Lo que esconden los fractales y la energía oscura, una hipótesis

Los fractales esconden bajo sus “arrugas” parte de sí mismos. Suponiendo la hipótesis de un vacío cuántico fractal, la escurridiza energía oscura podría ser la consecuencia de la estructura fractal de las fluctuaciones cuánticas del vacío que conforman todo el espacio.

La medida de la costa de Bretaña
Benoït Mandelbrot se preguntaba cuánto medía la costa de Bretaña, o cualquier costa real que suele ser irregular e intrincada. Un geógrafo se lo habría respondido perfectamente, pero no era esa la repuesta que buscaba Mandelbrot. El geógrafo da por sentado que al medir la costa tiene que hacerlo con unos criterios prácticos determinados, se atiene a ellos, la mide y la registra para siempre en los libros de geografía.

Para Mandelbrot, la pregunta era mucho más transcendente de lo que puede parecer a simple vista, porque se dio cuenta de que la medida dependía de la unidad de medida con la que fuera a efectuarse. Si la mínima unidad de medida a tomar fuera un kilómetro hallaríamos un valor, y si esa mínima unidad fuera el doble encontraríamos un resultado menor. Conforme la unidad utilizada es menor, al efectuar la medida nos acercamos mejor a las irregularidades del terreno y hallamos un valor mayor. Para una costa matemática teórica, de hecho, la unidad de medida la podemos hacer tender a cero tanto como queramos y el resultado obtenido siempre será mayor. En el límite la longitud de cualquier costa teórica es infinita.

Dimensión fraccionaria de una costa
Las costas son ejemplos sencillos de unos objetos matemáticos que Benoït Mandelbrot llamó fractales, porque su estructura es discontinua, rota o fracturada (del latín “fractus”) y mantienen el mismo aspecto a diferentes escalas. A diferencia de los objetos geométricos continuos que conocemos como líneas o planos, los fractales son capaces de “llenar” más espacio del que deberían llenar. Las costas fractales, como líneas que son, deberían tener la capacidad de llenar una dimensión, pero realmente llenan 1.25, 1.30, 1.35… etc. Su dimensión, que es fraccionaria, está entre la línea y el plano, es decir entre 1 y 2, y conforme son más irregulares mayor es su dimensión, a la que llamamos dimensión fractal.



Vacío clásico y vacío cuántico
El vacío clásico y continuo es, en cierta forma, como una costa lineal y regular, sin entrantes ni salientes. El vacío cuántico es muy diferente, sus fluctuaciones le confieren una estructura irregular que nos puede recordar la estructura fractal de las costas de los países. De “lejos” no es diferente del vacío clásico, pero de “cerca” nos ofrece una visión muy diferente, las fluctuaciones ganan protagonismo porque dependen del inverso de la distancia: a distancia mitad son el doble de intensas. Esta diferencia entre el vacío clásico y el cuántico se puede observar, perfectamente, tratando de seguir las trayectorias de las partículas subatómicas. En el vacío clásico estas están bien definidas y son líneas continuas, en el vacío cuántico no existen como tales, no son propiamente trayectorias pues conforme las tratamos de observar con más detalle, más irregulares aparecen. Son fractales con una dimensión 2.

¿Vacío cuántico como un fractal?
Todo esto hace pensar en la posibilidad de considerar el vacío cuántico como una fractal, en el que la energía de las fluctuaciones cuánticas determinaría su grado de irregularidad, y en base a su valor (un escalar) se podría calcular la dimensión fractal de estas fluctuaciones que conforman todo el espacio.

Lo que esconden los fractales y la energía oscura, una hipótesis
Entre dos puntos A y B del espacio euclídeo se puede trazar una recta. La distancia entre los dos puntos siguiendo esta recta es la longitud de la misma. Sin embargo si esa recta la convertimos en una costa fractal real (sin las infinitas irregularidades de una costa fractal matemática), la distancia entre los dos puntos, siguiendo la costa, se puede hacer todo lo grande que se desee dependiendo de la cantidad de irregularidades de la misma.

Si observamos esta línea costera en la distancia, las irregularidades se disimulan y su aspecto se acerca al de una línea mucho más regular. Su distancia aparente también estará cercana a la de la línea recta AB. Sabremos la distancia real AB a través de la costa fractal y la distancia aparente, vista la costa desde lejos. En cierta forma parece que ha desaparecido una parte de la costa, una parte que desde lejos no logramos observar, porque queda escondida entre las irregularidades del fractal.

Si suponemos la hipótesis fractal de las fluctuaciones cuánticas del vacío, ¿la parte escondida por este inmenso fractal podría ser la llamada energía oscura?




En la figura:(representación del vacío
cuántico), los trazos más anchos se corresponden con fermiones (quarks, electrones...) y sus antipartículas, mientras que los trazos más finos corresponden a bosones (gluones, fotones, W+, W-, Z0,...). En lo concerniente al color de los quarks y gluones, se corresponden con la carga de color de los mismos mientras que las partículas insensibles a la interacción fuerte aparecen en blanco o gris.)



Lo que sabemos hasta ahora de la energía oscura
La naturaleza exacta de la energía oscura es una materia de especulación. Se conoce que es muy homogénea, no muy densa y no se conoce la interacción con ninguna de las fuerzas fundamentales más que la gravedad. Como no es muy densa, unos 10−29 g/cm³, es difícil de imaginar experimentos para detectarla en laboratorio. La energía oscura sólo puede tener un profundo impacto en el Universo, ocupando el 70% de toda la energía, debido a que por el contrario llena uniformemente el espacio vacío.

Dos posibles formas de la energía oscura son la constante cosmológica, una densidad de energía constante que llena el espacio en forma homogénea y campos escalares como la quintaesencia: campos dinámicos cuya densidad de energía puede variar en el tiempo y el espacio. De hecho, las contribuciones de los campos escalares que son constantes en el espacio normalmente también se incluyen en la constante cosmológica. Se piensa que la constante cosmológica se origina en la energía del vacío. Los campos escalares que cambian con el espacio son difíciles de distinguir de una constante cosmológica porque los cambios pueden ser extremadamente lentos.
Para distinguir entre ambas se necesitan mediciones muy precisas de la expansión del Universo, para ver si la velocidad de expansión cambia con el tiempo. La tasa de expansión está parametrizada por la ecuación de estado. La medición de la ecuación estado de la energía oscura es uno de los mayores retos de investigación actual de la cosmología física.

Vacío cuántico, puro azar

Todo el conocimiento se encuentra intimamente relacionado, cada eslabón cuenta y la importancia del mismo puede ser difícilmente calibrado en el momento que surge.En 1827 un botánico escocés, Robert Brown, estudiaba algo aparentemente "insignificante" la suspensión de partículas de polen en una solución acuosa, y observó que las partículas estabán animadas por un movimiento caótico e incesante.Entonces no pasaba de ser una simple curiosidad, primero atribuida a la propia vitalidad del polen, pero con el tiempo, sirvió como base para que, en 1905 un gran físico, Albert Einstein publicara un artículo sobre el movimiento requerido, por la teoría cinética molecular, de pequeñas partículas suspendidas en un líquido estacionario. Por métodos estadísticos obtuvo una ecuación que representaba el movimiento de las moléculas de agua golpeando a los granos de polen o a cualquier otro pequeño cuerpo. En esta ecuación figuraba el tamaño de la molécula de agua, lo que resulta sorprendente pues entonces todavía había científicos que no creían en la existencia real de átomos y moléculas y sólo los consideraban ficciones teóricas útiles para comprender las reacciones químicas.

En este trabajo, Einstein explicaba el movimiento descubierto por Brown (movimiento browniano) y proporcionaba una evidencia experimental de la existencia de los átomos. Dio también un considerable y decisivo impulso a la mecánica estadística y a la teoría cinética de los fluidos. Setenta años después, el matemático e ingeniero Benoït Mandelbrot inventa el término fractal y escribe el influyente artículo "Fractals: Form, chance and dimension", que practicamente formalizó el nacimiento de una nueva rama de las matemáticas: la geometría fractal. El movimiento browniano se define como un fractal de dimensión fractal 2, un movimiento aleatorio puro capaz de cubrir el plano (de ahí el valor de su dimensión fractal igual a 2).


Mientras tanto, se había descubierto el cuanto de acción (h) y se había desarrollado una nueva y revolucionaria rama de la física: la mecánica cuántica. El vacío absoluto e inmutable de la mecánica clásica se poblaba de partículas y energías virtuales (*) gracias a la existencia de ese mínimo de acción posible, pues su existencia permite que se "cree" y se "destruya" una cantidad de energía E durante un tiempo T, siempre que su producto (E) x (T) sea menor que el valor del cuanto de acción de Planck (h). El producto (E) x (T) de una región del espacio vacío queda acotado por h pero puede adoptar cualquier valor de forma aleatoria. Este producto no tiene que ver, aparentemente, nada con el movimiento browniano pero, sin embargo representa el mismo azar puro. Sus valores aleatorios, convenientemente representados, no podríamos diferenciarlos de la trayectoria de una partícula de polen bombardeada por moléculas de agua.

La discontinuidad (salto en su valor) y la aleatoriedad que presenta el producto (E) x (T) de las de las fluctuaciones cuánticas del vacío, le confieren características de objeto fractal ( ver condiciones de Kenneth Falconer para los fractales) . Su dimensión fractal dividida por su dimensión topológica sería justamente 2, el valor de la dimensión fractal del movimiento browniano (en las variables con dimensión topológica mayor que la unidad es muy conveniente, para evitar la dispersión de valores y facilitar la homogeneidad, que en lugar de dar la dimensión fractal se de el cociente entre ésta y la dimensión topológica).

(*)Como curiosidad, es interesante conocer el llamado efecto Casimir, por el cual dos placas de metal muy cercanas (separación del orden de micras) experimentan una presión que tiende a atraerles debido a las condiciones de no cancelación que producen estas placas en el vacío cuántico.

Vacío cuantico, vacío fractal

El vacío estable y absoluto de Newton, con trayectorias continuas y determinadas, ha dejado paso al vacío cuántico asociado a unas extrañas trayectorias (*) discontinuas y fracturadas, llamadas por ello trayectorias fractales ( no son propiamente trayectorias). La existencia del cuanto de acción o constante de Planck ( se llama acción al producto de una energía por un tiempo ), base de la física cuántica, es la causa de ese cambio fundamental, y de otros muchos, con profundas consecuencias. Mediante la geometría fractal, este nuevo marco nos ofrece nuevas e interesantes perspectivas.


La existencia del cuanto de acción supone, realmente, la desaparición del vacío como tal. La mínima energía posible en el espacio (fluctuaciones cuánticas) deja de ser cero para pasar a depender del inverso de la distancia considerada. A la menor distancia posible (longitud de Planck = 10^-35 metros) , se le asocia una energía considerable, equivalente a una masa de 0,00002 gramos, y si mantuviéramos la misma relación, la masa correspondiente a un metro sería del orden de 1,2 x10²⁴ toneladas. Pero la propia existencia del mínimo cuanto de acción - principio de incertidumbre - determina que las fluctuaciones de energía del vacío queden acotadas, y sean cada vez menores conforme aumenta la distancia. Para las distancias macroscópicas, cotidianas para nosotros, son prácticamente nulas.

El vacío plano y estable ha dejado paso a un vacío cuántico modulado por sus fluctuaciones de energía que le dotan de una estructura fractal, discontinua. Dicha estructura, aparentemente extraña en la teoría, es por el contrario de lo más común en el mundo real. Cualquier superficie , por ejemplo, por lisa que nos parezca, al examinarla con un aumento progresivo la observaremos cada vez con mayores imperfecciones, hendiduras y discontinuidades. Ocurre con cualquier objeto del mundo real, la esfera, el cubo, o la línea perfecta no existen . No dejan de ser simplificaciones convenientes a las que asociamos conceptos sencillos y fáciles de manipular. Sin embargo las simplificaciones nos pueden ocultar detalles decisivos.

Supongamos que queremos recorrer, a pie, la distancia entre dos puntos determinados. Si la medimos sobre un plano, en línea recta, encontraremos una distancia determinada que se verá ampliamente superada cuando hagamos el trayecto en la realidad. Tendremos que subir, bajar, desviarnos un montón de veces de la trayectoria teórica preestablecida sobre el plano.En la realidad, habremos seguido una trayectoria fractal. Si ese mismo viaje lo hubiera hecho una hormiga, su trayectoria habría sido mucho más irregular que la nuestra y la distancia a recorrer mucho mayor , porque el paso de la hormiga es considerablemente menor que el humano.

Dimensión fractal = dimensión topológica + factor dimensional

( El factor dimensional, siempre positivo, es tanto mayor cuanto más irregular es el fractal)

En una línea perfecta eso no ocurre, pero en una trayectoria fractal si. Una línea teórica tiene dimensión topológica o aparente igual a la unidad, pero para una línea fractal existe un factor dimensional positivo , que se suma a la dimensión aparente para constituir la que llamamos dimensión fractal. Conforme sea más discontinuo e irregular un fractal mayor será este factor y , por tanto, mayor su dimensión fractal.


(En la figura ( representación del vacío cuántico), los trazos más anchos se corresponden con fermiones( quarks, electrones...) y sus antipartículas, mientras que los trazos más finos corresponden a bosones (gluones, fotones, W+, W-, Z0,...). En lo concerniente al color de los quarks y gluones, se corresponden con la carga de color de los mismos mientras que las partículas insensibles a la interacción fuerte aparecen en blanco o gris.)


(*) De hecho, no son propiamente trayectorias, las trayectorias clásicas no existen en mecánica cuántica .Concretamente, su dimensión fractal es 2 , pues por curioso que parezca existen fractales con dimensión entera.


(Reedición, ampliada, del post de fecha 06/06/2006 )

¿Qué esconde un fractal?

Benoit Mandelbrot se preguntaba, en el libro que dio a conocer sus “nuevas” criaturas ( ver post anterior) que él llamó fractales : ¿ Cuánto mide la costa de Bretaña?. Cualquier libro de geografía nos lo puede aclarar, pero no será una respuesta estrictamente cierta, porque la longitud de una costa dependerá de la unidad de medida con que se mida. Si la medimos con “pasos de hormiga”, medirá mucho más que con “pasos de elefante”. Eso es así porque conforme sea la escala con que la describimos aparecerán más y más detalles e irregularidades que en los fractales matemáticos convierten su longitud total en infinito.

En los fractales reales, que encontramos en la naturaleza, aunque su longitud final no puede llegar a infinito, su magnitud es siempre notablemente superior a la que consideramos. Una costa que “mide” 96 km. ( como ejemplo,un pedazo de costa de la Baja California ), cuando se ha utilizado una unidad de medida de 16 km., puede llegar a medir 120 km., cuando se mide con una “regla” de 8 km.( ver Gerardo G. Naumis de la UNAM).

Esta propiedad es natural en cualquier fractal real, hay una parte de su magnitud que está “escondiendo” y es, precisamente, tanto mayor cuanto más elevada es su dimensión fractal.

El vacío cuántico es una estructura discontinua, fracturada, la mayor estructura fractal que contiene todo lo demás ¿ qué esconde entre sus pliegues? Es posible que esconda la llamada energía oscura, puros pliegues, que como una especie de resorte sería el origen de la aceleración de la expansión del universo.

(Ver post de la estabilización del vacío cuántico y sobre el sorprendente vacío cuántico )

Curva de Koch y vacío cuántico

La curva de Koch es un fractal clásico que nos puede orientar sobre el procedimiento de cálculo de la dimensión fractal. En la figura observamos tres iteraciones que nos muestran su construcción: sobre el segmento inicial AB volvemos a construir la figura completa en la segunda iteración y de la misma forma hacemos en la tercera.
El cociente (Log 4)/ (Log 3) da el valor de la dimensión fractal de la figura. El número 4 indica el número de divisiones, mientras que el número 3 es el inverso de la razón de homotecia : el todo es descomponible en 4 partes (segmentos AB,BC,CD,DE) las cuales se pueden deducir de él por una homotecia de razón 1/3 (los cuatro segmentos se proyectan sobre un segmento de longitud 3 : AB,BD,DE).

Si medimos la distancia entre los puntos AE con una regla cuya mínima medida sea 3, obtendremos que dicha distancia es 3. Por el contrario, si medimos la distancia con una regla de mínima distancia 1, la medida AE nos dará como resultado 4. El cociente entre los logaritmos de estos números nos darán la dimensión fractal que apuntábamos más arriba. Es evidente que para un segmento lineal encontraríamos el mismo valor para las dos medidas y el cociente entre sus dos logaritmos sería la unidad, que es la dimensión de una línea recta clásica euclideana.

En la curva de Koch la relación logarítmica de las distancias 4 y 3 nos dan la dimensión fractal. El valor 4 determina el patrón de irregularidad y el valor 3 , en cierta forma, su proyección. Para el vacío cuántico los valores son N y 1/N ( relación, en el post anterior, entre el lado y el perímetro del Ovillo de Alba), lo que nos da una idea de las formidables energías implicadas en lo que llamamos vacío cuántico: para una energía de magnitud N sólo se proyectaría en nuestro espacio tridimensional un valor 1/N.

Ciencia Abierta (pequeño homenaje)

La facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas de la Universidad de Chile edita desde el año 1984 una revista científica llamada Ciencia Abierta (ISSN: 0717-8948). Hace un par de años (en un momento especialmente crítico para mi) me publicó el primer artículo llamado “ Estabilización del vacío cuántico”. La idea creo que es muy sencilla : la estructura geométrica de los primeros estadios del universo tuvo una influencia determinante en la estabilidad posterior del vacío cuántico del que disfrutamos, determinando la propia naturaleza del cuanto de acción. Para llegar a esto no hay más que seguir una línea muy clara de razonamientos a partir del cálculo de la dimensión fractal de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío (esta energía es la magnitud que determina la curvatura cambiante del espacio-tiempo vacío).

Puede que parezca complicado, pero creo que básicamente no lo es tanto. Tenemos un inmenso fractal que lo contiene todo : el vacío cuántico. Y nos estamos olvidando de una información básica que nos ofrece: su dimensión fractal .A partir de esta información vamos encontrando una serie de datos que nos llevan a considerar la influencia de las llamadas dimensiones enrolladas, en los estados iniciales que decidieron las propias leyes de nuestro Universo.

Gracias a Ciencia Abierta (recomiendo que consultéis algunos de sus números).