2019/05/16

Estructuras disipativas, método científico y entropía


De la interacción con nuestro entorno intercambiamos materia y obtenemos energía y conocimiento en bruto que después convertimos en ciencia y tecnología. La vida, los ecosistemas y, en cierta forma, las propias sociedades humanas son un tipo especial de estructuras llamadas disipativas que obtienen orden (disminuyen su entropía) a costa del entorno. Son estructuras abiertas que aumentan su información útil a partir de la información exterior. En el límite, este fenómeno es el que lleva a la ciencia a confirmar con experimentos la veracidad de sus teorías

Estructuras disipativas
En el equilibrio o cerca de él, no se produce nada interesante, todo es lineal. Cuando pueden ocurrir cosas sorprendentes es lejos del equilibrio: si llevamos un sistema lo bastante lejos del equilibrio, entra en un estado inestable con relación a las perturbaciones en un punto llamado de bifurcación. A partir de entonces la evolución del sistema está determinada por la primera fluctuación, al azar, que se produzca y que conduzca al sistema a un nuevo estado estable. Una fluctuación origina una modificación local de la microestructura que, si los mecanismos reguladores resultan inadecuados, modifica la macroestructura. Lejos del equilibrio, la materia se autoorganiza de forma sorprendente y pueden aparecer espontáneamente nuevas estructuras y tipos de organización que se denominan estructuras disipativas. Aparece un nuevo tipo de orden llamado orden por fluctuaciones : si las fluctuaciones del ambiente aumentan fuera de límite, el sistema, incapaz de disipar entropía a ese ambiente, puede a veces "escapar hacia un orden superior" emergiendo como sistema más evolucionado.

En estos nuevos tipos de estructuras y orden se basan la vida, la organización de un termitero, los ecosistemas y las propias organizaciones y sociedades humanas. Pero lo más importante es que este nuevo orden en el que el determinismo y el azar se llevan de la mano si que es un universal. Estas estructuras, al igual que la vida no aparecen y progresan por pura casualidad o accidente como se creía.


El método científico como límite del intercambio de información con el entorno.
Como comentaba en el post anterior, nuestros genes transportan una información preciosa conseguida del entorno a través de millones de años de intercambio y evolución. Nacemos, casi, como una hoja de papel en blanco, y a partir de entonces seguimos aprendiendo de nuestro exterior. De nuestros padres, de las demás personas y seres, del comportamiento de los otros, de todo lo que nos pasa y de la información que nos llega. Lo externo, como un todo, nos hace como somos. A la ciencia como estructura, en cierta forma le pasa igual. A través del método científico necesita, para avanzar, contrastar las teorías mediante experimentos que confirmarán o no su adecuación a la realidad. En ese sentido desde la menor prueba al mayor de los experimentos, son la forma de interactuar con el entorno para ganar en orden, información y complejidad. Experimentos tan formidables como los que se están realizando, o se realizarán, con el LHC nos permitirán confirmar un montón de teorías y suposiciones, o nos ayudarán a concebir otras nuevas, que seguirán cambiando nuestra sociedad y a nosotros mismos en un baile sin fin en la escala de la complejidad.


Y en ese curioso "baile", incluso si llega a ocurrir lo que se ha llegado a denominar "La singularidad" (singularidad tecnológica), la aparición de los ordenadores ultralistos (máquinas "más inteligentes que los seres humanos") como cuenta el artículo de 1993 escrito por el ingeniero informático y escritor de ciencia ficción Vernor Vinge, en el que sostiene que la aceleración del progreso tecnológico nos ha llevado "al borde de un cambio comparable a la aparición de la vida humana en la Tierra", la esencia no cambiará. En el hipotético futuro en el que las supermáquinas inteligentes o cualquier supercivilización nos supere, seguirá necesitando de su entorno para aprender y aprender cada vez más, seguirán necesitando contrastar sus hipótesis con la realidad y confrontando su tecnología con esa misma realidad.

Reflexiones: multiversos, espespacio-tiempo, mito
¿Hasta cuando? Hay un límite, nuestro universo no es infinito y su final será la llamada muerte térmica, la uniformidad total de la que ya no se podrá extraer ni energía ni información, el estado de máxima entropía y máximo desorden. Aunque haciendo una suposición más de ciencia ficción que de ciencia, antes de llegar a esto es de suponer que alguna de las civilizaciones más avanzadas habrá aprendido todo lo que se puede aprender sobre las leyes físicas de este universo, y podría tener una tecnología capaz de llevarla a otros universos en estados menos degradados (suponiendo que vivimos en un multiverso).


Entre todo esto, una reflexión más: seguimos suponiendo el espacio y el tiempo como el contenedor fundamental de todo lo que es y acontece en el universo (multiverso), pero las dos teorías física más formidables con las que contamos, la relatividad general y la mecánica cuántica y sobre todo su incipiente fusión a la que llamamos gravedad cuántica, nos cuentan que ni el espacio ni el tiempo son las entidades fundamentales que creemos sino que dimanan de otra puramente cuántica subyacente. El universo, el nuestro, tuvo un principio, pero ¿ el multiverso si existe tuvo un principio o siempre estuvo ahí? Es más, ¿tiene sentido seguir hablando en términos de tiempo y espacio, tal como los conocemos, sabiendo que hay alguna entidad cuántica más fundamental de la que emanan?

Primero fue el mito para explicar la realidad que no entendíamos, le han seguido la filosofía y la ciencia, y conforme avanzamos con ella nos va adentrando en un mundo que cada vez nos parece más mítico y menos real. Caminamos como un ciego que sólo cuenta con su inteligencia y su metódico bastón científico, y vivimos tiempos de grandes cambios que, espero, pronto (1) nos darán una nueva bella teoría sobre gravedad cuántica que nos ayude a entender mejor este mundo y a nosotros mismos. Un abrazo.

(1) Soy muy optimista.
La primera figura (estructuras disipativas) está tomada del estupendo blog "Hombres que corren con lobos"

Un amigo nos comenta sobre el interesantísimo cuento de Isaac Asimov:" La última pregunta". Os lo recomiendo.
Reedición del post del mismo nombre de 2016. Un abrazo amigos.

2019/05/09

Diez dimensiones, supercuerdas y fractales


Uno de los post más visitados, con casi 6.000 visitas (contabilizadas sólo en 2007), fue este que vuelvo a publicar. Espero que a los nuevos visitantes os guste y a los más antiguos también. En este post se supone la hipótesis fractal para la energía de las fluctuaciones cuánticas. 



Al respecto es importante repasar el concepto de estructura fractal de Kenneth Falconer en su obra titulada “Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications”, en 1990. En ella describe un concepto de estructura fractal ‘F’ como la que satisface alguna(s) de las propiedades siguientes:

(1).- “F” posee detalle a todas las escalas de observación;
(2).- No es posible describir “F” con Geometría Euclidiana, tanto local como globalmente;
(3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística;
(4).- La dimensión fractal de “F” es mayor que su dimensión topológica;
(5).- El algoritmo que sirve para describir “F” es muy simple, y posiblemente de carácter recursivo.

Según este concepto, la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacíotendría estructura fractal. A continuación seguimos con el post que vuelvo a publicar: 


La teoría de supercuerdas predice que la unificación de todas las fuerzas ocurre a la energía de Planck, o 1016 miles de millones de electronvoltios ( mil billones de veces mayor que las energías de que disponemos en los aceleradores actuales). Esto significa que la verificación experimental de la misma escapa a nuestras posibilidades y a las que nos podría brindar un futuro previsible y supone que la teoría decadimensional ( tres dimensiones ordinarias+ seis compactadas + el tiempo) no es verificable directamente .Sin embargo puede haber alguna forma de verificación indirecta. En muchas universidades los físicos están tratando de diseñar experimentos que nos delaten su presencia, pero es posible que su impronta haya quedado reflejada en la propia naturaleza del cuanto de acción, y las fluctuaciones cuánticas del vacío nos puedan decir algo determinante al respecto.




Benoit Mandelbrot decía que la geometría fractal nos enseña a observar este viejo mundo con unos nuevos ojos. La existencia del cuanto de acción que está íntimamente unida a la propia naturaleza de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío obliga a que su estructura sea discontinua, escalonada, fractal, por ello la geometría fractal puede enseñarnos algo que antes no podíamos ver.

Mandelbrot, se preguntaba cual era la longitud de una costa y observaba que esa longitud dependía de la unidad de medida que se adoptara para medirla. Si la unidad es de 5 km. la longitud nos da un valor, pero si la unidad es de 100 metros nos encontramos con un resultado mucho mayor, y conforme hacemos más pequeña la unidad de medida nos podremos adaptar mejor a las irregularidades y obtendremos un valor aún mayor. En el caso de una costa fractal ideal, podremos disminuir cuanto queramos la unidad de medida y acabaremos obteniendo un valor infinito.
Mandelbrot
En las fluctuaciones ocurre algo similar, pero nos encontramos que para una determinada distancia D su valor es del orden de E, mientras que para una distancia 4D será del orden de E/4 y así hasta llegar a distancias muy grandes, por ejemplo 10 000 D, en que la energía implicada es muy pequeña, del orden de E/10 000. Es como si al medir la distancia de costa entre Barcelona y Valencia nos encontráramos que es muchísimo menor que la distancia de costa entre nuestros dos pies cuando paseamos por la playa.

La Universidad de Chile (2004), en su revista Ciencia Abierta , me publicó el artículo “ Estabilización del vacío cuántico y dimensiones enrolladas”, ( después otros dos más completos) sobre la posibilidad de que el estudio de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío nos estuviera evidenciando, indirectamente, la existencia de las 6 dimensiones enrolladas que necesita la teoría de supercuerdas. Los cálculos parecen indicar que en el estado en que se adoptó la configuración de 3 dimensiones ordinarias y 6 enrolladas, debió decidirse la propia naturaleza del cuanto de acción.

De ser correctos los resultados significarían una evidencia de la existencia de las 10 dimensiones que necesita la teoría de supercuerdas para ser considerada una realidad plena.

Todo parece formar parte, en cierta manera, de una sola realidad: 10 dimensiones, supercuerdas y fractales.

Un abrazo amigos!!!

2019/04/08

La extraña medida cuántica en un espacio de infinitas dimensiones: el espacio de Hilbert


El espacio de Hilbert es una pura construcción matemática pero responde a la perfección a lo que hacía falta para elaborar la teoría cuántica. De no haberse descubierto habría habido que inventarlo para las necesidades de la teoría.

En teoría clásica las cantidades físicas a medir se asocian a simples números, cuyo producto es conmutativo: a*b= b*a . En mecánica cuántica dichas cantidades u observables se asocian a operadores(1) cuyo producto, por el contrario, no es necesariamente conmutativo. Mientras que la física clásica se desarrolla en el espacio ordinario, la mecánica cuántica lo hace en una generalización de este espacio ordinario llamado espacio de Hilbert. Esta generalización permite que operaciones matemáticas intuitivas y fácilmente visualizables en dos y tres dimensiones puedan extenderse a espacios de más dimensiones o, íncluso, a espacios con un número infinito de dimensiones.

Mientras que el espacio ordinario es un espacio vectorial métrico(2), en donde se definen vectores (que podemos identificar como flechitas más o menos largas y orientadas hacia cualquier dirección) como son las fuerzas o las velocidades, en el espacio de Hilbert que tiene infinitas dimensiones los vectores se generalizan como funciones. Las transformaciones que obran sobre los vectores del espacio convirtiéndolos en otros vectores del mismo espacio se llaman operadores(1) . Vectores y operadores tienen propiedades de linealidad: toda combinación lineal, de coeficientes complejos, de vectores es un vector; un operador transforma un vector en otro vector, y toda combinación lineal de vectores, también en un vector. El producto escalar de dos vectores asocia a estos dos vectores un número complejo que depende linealmente de cada uno de ellos. En el espacio ordinario de dos dimensiones si A(a1,a2) y B(b1,b2) son dos vectores, con sus dos coordenadas, el valor a1*b1 + a2*b2 sería el número que expresaría su producto escalar, en base al cual se establece la métrica (2) o la forma de medir en dicho espacio bidimensional.

El formalismo de la teoría cuántica se interesa, por una parte, por los estados del sistema físico y, por otra, por las magnitudes físicas observables relativas a este sistema. Los estados se asocian a los vectores de un espacio de Hilbert y los observables, a los operadores que actúan en este espacio. Un vector del espacio de Hilbert se llama vector propio de un operador cuando la acción de este operador sobre el vector consiste en multiplicarlo por un número llamado propio: (Operador_P) (vector_A) = a0 (vector_A) , siendo a0 el valor propio.

La expresión anterior representa una medida en un sistema cuántico. Al medir el estado del sistema representado por el vector_ A mediante el operador_P hemos encontrado el valor real a0, su valor propio, que corresponde a un observable del sistema representado por el operador. Este observable puede ser una medida de energía, de velocidad, de distancia, etc. El operador más importante de la teoría cuántica es el operador asociado a la energía total del sistema: el hamiltoniano. El total de los valores propios, u observables, del hamiltoniano se llama espectro del sistema. En un sistema atómico, el espectro comprende una serie discreta de valores propios, que se corresponden con los niveles de energía del átomo, nivel fundamental y niveles excitados.

La conmutación y no conmutación de los observables es una de las propiedades más interesantes de la teoría cuántica. Supongamos que dos observables no conmutan, como la posición "q" y el impulso "p", con sus operadores Q y P. Esto significa que no podemos medir el impulso en un estado en que se puede medir la posición, y viceversa. Esta es la expresión rigurosa de la desigualdad de Heisenberg también llamada Principio de Indeterminación.

En la mecánica cuántica una representación de un sistema se define por un conjunto completo de observables que conmutan, y proporciona toda la información susceptible de ser recogida sobre el sistema cuántico.

Lo nuevo respecto a la teoría clásica es que puede haber una segunda representación, es decir, un segundo conjunto completo de observables que conmutan, pero que no conmutan con los de la primera representación. Se dice entonces que las dos representaciones son complementarias. Dependiendo de las magnitudes que midamos (los observables elegidos) tendremos una representación u otra del sistema.

Algo de historia sobre el nacimiento de los espacios de Hilbert:

"¿Quién de nosotros no querría levantar el velo tras el que se esconde el futuro y asomarse, aunque fuera por un instante, a los próximos avances de nuestra ciencia y a los secretos de su desarrollo ulterior en los siglos futuros?".

Así comenzó David Hilbert (1862-1943) su intervención en el Congreso Internacional de Matemáticas celebrado en París en 1900. A continuación planteó 23 problemas que han modelado buena parte del desarrollo de las matemáticas en el siglo XX. Hace 102 años Hilbert era, en contraste con la situación de Einstein durante su annus mirabilis 1905 recién conmemorado, uno de los matemáticos con mayor prestigio y, probablemente, el más influyente.

Por aquellos años, el campo de estudio de Hilbert y sus colaboradores eran las ecuaciones integrales. Los estudiantes de secundaria aprenden que una ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en las que hay un número desconocido, la incógnita, cuyo valor se puede calcular efectuando operaciones. En una ecuación integral la incógnita no es un número, sino una función -una gráfica- cuya fórmula se quiere conocer y que aparece en la ecuación dentro de una integral. En la serie de artículos Fundamentos de una teoría general de las ecuaciones integrales, Hilbert analizó las técnicas introducidas para estudiar estas ecuaciones por Poincaré y Fredholm a finales del XIX, mejorando sus resultados. En el cuarto artículo de esta serie, publicado en 1906, Hilbert prueba que las ecuaciones integrales pueden resolverse como un sistema de infinitas ecuaciones lineales con infinitas incógnitas.

En el bachillerato se estudian los sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas: tres números ligados por las ecuaciones cuyo valor se desea calcular. Estos números se pueden ver como las coordenadas -largo, ancho y alto- de un punto en el espacio, lo que permite usar herramientas geométricas como ángulos y distancias para resolver el sistema. Lo que hizo Hilbert fue construir herramientas geométricas análogas para un espacio, llamado Espacio de Hilbert, en el que los puntos tienen infinitas coordenadas, no sólo las tres cotidianas.



Como curiosidad, sobre la medida del número de partículas en un estado de Fock:
De acuerdo con la mecánica cuántica el número de partículas de un sistema cuántico, en un estado físico totalmente general, no tiene por qué estar bien definido resultando posible al hacer una medida del número de partículas diferentes resultados. Sin embargo, en ciertos casos el sistema puede tener un estado físico peculiar en el que el número de partículas sí esté totalmente bien definido, los estados en los que eso sucede son precisamente los estados de Fock.

Edición de un antiguo post. Un saludo amigos.

2019/01/11

La arruga es bella y ... prefractal

(Desplazamiento sobre un fractal)

Afirmar que la arruga es bella puede tener mucho sentido, en realidad representa toda una revolución,  porque desde siempre se ha considerado lo contrario. Las figuras regulares y planas, lo lineal, eran lo bello desde la geometría clásica de Euclides, pero esa perfección, que supone, sabemos que no es real. En la realidad no hay ninguna línea perfecta, ni  existe ninguna superficie completamente plana.
Wikiperro, Shar Pei
Aunque sabemos que no es real, Imaginemos una superficie perfectamente plana que ocupará exactamente, como sabemos, dos dimensiones y por tanto con dos números la podremos definir: largo por ancho. Si la superficie no es tan plana y tiene “arrugas”, en toda su extensión, en realidad estará ocupando un espacio mayor que las dos dimensiones: ocupará, además, una pequeña parte de la tercera dimensión, la altura. Si ampliáramos cualquier pequeña parte de su superficie y volviéramos a ver otra superficie semejante también arrugada, y  siguiéramos ampliando superficies más y más pequeñas volviendo a observar todavía más, en un proceso de infinitas ampliaciones, estaríamos ante un objeto matemático que Benoît Mandelbrot denominó fractal. En cada una de las ampliaciones volveríamos a ver algo semejante a la primitiva superficie arrugada (autosimilitud).


Pero en la realidad no podemos realizar infinitas ampliaciones de una superficie, porque la materia no es continua sino discreta, y formada por átomos. Después de unas cuantas ampliaciones ya no nos encontraríamos con ninguna superficie sino con algo completamente diferente, una cadena de átomos. Por eso en el mundo real más que de fractales debemos hablar de algo parecido a ellos que llamamos prefractales. Conforme se asemejen más a un fractal matemático (en un mayor número de escalas), más veces los podremos ampliar y conservarán su aspecto primitivo.
Arrugas sobre papel de aluminio 

En cierta forma, podríamos decir que los fractales tienen “arrugas” hasta en sus “mismísimas entrañas” y ello les confiere la propiedad de ocupar un espacio geométrico mayor que el que les corresponde por ser líneas o planos. De hecho, a la superficie  aludida más arriba le corresponde una dimensión dos, pero dependiendo de su grado de irregularidad (rugosidad) a la dimensión dos le tendremos que añadir un coeficiente dimensional, de tal forma que la suma de ambos será su dimensión fractal. Su valor en este caso podría ir de poco más de dos hasta, prácticamente, tres. Una superficie suficientemente “arrugada” e irregular podría tener una dimensión fractal de valor tres, es decir, sería capaz de ocupar un volumen.

Los fractales siempre ocupan un espacio mayor de lo que nos indica su dimensión geométrica, por eso su dimensión fractal siempre es mayor que uno o dos en los casos de líneas o de planos. Y es precisamente su dimensión fractal la que nos indica su grado de irregularidad. En la realidad los objetos fractales se llaman prefractales y dependiendo de su grado de autosimilitud se comportarán de forma más o menos parecida a los fractales matemáticos.


Desplazamiento sobre un fractal, dimensión fractal relativa

El fractal, como hemos comentado, ocupa un espacio mayor que el que nos indica su dimensión topológica. En el caso de la superficie sumamente irregular y arrugada que se ha indicado más arriba vemos que es capaz de ocupar una tercera dimensión, aparte de las dos que le corresponde por ser una superficie. Esta superficie es capaz de tener una dimensión fractal de valor tres, porque ocupa un volumen entero, tres dimensiones.

El cociente "Dimensión fractal/ Dimensión topológica", o dimensión fractal relativa, nos ofrece un valor más significativo que el de la simple dimensión fractal. Una línea fractal también puede "llenar" un volumen y tendrá una dimensión fractal de valor tres pero en este caso su dimensión fractal relativa será de 3/1, es decir 3. En el caso de la superficie arrugada que hemos visto su dimensión fractal relativa será 3/2 que nos indica un valor menor de irregularidad y rugosidad.

La dimensión fractal relativa nos da una información muy valiosa sobre la dependencia espacial del fractal. De hecho, la dimensión fractal relativa 3/2 de la superficie, que hemos indicado, nos dice que para alejarnos n pasos efectivos de un punto arbitrario de la superficie, deberemos efectuar n^(3/2) pasos (ene elevado a tres medios). Mientras que en una superficie lisa y uniforme deberíamos efectuar n pasos, en una superficie rugosa de dimensión fractal 3 sería n elevado a 3/2.

La dimensión fractal relativa nos da una información muy valiosa sobre la dependencia espacial del fractal.

Para entenderlo mejor: paseo sobre el puro azar de un movimiento browniano

La trayectoria caótica de un movimiento browniano tiene una dimensión fractal de valor 2. Eso significa que para alejarnos 10 pasos efectivos de un punto arbitrario deberíamos dar una media de 100 pasos, es decir 10x10 pasos, el cuadrado de 10. Una trayectoria que, al fin y al cabo es una linea, tiene dimensión fractal 2 y es capaz de "llenar" todo un plano (dimensión 2).


 

2018/12/23

Números primos, números de una sola pieza


Entre los números naturales 1, 2, 3 ,4 , 5, 6, 7, ,..., , n, existen unos números especiales que sólo son divisibles por la unidad y por ellos mismos. Estos números son llamados números primos y desde que se conocen han producido una extraña fascinación entre los matemáticos. Existen infinitos, Euclides realizó la primera demostración conocida de su infinitud alrededor del 300 a.C., pero su distribución, aparentemente aleatoria, sigue siendo una incógnita.

En cierta forma, estos números podríamos decir que son "de una pieza", y todos los demás números naturales se pueden construir a partir de ellos mediante un proceso llamado factorización. Los primeros números primos menores de cien son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. Cada uno de ellos sólo se puede escribir como: 2 = 2, 3 = 3,..., 29 = 29,..., 67=67, ..., etc. Mientras que el resto de números naturales necesitan expresarse en función de los números primos: 4 = 2x2, 9 = 3x3, 6 = 3x2, 8 = 2x2x2, ...,30 = 2x3x5, etc.


Se conoce una importante expresión llamada teorema de los números primos que nos da la cantidad de números primos que existen hasta un determinado número. Aproximadamente, para números suficientemente grandes, la expresión es: cantidad de números primos = (número)/Logaritmo Neperiano(número).Aplicando la fórmula para (número)=1000, obtenemos 145 primos, cuando en realidad hay 168. Para 5000 nos acercamos un poquito más, la expresión nos da 587 y en realidad existen 669, y conforme probamos números mayores nos acercamos más, aunque las cifras convergen muy lentamente: para 1000 el 86,3%, para 5000 el 87,7% y para 50000 el 90%.

Lagunas con ausencia de números primos:

Entre 1 y 100 existen 25 números primos, como hemos visto, y en la lista observamos grupos de números compuestos, una especie de lagunas con ausencia de números primos: del 24 al 28 y del 90 al 96. Entre el 100 y el 200 hay 23 primos: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149,151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191,193, 197, 199. Y encontramos lagunas como la del 182 al 190. Nos podemos preguntar si existen lagunas más grandes entre números primos. A simple vista, parece que no vamos a encontrar ninguna de estas lagunas de forma clara con una suficiente cantidad de números, pero no es así. Podemos encontrar tantas como queramos y de la longitud que deseemos, para ello utilizaremos la siguiente expresión (pueden encontrarse muchas más): n!+2 , desde 2 hasta n. Vamos a ver algunos ejemplos: para n=3, 3!=3x2x1=6; 6+2=8 y 6+3=9. Hemos encontrado la primera laguna formada por el 8 y el 9. Seguimos con n=4: 4!=4x3x2x1=24; 24+2=26, 24+3=27 y 24+4=28. Hemos encontrado tres números compuestos seguidos, pero con esta expresión podemos encontrar cuantos queramos, por ejemplo 101 números seguidos (al menos): 102!+2, 102!+3, 102!+3, ..., 102!+101,102!+102.

¿De cuántas piezas están hechos los números?

Volviendo al título del post, se pueden ver los números compuestos como formados por piezas de números primos. Un número compuesto cualquiera, por ejemplo, el 6 es igual al producto de dos números primos 2x3, podemos considerarlo como formado por dos piezas, la pieza 2 y la pieza 3. En cambio los números primos, como el 7, están formados por sólo una pieza. En un símil musical el número primo podría considerarse como armónico principal y único, y el número compuesto como una composición de armónicos primos que formarían su espectro o descomposición factorial.

Analizando la factorización de un número como producto de números primos, podríamos imaginar que cualquier número está formado por tantas piezas como factores primos lo componen. Se observa como curiosidad que los números del orden de 100 estarían formados, como media, por un producto de 2,7 números primos, los del orden de 1000 por un producto de 2,96 números primos, los de 10000 por un producto de 3,16 números, los de 100000 por 3,3, los de 1000000 por 3,42 y los de 10000000 por 3,64. Observamos que la cantidad de "piezas" necesarias para formar cualquier número aumentan muy lentamente, y ese aumento, además, decrece. Es un tanto asombroso que mientras un número de 3 cifras necesita tres primos para factorizarse (está hecho de tres piezas), uno de 10 cifras sólo necesita cuatro (está hecho de cuatro piezas). Claro que al hablar de piezas estas son tan dispares como el 3 y el 2000003, ambos son números primos.

En un extraño (e imaginario) mundo cuántico formado por números enteros, sería fácil descubrir los números primos. Todos los números compuestos se verían como una borrosa superposición de armónicos primos mientras que los números primos aparecerían claros y estables con una sola configuración fácilmente distinguible. Algo de esto debe le debe ocurrir a Daniel Tammet, un joven autista inglés con una sorprendente capacidad para los números. Cuando piensa en ellos ve formas, colores y texturas que le permiten distinguirlos de una manera asombrosa. Al multiplicar dos números ve dos sombras; al instante aparece una tercera sombra que se corresponde con la respuesta a la pregunta. Cuando piensa en algún número sabe reconocerlo como primo o compuesto. Estuve viendo el reportaje sobre su vida, sus facultades como matemático y su prodigiosa memoria. Sus capacidades son asombrosas. En una semana logró aprender, desde cero, suficiente islandés (un idioma catalogado como muy difícil) para mantener perfectamente una entrevista en la televisión de Islandia.

A alguien le podría parecer que el estudio de los números primos no tiene ninguna utilidad, desde luego se equivoca (ojo, el algoritmo de encriptación RSA nos permite las transacciones fiables). Cualquier saber matemático, por muy absurdo que nos parezca está relacionado con infinidad de campos aparentemente inconexos. Cualquier avance en el conocimiento sobre los números primos, por ejemplo, podría ser decisivo para resolver algún problema del campo más increible que se nos ocurra, tanto matemático como físico. La realidad es conexa y conforme la vamos comprendiendo vemos que el conocimiento que tenemos de ella también lo es.


Una novela sobre investigación de números primos:

Sobre los números primos recuerdo haber leído una novela interesantísima titulada "El tío Petros y la conjetura de Goldbach". La trama discurre a través de las vicisitudes de un matemático obsesionado por comprobar la famosa conjetura de Goldbach sobre los números primos, uno de los problemas abiertos más antiguos en matemáticas. Su enunciado es el siguiente: Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos. Confieso que logró atraparme al igual que le ha pasado a infinidad de lectores. Es muy entretenida y recomendable.

... Mi agradecimiento a la página Descartes, del Ministerio de Educación, que me ha facilitado los cálculos de factorización de grandes números que he necesitado.
... Recomiendo visitar esta magnífica página sobre números primos (en inglés).

Nuestro amigo Tito Eliatron nos envía dos interesantísimos enlaces de su blog a una charla del matemático, Medalla Fields, Terry TaoPrimera parte de la charlasegunda parte. Gracias Tito.

Reedición de uno de mis post clasicos. Un abrazo amigos y felices fiestas de Navidad y Año Nuevo.

2018/12/21

Teoría de cuerdas, números primos y conjetura de Goldbach


La consistencia de la teoría de cuerdas con la que se intentaba explicar la fuerza fuerte, a finales de los 60, requería de 25 dimensiones espaciales en lugar de las 3 usuales,  y además sólo contemplaba partículas bosónicas. A principios de los años 70, para corregir la falta de fermiones, apareció la teoría de supercuerdas y se establecía una simetría entre bosones y fermiones llamada supersimetría. Ahora la consistencia de la teoría requería de “sólo”  9 dimensiones espaciales.

Trayectoria de una cuerda cerrada: Imagen de Tecnociencia.com
En ambos casos el exceso de dimensiones se resuelve con la compactificación de 22 o de 6 dimensiones. Como curiosidad podemos observar que 9 es el cuadrado de 3 (primo) y 25 es el cuadrado de 5 (primo), y por otra parte 22 es 2x11 (primo) y 6 es 2x3 (primo). Como los números primos y sus propiedades siempre resultan interesantes empecé a imaginar una posible ley de formación basada en cuadrados y dobles de primos.


Así, siguiendo la secuencia de los números primos al cuadrado tendríamos:


(Primo_inicial-3)/2 = Primo_final {Fórmula inicial}, es decir…
(3-3)/2 = 3;    (5-3)/2 = 11;    (7-3)/2 = 23;    (11-3)/2 = 59;    (13-3)/2 = 83   …


Empieza a fallar en el 17, pero sigue cumpliéndose para el 19, 23, 29, 31, 37 y 41. En el 43 vuelve a fallar, pero si en lugar de restar 3 restamos 11 vuelve a cumplirse la ley para 17 y 43. Conforme intentamos seguir observamos que la fórmula inicial deberíamos cambiarla por otra más general:


(Primo_inicial1– Primo_inicial2)/2 = Primo_final {Fórmula final}


Por desgracia, pronto nos damos cuenta de que la expresión se cumple tanto para un cuadrado de primo como para cualquier otro cuadrado de número impar. Está más que claro que los números primos nunca son tan fáciles de domar. “Conociéndolos” no es difícil asegurar que una expresión tan sencilla, utilizada como generadora, no cabe en su alma indómita.
Conjetura de Goldbach
En realidad la expresión no es otra que la llamada conjetura débil de Goldbach: “Todo número impar mayor de 5 se puede escribir como suma de tres números primos”. Pues:
 Primo_inicialNúmero_impar = Primo_inicial+ 2xPrimo_final 


Por otra parte, la llamada conjetura fuerte de Goldbach dice:” Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos primos”. Enunciado terriblemente sencillo, y diabólico por la extrema dificultad que entraña probar su veracidad.


“En teoría de números, la conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos  más antiguos en matemáticas. A veces se le califica del problema más difícil en la historia de esta ciencia. Concretamente, G.H. Hardy en 1921 en su famoso discurso pronunciado en la Sociedad Matemática de Copenhage1 comentó que probablemente la conjetura de Goldbach no es sólo uno de los problemas no resueltos más difíciles de la teoría de números, sino de todas las matemáticas” (Wikipedia).


Y para acabar:
Empezando desde el 3 hasta el 127, los 30 casos en que hemos probado la expresión con la {Fórmula inicial}, en  20 ocasiones ha resultado cierta con la resta del 3. En algunos otros casos funcionaba restando el 11 o el 27, por ejemplo, tal como se ha comentado más arriba. En ocasiones se encadenaban varias veces los resultados. Por ejemplo:

(7-3)/2 = 23 (primo) =>  (23-3)/2 = 263 (primo) =>  (263-3)/2 = 34583 => (345832-3)/2 = 597 991 943 (primo) ... el siguiente paso ya no da un número primo: 178 797 181 946 457 623, pues sus factores primos son 23*37*3152147*66653759.

El porcentaje de fallos/aciertos de la expresión {Fórmula inicial}, con la resta de 3, en los 30 primeros casos (n=30) es de 1/2. Con n tendiendo a infinito posiblemente el porcentaje tienda a cero, pero corrigiendo el 3 por el 11, el 27 o cualquier otro número primo (como hemos visto en alguno de los casos) el porcentaje será mayor de cero... Como podéis observar cualquier pequeñísima parcela que deseemos estudiar del campo de los números primos se vuelve más y más intrincada e interesante, y la mayoría de las veces parece como el agua que intentamos retener y se nos escapa entre los dedos.

Los siguientes post  nos  aportan un poco más de información sobre cuerdas y números primos:
  


Un abrazo amigos y felices fiestas!!!



2018/11/23

Supercuerdas, ¿lo podrán explicar todo?


Dicen que no hay ciencia con más pretensiones que la física, pues los físicos toman el universo entero como su sujeto de estudio. Según un enfoque puramente reduccionista – del que cada vez está más lejos la propia física – dado que cualquier sistema por complejo que sea está formado por los constituyentes más elementales de la materia su comportamiento debe estar determinado por las leyes de la física, que en última instancia gobiernan la totalidad y cada parte de la materia (energía) del universo. Las teorías completas, que aspiran a conocer los últimos constituyentes del universo y sus relaciones, suelen llamarse Teorías del Todo o TOEs (en inglés).
La primera TOE, podría considerarse que fue la construida por los filósofos griegos Leucipo y Demócrito, en el siglo V (a.de C).Fue llamada Atomismo y suponía que el mundo estaba formado por átomos, la parte más elemental e indivisible de la materia, y por el vacío. En el siglo XVII, con el surgimiento de la ciencia moderna, con los trabajos de Galileo y Newton fue posible imaginar que cualquier movimiento, incluso el de los átomos, obedecía a leyes físicas conocidas. Esto inspiró a Laplace su famoso calculador “diabólico”: “ Una inteligencia que conociera, en un instante dado, tanto la totalidad de las fuerzas que actúan en la naturaleza como las posiciones de todas las cosas y relacionarlas en una única fórmula tendría la certeza absoluta. Tanto el pasado como el futuro estarían presentes ante sus ojos”. En esta afirmación se observa también el espíritu de una especie de Teoría del Todo.
Cuando se añadió la teoría de Maxwell del electromagnetismo a las leyes de Newton (segunda mitad del XIX) muchos físicos imaginaban que había llegado la teoría final de la física, capaz de explicarlo todo. En un discurso ante la British Association for the Advancement of Science, en 1900, Lord Kelvin dijo:“Ya no hay nada nuevo que descubrir en física. Todo lo que queda es hacer medidas cada vez más precisas”. Parecía alcanzada la TOE definitiva. Pero con los descubrimientos del electrón y la radiactividad, la teoría cuántica de Plank y la teoría de la relatividad de Einstein se barrieron por completo las bases de la física conocida hasta entonces. Además, el átomo podía dividirse en partículas más elementales: electrones, protones y neutrones.
Después del desconcierto inicial, más de setenta años de descubrimientos de nuevas partículas y con los nuevos conocimientos adquiridos en el desarrollo de la mecánica cuántica y de la relatividad, algunos físicos se sintieron alentados a plantear una nueva Teoría del Todo: la teoría de supercuerdas. Su mundo es el ultra-microscópico, millones de millones, de millones, de veces inferior al mundo atómico, y sus orígenes se remontan a finales de los años sesenta del siglo XX con el trabajo de Gabrielle Veneziano sobre los hadrones de corta vida. Estos eran conocidos como resonancias puesto que emergían de los colisionadores parecían estados excitados de otros hadrones. Se suponía que sus componentes internos, al colisionar, se excitaban a niveles cuánticos de energía superiores.
Veneciano propuso un modelo meramente matemático que no obedecía a ninguna imagen física, pero posteriormente resultó claro que describía el movimiento cuantizado de una cuerda. El modelo de cuerdas para los hadrones tenía sentido, pues estan constituidos por quarks y estos interaccionan mediante ligaduras parecidas a trozos de goma que los unen: La fuerza inter-quarks crece con la distancia de forma similar al estirar un trozo de goma elástica. Además, de la teoría matemática surgía de forma natural una partícula que no tenía nada que ver con las fuerzas nucleares (los nucleones, como neutrones y protones son hadrones), no tenía masa y poseía un spin 2 . Curiosamente era la partícula, que aparecía en la teoría de la relatividad general de Einstein, llamada gravitón, capaz de transmitir la fuerza gravitatoria.
La teoría de cuerdas parecía ser, a la vez, una teoría de la gravitación y una teoría cuántica, lo que ya era un logro al unir dos teorías tan importantes. Además, las partículas ya no se representaban de forma puntual sino por la vibración de una cuerda. Según el modo de excitación de la misma representan una partícula u otra, de mayor o menor energía o masa pero esa energía se extiende a lo largo de la cuerda y no se concentra en un punto matemático, con lo que se evitan ciertos valores infinitos imposibles de tratar.
Una dificultad inicial consistía en que la consistencia matemática de la teoría requería que el espacio-tiempo tuviera veintiseis dimensiones, aunque posteriormente se encontraron teorías consistentes con diez dimensiones: tres ordinarias, seis compactadas (o enrolladas sobre si mismas) más el tiempo. Además estas teorías tienen un tipo especial de simetría llamada supersimetría que relaciona las dos clases diferentes de partículas elementales, los bosones (partículas de fuerza, como el fotón) y los fermiones (partículas de materia, como los electrones). Su objeto fundamental es un tipo de cuerda, con grados de libertad extra que la hacen supersimétrica, por lo que es llamada supercuerda.
Sin embargo, para conseguir una teoría completa, parece que necesitamos formularla de forma independiente del espacio-tiempo, pues todavía se describe a las cuerdas moviéndose en un fondo espaciotemporal. La situación es similar a la que se encontró la electrodinámica, con las ecuaciones de Maxwell descritas como vibraciones en un supuesto éter que llenaba todo el espacio. Los experimentos y la genialidad de Einstein desterraron al éter como medio necesario para las vibraciones electromagnéticas. En la Teoría de Cuerdas (o supercuerdas) completa el propio espacio-tiempo surgirá de la relación entre cuerdas que interactúan, no será ajeno a ellas.
Esperamos que esta teoría pueda explicar, de la forma más sencilla posible y elegante, las cuatro interacciones fundamentales y la masa y características de todas las partículas . Provocará una revolución que afectará a todos los órdenes de nuestra vida (como la ha provocado la relatividad y la mecánica cuántica, o mucho más) y nos enseñará a ver un mundo diferente y a comprenderlo con mayor profundidad en su nivel más elemental, pero lógicamente no nos lo explicará todo, aunque será llamada una Teoría del Todo.
Libros recomendados: Supercuerdas ¿Una Teoría de Todo?. Edic. de PCW Davies y J Brown. Alianza Editorial. Libro muy ameno que se presenta con una introducción muy asequible, sin fórmulas, y continúa con varias entrevistas a grandes físicos como los propios fundadores de la teoría y R. Feynman o S. Weinberg.
El universo elegante, de Brian Greene. Drakontos (2007) , es un libro explicado con mucha claridad y actualizado sobre lo último en teoría de supercuerdas: la teoría M, que engloba las anteriores teorías de cuerdas en un espaciotiempo de once dimensiones.


De mi colaboración con Libro de notas.