró al aislamiento e incompletud de nuestro ser. Cuando amamos somos uno con el ser amado, volvemos a ser completos, recuperamos lo perdido y por eso, mientras no lo encontramos, pasamos la vida buscándolo. Eso vale para las personas y, en cierta forma, para lo que nos hace felices. Y ahí entran, también, nuestras aficiones, nuestros pequeños o grandes amores por las ciencias o las letras: amor por el teatro, por la literatura, por la pintura … y, ¿por qué no?, por las matemáticas y sus hermosos teoremas, o por la física, o por los animales y la biología…
Gerald Holton es profesor de física e historiador de la ciencia en Harvard y un verdadero especialista en Einstein, hasta tal punto que fue la persona elegida por la familia del científico para clasificar toda su documentación, después de su muerte. Una vez, le preguntaron, cuál es la característica esencial de un científico y Holton respondió: “Tal vez mis colegas sonrían, pero creo que igual que algunas personas están enamoradas del dinero y otras se enamoran del arte, los científicos están enamorados de la química o de la física o de las matemáticas… El científico se enamora muy joven y deja todo de lado por ese amor . Stephen Jay Gould decía que la ciencia significa que al final del día, en el laboratorio, sabes que el 99% del tiempo de trabajo ha sido tiempo perdido, y encima todavía tienes que limpiar las jaulas de los ratones. La ciencia es una actividad que exige muchísima dedicación y tiempo”.
La ciencia, el arte o la filosofía, por ejemplo, cuando los amamos de verdad nos hacen completos. Y en ocasiones llegamos a tener “relaciones” tormentosas no sólo con la persona que amamos sino con nuestras más arraigadas aficiones, capaces de absorbernos totalmente. En todo lo que nos enamora siempre está la búsqueda de la felicidad y la completud “perdida”.
Al final el amor y el infinito no son tan distintos. En cierta forma ese infinito de los cinco años se corresponde con el infinito que llena el corazón enamorado a los veintiuno .
Despido esta columna, después de casi siete años, con una última reflexión sobre las ciencias y las letras: No es tan diferente un científico de un poeta (un artista). La poesía está ahí, como las leyes de la naturaleza o el más precioso de los teoremas, solo hace falta descubrirla. El poeta descubre la belleza, al igual que el científico; extrae la poesía de la realidad, de la misma forma que el científico es capaz de extraer las leyes que la gobiernan. Ante la armonía, la simplicidad inteligente y la belleza de las soluciones que adopta la naturaleza, el científico se convierte en poeta. Y sólo así es capaz de desentrañar sus leyes más profundas. De hecho, las simetrías desempeñan un papel esencial en la ciencia actual. Se han realizado espectaculares descubrimientos con la simple presunción, y posterior comprobación, de ciertas simetrías matemáticas – ¿poesía? – que la naturaleza se empeña en respetar. Hasta tal punto es así que la aventura científica se convierte en la búsqueda de las más sencillas y potentes simetrías capaces de descifrar, de la forma más simple, la aparente complejidad del mundo que nos rodea . En cierta forma, la complejidad, tal como la entendemos y vivimos, no es más que un reflejo de nuestras propias limitaciones. La poesía es capaz de soslayarlas y dejarnos entrever el mundo maravilloso que existe más allá de nuestros límites racionales. El progreso de la ciencia necesita del científico/poeta capaz de cambiar el marco de nuestra visión miope de la realidad.
Cambiando las referencias de partida las preguntas más complejas se convierten en respuestas obvias. Cada vez que las preguntas se complican necesitamos reformularlas dentro de un nuevo marco en el que se hace imprescindible la valentía del artista/científico y el rigor del científico/artista. El arte es humano y la ciencia también. Y en todo lo humano cuenta, y mucho, el corazón .
A mis hijas Alba y Zoe
¡¡¡Viva LibrodeNotas !!!

2014/01/02

El bucle fractal



Hola amigos, esta entrada es fruto de mi colaboración con el colectivo DeHavilland (Barcelona). El número 7 del fanzine Clift#7 gira en torno al bucle, la repetición y el infinito como conceptos abstractos que el ser humano difícilmente es capaz de abarcar pero que, por alguna razón, nos fascina ...

"Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y las cortezas de los árboles no son lisas, ni los relámpagos viajan en línea recta". Benoït Mandelbrot, de su libro Introduction to The Fractal Geometry of Nature.

La geometría tan intuitiva que nos enseñan en la escuela, basada en líneas, puntos y superficies (geometría euclídea) supone, en realidad, un gran esfuerzo de abstracción porque estos elementos idealizados no existen en el mundo cotidiano. Una línea real o una superficie están llenas de irregularidades que pasamos por alto para abstraer su esencia y plasmarla en conceptos más sencillos como recta y plano.

Clift número 7: El bucle.

Con los fractales deshacemos esa abstracción y nos acercamos un poco más al objeto real. Benoït Mandelbrot, en cierta forma, el "inventor de la geometría fractal" utiliza el ejemplo sencillo de un objeto real, como son las costas de los países, para aproximarnos a los fractales. Son líneas quebradas que siguen teniendo un aspecto parecido cuando cambiamos de escala. Precisamente estas dos propiedades son las que definen a un fractal: estructura fracturada, de ahí su nombre, y autosemejanza con el cambio de escala. Medimos su grado de fractura e irregularidad con un simple número que llamamos dimensión fractal.

El fractal, como la propia vida, parte de una especie de "semilla geométrica" que requiere una mínima información y su estructura se desarrolla por métodos recursivos a partir de ella (bucles). Su potencia constructiva reside en la iteración de una mínima estructura geométrica que viene definida por un simple número: su dimensión fractal. Un fractal clásico es la curva de Koch, matemático sueco que la describió en 1904. Es como un copo de nieve (se le suele llamar copo de nieve de Koch) y su dimensión fractal igual a 1,26186... Obedece a una semilla geométrica que consiste en sustituir un segmento recto “___“, de medida 3,  por cuatro segmentos quebrados “_/\_”, donde los dos centrales forman un pico con ángulo de 60 º. A cada uno de estos cuatro segmentos se le vuelve aplicar la misma iteración y así de forma indefinida. Tanto las plantas como los animales somos el resultado de un proceso similar, a partir de la célula huevo de la que procedemos. En el ADN del núcleo se encuentran codificados sus sistemas vitales y sus órganos, todo lo que será, al nacer, el nuevo individuo. Pero si toda esa información estuviera contenida de forma directa y lineal, como se encuentra en un libro, no habría forma de que la célula original la pudiera contener. Una forma más eficiente sería tener codificada sólo la instrucción que se debe repetir para formar un órgano, de la misma forma en la que funcionan los fractales. Y esa es la forma de guardar información a la que ha llevado el fenómeno de la evolución de las especies.

En los procesos constructivos de la vida, la naturaleza recrea estructuras fractales en base a su simplicidad y aprovechamiento máximo de un mínimo de recursos. En los procesos de rotura y fracturación que conlleva la formación del paisaje inanimado, la naturaleza al romper estructuras ordenadas en varios niveles deja ver ese orden en la propia fractura. Los materiales se rompen porque antes han estado unidos y su cohesión inicial respondía a unas determinadas características que, también, quedan reflejadas con la dimensión fractal de la rotura.

“… La naturaleza y el ser humano pintan con distinto pincel los infinitos cuadros que encierra el paisaje. La diferencia está en la geometría. Por un lado, la geometría euclidiana, fría, trazada con tiralíneas por la razón humana, a golpe de máquina, ya sea ésta un simple arado o una potente excavadora. Por otro, la cálida y obstinada geometría de la curva y de la bifurcación dibujada sensualmente por la naturaleza”. Una introducción al mundo de los fractales. PARQUE de las CIENCIAS. Granada.

La geometría fractal es una geometría de la naturaleza, mientras que la  euclídea, que nos han enseñado desde pequeños, es artificial y humana. Nos podemos preguntar por qué razón ésta ha “triunfado” sobre aquella. En realidad, la razón que buscamos la podemos encontrar en la propia palabra “geometría” que es la conjunción de dos palabras griegas “geo”, tierra, y “metria”, medida. La geometría euclídea nació, en principio, para medir la tierra, los campos las propiedades. La línea recta es la más fácil de medir. Los soberanos necesitaban medir las tierras para saber los tributos que tenían que pedir, o bien al realizar la compraventa de un terreno se debía saber con exactitud su medida. Cualquier otra geometría no basada en la recta y en las figuras geométricas regulares no habría sido nada práctica.

Clift número 6

Una línea recta que mida 20 metros es posible medirla en un momento, con un sencillo instrumento que llamamos metro. Un fractal que de extremo a extremo mida, también, esos 20 metros puede medir 40, 60, 80 o muchísimo más metros dependiendo de la mínima unidad de medida que adoptemos. Si para medirlo tomamos una cinta flexible que se adapte bastante bien a sus irregularidades obtendremos una medida, pero con otra cinta que se adapte aún mejor conseguiremos otra medida mayor. Si el fractal que queremos medir fuese un fractal matemático perfecto su longitud, de hecho, sería infinita, ¡aunque de extremo a extremo midiese 20 metros!

Debido a la autosimilitud, se dice que las estructuras fractales no varían con la escala a la que se miren. Al observar las ramas de un árbol advertimos que cada rama vuelve a dividirse en ramas más pequeñas, y éstas a su vez siguen dividiéndose. Con un rio y sus afluentes ocurre lo mismo: si lo observamos en su conjunto tiene la misma estructura que al observar sus afluentes y subafluentes. La geometría de la vida se funde con la geometría de la tierra en un único paisaje donde predomina la curva y la ramificación, el paisaje natural generado por la repetición de mecanismos simples y persistentes.

Los fractales:
- Son objetos esencialmente sencillos, se generan fácilmente por ordenador. Mediante muy pocas órdenes de programación, y a partir de un número mínimo de datos (semilla geométrica), se crean verdaderas maravillas de una riqueza y complejidad extraordinarias. El fractal de Mandelbrot es un ejemplo. Conforme intentamos ampliar, con medios informáticos, cualquiera de sus partes nos encontramos con un nuevo paisaje similar al original pero con nuevos y sorprendentes detalles. Podemos seguir así cuanto deseemos y nos permita la potencia de nuestro ordenador, se nos seguirá mostrando un nuevo mundo fantástico, que nunca llega a repetirse, en cada nueva ampliación. Un mundo surgido casi de la nada, de una sencilla expresión que se encadena y realimenta con nuevos datos.

 La observación de estos fractales creados por ordenador, nos recuerda siempre a algún objeto natural desconocido pero cercano, posiblemente, porque esa economía de medios para lograr complejidad es una característica muy propia de la naturaleza. Es la estrategia adoptada para lograr la mejor distribución de los vasos sanguíneos por todo el cuerpo, la disposición óptima del ramaje de los árboles o de los pliegues del cerebro para conseguir la mayor superficie en el mínimo espacio.

- Son capaces de ocupar un espacio de mayor dimensión que su propia dimensión topológica (o aparente). De hecho, la dimensión fractal siempre superior a la aparente mide esa capacidad del fractal: una línea que, lógicamente, tiene una dimensión unidad puede ocupar por completo un espacio de dos dimensiones como es un plano, por ejemplo. Es el caso del movimiento browniano o aleatorio, de dimensión fractal 2. Una superficie completamente plana tiene dimensión 2, pero si la arrugamos es capaz de ir ocupando más y más la tercera dimensión hasta poder ocupar un espacio de tres dimensiones. Lo lineal es incapaz de "salirse" de su dimensión: una línea recta sólo se puede transformar en otra línea recta, la recursividad no la lleva a nada nuevo ni diferente. A un plano perfecto le ocurre lo mismo, la recursividad lo hace volver, infinitamente, sobre sí mismo sin ninguna posibilidad de transformación, pero la no linealidad de un fractal es capaz de descubrirnos mundos de infinita complejidad a base de una simplicidad reiterada.
Clift#4: Hez

- “Esconden" de forma natural parte de su magnitud: una superficie arrugada o una línea  muy irregular y retorcida pueden esconder su verdadera superficie o longitud en varios órdenes de magnitud. La superficie de nuestros pulmones tiene una dimensión fractal de alrededor de 2,7, es decir cerca de 3, y mide alrededor de… ¡100 metros cuadrados! La corteza cerebral humana con una dimensión fractal de 2,8  supone, también, una optimización del espacio craneal existente. Si la naturaleza nos hubiera construido con geometría euclidiana o lineal tendríamos una cabeza inmensa, para poder alojar esa misma corteza cerebral lisa, sin arrugas. Lo mismo ocurriría si consideráramos toda la superficie pulmonar necesaria o la red vascular: arterias, venas y capilares. Seríamos una especie de monstruos ineficientes e inviables condenados a desaparecer.

El orden lleva asociado un grado importante de predicción, al caos le sucede lo contrario. Los sistemas lineales, representan el orden, son predecibles y cómodos de manejar, de ahí nuestra tendencia a generalizarlos. Ante un sinfín de situaciones generalizamos, proyectamos los datos del presente para tratar de averiguar un comportamiento futuro y casi siempre nos va bien. Pero existen sistemas que se resisten: pequeñas variaciones, incertidumbres, en los datos iniciales desembocan en situaciones finales totalmente descontroladas e impredecibles. Son los llamados sistemas caóticos.

El estudio de estos sistemas se realiza en el llamado espacio de fases, un espacio abstracto en el que se representan todas las variables dinámicas del sistema. La  representación de los sistemas caóticos da lugar a unas figuras geométricas llamadas atractores extraños que son en realidad fractales. El primero de éstos fue hallado, por casualidad, por el meteorólogo Edward Lorenz cuando trataba de encontrar un modelo matemático que permitiera predecir el comportamiento de grandes masas de aire. Cuando reflexionó sobre los resultados se dio cuenta que el sistema era extremadamente sensible a las condiciones iniciales: pequeñas perturbaciones en los datos de partida tienen una gran influencia sobre el resultado final. El atractor captaba la esencia de la verdadera atmósfera.

Vio más que azar en su modelo del tiempo: una fina estructura geométrica, orden disfrazado de casualidad. Para explicar de una manera gráfica – y exagerada - la cuestión se le ocurrió que el simple aleteo de una mariposa, que no se hubiera tenido en cuenta en los datos iniciales, podía modificar una predicción hasta hacerla totalmente inviable después de un determinado tiempo (el efecto mariposa).

Los fractales, sencillas estructuras no lineales y autosemejantes definen la esencia de la forma de las montañas, de los ríos, del ramaje de los árboles, de los pliegues de nuestros pulmones o de nuestro cerebro. Los encontramos, también, en las propias entrañas del impredecible tiempo atmosférico, en el simple aleteo de una mariposa capaz de cambiar el tiempo atmosférico a miles de kilómetros, y en una infinidad de procesos no lineales que necesitan del “bucle fractal” para desarrollarse en toda su riqueza, desde la absoluta simplicidad. Como decía Mandelbrot, fueron tomados como monstruos cuando nacieron de brillantes mentes matemáticas a finales del siglo XIX, pero su apariencia, contraria a la intuición, se ha convertido en un instrumento indispensable para aprehender la realidad que nos rodea.