2014/10/12

La muerte del Universo

La entropía es un concepto sumamente interesante, y en cierta forma enigmático, ligado al grado de desorden de la materia y la energía de un sistema. El segundo principio de la termodinámica establece que en un sistema cerrado, tal como el propio Universo, sus parámetros característicos se desarrollarán de tal forma que tenderán a maximizarla, es decir, a llevar al sistema a un máximo desorden. Dado que la forma más degradada de energía es la energía térmica, en cualquier sistema cerrado, toda la energía tenderá a acabar de esa manera: en un estado de total equilibrio termodinámico y a una temperatura cercana al cero absoluto, que impedirán cualquier posibilidad de extracción de energía útil. Es la llamada “muerte térmica”, el estado de mayor desorden posible o de máxima entropía.
Nuestro Universo como sistema cerrado está sujeto a ese destino de forma irremediable. La entropía esta aumentando incesantemente en las estrellas tanto como en nuestro planeta. Esto significa que, con el tiempo, las estrellas agotarán su combustible nuclear y morirán, convirtiéndose en masas muertas de materia nuclear. El universo se oscurecerá a medida que las estrellas, una a una, dejen de centellear. Todas las estrellas se convertirán en agujeros negros, estrellas de neutrones o estrellas enanas frías, dependiendo de su masa.
Posteriormente, según las Teorías de Gran Unificación,toda la materia tal como la conocemos, nuestros cuerpos, la Tierra o el sistema solar se desintegrará en partículas más pequeñas tales como electrones y neutrinos.
Después de un periodo, prácticamente inimaginable en nuestra escala temporal, la temperatura del universo se acercará al cero absoluto, pero incluso en un universo desolado y frío, a temperaturas próximas al cero absoluto, existe una última fuente remanente de energía: los agujeros negros. Según Hawking, no son completamente negros, dejan escapar energía lentamente al exterior.Pero ¿y después, cuando los agujeros negros en evaporación hayan agotado la mayor parte de su energía?.
Para un universo según la física clásica la muerte es irremediable, pero para un universo mecanocuántico sujeto a escalas temporales tan formidables no se puede descartar ningún tipo de raro suceso cuántico-cósmico, capaz de trastocar el más triste de los destinos.
El Universo nació con el mínimo de entropía y el máximo orden. En cierta forma partía como un reloj con la máxima cuerda. Conforme avanzamos en el tiempo la cuerda se va acabando y va apareciendo más y más desorden hasta la muerte térmica. Como ejemplo nos valdría imaginar un enorme tubo lleno de monedas perfectamente ordenadas, una encima de otra. Así sería el nacimiento del Universo. Las dejamos caer sobre una gran mesa de forma que todavía tengamos bastantes montoncitos ordenados, por ejemplo, con la cara de las monedas hacia arriba, y la mayoría del resto de las monedas sueltas también con la cara conservando la misma orientación. Esa situación podría asemejarse al estado del Universo actual. Finalmente, si imaginamos el final, estarían todas las monedas sueltas sobre la mesa, sin formar ningún montón y con la orientación de la cara/cruz totalmente aleatoria: un completo desorden.
La probabilística mecánica cuántica no descarta que después de miles de millones, de millones… y millones de años, dando una “palmada a la mesa”, vuelvan a ordenarse nuevamente las monedas de forma “milagrosa”. Es lo que tiene la mecánica cuántica. Parafraseando a Humphrey Bogart, en Casablanca, podríamos decir que “siempre nos quedará la mecánica cuántica”.

Post de mi antigua columna "Ciencias y letras", en Libro de notas.

2014/09/21

Libertad cuántica

Hola amigos, en un tiempo en que una serie de pueblos, tradicionalmente oprimidos, tratan de despojarse de viejos sistemas autocráticos y despertar a la libertad, las partículas más elementales que forman toda la materia de nuestro universo nos dan una lección de su caracter indomable. La libertad, en cierta forma, está impresa más allá de nuestros genes en la esencia de la propia materia. Paso a reeditaros un antiguo post que habla de la "libertad cuántica". Un abrazo.



Las partículas elementales parecen poseer una cierta "libertad cuántica". Para ellas los sucesos no están estrictamente determinados, como lo fueron para las partículas en la física clásica del siglo XIX, y poseen un elemento de elección dentro de ciertos límites, siempre que en promedio obedecezcan las leyes clásicas. El cuanto de acción, h, les da esa libertad.

Tratemos de confinar un electrón dentro de un núcleo atómico. Después de todo ¿por qué no deben los electrones ser un componente de los núcleos como los protones y los neutrones? Los neutrones experimentan una desintegración radiactiva que los convierte en un protón y un electrón (radiación beta). Por tanto, un electrón atrapado por un protón para formar un neutrón parecería una idea razonable, pero el electrón rehúsa cooperar, se niega a ser confinado.

Un electrón confinado a un espacio de dimensiones nucleares debe tener longitudes de onda asociadas a él tan cortas, al menos, como el diámetro del núcleo. Si las ondas fueran mayores significaría que el electrón consume la mayor parte de su tiempo fuera del núcleo, y eso no funcionaría. Sin embargo, las longitudes de onda cortas implican una restricción en espacio, y ello debe estar equilibrado por un incremento del momento con objeto de conservar su cuanto de acción fundamental, h ( (incremento de espacio) x (incremento de momento) = cuanto de acción (h)) . El electrón tendría tanta energía cinética que saldría de su jaula nuclear. El encarcelamiento no puede realizarse. Los electrones no pueden existir dentro del núcleo en un estado estable, a menos que se ejerza una tremenda fuerza para vencer su empuje hacia la libertad.

Sólo una fuerza tan inmensa como la presión de una estrella que se desintegra bajo su propia gravedad puede apiñar electrones en núcleos para formar un cuerpo compuesto completamente por neutrones: la estrella de neutrones. Y ello es una medida gráfica de lo fuerte que es la urgencia de libertad del electrón. Necesita que un cuerpo del tamaño de una estrella se siente sobre él.

Cada vez que tratamos de restringir la libertad cuántica de un electrón, ya sea forzándolo a entrar en algún espacio o dirigiéndolo a través de hendiduras, éste insiste en su libertad de acción y la manifiesta de una forma característica, y no sólo de forma pasiva. Puede promover su libertad violando las leyes ( clásicas) de la conservación de la energía y el momento.


Del estupendo librito " Tiempo, espacio y cosas", de B.K. Ridley, título original "Time, space and things", publicado por Cambridge University Press. Traducción de 1989 del Fondo de Cultura Económica. Pura belleza al servicio de la divulgación científica.

Reciente teoría:

Puede que el comportamiento de las partículas cuánticas no sea tan extraño. Según una reciente teoría que conjuga nuestro conocimiento sobre fractales y agujeros negros, las partículas podrían ser comparadas con una serie de trenes moviéndose sobre una intrincada red fractal de vías. La aparente libertad que observamos en su movimiento se ciñe a ese entramado de vías que desconocemos. No podemos forzar cualquier movimiento arbitrario que permita que el “tren se salga de la vía”.
Ese entramado de vías se correspondería con el llamado conjunto invariante del universo, un mínimo de información subyacente que engloba el número total de estados posibles en el mismo. La supuesta libertad del electrón se ceñiría a seguir ese conjunto mínimo de información que determina, aunque no lo veamos, sus movimientos. (Ciencia Kanija).

2014/08/04

Leyes del caos, vida e inteligencia


La ciencia del caos, curiosamente, ha hecho una aportación trascendental para mejorar nuestra comprensión del mundo. Hasta ahora se creía que la vida y con ella la inteligencia eran puras casualidades pero ahora sabemos que la materia, ciega en el equilibrio, manifiesta potencialidades imposibles en otras condiciones alejadas del mismo siempre que haya la necesaria aportación de energía. Con las leyes que rigen nuestro no hubo más que esperar el tiempo necesario para que las estrellas crearan los átomos imprescindibles para la vida y ésta progresara, a través de organismos cada vez más sofisticados y adaptados al ambiente de forma más eficiente, permitiendo que apareciese la inteligencia en especies evolucionadas como la nuestra.


Si la vida y la inteligencia vienen impresas en las propias leyes que nos rigen la posibilidad de vida e inteligencia extraterrestres están aseguradas.Ilya Prigogine, recibió el premio Nobel de Química en el año 1977 por su aporte al conocimiento de las "estructuras disipativas" en el mundo físico, es decir, el estudio de la aparición del orden en condiciones alejadas del equilibrio. El término estructura disipativa busca representar la asociación de las ideas de orden y disipación. El nuevo hecho fundamental es que la disipación de energía y de materia, que suele asociarse a la noción de pérdida y evolución hacia el desorden, se convierte, lejos del equilibrio, en fuente de orden. Estas estructuras están en la base de la vida y en ellas el orden se establece en base a ecuaciones de evolución no lineal, de mucha mayor complejidad que cerca del equilibrio en donde las soluciones son mucho más simples y se pueden linealizar.

Potencialidad:
Lejos del equilibrio existen muchas soluciones, potencialidades que no existen cerca del equilibrio. Esta riqueza nos puede guiar mucho mejor para comprender fenómenos complejos como la historia del clima, de la Tierra y de la propia vida. Todo esto está ligado a una estructura de no equilibrio que era incomprensible desde una perspectiva antigua: el no equilibrio no es sólo degradación, sino también construcción. Ni el tiempo repetitivo de la mecánica ni el tiempo-degradación de la termodinámica clásica pueden explicar la riqueza del mundo tal como lo vemos. La naturaleza inventa. Nada es reversible. Y su dimensión temporal dista de agotarse en la concepción matemática de un tiempo absoluto, como la concepción abstracta de la mecánica clásica. En los sistemas sencillos no caóticos su atractor, una especie de representación de sus variables dinámicas, es una figura geométrica simple o un punto, mientras que en los caóticos son figuras de una complejidad extraordinaria llamados atractores extraños. De esa complejidad se pueden extraer infinitas posibilidades para la evolución futura del sistema.


Los mecanismos de organización en las estructuras disipativas sólo pueden aparecer cuando el medio externo mantiene, mediante la aportación energética, el sistema alejado del equilibrio. La estructura es creada y mantenida gracias al intercambio de energía con el exterior. Por eso las llamamos estructuras disipativas. En ciertas condiciones críticas externas, las ínfimas fluctuaciones naturales y constantes de un sistema pueden, en vez de atenuarse, amplificarse y arrastrar el sistema en una u otra dirección. La rama de la bifurcación que escogerá el sistema es imprevisible, pues el fenómeno es aleatorio y parece fruto del azar.

La segunda ley, orden y desorden:
En un sistema aislado, la segunda ley de la termodinámica nos enseña que el desorden, la entropía, aumenta irremediablemente, pero eso no impide que una parte de ese sistema con una aportación de energía y materia de su entorno aumente su orden y disminuya su entropía. La suma total de entropía sigue aumentando, pero esa parte del sistema se organiza a costa de aumentar el desorden a su alrededor. Esa es la historia esencial de los organismos vivos. Cuando las condiciones externas cambian y se vuelven extremas el organismo entra en crisis y aparecen fenómenos aleatorios de bifurcación que le dan opciones de supervivencia. El sistema elige una de las opciones que se adaptará mejor o peor a las nuevas condiciones. Si elige bien vuelve a encontrar un periodo de estabilidad regido por el orden, si vuelve a entrar en crisis volverá el desorden y la nueva elección.

Hasta Prigogine, la ciencia pensaba que la vida era una especie de casualidad, un raro fenómeno difícil de reproducir, pero con Prigogine hemos aprendido que la materia lejos del equilibrio manifiesta potencialidades imposibles en otras condiciones. La intuición de que era posible elaborar una termodinámica general de sistemas vivos o abiertos y de sistemas cerrados, aislados e inertes, le valio a Ilya Prigogine el Premio Nobel de Química.

Algo más sobre el caos:


Historia, dignidad y efecto mariposa.

Efecto mariposa, un atráctor extraño.


Reedición del post de fecha 17/12/2010. ¡¡¡Feliz verano amigos!!!

2014/06/20

Los tres primeros minutos del universo


Este es el título de un clásico de la divulgación científica. El Premio Nobel de Física de 1979 y profesor de la Universidad de Harvard Steven Weinberg nos explica en unos cuantos "fotogramas" la evolución de los tres primeros minutos del universo, previa introducción sobre la expansión del universo y sobre el fondo de radiación. Sus conocimientos sobre el microcosmos, sobre las partículas más pequeñas que forman la materia, nos abren las puertas a un espectáculo grandioso y único. Admite que no se puede empezar la "película" en el tiempo cero y con temperatura infinita, pero las cosas parecen bastante claras ya en el:

Primer fotograma: Cuando apenas ha transcurrido una centésima de segundo y la temperatura se ha enfriado hasta unos cien mil millones de grados Kelvin o absolutos ( el cero está sobre los -273 ºC), el universo está lleno de una sopa indiferenciada de materia y radiación, en estado de casi perfecto equilibrio térmico. Las partículas que más abundan son el electrón y su antipartícula, el positrón, fotones, neutrinos y antineutrinos. El universo es tan denso que incluso los huidizos neutrinos, que apenas interactúan con la materia, se mantienen en equilibrio térmico con el resto de la materia y radiación debido a sus rápidas colisiones. La densidad de la masa-energía en ese momento es del orden de 3,8 mil millones de veces la densidad del agua en condiciones terrestres normales. El tiempo característico de expansión del universo es de 0,02 segundos y el número de partículas nucleares (protones y neutrones) es del orden de un nucleón por 1000 millones de fotones, electrones o neutrinos. Las reacciones más importantes son: (a)Un antineutrino más un protón dan un positrón más un neutrón y viceversa.(b) Un neutrino más un neutrón dan un electrón más un protón y a la inversa.

Segundo fotograma: La temperatura ahora es de 30.000 millones de grados Kelvin y desde el primer fotograma han pasado 0,11 segundos. Nada ha cambiado cualitativamente, aunque la densidad de la energía ha disminuido con la cuarta potencia de la temperatura y el ritmo de expansión ha disminuido con su cuadrado. El tiempo característico de expansión es ahora de 0,2 segundos y las partículas nucleares todavía no se hallan ligadas a núcleos, aunque con la caída de la temperatura es ahora más fácil que los neutrones, más pesados, se conviertan en protones que al revés. Su balance es del 38% de neutrones por el 62% de protones.

Tercer fotograma: La temperatura del universo es de 10.000 millones de grados Kelvin. desde el primer fotograma han pasado 1,09 segundos y la densidad y la temperatura han aumentado el tiempo libre medio de los neutrinos y antineutrinos que empiezan a desacoplarse de la radiación, electrones y positrones y a comportarse como partículas libres. La densidad total de la energía es menor que en el fotograma anterior en la cuarta potencia de la razón de las temperaturas, por lo que viene a ser unas 380.000 veces mayor que la del agua. El tiempo característico de expansión es ahora de unos 2 segundos y los positrones y electrones comienzan a aniquilarse con mayor rapidez de la que pueden ser recreados a partir de la radiación. Todavía no se pueden formar núcleos estables, y la proporción neutrón-protón es ahora 24-76 %.

Cuarto fotograma: La temperatura es ahora de 3.000 millones de grados Kelvin, han pasado 13,82 segundos del primer fotograma y los electrones y positrones empiezan a desaparecer como componentes destacados del universo. El universo está lo bastante frío para que se formen diversos núcleos estables, como el helio común formado por dos protones y dos neutrones (He4). Los neutrones aún se convierten en protones, aunque más lentamente. La proporción de nucleones es ahora del 17% de nuetrones y del 83% de protones.

Quinto fotograma: La temperatura es de 1.000 millones de grados, sólo 70 veces más caliente que el Sol.Desde la primera imagen han pasado tres minutos y dos segundos. Los electrones y positrones han desaparecido, en su mayor parte, y los principales componentes del universo son ahora fotones, neutrinos y antineutrinos. Ahora el universo está lo suficientemente frío para que se mantengan unidos los núcleos del tritio y helio tres, así como los del helio ordinario, pero no se pueden formar, todavía, cantidades apreciables de núcleos más pesados. El balance neutrón-protón es ahora del 14-86 %.

Un poco más tarde: A los tres minutos y cuarenta y seis segundos del primer fotograma, la temperatura es de 900 millones de grados Kelvin y comienza la nucleosíntesis, la proporción en peso de helio es ya el doble de la proporción de neutrones entre las partículas nucleares, es decir del orden del 26%. A los 34 minutos y cuarenta segundos del primer fotograma (300 millones de grados) los procesos nucleares se han detenido y las partículas nucleares están ahora en su mayoría ligadas a núcleos de helio o son protones libres. hay un electrón por cada protón libre o ligado, pero la temperatura es todavía alta para que formen átomos estables.

Durante 700.000 años más el universo seguirá expandiendose y enfriándose, pero no ocurrirá nada de interés.Después podrán formarse núcleos y átomos estables y la falta de electrones libres hará que el contenido del universo sea transparente a la radiación. El desacoplamento de la materia y la radiación permitirá a la materia comenzar a crear galaxias y estrellas."Después de otros 10.000 millones de años, aproximadamente, los seres vivos comenzarán a reconstruir esta historia".
El primer fotograma podría resumirse como:" Al principio fue la luz". La radiación (luz) y la materia en equilibrio térmico y estado indiferenciado. Es la impresión más fuerte que guardo de cuando leí el libro la primera vez.

Libro:
"Los tres primeros minutos del universo". Steven Weinberg. Madrid 1980. Alianza Universidad. 
Nota: La segunda figura es el mapa de las anisotropías del fondo de radiación cósmica.

Reedición de uno de mis post clásicos. ¡Feliz verano amigos!

2014/05/31

Lisofractales, "lisos" por fuera y rugosos por dentro (1)


Imaginemos una línea fractal tan irregular e intrincada que fuera capaz de llenar el propio espacio tridimensional. Esta línea tendría una dimensión fractal de valor 3, porque es capaz de recubrir un espacio de dimensión 3 mientras su dimensión topológica es de sólo 1. Dado que la dimensión fractal es igual a la dimensión topológica más un coeficiente dimensional, en este caso dicho coeficiente sería nada menos que 2. En los fractales más “lisos” y regulares la dimensión fractal es mayor que su dimensión topológica (como ocurre con todo fractal) pero la diferencia entre ambas debe ser mucho menor que el 10%¡ En el caso de la línea fractal que nos ocupa es del 200 %!

Recreación Fractal  Artística 1: Navegando con Ulises Blogspot.com

Las líneas fractales tienen una dependencia muy determinada con la distancia. En el caso de la línea fractal de dimensión 3 la distancia que la aleja de cualquier punto arbitrario es del orden de la raíz cúbica del espacio total recorrido desde que pasó por dicho punto. En el movimiento browniano que tiene dimensión 2, la distancia efectiva a cualquier punto arbitrario es la raíz cuadrada  de la distancia total recorrida. En general la distancia total recorrida es la distancia efectiva elevada a la potencia d, siendo ésta la dimensión fractal de la línea.


Esta dependencia de las líneas fractales con la distancia se puede extender a superficies o a espacios con dimensión topológica mayor de una forma sencilla, siempre que las propiedades del fractal sean lo más isótropas posibles. Para ello dividimos la dimensión fractal del objeto a estudiar por su dimensión topológica y al resultado lo llamaremos dimensión fractal relativa. En cierta forma convertimos al fractal estudiado en una línea fractal, aunque lógicamente la trasformación no conserva las propiedades direccionales o anisótropas del fractal original.

Recreación Fractal Artística 2: Luisamr.blogspot.com

Los fractales que he llamado lisofractales exhiben sus curiosas propiedades en espacios en donde algunas de sus dimensiones son despreciables respecto a las otras. Puede haber recintos espaciales de N dimensiones en donde algunas de esas dimensiones queden reducidas a su mínima expresión: de hecho, entonces, el número de dimensiones significativas será un número N1 menor que N.


Vamos a ver un sencillo cálculo sobre todo esto: Imaginemos un fractal con dimensión topológica d y con un coeficiente dimensional e . Su dimensión fractal será:  d + e  . Y su dimensión fractal relativa será:  (d + e)/d  (Expresión A).
Ahora supongamos que restamos al número de dimensiones topológicas un valor igual a e de forma que d se convierte en d - e (nuevo valor de las dimensiones significativas). Entonces, el nuevo valor de la dimensión fractal relativa será ( sustituyendo d por d-e):
Nuevo valor de la dimensión fractal relativa = d /(d-e) (Expresión B).     
Hay una diferencia significativa entre la (Expresión A) y la (Expresión B), la primera sólo puede ser positiva pero la segunda puede ser, también, negativa. De hecho nos interesa  la posibilidad de que su valor sea (-1). En ese caso: d /(d-e)= -1. Que se cumple para
el valor de las nuevas dimensiones significativas d igual a e/2

Esquema explicativo sobre Lisofractales: los puntos representan focos de irregularidad del mismo.
En los lisofractales la magnitud del escalar que determina el fractal depende de la distancia elevada a (-1), es decir dicha magnitud es muy considerable en las pequeñas distancias e insignificante en las distancias mayores: "Liso por fuera (a lo lejos) y rugoso por dentro (de cerca)". Hay que destacar que considerando la (Expresión A), es decir sin restar ninguna dimensión topológica, la dependencia del fractal con la distancia dependería de la distancia elevada a 3, que es el valor de la expresión para d igual a e/2


Se puede generalizar para diferentes valores de la (Expresión B), no sólo (-1) que es el caso estudiado. Para valores más negativos: (-2), (-3), (-4),….., etc, el lisofractal se alisa muchísimo más en las grandes distancias, dado que estamos hablando de números que son exponentes negativos de la distancia, sin embargo el valor de la (Expresión A)  sólo va pasando muy lentamente de 3, para (Expresión B= -1), hasta 2, para (Expresión B= - infinito).



Los lisofractales nos indican que un medio fractal, muy irregular e intrincado a ciertas distancias, puede ser observado a otras distancias mayores como un medio completamente diferente y con apariencia regular y liso. Pero no estamos hablando de observarlo a distancia desde un punto exterior a él, sino desde su interior. Las observaciones sobre su irregularidad, en su interior, para una distancia d son completamente diferentes para otra distancia  n veces d. Lo podemos observar más claramente en el dibujo esquemático de arriba.


Para terminar, y de forma ilustrativa, añadiré que el VACÍO CUÁNTICO  exhibe las propiedades de un LISOFRACTAL,desde un punto de vista puramente geométrico.


Nota (1): La palabra "liso" proviene de la raíz griega liz (lis): “que no presenta asperezas ni rugosidad”. La palabra "fractal" viene del latín fractus, que significa quebrado o fracturado.

2014/05/20

Notas varias, collage claroscuro tirando al negro

Algunas notas, casi al azar, sobre gravitación cuántica y agujeros negros

Sobre espacio-tiempo y paradigma holográfico:
Conforme avanza nuestro conocimiento sobre el universo aparecen más interrogantes, vuelven las eternas preguntas que se han hecho los filósofos de todos los tiempos, aunque la perspectiva ha cambiado sustancialmente. Los principios básicos que vislumbramos sobre la gravedad cuántica nos indican que el propio espacio-tiempo no es el fundamental, eterno e inmóvil referente que siempre hemos creído sino que emerge de una entidad fundamental discreta (no continua) y su propia geometría debe estar inextricablemente ligada a las relaciones causales entre sucesos.
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Extraña luz de agujero negro:
Un agujero negro del que no salga nada (el caso clásico), ni presente al exterior ninguna manifestación cuando engulle materia con mucha entropía, sugiere una forma demasiado fácil de disminuir la entropía de la materia exterior al mismo. Conforme arrojáramos al agujero materia con gran entropía haríamos disminuir la entropía exterior. Serían agujeros por los que se “escaparía” el cumplimiento de la segunda ley de la termodinámica, la tendencia natural al aumento de entropía o desorden (ver nota final sobre la entropía). Desde el Bing Bang, una explosión en perfecto orden , la entropía total del Universo no ha dejado de crecer y así será hasta la llamada muerte térmica .


La extraña luz de los agujeros negros, bautizada como radiación de Hawking que fue quien la descubrió, devuelve desorden, entropía, a nuestro Universo que sigue degradándose sin remedio hasta su muerte final (la energía de la radiación calorífica es la energía más degradada). Sin esa tenue luz los agujeros negros engullirían, además de materia, desorden. El determinismo clásico los hace más negros pero menos reales… la realidad, por una vez, no es tan “negra” como la pintan.

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Dragones alados y agujeros negros:
Agujeros negros, agujeros de gusano, túneles en el espacio-tiempo, viajes en el tiempo, distorsión espacial y temporal, todos estos conceptos que parecen sacados de una novela de ciencia ficción, forman parte ya de la ciencia seria que se investiga en la actualidad, y no deja de ser una paradoja que la física, la ciencia más pura y dura, se ocupe de cuestiones, en otro tiempo, esotéricas. La materia a la que nos agarramos como lo más sólido, simple y real que tenemos se está convirtiendo, cada vez más, en algo lleno de misterio y complejidad. La física cuántica y la teoría de la relatividad general nos la presentan como algo siempre en movimiento que se confunde con el propio espacio y tiempo. Conforme tratamos de entender sus propias entrañas se nos aparece como formando una especie de entidad compleja que algún premio Nóbel no ha dudado en llamar: la materia-espacio-tiempo. Las extrañas criaturas que son los agujeros negros, con la curiosidad que han despertado entre los físicos, a comprender mejor el mundo que nos rodea. En cierta forma su negra belleza ha arrojado un rayo de luz sobre nuestro conocimiento del universo que nos cobija.



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Antes del Big Bang, la espuma cuántica:

La mecánica cuántica nos prepara en cierta forma la mente para imaginar la creación del Universo a partir de una nada cuajada de fluctuaciones cuánticas pre-espaciotemporales. Ya en el Universo actual nos enseña que el vacío es un verdadero hervidero de creación y aniquilación de partículas virtuales que, a distancias del orden de Planck, se convierte en la llamada "espuma" cuántica del espacio-tiempo. En ella nada de lo que conocemos y nos es familiar cuenta pues entramos en los dominios de la desconocida, hasta ahora, gravedad cuántica.
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Radiación de Hawking:
Conforme más sabemos de estas exóticas criaturas estelares, más nos sorprenden. Hemos descubierto que emiten radiación (llamada de Hawking) y no son tan negros como nos los pintaban; que el área de su horizonte de sucesos nos mide toda su entropía y nos delata la magnitud del desorden exterior que ha devorado, y que mueren en medio de un estallido de energía brutal. Parecía que nos lo querían esconder todo, y, sin embargo, nos cuentan cosas que sin ellos nunca habríamos sabido sobre el propio nacimiento del Universo y de su final, pues sus propiedades llevan años alumbrando la dirección que debemos tomar para descubrir la futura teoría de la gravedad cuántica: la llave del pasado y del futuro del Universo.

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Gravitación cuántica, distancia fundamental y teoría de cuerdas:
Una propiedad matemática tan elemental como es la no conmutatividad está en la base de lo que será la futura teoría de gravitación cuántica. Los retículos espaciales que sustituyen a las coordenadas no conmutan, es decir si X es el operador cuántico de la coordenada x e Y es el operador de la y, el producto XY es diferente al producto YX. Las coordenadas clásicas son simples números reales que por descontado son conmutables, pues da lo mismo multiplicar las coordenadas xy en ese orden o en el contrario yx. Esta diferencia tan abismal nos da una idea de la nueva complejidad necesaria para poder describir correctamente la realidad del espaciotiempo.

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Un abrazo amigos.

2014/03/17

Polvo fractal con dimensión entera (reedición de un post clásico)


Como comentaba en el post sobre el “Vacío cuántico, vacío fractal ”,  la existencia del cuanto de acción ha destruido por completo la propia noción de trayectoria clásica.

Laurent Nóttale complementó la definición de Richard Feynman (1965) y A. Hibbs sobre las trayectorias virtuales típicas de una partícula cuántica, indicando que los caminos cuánticos posibles son, en número infinitos, y todos son curvas fractales caracterizadas por una propiedad geométrica común: su dimensión fractal es 2.

En algunos foros he leído que no se entendía bien lo de la dimensión fractal entera, en este caso 2, pero tal como indicaba en la expresión general de la dimensión fractal:

Dimensión fractal = dimensión topológica + factor dimensional

( El factor dimensional, siempre positivo, es tanto mayor cuanto más irregular es el fractal: indica la capacidad de ocupar más espacio del que indica su propia dimensión topológica)

Si el factor dimensional es entero, también lo será la dimensión fractal. Eso es lo que ocurre con las trayectorias virtuales en mecánica cuántica y también en una serie de fractales típicos, como puede ser el fractal del movimiento browniano en un plano (dimensión fractal 2)  o la curva de Peano (dimensión fractal 2) que tiene más de 100 años de existencia.


Si una curva clásica tiene dimensión topológica 1, cuando hablamos de curvas fractales con una dimensión  entre 1 y 2 estamos indicando que son capaces de ocupar parte del plano. Y es precisamente esa capacidad la que viene expresada por el factor dimensional.  En el caso de la curva de Peano o del movimiento browniano, en el límite, ocupan todo el plano, de ahí que su dimensión fractal sea 2 , la propia dimensión del plano.



Como ejemplo, todavía más llamativo, observamos en la figura un fractal clásico
 (el primero que se conoce), el polvo de Cantor que toma toma su nombre de Georg  Cantor  que en 1883 lo utilizó como herramienta de investigación para una de sus principales preocupaciones: el continuo.





A partir de una recta se le van quitando los segmentos centrales hasta conseguir una serie infinita de puntos aislados, de ahí el nombre de polvo. Si restablecemos de forma escalonada  el segmento que antes le quitábamos, el nuevo fractal sigue  teniendo estructura quebrada y autosemejante , pero ahora en lugar de tener una dimensión fractal igual a log 2/ log 3 tiene una dimensión entera: log 3/ log 3 =1. Nos ayuda, también,  a entender como se calcula, de forma práctica, la dimensión fractal de una figura.



Esta otra figura es una síntesis de dos de los fractales clásicos, Koch  y  Cantor, y nos ayuda de forma intuitiva a entender el cálculo de su dimensión fractal. En la figura original de Koch, sobre los segmento A1-B1-D1-E1 se construye  la figura que forman los segmentosA-B-C-D-E. Su dimensión fractal es  log 4/ log 3  ( cuatro segmentos sobre tres). En la nueva construcción se ha sustraido 1/4 de cada uno de los segmentos superiores para dejar 4 segmentos de longitud 3/4: al final son 3 sobre 3 (log 3/ log 3 = 1).

Se pueden construir infinidad de fractales con dimensión entera y, precisamente, esa irregularidad que representa una dimensión fractal entera en un fractal creo que nos ayuda a entendelos mejor.

NOTA: Este post se publicó también en la revista Ciencia Abierta de la Universidad de Chile, en el número 31, sección de Educación, artículo nº 14 de dicha sección. Allí se añadió una parte más sobre la llamada dimensión de Hausdorff-Besicovitch:


En 1975 Benoit Mandelbrot publicó un ensayo titulado” Los objetos fractales: forma, azar y dimensión”. En la introducción comentaba los conceptos de objeto fractal y fractal como términos que había inventado a partir del adjetivo latino “fractus” ( roto, fracturado). Posteriormente, en 1982, publicó el libro “The Fractal Geometry of Nature”, en donde proponía : “Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.”

De forma simplificada, esa dimensión tan rara se podría entender de la siguiente manera: Una línea recta de longitud N queda recubierta por un número N de segmentos de longitud unidad. Podemos expresarlo diciendo que longitud_línea = N(+1). Un cuadrado con lado N queda recubierto por N2 pequeños cuadrados de lado la unidad. De forma similar a la línea se puede expresar que superficie_cuadrado = (N)(+2). Sabemos que una línea recta tiene dimensión topológica 1 y una superficie dimensión 2. Para
recubrirlos necesitamos un elemento similar pero más pequeño ND veces (en estos ejemplos de magnitud unidad). En general, el exponente D , generalizado a cualquier objeto, representa la dimensión de Hausdorff-Besicovitch del objeto.

Han sido propuestas otras definiciones y, de hecho, estamos ante un concepto geométrico para el que aún no existe un una definición precisa, ni una teoría única y comúnmente aceptada.

Kenneth Falconer, en su obra titulada “Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications”, en 1990, describe un concepto de estructura fractal ‘F’ como la que satisface alguna(s) de las propiedades siguientes:
(1).- “F” posee detalle a todas las escalas de observación;
(2).- No es posible describir “F” con Geometría Euclidiana, tanto local
como globalmente;
(3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística;
(4).- La dimensión fractal de “F” es mayor que su dimensión topológica;
(5).- El algoritmo que sirve para describir “F” es muy simple, y
posiblemente de carácter recursivo.

En resumen, una técnica análoga a la que los biólogos aplican al concepto de vida.

Cuando observamos un fractal, de hecho, apreciamos algo que nos es familiar, más cercano que las perfectas figuras geométricas clásicas que nos han enseñado en el colegio.

Las ramificaciones de los árboles, las roturas imperfectas de una montaña o una costa, la disposición de la máxima superficie en un mínimo espacio de nuestro tejido pulmonar...

Los fractales nos acercan a la compleja "simplicidad" de la Naturaleza.