2007/02/04

Números complejos y tiempo imaginario.

Poco después de que Einstein publicara sus trabajos sobre relatividad especial, el matemático alemán Hermann Minkowski se dio cuenta de que, en cierto modo, el tiempo debía ser considerado como la cuarta coordenada complementaria de las tres coordenadas del espacio. En su discurso de inauguración de la 80 reunión de la Asamblea general alemana de científicos naturales y físicos el 21 de septiembre de 1908 pronunció una célebre frase:"Las ideas sobre el espacio y el tiempo que deseo mostrarles hoy descansan en el suelo firme de la física experimental, en la cual yace su fuerza. Son ideas radicales. Por lo tanto, el espacio y el tiempo por separado están destinados a desvanecerse entre las sombras y tan sólo una unión de ambos puede representar la realidad".



Desde entonces el espacio-tiempo cuatridimensional pasó a llamarse espacio de Minkowski. Si empleamos x,y y z para las tres coordenadas del espacio, tomaremos ct para la cuarta coordenada de tiempo, siendo c la velocidad de la luz. Sin embargo debemos multiplicar ct por otro factor que, sin destrozar la armonía del sistema tetradimensional de las coordenadas haga a la coordenada de tiempo físicamente diferente de las tres coordenadas espaciales. La matemática nos suministra precisamente este factor conocido como una "unidad imaginaria" que se designa con el símbolo i (i= raíz cuadrada de -1).

Los números complejos, con una parte real y otra imaginaria, también juegan un papel esencial en los formulismos de la mecánica cuántica. La propia probabilidad de los sucesos cuánticos llega a expresarse en función de números complejos llamados amplitudes de probabilidad. La probabilidad real se halla a partir de estos números, sumando el cuadrado de su parte real y el cuadrado de su parte imaginaria.

Esto nos da una idea de la importancia de los estos números, tanto en la teoria de la relatividad como en la mecánica cuántica y nos ayuda a introducirnos en la teoría de Hartle-Hawking sobre los comienzos del universo, que supone un universo sin límites y con un tiempo imaginario, como se entiende la parte no real de un número complejo.

Universo sin límites:Entre 1982 y 1983 Hawking trabajó con Jim Hartle, profesor de Física de la Universidad de California, en Santa Bárbara, y experto en relatividad y gravitación. En esta época demostraron la inexistencia de fronteras al calcular el estado inicial del Universo por medio de una aproximación de teoría cuántica de la gravedad. Si la propuesta de ausencia de límites es correcta, no habría ninguna singularidad, y las leyes de la Ciencia serían siempre válidas, incluso al comienzo del Universo.El modelo Hartle-Hawking, en principio, poseía una singularidad de Big-Bang cuando se le aplicaba la relatividad general clásica. En cambio, en la versión cuántica, carecía de singularidad.


En cierta forma los ceros y los infinitos que aparecen en la física clásica son suavizados por la mecánica cuántica: La energía más baja en el vacío no es nunca cero, como tampoco es nunca cero la extensión de un punto físico . La existencia del cuanto de acción impide una energía cero del vacío, como impide la medida exacta, a la vez, de una variación de energía y del tiempo asociado a dicha variación.El punto físico menor sería la llamada longitud de Planck, del orden de 10-35 metros, lo que también elimina el infinito que resultaría de considerar las partículas subatómicas como puntuales: su densidad sería infinita y resultarían microscópicos agujeros negros.

Según el modelo de Hartle-Hawking si comenzamos en el momento presente y vamos hacia atrás en el tiempo, lo que aparentemente sería el punto origen de la descripción del tiempo real convencional, la naturaleza del tiempo cambia: la componente imaginaria del tiempo se hace más y más prominente hasta que, en último término, lo que debería ser la singularidad de la teoría clásica se desvanece. El Universo existiría porque es una estructura matemática autoconsistente. Puede imaginarse el tiempo real como una línea que va del principio al final del Universo. Pero también puede considerarse otra dirección del tiempo en ángulo recto al tiempo real. Esta última se denomina la dirección imaginaria del tiempo. En el tiempo imaginario, no habría ninguna singularidad en la que dejaran de regir las leyes de la Ciencia, ni ninguna frontera del Universo tras la cual tuviera que apelarse a Dios. El Universo no sería creado ni destruído. Simplemente existiría. Quizás el tiempo imaginario sea el auténtico tiempo real y lo que llamamos tiempo real sea sólo un producto de nuestra imaginación. En el tiempo real, el Universo tiene un principio y un fin. En el tiempo imaginario no hay singularidades ni límites.




Hartle: "Tiempo imaginario no se refiere a la imaginación: hace referencia a los números complejos. Como demostraron Einstein y Minkowsky, el espacio-tiempo constituye una geometría cuatridimensional. Es posible ir aún más lejos de estos conceptos. Si se miden las direcciones del tiempo utilizando números complejos, se obtiene una simetría total entre espacio y tiempo, que es, matemáticamente, un concepto muy bello y natural". Don N. Page: " En la formulación de la ausencia de límites de Hartle-Hawking, el tiempo es imaginario, y en vez de tener un borde es como si se tratara de la superficie del planeta Tierra. Suponiendo tiempo imaginario, el Universo no tuvo comienzo, no tiene límite, es una totalidad en sí mismo”.


Recientemente ( 2002) y en base al descubrimiento de la aceleración que se está produciendo en la expansión del Universo, Susskind ha presentado un trabajo que desafía la teoría de Hartle-Hawking. En un artículo reciente (diciembre de 2006) Don N. Page ( University of Alberta) ilustra los argumentos de Susskind. Independientemente de que el modelo sea verdadero o no, nos habrá valido para conocer mejor los orígenes del Universo y para conocer las poderosas propiedades de los números complejos.

Roger Penrose (junto con Stephen Hawking, uno de los físicos actuales más brillantes), en su último libro” El camino a la realidad”, nos comenta: “... los números complejos componen una notable unidad con la naturaleza.Es como si la propia naturaleza estuviera tan impresionada por el alcance y consistencia del sistema de los números complejos como lo estamos nosotros, y hubiera confiado a estos números las operaciones detalladas de su mundo en sus escalas más minúsculas”. Se refiere a la mecánica cuántica, pero realmente su importancia se refleja en toda la naturaleza, porque la cosmología, en los primeros instantes del universo se confunde con el mundo microscópico de las partículas elementales.

13 comentarios:

pinar dijo...

Y que piensan de esa gente que dice que

el tiempo no existe


A parte de bromas y spam, te felicito por el post. Te lo iba a menear pero se me han adelantado, te dejo el link
http://meneame.net/story/numeros-complejos-tiempo-imaginario

Salvador dijo...

Gracias, amigo.
Un saludo.

Nina de Papuza dijo...

Un blog apasionante, que ya enlacé en el mío (soy comodona y así lo tengo bien a mano, para visitas posteriores).Aún tengo que viajar por tu blog con calma, pero ya le adelanto una pregunta: Leyó el Tertium Organum, de Ouspensky, (matemático además de divulgador de las enseñanzas de Gurdjieff), en ese libro explica de una manera muy clara, las restantes dimensiones.

Salvador dijo...

Gracias Nina, he comenzado a buscar información sobre el libro que me propones.
Saludos.

malatesta dijo...

Antes de nada, darte la enhorabuena por tu blog. Es el primero (y he navegado un tanto ya) dedicado de manera seria y didáctica a la ciencia. He ojeado un poco por él y lo que he visto me gusta. Prometo volver.
En cuanto al artículo en cuestión, decirte que siempre me fascinaron los números complejos. El que partiendo de valores reales, y pasando por el mundo imaginario, volvamos a obtener valores reales y útiles para la solución de un problema siempre me llenó de asombro.
Ni por mucho que me estruje el cerebro conseguiré acercarme al concepto de tiempo imaginario. Es como intentar imaginar una cuarta dimensión, supongo. La formulación matemática puede quedar perfecta, pero sin una representación de lo que significa realmente el concepto, la teoría cojea un tanto. Una cosa es usar i como herramienta, y otra darle un sentido en el mundo físico.
Un saludo.

Anónimo dijo...

Impresionante... me encantaria conocer mas ese tiempo imaginario y como calcularlo...

Anónimo dijo...

Del mismo modo que una esfera se podria descirbir como la suma d infinitos circulos paralelos 2D a lo largo de la tercera dimension, nosotros deberiamos poder inferir que una supuesta cuarta dimension corresponderia a la consecucion de infinitas esferas 3D dispuestas d alguna manera k no podemos conocer a lo largo d la cuarta dimension;entonces ¿esa dimension es el tiempo o lo que acabo d decir, matematicamente predice una cuarta dimension pero espacial y la temporal va aparte? ¿o verdaderamente el paso del tiempo es la proyeccion en 3D de lo k seria una caurta dimension literalmente espacial, en la que cada “instante” d todo el universo sea cada universo 3D?? no son perguntas retoricas ni nada parecido, quiero respuestas!! ajaj, porque me doy cuenta de que estoy bastente equivocado pero no se en que…

Salvador dijo...

Al unir los distintos instantes de la evolución de un objeto en el tiempo obtenemos, en cierta forma, un hiperobjeto en cuatro dimensiones(E+t). Para observarlo como tal, en toda su extensión, deberíamos poder recorrer instantaneamente tanto su extensión espacial como temporal. Lo más parecido que tenemos son las fotografías instantáneas encadenadas que nos enseñan un objeto en movimiento.

Las respuestas que tu pides no las conoce nadie, pero desde esas reflexiones no podemos inferir la existencia de más dimensiones espaciales, sólo imaginarlas.

Un saludo.

jeaancarlo dijo...

Antes que nada, que buen blog hermano. No sabes como disfruto ver a tante gente culta q comenta tus publicaciones. Me fascina la fisica teorica y he encontrado en tu blog el lugar perfecto para compartir ideas y seguir sumergiendome en estos apasionantes temas. Para mi es realmente maravilloso la belleza de las leyes que rigen el universo, su simetria y su escala.. como lei en algun libro :"si existe un Dios, seguramente es matematico"...

Gran Blog!!!

ERNESTO dijo...

Que bonita teorìa, todavia falta mucha tela por cortar en cuanto al tema, bravo por la humanidad y su empeño en alcanzar la vardad. pero la verdad puede estar tan lejos de alcanzar como el mismo desplazamiento de la luz, es impresionante el desarrollo del conocimiento.

mensajes movistar gratis dijo...

Un blog apasionante, que ya enlacé en el mío .

Dick Acker dijo...

Excelente el post, caí en él buscando más información sobre "el tiempo imaginario" leído en una conferencia de Hawking sobre la historia del tiempo, pero el problema de Hawking es que no usa expresiones mas simples para que se pueda entender por público no científico...

MWinterwolf dijo...

No sería mas adecuado llamarlo "tiempo complejo" en "lugar de tiempo imaginario"?... Porqué, por lo que se, los numeros imaginarios son una parte de los numeros complejos, en donde los numeros reales tienen el valor 0...