Algo más sobre los fractales, su dependencia espacial

La dimensión de un fractal está íntimamente relacionada con la manera en que éste se extiende por el espacio. Su dimensión nos da la capacidad del fractal de recubrir un espacio de dimensión topológica superior a la suya, de hecho, una trayectoria fractal de dimensión 2 es capaz de recubrir el plano, y de dimensión 3 el espacio tridimensional. 

Imaginemos que en un espacio de tres dimensiones nos encontramos con una especie de diablillo virtual moviéndose aleatoriamente, con total libertad, y tratando de recubrirlo por completo. Su trayectoria será una línea quebrada, con infinidad de recovecos, cuyo fin será pasar por todos los puntos del espacio. Como línea de trayectoria que es su dimensión topológica será la unidad, pero su capacidad de recubrir el espacio nos indica que estamos ante un objeto geométrico diferente a los típicos objetos euclidianos que hemos estudiado en la escuela, como el punto, la línea o el plano de dimensiones cero, uno o dos. Este tipo de objetos es lo que Benoît Mandelbrot llamaba en 1975 objetos fractales, palabra que inventó a partir del adjetivo latino “fractus” (roto, fracturado). 

Dimensión fractal. La dimensión que define la trayectoria del diablillo ya no es la dimensión clásica de una línea (la unidad), sino que a ella debemos añadir un coeficiente dimensional que nos indica su grado de irregularidad. La suma de los dos coeficientes nos da un nuevo valor dimensional al que llamamos dimensión fractal. En este caso hacemos la siguiente suma: dimensión geométrica clásica (1) + coeficiente dimensional (2) = dimensión fractal (3). 


Dependencia con la distancia. Hay un detalle más que nos da una idea del movimiento que lleva el diablillo. La distancia total que recorre al cabo de N de sus pasos debe ser sólo la raíz cúbica de su alejamiento efectivo a un punto arbitrario, es decir para alejarse una distancia efectiva d, de un punto cualquiera, su recorrido total deberá ser d³. Este exponente (3) nos está dando, también, la dimensión fractal del movimiento. En cierta forma es lógico que sea así, pues el volumen que intersecta y recubre la trayectoria es del orden del cubo de su distancia característica (Volumen = Lado³). 

En una trayectoria espacial fractal: 

(1) Distancia total recorrida = Distancia efectiva^{(dimensión fractal)} 

Siendo la dimensión fractal igual a la dimensión topológica más un coeficiente dimensional positivo, tanto mayor cuanto más intrincado sea el fractal, la expresión (1) quedaría: 

(1) Distancia total recorrida = Distancia efectiva^{(dimensión topol. + coef. dimensional)} 

¿Puede la geometría del espacio modificar la dimensión fractal?.Imaginemos una trayectoria fractal que pasa desde un espacio de 3 dimensiones a otro de 2. En la realidad podría ser el paso gradual de una tubería de 10 cm. x 10 cm. a otra de 0,1 cm. x 1000 cm., del mismo caudal. Para, depende que movimiento, el paso podría suponer cambiar, prácticamente, de 3 a 2 dimensiones. En la nueva situación la dimensión topológica habría descendido en una unidad, por lo que para el mismo coeficiente dimensional (que depende de la irregularidad del fractal), la nueva dimensión fractal sería menor. La disminución de dimensiones topológicas actúa de forma opuesta (restando) a como actúa el coeficiente dimensional (sumando). Al final obtendríamos, en la práctica, un movimiento menos irregular e intrincado. 


Y sobre todo esto, en plan un tanto informal, añado un articulito que se publicó en la web de la Real Sociedad Española de Física, en el foro de debate sobre Física Divertida . Pocos meses antes se había publicado en la revista ImasD de ciencia y tecnología (revista en papel, posteriormente electrónica y hoy desaparecida: www.ImasD-tecnología.com).Otro articulo posterior, también muy sencillo, publicado por la Revista Elementos, de la Universidad Autónoma de Puebla: El sorprendente vacío cuántico. 


El diablo Aleaxis y el efecto de ocultación de masa.
Aleaxis es un simpático e inconsciente diablillo que no para de dar pasos, a tontas y a locas de forma aleatoria, en cualquier dirección del plano. Su trayectoria es discontinua, puede ser representada por una línea quebrada que acabaría recubriendo todo el plano. En su torpeza, para recorrer una distancia efectiva de “n” pasos debe dar como media n x n , es decir n²pasos: su trayectoria, en realidad, representa un fractal, una estructura quebrada y discontinua de dimensión 2, la dimensión fractal que caracteriza al azar puro.

De forma similar, las fluctuaciones de energía del vacío (principio de incertidumbre) representan a otro diablo, esta vez real y poderoso, que hace mucho más interesante nuestro universo. Sin él el vacío estaría vacío, además de parecerlo, sería plano y estaría absolutamente quieto. Este diablo, un tanto escurridizo y nada torpe, arruga el espacio-tiempo y lo convierte en un fractal similar a la trayectoria de Aleaxis. Esta vez, para que nosotros observemos “n pasos” de fluctuación efectiva de energía, el diablo “da“ n x n x n pasos, es decir n³ .

Observando, solamente, los pasos efectivos de Aleaxis y sabiendo que su trayectoria es un fractal podemos inferir que existe un “efecto de ocultación de pasos”. De la misma forma, al observar las fluctuaciones efectivas de energía del vacío (son las únicas que podemos observar) deducimos que hay un poderoso “efecto de ocultación de energía “ (o masa, por el principio de equivalencia entre masa y energía).

El poderoso diablo de las fluctuaciones, además de arrugar el espacio-tiempo, enrolla parte de sus dimensiones para acentuar el “efecto de ocultación”. Si sólo se limitara a arrugarlo las fluctuaciones de la energía interferirían lo suficiente para no dejarnos ver el vacío como tal (al no depender del inverso de la distancia sino de su raiz cúbica). En la realidad dependen del inverso de la distancia: a grandes distancias su valor es despreciable, a pequeñas distancias es impresionantemente grande, contribuyendo a la impresión de un paradójico vacío “superdenso”. El diablo actúa como un verdadero mago: esconde ingentes cantidades de masa, detrás de sus arrugas enrolladas, hasta que hace “aparecer” el vacío. Sólo al acercarnos, “en las pequeñas distancias “, advertimos su truco. 


Reedición de un post de 2009. Un abrazo amigos.

Fractales, física clásica y nuevas teorías (I)

Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y las cortezas de los árboles no son lisas, ni los relámpagos viajan en una línea recta.

Mandelbrot, 1982, de su libro Introduction to The Fractal Geometry of Nature

Cristales de hielo de naturaleza prefractal

En la naturaleza que observamos a nuestro alrededor no solemos ver nada parecido a un cuadrado, a una esfera o a una línea recta. La geometría que nos ensañaron en la escuela en base a líneas rectas y figuras geométricas regulares sólo la encontramos en la realidad artificial que nos hemos construido y a pesar de eso, y gracias a la influencia que ha tenido en la educación su enseñanza desde Euclides, hemos creído en su existencia en un mundo ideal del que este sería una burda copia. En la naturaleza observamos una geometría diferente, mucho más cercana a la que el matemático Benoît Mandelbrot llamó geometría fractal.

En la física clásica, la que conocíamos hasta los comienzos del siglo XX, ocurría algo similar hasta que apareció la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad. La referencia inamovible del absoluto que suponía el espacio y el tiempo de la mecánica newtoniana desapareció, primero con la relatividad especial y después con la relatividad general. Previamente, en el campo matemático se desarrollaron geometrías no euclidianas durante el siglo XIX, por Gauss, Riemann o Lobachevsky, entre otros, cuya ayuda fue crucial para el desarrollo de las nuevas teorías físicas.

Geometría euclidiana y no euclidiana

Tenemos dos teorías soberbias sobre la realidad, la mecánica cuántica y la teoría de relatividad general. La mecánica cuántica es capaz de integrar tres de las cuatro fuerzas fundamentales que existen (electromagnetismo, nuclear fuerte y nuclear débil) y describir perfectamente la naturaleza microscópica de la materia, pero no la gravedad. Para explicar la gravedad en su menor detalle y los fenómenos de magnitud cósmica tenemos la relatividad general. Lo “bonito” sería una sola teoría para explicar las cuatro fuerzas fundamentales, lo que se suele llamar una teoría del todo, pero lo trágico es que no tenemos forma, hasta el momento, de conseguir esa belleza.

En este punto, alrededor de los años 80 del siglo XX, apareció la teoría de cuerdas  que propone que las partículas materiales aparentemente puntuales son en realidad estados de vibración  de un objeto más básico llamado cuerda. El gravitón, o partícula que expresa la fuerza de la gravedad, sería una cuerda vibrante cerrada, un bosón de spin 2. Pero uno de los principales problemas de esta teoría es que los modos de vibración de las cuerdas necesitan 9 dimensiones espaciales y una temporal, dimensiones que desde luego no observamos y que se supone están compactadas en un espacio diminuto del orden de la longitud de Planck. Después de unos 30 años esta teoría se resiste a ser demostrada y no ha predicho ningún efecto comprobable mediante experimento.

Teoría de cuerdas

Por la misma época que la teoría de cuerdas surgió una teoría llamada gravedad cuántica de bucles  (LQG, por Loop Quantum Gravity), supone que el espacio no es continuo sino que consta de una serie de pedacitos indivisibles de espacio-tiempo del tamaño de la longitud de Planck. Wikipedia:Estos átomos del espacio-tiempo forman una malla densa en cambio incesante que, en condiciones normales, nunca apreciaremos, pues el espaciado dentro de la malla es tan pequeño que nos parece ser un continuo. La LQG define el espacio-tiempo como una red de enlaces abstractos que conecta estos volúmenes de espacio.

Esta teoría, lejos todavía de ser una teoría completa, ha tenido muchos menos seguidores que la teoría de cuerdas, pero ha conseguido importantes éxitos en el estudio de los agujeros negros y evita singularidades al tratar de aplicar la relatividad general al Big Bang.