La medida natural de las cosas

La relación que tratamos de establecer entre dos cantidades puede ser engañosa. En ocasiones los valores más lógicos de las mismas nos alejan de la realidad y del fenómeno que tratamos de estudiar. El sentido común nos puede dar una aproximación del resultado capaz de guiarnos para encontrar la solución correcta, la que se amolda de verdad a la realidad.



Supongamos que queremos relacionar dos cantidades que se corresponden con una realidad palpable, por ejemplo dos longitudes de un determinado objeto, y nos dan las siguientes medidas: 2 y 1/2, 3 y 1/3, 4 y 1/4, ... n y 1/n. Siendo n un número natural. La división entre ellas no nos ofrece ningún conflicto, será 4, 9, 16, ... n², nos está dando la cantidad de veces que una cantidad es mayor que otra. Sin embargo hay relaciones que pueden dar equívocos si nos dejamos guiar por el resultado puramente matemático. Por ejemplo, si nos fijamos en la figura que representa el fractal clásico llamado copo de Koch y su construcción, vemos que en cada iteración sustituimos un segmento de 3 unidades por cuatro segmentos de una unidad: justamente la relación entre log 4/ log 3 nos da la dimensión fractal de la figura, que es 1.261859… Si lo que queremos relacionar son las dos longitudes representadas por cualquier número natural N y su inverso 1/N, al hallar la relación similar a la anterior, del copo de Koch, nos encontramos con un valor negativo, -1, una dimensión negativa para un fractal, cuando físicamente no tiene ningún sentido, pues la dimensión fractal siempre es igual a la topológica (o dimensión aparente) más un coeficiente dimensional, tanto mayor cuanto más irregular es el fractal.


Matemático y lógico, Kronecker defendía que la aritmética y el análisis deben estar fundados en los números enteros prescindiendo de los irracionales e imaginarios. Fue autor de una frase muy conocida entre los matemáticos: "Dios hizo los naturales; el resto es obra del hombre" (Eric Temple Bell 1986, p.477. Men of Mathematics ).

Esa es la cuestión, en nuestro caso debemos convertir 1/N y N en dos nuevos números naturales que al relacionarnos, para expresar el valor que representa la dimensión del objeto, nos de un resultado coherente con la realidad que estamos observando. Las figuras que siguen a este párrafo nos aclaran el camino a tomar para encontrar una posible solución, para este caso particular.


Vemos la construcción de una figura cuando N=3, N=4 y N=5. En la primera figura si damos el valor 3 al lado, su perímetro será 27 (3³), pero si le damos el valor 1/3, su nuevo perímetro será 3. Así ocurre para N=4 ó N=1/4 , etc, y en general para cualquier valor N y 1/N (con N finito, aunque tan grande como queramos). Siempre ocurrirá que si el lado es N el perímetro será N³ y si el lado es 1/N el perímetro será N, sin que para ello varíe la forma de la figura.


La conversión natural será la que transforma la pareja de medidas (1/N, N) en (N, N³) y el valor irregular, -1, que encontrábamos para la dimensión fractal de la curva se convertiría en 3. Este valor le daría a la curva la capacidad de llenar el espacio. Es un fractal con dimensión entera, de forma similar al caso de un movimiento aleatorio puro, que de cada N² pasos realizado sólo se aleja N, de cualquier punto arbitrario de referencia que consideremos, y por tanto tiene una dimensión fractal igual a 2, capaz de llenar el plano.

En realidad, para nuestro caso (1/N, N), existen infinitas conversiones, responden a la expresión :

Dim. fractal (*)= 1 + 2/logL(N) , siendo L(N) el valor del lado que consideremos, como función de N. Para L(N)= 1/N tenemos el valor -1, para L(N)=N, le corresponde el valor 3, como hemos dicho. Para valores de exponente natural más negativos (1/N² ) y mayores la dimensión se acerca asintóticamente a l. Para valores mayores de N, como N², N³, o de mucho mayor exponente el valor asintótico será también 1.

Al final no podemos confiar ciegamente en el valor que nos dan las matemáticas, pues el mundo que representan es mucho más amplio que el mundo real y siempre necesitaremos de nuestro sentido común, en el análisis de los resultados encontrados. Por otra parte, paradójicamente, en ocasiones ocurre lo contrario: el sentido común nos ciega y nos impide ver una realidad más profunda que subyace en los resultados matemáticos.

(*)Tomando logaritmos en base N





Dualidad T, (1/N,N)



Como simple curiosidad, sobre el intercambio de valores 1/N y N, y como culturilla sobre teoría de cuerdas, todo esto puede recordarnos la llamada Dualidad-T:



En la expresión que representa los cuadrados de las energías de las excitaciones de una cuerda en un espacio con una dimensión curvada o compactada, K. Kikkawa y M. Yamanaka en 1984, observaron que la fórmula sigue teniendo el mismo aspecto si hacemos el intercambio R <--> 1/R. Siendo R el radio microscópico de la dimensión que se curva.

Desde un punto de vista físico esto indica que las energías de las excitaciones de una cuerda, cuando hay una dimensión extra de radio R, es la misma que la de una cuerda cuando el radio es 1/R. No ya las energías, sino todas las propiedades físicas de ambos sistemas son exactamente las mismas. Llama la atención, pues cuando R aumenta 1/R decrece, contradiciendo la experiencia de la vida diaria, que nos dice que las cosas pequeñas difieren de las grandes. Para una cuerda ello no es así.


Sobre "Unificación y dualidad en teoría de cuerdas", ver el número de agosto de 1998 de Investigación y Ciencia, de Luis E. Ibáñez Santiago.

El universo elegante

Según Einstein, la teoría de la relatividad general era demasiado hermosa para ser errónea. Mediante el principio de equivalencia extendió la sencilla simetría por la que las leyes de la física son idénticas para todos los observadores, en cualquier tiempo y lugar del universo, al caso en que dichos observadores se encuentran sujetos a movimientos acelerados. De Hecho, un observador con movimiento acelerado puede opinar que él, en realidad, está en reposo y la aceleración que experimenta es debida a un campo gravitatorio. Los efectos son completamente equivalentes.

En esa base tan simple y elegante descansa la teoría más bella y poderosa que tenemos sobre la gravedad. En cierta forma, la gravedad refuerza la simetría, garantiza que todos los puntos de vista de los observadores, todos los marcos de referencia posibles, tienen igual validez. Las fuerzas nuclear fuerte, débil y electromagnética también están conectadas con simetrías pero, en este caso son más abstractas que las asociadas a la gravedad, requieren de espacios más complejos y extendidos. Al igual que, en la relatividad general, la simetría entre todos los posibles puntos ventajosos de observación requiere la existencia de la fuerza gravitatoria, el resto de las fuerzas es necesaria para que el universo abarque simetrías especiales. Estas simetrías, llamadas gauge, fueron desarrolladas primero por Hermann Weyl en la década de 1920 y por Chen_Ning Yang y Robert Mills en la década de 1950 y son la base del esfuerzo de los físicos en lograr la unificación de las cuatro fuerzas fundamentales.

Con el nacimiento de la teoría de cuerdas se logró un avance importantísimo, un principio de compatibilidad entre las dos grandes teorías actuales de la física, la relatividad general y la mecánica cuántica que parecían incompatibles. La presunción de que las partículas no eran puntuales sino el resultado de una cuerda vibrante, eliminaba los molestos infinitos asociados a los campos cercanos a las partículas puntuales, además introducía de forma natural a la partícula mensajera de la gravedad: el gravitón, una partícula de masa cero y spin 2, predicha por la relatividad general. La teoría de cuerdas resultaba ser una teoría cuántica y gravitatoria.

Desde los comienzos de la teoría de cuerdas, como una especie de entelequia matemática para explicar las interacciones entre los componentes de los hadrones (nucleones, como protón y neutrón), hasta su proliferación en cinco tipos diferentes de teorías y el nacimiento de la teoría M que las engloba, la aventura científica que supone ha cautivado a miles de científicos de todo el mundo. Involucra la física con las matemáticas más abstractas, que todavía no han sido descubiertas, y en esa intrincada andadura encontramos a un verdadero genio en ambas disciplinas: Edward Witten. En el camino se ha encontrado una extraña simetría llamada dualidad T, o de radio grande/radio pequeño, por la cual las propiedades físicas de cierto tipo de cuerda, en un universo dotado de una dimensión circular de radio R, son absolutamente idénticas a las propiedades físicas de otro tipo de cuerda en un universo dotado de una dimensión circular de radio 1/R. Las cinco teorías de cuerdas existentes, junto con la teoría M, se muestran duales entre si y unidas en un solo marco teórico.

Las once dimensiones espaciotemporales de la teoría M y la forma en que se enrollan las dimensiones ocultas en los espacios de Calabi-Yau nos indican que la unidad cosmológica de las fuerzas fundamentales se consigue más fácilmente utilizando el marco de la teoría M. Pero las cuerdas ya no están solas, la teoría M incluye otros objetos: membranas vibratorias bidimensionales, burbujas tridimensionales que se ondulan, llamadas tribranas, y además una gran cantidad de otros ingredientes diversos.

Esto y muchísimo más, lo encontraréis, magníficamente explicado, en el apasionante libro de Brian Green "EL UNIVERSO ELEGANTE. Supercuerdas, dimensiones ocultas y la búsqueda de una teoría final", de la Editorial Crítica.Barcelona. 2007.

Nota.- José Luis, un amable lector nos envía unos enlaces a videos explicativos, relacionados con el libro, y un par de post de su blog:

La teoría de cuerdas (1)
La teoría de cuerdas (2)

Documentales de El universo elegante:

Parte 1, El sueño de Einstein
Parte 2, La clave está en la cuerda
Parte 3, Bienvenido a la 11ª dimensión