Las dimensiones extras. ¿Podemos demostrar que existen dimensiones enrolladas?

LHC

Según la teoría de supercuerdas en nuestro mundo existirían nada menos que 10 dimensiones, una dimensión temporal y  9 dimensiones espaciales. De estas dimensiones espaciales 3 serian las dimensiones ordinarias, que conocemos, y las otras 6 estarían enrolladas sobre sí mismas, alrededor de una distancia mínima llamada distancia de Planck, por lo que no serian observables.

Se han diseñado experimentos para tratar de descubrirlas en base a resultados anómalos sobre la atracción gravitatoria de masas a distancias microscópicas o  en  la violación de la conservación de la energía en colisiones en los aceleradores de partículas. También existe la posibilidad de que los mapas, cada vez más detallados, de la energía cósmica liberada en el Big Bang nos indiquen la huella de las dimensiones extras.

Pero puede que exista otra posibilidad de demostrar la existencia de dimensiones extra. Vamos a estudiar un curioso fenómeno que se da en sistemas fractales con un número grande de dimensiones. Partiendo de la hipótesis de que la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío tienen una estructura fractal, este fenómeno nos presentaría las dimensiones extra de una forma natural.

LHC

La dimensión fractal

La característica más especial de los fractales es su dimensión. Siempre es positiva y superior a su dimensión topológica. En cierta manera, de forma intuitiva nos indica la dimensión del espacio que son capaces de ocupar. Una cuartilla es un ejemplo de objeto de dimensión topológica 2, pero si la

arrugamos conseguimos que ocupe un espacio de mayor dimensión, entre 2 y 3 (normalmente fraccionario). Lo mismo ocurre con una línea (dimensión 1) que si la hacemos lo suficientemente intrincada e irregular es capaz de ocupar un plano (dimensión 2) e incluso un espacio (dimensión 3). Si la línea llega a ocupar el plano su dimensión fractal será 2 y si ocupa el espacio tridimensional, su dimensión fractal será 3. Conforme mayor sea su dimensión fractal, más intrincado e irregular será el fractal: a su dimensión topológica se le suma un coeficiente dimensional que completa el valor de su dimensión. Este coeficiente, normalmente fraccionario, nos indica el grado de irregularidad del fractal.

Dimensiones enrolladas

Dependencia espacial en los fractales

La líneas fractales gozan de una característica notable con relación a su dependencia espacial: una línea fractal capaz de recubrir el plano, para alejarse de cualquier punto arbitrario una distancia efectiva L debe recorrer una distancia media L². A otra línea fractal capaz de llenar el espacio le ocurre algo similar: para alejarse de cualquier punto arbitrario una distancia efectiva L, deberá recorrer, como media, una distancia total L³. Es decir, el valor de los exponentes 2 y 3 se corresponde con las dimensiones fractales de las líneas.

Sabiendo la dimensión del fractal podemos calcular su dependencia espacial y a la inversa. Lo que ocurre con las curvas fractales (dimensión topológica 1) lo podemos generalizar a cualquier estructura fractal con mayor dimensión topológica (siempre que sea continua y razonablemente isótropa), dividiendo su dimensión fractal por su dimensión topológica.

Reducimos así la dispersión de resultados y encontramos más fácilmente símiles con ejemplos sencillos como trayectorias unidimensionales. A este cociente le llamaremos dimensión fractal relativa:

Dim. frac. relativa = (dimens. topológica+ coef. dimensional )/(dimens. topológica).

                                                     Dfr= (d+e)/d

En nuestro caso conocemos que la energía asociada al vacío depende inversamente de la distancia (L^-1). Si fuera una simple línea (dimensión 1) encontraríamos que su dimensión fractal sería -1, pero como la energía es una magnitud tridimensional su dimensión fractal será -3, lo que obedece a un coeficiente dimensional negativo e igual a -6.

Tanto la dimensión fractal como el coeficiente dimensional negativos son resultados anómalos que obedecen a una causa sorprendente que estudiaremos a continuación. Siempre en base a la hipótesis fractal de las fluctuaciones que hemos planteado.

Volvamos a fijarnos en una simple hoja de papel que supondremos de espesor despreciable. Si la arrugamos estamos “fabricando” un fractal con dimensión mayor de 2 y menor de 3, es decir estamos sumando a su dimensión topológica un factor dimensional tanto mayor cuanto más intrincado sea su arrugamiento. ¿Pero qué ocurre si sobre la hoja lisa, sin arrugar, realizamos la operación de enrollarla sobre uno de sus extremos de la forma más fina posible?: A su dimensión topológica 2 le habremos restado una de sus dimensiones. En cierta forma, estamos realizando una operación con resultados opuestos al arrugamiento. En un caso se suma un factor dimensional y en el otro se resta.

Si sobre la expresión de la dimensión fractal relativa aplicamos la siguiente transformación de resta de dimensiones, que llamaremos T:

T: Valor (dimens. topológica) --> Valor (dimens. topológica – coef. dimensional),

                                                  T: (d) --> (d-e)

obtenemos la siguiente expresión para un universo con el mismo valor de dimensiones enrolladas que de coeficiente dimensional:

Dim. fractal relativa = (dimens. topológica)/(dimens. topológica – coef. dimensional).

                                                     Dfr= d/(d-e)

Si a esta expresión le igualamos el valor (-1) encontramos que el resultado anómalo obtenido se correspondería al de un universo con 6 dimensiones enrolladas y con un factor dimensional, también, de 6 (d= dimensión topológica=3).

Un poco más sobre el tema, visto de otra forma.

Fractales contra dimensiones enrolladas, una "oposición" geométrica

Arrugar, romper o fracturar la continuidad clásica para aumentar la capacidad de un objeto de ocupar espacio, o enrollarlo para disminuir dicha capacidad. He aquí la cuestión, aparentemente trivial, que puede llevarnos a entender mejor el propio nacimiento de nuestro Universo.


Geometría fractal. La geometría sobre puntos, rectas, planos y demás objetos geométricos que se nos enseña en la escuela no es más que una abstracción, muy útil, sobre objetos reales de nuestra vida cotidiana. Cualquier superficie de la vida real, por muy perfecta que nos parezca nunca es un plano geométrico perfecto. Conforme la observemos con más y más aumento repararemos en un montón de imperfecciones que la van alejando de la geometría euclidea que nos han enseñado y la acercan, cada vez más, a una nueva geometría más cercana a la realidad que llamamos geometría fractal.


Imaginemos que en un espacio de tres dimensiones nos encontramos con una especie de diablillo virtual moviéndose con total libertad y tratando de recubrirlo por completo. Su trayectoria será una línea quebrada, con infinidad de recovecos, cuyo fin será pasar por todos los puntos del espacio. Como línea de trayectoria que es su dimensión topológica será la unidad, pero su capacidad de recubrir el espacio nos indica que estamos ante un objeto geométrico diferente a los típicos objetos euclidianos que hemos estudiado en la escuela, como el punto, la línea o el plano de dimensiones cero, uno o dos. Este tipo de objetos es lo que Benoît Mandelbrot llamaba en 1975 objetos fractales, concepto que había inventado a partir del adjetivo latino “fractus” (roto, fracturado). Posteriormente, en 1982, publicó el libro “The Fractal Geometry of Nature”, en donde proponía : “Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.”


Dimensión fractal. La dimensión que define la trayectoria del diablillo ya no es la dimensión clásica de una línea (la unidad), sino que a ella debemos añadir un coeficiente dimensional que nos indica su grado de irregularidad.La suma de los dos coeficientes nos da un nuevo valor dimensional al que llamamos dimensión fractal. En este caso hacemos la siguiente suma: dimensión geométrica clásica (1) + coeficiente dimensional (2) = dimensión fractal (3).


Dependencia con la distancia. Hay un detalle más que nos da una idea del movimiento que lleva el diablillo. La distancia total que recorre al cabo de N de sus pasos debe ser sólo la raíz cúbica de su alejamiento efectivo a un punto arbitrario, es decir para alejarse una distancia efectiva d, de un punto cualquiera, su recorrido total deberá ser d ³. Este exponente (3) nos está dando, también, la dimensión fractal del movimiento. En cierta forma es lógico que sea así, pues el volumen que intersecta y recubre la trayectoria es del orden del cubo de su distancia característica (Volumen = Lado³).


¿Que tiene que ver todo esto con las dimensiones enrolladas? Supongamos una manguera vista desde una distancia de doscientos metros. A todos los efectos prácticos sólo vemos una línea y una sola dimensión característica, su longitud. Un objeto tridimensional, aunque con dos dimensiones significativas en el orden práctico se ha convertido en una linea unidimensional. Mejor aún, para poder visualizar más fácilmente la "oposición" geométrica a la que se refiere el título del post, imaginemos una lámina superfina (despreciamos su espesor) de un material moldeable. Cuando la lámina está perfectamente extendida, y sin arrugas, tenemos un objeto geométrico con dos dimensiones. Si la arrugamos y comprimimos convenientemente hasta conseguir una bola tendremos un objeto con tres dimensiones significativas, por lo que habremos aumentado en una su dimensión inicial. Si, por el contrario, la enrollamos perfectamente hasta formar un tubo muy fino obtendremos un objeto unidimensional, una línea, y habremos disminuido en una su dimensión inicial. En cierta forma vemos que realizamos operaciones opuestas, geométricamente hablando. Una suma dimensiones (fractalizar) y la otra resta (enrollar).


¿Tiene algún sentido práctico todo esto? Puede tenerlo, y mucho. Siempre de forma hipotética, de forma casual me di cuenta de que en un universo emergente esta simple cuestión geométrica pudo tener mucho que ver en la estabilidad que presenta el vacío cuántico. Para un vacío cuántico cuyas fluctuaciones de energía fueran un fractal de dimensión (3 + 6), unas supuestas dimensiones enrolladas que nos dejaran un espacio de (9 - 6) dimensiones (6 enrolladas) contribuirián decisivamente a su estabilidad. En el momento clave en que debían quedar definidas las constantes típicas de este universo (la propia naturaleza del cuanto), las supuestas dimensiones enrolladas pudieron tener un papel primordial, puramente geométrico, en su definitiva fijación. (Ver en la Revista Elementos de la Universidad autónoma de Puebla, un esbozo de esta teoría)

Reedición de un interesante post de 2009. Espero que os guste amigos. Un abrazo.

Fractales contra dimensiones enrolladas, una "oposición" geométrica

Arrugar, romper o fracturar la continuidad clásica para aumentar la capacidad de un objeto de ocupar espacio, o enrollarlo para disminuir dicha capacidad. He aquí la cuestión, aparentemente trivial, que puede llevarnos a entender mejor el propio nacimiento de nuestro Universo.


Geometría fractal. La geometría sobre puntos, rectas, planos y demás objetos geométricos que se nos enseña en la escuela no es más que una abstracción, muy útil, sobre objetos reales de nuestra vida cotidiana. Cualquier superficie de la vida real, por muy perfecta que nos parezca nunca es un plano geométrico perfecto. Conforme la observemos con más y más aumento repararemos en un montón de imperfecciones que la van alejando de la geometría euclidea que nos han enseñado y la acercan, cada vez más, a una nueva geometría más cercana a la realidad que llamamos geometría fractal.


Imaginemos que en un espacio de tres dimensiones nos encontramos con una especie de diablillo virtual moviéndose con total libertad y tratando de recubrirlo por completo. Su trayectoria será una línea quebrada, con infinidad de recovecos, cuyo fin será pasar por todos los puntos del espacio. Como línea de trayectoria que es su dimensión topológica será la unidad, pero su capacidad de recubrir el espacio nos indica que estamos ante un objeto geométrico diferente a los típicos objetos euclidianos que hemos estudiado en la escuela, como el punto, la línea o el plano de dimensiones cero, uno o dos. Este tipo de objetos es lo que Benoît Mandelbrot llamaba en 1975 objetos fractales, concepto que había inventado a partir del adjetivo latino “fractus” (roto, fracturado). Posteriormente, en 1982, publicó el libro “The Fractal Geometry of Nature”, en donde proponía : “Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.”


Dimensión fractal. La dimensión que define la trayectoria del diablillo ya no es la dimensión clásica de una línea (la unidad), sino que a ella debemos añadir un coeficiente dimensional que nos indica su grado de irregularidad.La suma de los dos coeficientes nos da un nuevo valor dimensional al que llamamos dimensión fractal. En este caso hacemos la siguiente suma: dimensión geométrica clásica (1) + coeficiente dimensional (2) = dimensión fractal (3).


Dependencia con la distancia. Hay un detalle más que nos da una idea del movimiento que lleva el diablillo. La distancia total que recorre al cabo de N de sus pasos debe ser sólo la raíz cúbica de su alejamiento efectivo a un punto arbitrario, es decir para alejarse una distancia efectiva d, de un punto cualquiera, su recorrido total deberá ser d ³. Este exponente (3) nos está dando, también, la dimensión fractal del movimiento. En cierta forma es lógico que sea así, pues el volumen que intersecta y recubre la trayectoria es del orden del cubo de su distancia característica (Volumen = Lado³).


¿Que tiene que ver todo esto con las dimensiones enrolladas? Supongamos una manguera vista desde una distancia de doscientos metros. A todos los efectos prácticos sólo vemos una línea y una sola dimensión característica, su longitud. Un objeto tridimensional, aunque con dos dimensiones significativas en el orden práctico se ha convertido en una linea unidimensional. Mejor aún, para poder visualizar más fácilmente la "oposición" geométrica a la que se refiere el título del post, imaginemos una lámina superfina (despreciamos su espesor) de un material moldeable. Cuando la lámina está perfectamente extendida, y sin arrugas, tenemos un objeto geométrico con dos dimensiones. Si la arrugamos y comprimimos convenientemente hasta conseguir una bola tendremos un objeto con tres dimensiones significativas, por lo que habremos aumentado en una su dimensión inicial. Si, por el contrario, la enrollamos perfectamente hasta formar un tubo muy fino obtendremos un objeto unidimensional, una línea, y habremos disminuido en una su dimensión inicial. En cierta forma vemos que realizamos operaciones opuestas, geométricamente hablando. Una suma dimensiones (fractalizar) y la otra resta (enrollar).


¿Tiene algún sentido práctico todo esto? Puede tenerlo, y mucho. Imaginemos un fractal con una dimensión típica Dfr cuyas características dependen de la distancia, como hemos visto dos párrafos antes, según d^Dfr. Si lo recluimos en una trampa cuántica en dos dimensiones (hemos disminuido en una las dimensiones del espacio), su nueva dependencia será d^Dfr-1. Será un fractal más estable, menos irregular en la medida en que también es más pequeña su dimensión fractal. Siempre de forma hipotética, de forma casual me di cuenta de que en un universo emergente esta simple cuestión geométrica pudo tener mucho que ver en la estabilidad que presenta, en la actualidad, el vacío cuántico. Para un vacío cuántico cuyas fluctuaciones de energía fueran un fractal de dimensión (3 + 6), unas supuestas dimensiones enrolladas que nos dejaran un espacio de (9 - 6) dimensiones (6 enrolladas) contribuirián decisivamente a su estabilidad. En el momento clave en que debían quedar definidas las constantes típicas de este universo (la propia naturaleza del cuanto), las supuestas dimensiones enrolladas pudieron tener un papel primordial, puramente geométrico, en su definitiva fijación. (Ver en la Revista Elementos de la Universidad autónoma de Puebla, un esbozo de esta teoría)

Diez dimensiones, supercuerdas y fractales.

La teoría de supercuerdas predice que la unificación de todas las fuerzas ocurre a la energía de Planck, o 10¹⁶ miles de millones de electronvoltios ( mil billones de veces mayor que las energías de que disponemos en los aceleradores actuales). Esto significa que la verificación experimental de la misma escapa a nuestras posibilidades y a las que nos podría brindar un futuro previsible y supone que la teoría decadimensional ( tres dimensiones ordinarias+ seis compactadas + el tiempo) no es verificable directamente .Sin embargo puede haber alguna forma de verificación indirecta. En muchas universidades los físicos están tratando de diseñar experimentos que nos delaten su presencia, pero es posible que su impronta haya quedado reflejada en la propia naturaleza del cuanto de acción, y las fluctuaciones cuánticas del vacío nos puedan decir algo determinante al respecto.


Benoit Mandelbrot decía que la geometría fractal nos enseña a observar este viejo mundo con unos nuevos ojos. La existencia del cuanto de acción que está íntimamente unida a la propia naturaleza de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío obliga a que su estructura sea discontinua, escalonada, fractal, por ello la geometría fractal puede enseñarnos algo que antes no podíamos ver.

Mandelbrot, se preguntaba cual era la longitud de una costa y observaba que esa longitud dependía de la unidad de medida que se adoptara para medirla. Si la unidad es de 5 km. la longitud nos da un valor, pero si la unidad es de 100 metros nos encontramos con un resultado mucho mayor, y conforme hacemos más pequeña la unidad de medida nos podremos adaptar mejor a las irregularidades y obtendremos un valor aún mayor. En el caso de una costa fractal ideal, podremos disminuir cuanto queramos la unidad de medida y acabaremos obteniendo un valor infinito.

En las fluctuaciones ocurre algo similar, pero nos encontramos que para una determinada distancia D su valor es del orden de E, mientras que para una distancia 4D será del orden de E/4 y así hasta llegar a distancias muy grandes, por ejemplo 10 000 D, en que la energía implicada es muy pequeña, del orden de E/10 000. Es como si al medir la distancia de costa entre Barcelona y Valencia nos encontráramos que es muchísimo menor que la distancia de costa entre nuestros dos pies cuando paseamos por la playa.

La Universidad de Chile, en su revista Ciencia Abierta , me publicó el artículo “ Estabilización del vacío cuántico y dimensiones enrolladas”, ( después otros dos más completos) sobre la posibilidad de que el estudio de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío nos estuviera evidenciando, indirectamente, la existencia de las 6 dimensiones enrolladas que necesita la teoría de supercuerdas. Los cálculos parecen indicar que en el estado en que se adoptó la configuración de 3 dimensiones ordinarias y 6 enrolladas, debió decidirse la propia naturaleza del cuanto de acción.

De ser correctos los resultados significarían una evidencia de la existencia de las 10 dimensiones que necesita la teoría de supercuerdas para ser considerada una realidad plena.

Todo parece formar parte, en cierta manera, de una sola realidad: 10 dimensiones, supercuerdas y fractales.

(Por supuesto, quedo a disposición de cualquier universidad interesada en esta línea de investigación)