Siete monedas y una teoría del TODO (II)

Resulta sorprendente como la resolución de problemas aparentemente intrascendentes, como colocar 6 monedas iguales tangentes a otra del mismo tamaño, puede llevar a solucionar cuestiones tan importantes como la propia estructura del universo. La clave última de esta conexión está en la simetría: en términos matemáticos, debajo de todo objeto simétrico yace una estructura matemática llamada grupo . Ejemplos típicos de objetos tridimensionales simétricos son la esfera, el cilindro o el cono.

Todos sabemos como colocar 6 monedas iguales tangentes a otra moneda del mismo tamaño. En una dimensión superior podemos colocar doce esferas, cuidadosamente apiladas, de forma que cada una de las cuales toca a una esfera central. Pero no se conoce cual es el número óptimo en ninguna dimensión superior a 3, excepto en dimensión 8, donde el grupo E8 nos proporciona un retículo en el que cada esfera toca a otras 240 (y en dimensión 24, que el retículo de Leech nos permite colocar 196560 esferas de dimensión 24 tangentes a una esfera central). El objeto matemático que permite esta proeza en 8 dimensiones se cree, desde hace tiempo, que puede jugar un papel importante en la teoría capaz de unificar todas las interacciones y partículas elementales existentes.

Garrett Lisi en su trabajo publicado en la web arXiv explica como ha podido "colocar", dentro del E8 dada su configuración extraordinariamente simétrica y compacta, los diferentes grupos de Lie SU(3), que representa las simetrías asociadas a la fuerza nuclear fuerte, los SU(2) x U(1) referentes a la fuerza electrodébil y el grupo de Lorentz SO(3,1) asociado a las matemáticas de la relatividad general. Todas las partículas y las fuerzas conocidas expresadas en una bella estructura matemática unificada, concisa y elegante.

Un poquito sobre teoría de grupos:

El grupo es una estructura matemática, en principio muy sencilla, que se establece a partir de un conjunto G con una operación " º " tal que aplicada a sus miembros da como resultado otro miembro del conjunto (operación interna). Esta operación tiene las siguientes propiedades:

Asociativa: Para todo g1,g2,g3 pertenecientes a G se cumple que (g1 º g2) º g3 = g1 º (g2 º g3).
Elemento neutro: Existe un elemento neutro e, perteneciente a G, tal que para cualquier elemento g del conjunto G : e º g = g º e = g . Como ocurre con la unidad para el producto, o el cero para la suma de números enteros.
Elemento inverso o simétrico: Para todo g perteneciente a G, existe un elemento llamado inverso_de_g tal que: g º (inverso_de_g) = (inverso_de_g) º g = e ( donde e es el elemento neutro).

Si además se cumple que g1 º g2 = g2 º g1 , o propiedad conmutativa, entonces el grupo se llama abeliano.Esto que en el instituto nos creíamos que sólo valía para enredar y darnos la lata, nos puede ayudar a desentrañar los misterios de la composición íntima de nuestro universo.

Como ejemplo, podemos ver en la figura un grupo compuesto por cuatro elementos, las potencias del número imaginario i que es la ráiz cuadrada de -1, o las rotaciones de 0º, 90º,180º ó 270º. Bien con la suma o con el producto, como operaciones de composición interna, vemos que podemos establecer un cuadro en donde observamos todas las relaciones entre los elementos del grupo. La propiedad conmutativa le confiere una simetría completa al cuadro.

En este grupo sólo necesitamos una tabla de 4 x 4, imáginemos la complejidad y la simetría tan maravillosa que encierra el grupo E8 que necesita de una tabla 453060 x 453060 para expresar las relaciones entre sus elementos. Para darnos una idea del tamaño y complejidad del E8, se ha comparado con el Proyecto del Genoma Humano.Su estructura posee 248 dimensiones y toda la información que se ha necesitado y generado para resolver el problema ocupa alrededor de 60 Gigabytes y según uno de los integrantes del grupo de matemáticos que ha desentrañado su estructura: "después de comprender las matemáticas subyacentes tardamos unos 2 años en implementarlo en un ordenador", la supercomputadora "Sage".

El cálculo del E8 es parte de un proyecto llamado Atlas de los Grupos de Lie y Representaciones que tiene por objetivo determinar las representaciones unitarias de todos los grupos de Lie, uno de los problemas sin resolver en matemáticas.

Como nos ayuda la estructura de grupo:

Apoyándonos en el grupo sencillo de la figura podemos hacernos una idea de como nos ayudan los grupos en nuestra búsqueda del conocimiento de las partículas elementales y sus interacciones. Supongamos que este grupo nos muestra una simetría que refleja la relación de tres partículas conocidas relacionadas mediante cierta interacción. Cuando analizamos el problema nos damos cuenta de que para completar la relación entre ellas necesitamos de otra partícula desconocida para completar el cuadro. En base a simetrías matemáticas podemos saber como será esa partícula y como se relaciona con las demás, además ese conocimiento nos permitirá diseñar experimentos para detectarla.

Si conseguimos relacionar todas las partículas y sus interacciones mediante simetrías matemáticas podemos obtener una serie de grupos capaces de representarlas. Si esos grupos conseguimos encuadrarlos en otro grupo superior habremos conseguido lo que intenta hacer Lisi con el grupo E8.

Volviendo a la teoría de Lisi:

Algunos físicos argumentan que la idea de Lisi podría ser complementaria de la teoría de cuerdas. De hecho, los físicos que han trabajado en esta teoría, ya han utilizado el modelo E8 para describir un patrón de espacio extra-dimensional llamado Variedad de Calabi-Yau, que se supone existiría al lado de las tres dimensiones que vemos.

Como decía en el anterior post, el futuro y los nuevos experimentos en base a las conjeturas que permite su teoría nos dirán si se equivoca o no. Tal como se dice en la cabecera de este blog : La aventura científica se convierte en la búsqueda de las más sencillas y potentes simetrías (belleza) capaces de descifrar, de la forma más simple, la aparente complejidad del mundo que nos rodea.