Fractales por dislocación o desplazamiento (de dimensión entera)

Fractal by displacement

 

Georg Cantor

En 1884, Cantor, y en 1904, Koch engendraron una especie de monstruos o quimeras, unas figuras intermedias entre puntos y líneas, líneas y superficies, o superficies y volúmenes, a las que Mandelbrot llamó fractales. Para ellas, en general, su dimensión de Hausdorff (y Besicovitch) o dimensión fractal es una fracción, y su valor es diferente a su dimensión topológica y normalmente mayor.

La dimensión fractal nos indica la parte del espacio que es capaz de cubrir un fractal. De hecho, cuando decimos que un fractal tiene dimensión 1,237 queremos decir que ocupa más que una recta (dimensión 1) y menos que un plano (dimensión 2). El valor de la dimensión fractal podría decirse que se forma a partir de dos sumandos, uno es la dimensión topológica del objeto matemático que lo forma y el otro depende de la irregularidad que presente el fractal. Existen curvas fractales de dimensión 2, capaces por tanto de cubrir el plano. El movimiento browniano de hecho tiene dimensión fractal 2 y es sumamente intrincado e irregular, el factor dimensional que se suma a la dimensión topológica (dimensión 1) es, también, de valor 1.

Durante más de 50 años se han estudiado fractales cuya dimensión suele ser no entera, y uno de los primeros fue el monstruo de Cantor (polvo de Cantor) que vemos en la figura siguiente. Se parte de un segmento al que quitamos su tercio central. En las siguientes iteraciones volvemos a repetir la operación con los segmentos resultantes y así hasta el infinito. Se obtienen infinitos segmentos que tienden a cero longitud (infinitos puntos). Su dimensión fractal es:

 Dim_fractal = log (2)/ log (3) = 0,6309297 , pues del segmento original de valor 3 sólo tomamos los 2 tercios extremos.

¿Pero qué pasaría si el tercio central no lo eliminamos sino que sólo lo desplazamos? Ahora tendríamos un polvo de Cantor modificado tal como lo vemos en la figura siguiente. ¿Cuál sería ahora su dimensión fractal? Fijándonos en cómo la hemos calculado antes, ahora del segmento original de valor 3 no eliminamos ningún tercio, por lo que su dimensión sería:

Dim_fractal = log (3) / log (3) = 1. Y es lógico, porque el fractal sigue ocupando el mismo espacio que el segmento original, aunque pulverizado. El resultado es un polvo fractal de dimensión entera.

Helge von Koch

Hemos realizado la dislocación o desplazamiento de un objeto matemático de una dimensión, un segmento, y hemos obtenido así una especie de polvo de Cantor modificado, pero puede conseguirse el mismo efecto con una figura geométrica de dimensión 2 ó de dimensión 3. En sucesivos post veremos un caso de dislocación de un cuadrado (dos dimensiones) y de un cubo (tres dimensiones). 

Los objetos geométricos que conseguimos de esta forma tienen autosemejanza en todas las escalas como los típicos fractales geométricos, pero su dimensión sigue siendo la misma que la de la figura inicial de la que proceden, es decir siguen siendo de dimensión entera.

Un saludo amigos.Os remito a un antiguo post en el que ya trataba este tema. La curva de Koch, también llamada copo de nieve de Koch, veremos que nos permite construir un fractal por desplazamiento similar a dicha curva. También podéis consultar un trabajo reciente que me ha publicado la revista Inglomayor de la Universidad Mayor de Chile. Hay que puntualizar que como indico se pueden lograr polvos fractales de dimensión entera por dislocación o desplazamiento de figuras autosemejantes de 1, 2 ó 3 dimensiones, pero mientras sus dimensiones fractales siguen siendo las dimensiones de la figura inicial, la dimensión topológica del polvo resultante no puede ser otra que cero.

Polvo fractal con dimensión entera

Como comentaba en el post sobre el “Vacío cuántico, vacío fractal ”, la existencia del cuanto de acción ha destruido por completo la propia noción de trayectoria clásica.
Laurent Nóttale complementó la definición de Richard Feynman (1965) y A. Hibbs sobre las trayectorias virtuales típicas de una partícula cuántica, indicando que los caminos cuánticos posibles son, en número infinitos, y todos son curvas fractales caracterizadas por una propiedad geométrica común: su dimensión fractal es 2.

En algunos foros he leído que no se entendía bien lo de la dimensión fractal entera, en este caso 2, pero tal como indicaba en la expresión general de la dimensión fractal:

Dimensión fractal = dimensión topológica + factor dimensional

( El factor dimensional, siempre positivo, es tanto mayor cuanto más irregular es el fractal: indica la capacidad de ocupar más espacio del que indica su propia dimensión topológica)

Si el factor dimensional es entero, también lo será la dimensión fractal. Eso es lo que ocurre con las trayectorias virtuales en mecánica cuántica y también en una serie de fractales típicos, como puede ser el fractal del movimiento browniano en un plano ( dimensión fractal 2) o la curva de Peano ( dimensión fractal 2) que tiene más de 100 años de existencia.


Si una curva clásica tiene dimensión topológica 1, cuando hablamos de curvas fractales con una dimensión entre 1 y 2 estamos indicando que son capaces de ocupar parte del plano. Y es precisamente esa capacidad la que viene expresada por el factor dimensional. En el caso de la curva de Peano o del movimiento browniano, en el límite, ocupan todo el plano, de ahí que su dimensión fractal sea 2 , la propia dimensión del plano.


Como ejemplo, todavía más llamativo, observamos en la figura un fractal clásico ( el primero que se conoce), el polvo de Cantor que toma toma su nombre de Georg Cantor que en 1883 lo utilizó como herramienta de investigación para una de sus principales preocupaciones: el continuo.






A partir de una recta se le van quitando los segmentos centrales hasta conseguir una serie infinita de puntos aislados, de ahí el nombre de polvo. Si restablecemos de forma escalonada el segmento que antes le quitábamos, el nuevo fractal sigue teniendo estructura quebrada y autosemejante , pero ahora en lugar de tener una dimensión fractal igual a log 2/ log 3 tiene una dimensión entera: log 3/ log 3 =1. Nos ayuda, también, a entender como se calcula, de forma práctica, la dimensión fractal de una figura.


Esta otra figura es una síntesis de dos de los fractales clásicos, Koch y Cantor, y nos ayuda de forma intuitiva a entender el cálculo de su dimensión fractal. En la figura original de Koch, sobre los segmento A1-B1-D1-E1 se construye la figura que forman los segmentosA-B-C-D-E. Su dimensión fractal es log 4/ log 3 ( cuatro segmentos sobre tres). En la nueva construcción se ha sustraido 1/4 de cada uno de los segmentos superiores para dejar 4 segmentos de longitud 3/4: al final son 3 sobre 3 ( log 3/ log 3 = 1).

Se pueden construir infinidad de fractales con dimensión entera y, precisamente, esa irregularidad que representa una dimensión fractal entera en un fractal creo que nos ayuda a entendelos mejor.

Curva de Koch y vacío cuántico

La curva de Koch es un fractal clásico que nos puede orientar sobre el procedimiento de cálculo de la dimensión fractal. En la figura observamos tres iteraciones que nos muestran su construcción: sobre el segmento inicial AB volvemos a construir la figura completa en la segunda iteración y de la misma forma hacemos en la tercera.
El cociente (Log 4)/ (Log 3) da el valor de la dimensión fractal de la figura. El número 4 indica el número de divisiones, mientras que el número 3 es el inverso de la razón de homotecia : el todo es descomponible en 4 partes (segmentos AB,BC,CD,DE) las cuales se pueden deducir de él por una homotecia de razón 1/3 (los cuatro segmentos se proyectan sobre un segmento de longitud 3 : AB,BD,DE).

Si medimos la distancia entre los puntos AE con una regla cuya mínima medida sea 3, obtendremos que dicha distancia es 3. Por el contrario, si medimos la distancia con una regla de mínima distancia 1, la medida AE nos dará como resultado 4. El cociente entre los logaritmos de estos números nos darán la dimensión fractal que apuntábamos más arriba. Es evidente que para un segmento lineal encontraríamos el mismo valor para las dos medidas y el cociente entre sus dos logaritmos sería la unidad, que es la dimensión de una línea recta clásica euclideana.

En la curva de Koch la relación logarítmica de las distancias 4 y 3 nos dan la dimensión fractal. El valor 4 determina el patrón de irregularidad y el valor 3 , en cierta forma, su proyección. Para el vacío cuántico los valores son N y 1/N ( relación, en el post anterior, entre el lado y el perímetro del Ovillo de Alba), lo que nos da una idea de las formidables energías implicadas en lo que llamamos vacío cuántico: para una energía de magnitud N sólo se proyectaría en nuestro espacio tridimensional un valor 1/N.