Física cuántica fácil (I)

Lo continuo y lo discreto
Ciertas magnitudes varían de forma continua, mientras otras lo hacen de forma discreta o discontinua. Al pesar grandes cantidades de granos de arroz, se pueden considerar sus masas como continuas, aunque es evidente su composición granular. Sin embargo, si analizamos pequeñas cantidades de arroz, usando una balanza de gran precisión, tenemos que tener en cuenta el hecho de que la masa varía a saltos; la magnitud mínima de cada salto es el peso de un grano de arroz, aproximadamente 0,025 gramos. Cada uno de estos pasos mínimos indivisibles es lo que denominamos cuantos elementales de la magnitud en cuestión. En este ejemplo, el peso de un grano de arroz sería el cuanto elemental.

A principios del siglo XX, Max Planck sugirió que la radiación electromagnética estaba formada por pequeños paquetes, o cuantos de energía indivisibles, que, posteriormente, se denominaron fotones. Su valor sería igual a una constante llamada h (mínima acción de Planck) multiplicada por la frecuencia de la radiación. Algunos años más tarde Einstein, basándose en esta idea, proporcionó una explicación satisfactoria de la extracción de electrones de un metal por la luz que incide sobre el mismo, en lo que se llama efecto el efecto fotoeléctrico.

Principio de complementariedad
En general, el comportamiento de las partículas subatómicas no se puede explicar con los conceptos clásicos de partículas y ondas del mundo macroscópico. Bohr expresó esta idea básica nueva con su principio de complementariedad. La concepción corpuscular y la descripción ondulatoria, que siempre se habían creído excluyentes, son complementarias. Se necesitan los dos conceptos para tener una descripción completa sobre las partículas subatómicas, tales como protones o electrones, pues se comportan, según las circunstancias, como ondas o como partículas. Pueden difractarse por una red cristalina, lo que constituye un fenómeno típicamente ondulatorio. De acuerdo con la hipótesis de De Broglie, toda partícula tiene asociada una onda, cuya longitud característica es inversamente proporcional a su momento lineal (masa x velocidad).

Principio de incertidumbre
Las magnitudes asociadas a las partículas subatómicas no están siempre bien definidas. Por ejemplo, si conocemos la posición de un electrón o un fotón, su momento lineal no está bien definido. Podemos realizar un experimento para encontrar la posición y otro para medir su momento, pero estas dos medidas se excluyen mutuamente; esto es, no se pueden determinar simultáneamente la posición y el momento de una partícula cuántica. Este hecho tan asombroso constituye el llamado principio de incertidumbre de Heisenberg.

Para entender las razones de esta incertidumbre, consideremos que deseamos hallar la posición de un electrón. Para saber dónde se encuentra necesitamos observarlo enviando, por ejemplo, un fotón que se refleje en el electrón. Pero el electrón tiene una masa muy pequeña, por lo que el fotón tiene suficiente energía para hacerlo retroceder en una dirección impredecible. Por tanto, no importa lo cuidadoso que seamos al tratar de medir la posición exacta del electrón, siempre introduciremos una indeterminación en la velocidad y momento del electrón.

Una forma de establecer este principio es afirmar que las cantidades medibles están sometidas a fluctuaciones impredecibles que hacen que sus valores no estén bien determinados. Las magnitudes aparecen reunidas en parejas incompatibles tales como posición y momento, energía y tiempo, etc. La incertidumbre en la medida de una de estas magnitudes multiplicada por la incertidumbre de la correspondiente en la pareja no puede ser nunca menor que h. Puesto que h tiene un valor muy pequeño, el grado de indeterminación es sólo importante en el mundo subatómico, aunque, en principio, se aplica a todos los sistemas. Para la física clásica la constante h no tiene ningún sentido, por lo que la incertidumbre puede ser, perfectamente, cero (como cero es la mínima acción considerada para la física clásica de Newton).

Principio de incertidumbre para la energía. Pares de partículas virtuales
De este principio se deriva que cuanto menor es el tamaño de la región que queremos explorar, mayor es el momento y, en consecuencia, la energía para poder hacerlo. Por esta razón, para estudiar regiones muy pequeñas se necesitan partículas con una gran energía; de ahí, la necesidad de contar con grandes aceleradores de partículas.


Análogamente, existe una incertidumbre relacionada con la energía y el tiempo. No podemos conocer con toda precisión la energía que tiene un sistema mecanocuántico en un instante determinado. La incertidumbre en el valor de la energía del sistema multiplicado por la incertidumbre del valor del instante de tiempo en que se realiza la medida tiene que ser nuevamente mayor que la constante de Planck. Si tenemos en cuenta la famosa ecuación de equivalencia entre masa y energía E = mc², la incertidumbre en la medida de la energía se traduce en incertidumbre en el valor de la masa del sistema. En un instante muy corto de tiempo, no podemos estar seguros de cuál es la masa de nuestro sistema. La materia puede aparecer y desaparecer espontáneamente en el vacío. Puesto que siempre que aparece una partícula de materia se debe crear otra de antimateria, el tiempo durante el cual puede existir el par partícula-antipartícula es extraordinariamente corto; tanto menor cuanto mayor es la masa de las partículas. Aplicando la expresión del principio de incertidumbre para un par electrón-positrón se obtiene que este intervalo es de 6.5x10^-22 seg. Este proceso puede ocurrir en cualquier sitio y en cualquier instante de tiempo, pero sólo durante un intervalo de tiempo extraordinariamente corto. Por ello es imposible una observación directa de estas partículas, aunque se pueden detectar sus efectos. Esta es la razón por lo que a estos pares de partícula-antipartícula se les da el nombre de virtuales.

Del libro "Física para jusristas, economistas... y demás gente curiosa", de Roberto González Amado (Catedrático de física aplicada en la Universidad Carlos III de Madrid). Ed. Critica. Barcelona 1996.

La extraña medida cuántica en un espacio de infinitas dimensiones: el espacio de Hilbert.

El espacio de Hilbert es una pura construcción matemática pero responde a la perfección a lo que hacía falta para elaborar la teoría cuántica. De no haberse descubierto habría habido que inventarlo para las necesidades de la teoría.

En teoría clásica las cantidades físicas a medir se asocian a simples números, cuyo producto es conmutativo: a*b= b*a . En mecánica cuántica dichas cantidades u observables se asocian a operadores(1) cuyo producto, por el contrario, no es necesariamente conmutativo. Mientras que la física clásica se desarrolla en el espacio ordinario, la mecánica cuántica lo hace en una generalización de este espacio ordinario llamado espacio de Hilbert. Esta generalización permite que operaciones matemáticas intuitivas y fácilmente visualizables en dos y tres dimensiones puedan extenderse a espacios de más dimensiones o, íncluso, a espacios con un número infinito de dimensiones.

Mientras que el espacio ordinario es un espacio vectorial métrico(2), en donde se definen vectores (que podemos identificar como flechitas más o menos largas y orientadas hacia cualquier dirección) como son las fuerzas o las velocidades, en el espacio de Hilbert que tiene infinitas dimensiones los vectores se generalizan como funciones. Las transformaciones que obran sobre los vectores del espacio convirtiéndolos en otros vectores del mismo espacio se llaman operadores(1) . Vectores y operadores tienen propiedades de linealidad: toda combinación lineal, de coeficientes complejos, de vectores es un vector; un operador transforma un vector en otro vector, y toda combinación lineal de vectores, también en un vector. El producto escalar de dos vectores asocia a estos dos vectores un número complejo que depende linealmente de cada uno de ellos. En el espacio ordinario de dos dimensiones si A(a1,a2) y B(b1,b2) son dos vectores, con sus dos coordenadas, el valor a1*b1 + a2*b2 sería el número que expresaría su producto escalar, en base al cual se establece la métrica (2) o la forma de medir en dicho espacio bidimensional.

El formalismo de la teoría cuántica se interesa, por una parte, por los estados del sistema físico y, por otra, por las magnitudes físicas observables relativas a este sistema. Los estados se asocian a los vectores de un espacio de Hilbert y los observables, a los operadores que actúan en este espacio. Un vector del espacio de Hilbert se llama vector propio de un operador cuando la acción de este operador sobre el vector consiste en multiplicarlo por un número llamado propio: (Operador_P) (vector_A) = a0 (vector_A) , siendo a0 el valor propio.

La expresión anterior representa una medida en un sistema cuántico. Al medir el estado del sistema representado por el vector_ A mediante el operador_P hemos encontrado el valor real a0, su valor propio, que corresponde a un observable del sistema representado por el operador. Este observable puede ser una medida de energía, de velocidad, de distancia, etc. El operador más importante de la teoría cuántica es el operador asociado a la energía total del sistema: el hamiltoniano. El total de los valores propios, u observables, del hamiltoniano se llama espectro del sistema. En un sistema atómico, el espectro comprende una serie discreta de valores propios, que se corresponden con los niveles de energía del átomo, nivel fundamental y niveles excitados.

La conmutación y no conmutación de los observables es una de las propiedades más interesantes de la teoría cuántica. Supongamos que dos observables no conmutan, como la posición "q" y el impulso "p", con sus operadores Q y P. Esto significa que no podemos medir el impulso en un estado en que se puede medir la posición, y viceversa. Esta es la expresión rigurosa de la desigualdad de Heisenberg también llamada Principio de Indeterminación.

En la mecánica cuántica una representación de un sistema se define por un conjunto completo de observables que conmutan, y proporciona toda la información susceptible de ser recogida sobre el sistema cuántico.

Lo nuevo respecto a la teoría clásica es que puede haber una segunda representación, es decir, un segundo conjunto completo de observables que conmutan, pero que no conmutan con los de la primera representación. Se dice entonces que las dos representaciones son complementarias. Dependiendo de las magnitudes que midamos (los observables elegidos) tendremos una representación u otra del sistema.

Algo de historia sobre el nacimiento de los espacios de Hilbert:

"¿Quién de nosotros no querría levantar el velo tras el que se esconde el futuro y asomarse, aunque fuera por un instante, a los próximos avances de nuestra ciencia y a los secretos de su desarrollo ulterior en los siglos futuros?".

Así comenzó David Hilbert (1862-1943) su intervención en el Congreso Internacional de Matemáticas celebrado en París en 1900. A continuación planteó 23 problemas que han modelado buena parte del desarrollo de las matemáticas en el siglo XX. Hace 102 años Hilbert era, en contraste con la situación de Einstein durante su annus mirabilis 1905 recién conmemorado, uno de los matemáticos con mayor prestigio y, probablemente, el más influyente.

Por aquellos años, el campo de estudio de Hilbert y sus colaboradores eran las ecuaciones integrales. Los estudiantes de secundaria aprenden que una ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en las que hay un número desconocido, la incógnita, cuyo valor se puede calcular efectuando operaciones. En una ecuación integral la incógnita no es un número, sino una función -una gráfica- cuya fórmula se quiere conocer y que aparece en la ecuación dentro de una integral. En la serie de artículos Fundamentos de una teoría general de las ecuaciones integrales, Hilbert analizó las técnicas introducidas para estudiar estas ecuaciones por Poincaré y Fredholm a finales del XIX, mejorando sus resultados. En el cuarto artículo de esta serie, publicado en 1906, Hilbert prueba que las ecuaciones integrales pueden resolverse como un sistema de infinitas ecuaciones lineales con infinitas incógnitas.

En el bachillerato se estudian los sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas: tres números ligados por las ecuaciones cuyo valor se desea calcular. Estos números se pueden ver como las coordenadas -largo, ancho y alto- de un punto en el espacio, lo que permite usar herramientas geométricas como ángulos y distancias para resolver el sistema. Lo que hizo Hilbert fue construir herramientas geométricas análogas para un espacio, llamado Espacio de Hilbert, en el que los puntos tienen infinitas coordenadas, no sólo las tres cotidianas.



Como curiosidad, sobre la medida del número de partículas en un estado de Fock:
De acuerdo con la mecánica cuántica el número de partículas de un sistema cuántico, en un estado físico totalmente general, no tiene por qué estar bien definido resultando posible al hacer una medida del número de partículas diferentes resultados. Sin embargo, en ciertos casos el sistema puede tener un estado físico peculiar en el que el número de partículas sí esté totalmente bien definido, los estados en los que eso sucede son precisamente los estados de Fock.

Que la fuerza ... y la incertidumbre nos acompañen

En el ensayo "Certidumbre de la incertidumbre" (post anterior), Isaac Asimov nos indica que el principio de incertidumbre no es una simple cuestión filosófica de la que podamos prescindir por comodidad. Entre otras cosas dice Asimov que: "Si no existiese el principio de incertidumbre, tampoco existiría el Universo, tal como lo conocemos; pues la existencia de todos los átomos, menos los de hidrógeno, depende de dicho principio". Asimov se refiere a la fuerza que mantiene la cohesión de los protones y, en realidad, a todas las demás fuerzas fundamentales.

Hacia 1911 Ernest Rutherford había demostrado la existencia del núcleo atómico, y durante los próximos veinte años siguientes parecía establecida su estructura general. Excepto el núcleo del isótopo más común del hidrógeno, que estaba constituido por un solo protón, el resto de núcleos se sabía que estaban formados del mismo número de protones, con carga positiva, que el de electrones con carga negativa y suponían que éstos actuaban como una especie de "cemento nuclear". Es decir, impedían que la repulsión de los protones desintegrara el núcleo. Sin embargo, con el descubrimiento de los neutrones ( James Chadwick,1932) se constató que los núcleos en realidad estaban formados por estas partículas, semejantes a los protones pero sin carga, y por los protones. Además era la única forma en que se podía solucionar un problema surgido con un número cuántico de "giro" llamado espín, característico de las partículas subatómicas, que de otra forma no se conservaba.

Pero, como dice Asimov, "había caido una gigantesca mosca en el vino". El núcleo estaba lleno de repulsión y no había nada que lo mantuviese unido. Se necesitaba una fuerza que actuara a distancias tan pequeñas como las que presenta el núcleo atómico y que fuese mucho mayor que la fuerza eléctrica, pero no se conocía ninguna fuerza tan potente. Sin embargo el principio de incertidumbre en la versión energía-tiempo:


(Incertidumbre en la Energía) x (Incertidumbre en el Tiempo) = (h/ 2 Pi)

era la solución, según el propio Heisenberg. La nueva fuerza, que acabaría llamándose interacción fuerte, era debida al intercambio de una partícula virtual entre los protones. Se llama así porque aparece y desaparece cumpliendo el principio de incertidumbre en la versión energía-tiempo que hemos indicado. Esta partícula ejercía de cemento nuclear entre los componentes del núcleo atómico. La partícula de intercambio tenía que durar lo bastante para ir y volver de un protón al inmediato. Sabiendo el tiempo aproximado se podía averiguar su energía por el principio de incertidumbre. Se hicieron los cálculos y así se pudoa saber la masa de la partícula y predecir sus propiedades, se determinó que debía ser del orden de 270 veces más pesada que el electrón y, lógicamente, debía interactuar con los protones.

En 1948, un grupo de físicos ingleses, dirigidos por Cecil Francis Powell, al estudiar los rayos cósmicos en los Andes bolivianos, observaron una partícula que cumplía las características esperadas y se le llamó "mesón-pi" o pión (llamado mesón por ser de masa intermedia entre el proton y el electrón).

El principio de incertidumbre sirve para algo más que para no dejarnos medir, con exactitud y simultáneamente, pares de magnitudes tales como la velocidad-posición o energía-tiempo. Sin él nuestro mundo no sería como es y no existirían las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza. Cada una de ellas necesita de una partícula virtual que es intercambiada en la interacción correspondiente. En la fuerza nuclear fuerte se intercambia un mesón-pi o pión, en la electromagnética un fotón y en la gravitatoria un gravitón (hipotéticamente). Ese intercambio cumple rigurosamente el principio de incertidumbre en la versión energía-tiempo, de forma que el tiempo del intercambio por la energía de la partícula debe ser menor que el cuanto de acción de Planck dividido por 2Pi. En caso de ser mayor, la partícula pasaría a ser estable y se habría formado de la nada. Conforme sea mayor la masa de la partícula intercambiada, menor será el alcance de la fuerza por ser exigible un menor tiempo de interacción. La fuerza electromagnética, por ejemplo, tiene como partícula de interacción el foton, de masa nula en reposo, por lo que su alcance es practicamente infinito. La frontera que mantiene a esas partículas en el reino de las sombras es tan fina como lo es la constante h/2Pi.