Los números primos y la aritmética del reloj: infinitos números y ninguno primo

En Teoría de números o Aritmética, un número primo es un número natural mayor que 1 que, únicamente, tiene dos divisores distintos, él mismo y el 1 (Wikipedia). Los primeros números primos, menores que 100, son el 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. Y ya en este primer grupo de números, nos podemos fijar que a partir del 7 todos acaban en 1, 3, 7 ó 9.  

La llamada "aritmética del reloj" o aritmética modular  fue introducida en 1801 por Carl Friedrich Gauss en su libro "Disquisitiones Arithmeticae", y se llama así porque los números "dan la vuelta" al alcanzar cierto valor que llamamos módulo. En nuestro caso si nos fijamos en cualquiera de los números primos de más arriba, por ejemplo el 47 al dividirlo por 10 (este sería el módulo) nos queda el resto 7 (después de dar 4 vueltas al número 10). El 79, después de dar 7 vueltas al número 10, nos dará de resto 9, y cualquiera de los números primos mayores de 7 nos darán de resto su número final, el 9, 1, 3 ó 7.

Y lo curioso de estos cuatro números es que forman un grupo abeliano y cíclico con respecto a la multiplicación (en módulo 10), de la misma manera que lo es el conjunto  {i, -i, +1, -1}, formado por el número imaginario i (raíz cuadrada de -1) y sus potencias. Los generadores son el 3 y el 7, pues:
3x3=9, 3x3x3=7  (27)  y  3x3x3x3=1  (81). Por otra parte: 7x7=9 (49), 7x7x7=3 y 7x7x7x7=1.

Los números 3 y 7, además de generadores son inversos aditivos el uno respecto al otro, pues su suma es 10, el módulo. Los números 1 y 9 son también inversos aditivos el uno del otro. Ocurre algo similar a los números +i, -i  y a +1,-1 con la suma.

Los números 3 y 7 son inversos con respecto a la multiplicación (su producto es 1), y el 9 es su propio inverso así como el 1.

Como se comentaba en un antiguo post, que recomiendo, Números primos, números de una sola pieza :
Se conoce una importante expresión llamada teorema de los números primos que nos da la cantidad de números primos que existen hasta un determinado número. Aproximadamente, para números suficientemente grandes, la expresión es:

 Cantidad de números primos = 
(número)/Logaritmo Neperiano(número). 

Aplicando la fórmula para (número)=1000, obtenemos 145 primos, cuando en realidad hay 168. Para 5000 nos acercamos un poquito más, la expresión nos da 587 y en realidad existen 669, y conforme probamos números mayores nos acercamos más, aunque las cifras convergen muy lentamente: para 1000 el 86,3%, para 5000 el 87,7% y para 50000 el 90%.

Valiéndonos de esta expresión observamos que la densidad de números primos con relación al número total de número que terminan en 1,3,7,9 va disminuyendo de forma inversa al logaritmo del número:

 -- Para los primeros mil números(log 1000 =3) la densidad es 0,3625
 -- Para los primeros diez mil (log 10 000=4) ------------------>0,27125
 -- Para un millón (log 1 000 000=6) ---------------------------->0,1809
 -- Para cien millones (log 100 000 000=8)---------------------->0,1357

Para el primer billón de números apenas sería 0,09, una densidad del 9%: sólo el 9% de los números acabados en 1,3,7,9 serían primos.

Los cuatro números sobre los que estamos hablando parecen tener un peso similar a la hora de formar los números primos. Por ejemplo, entre los números primos 36787 y 37813 el 1 aparece 21 veces, el 3 aparece 26, el 7 aparece 27 veces y el 9 26 veces. Entre los números 90731 y 91939 ocurre algo similar, aparecen 28, 31, 21 y 20 veces respectivamente, y entre los números primos 98773 y 99839 aparecen 20, 24, 26 y 30 veces. Como media, entre 300 números primos al azar entre el 36787 y 99839, se encuentra el 1:23%, el 3:27%, el 7:24,67% y el 9:25,33%. 

Lo curioso del caso es que, si bien, el 2 y el 5 no pueden aparecer como terminaciones de un número primo, como es lógico, son precisamente los dos números primos cuyo producto forma el número 10 que es el módulo del grupo 1_3_7_9. 

Un poco más...

En la figura se representa un grupo abeliano multiplicativo de 16 elementos combinando los cuatro números 1,3,7,9 en dos cifras. El producto se establece de forma que el primer resultado es el producto de las dos primeras cifras, y el segundo resultado es el producto de las dos segundas cifras. Podemos observar que el subconjunto {11,13,17,19} tiene también estructura de grupo.

 Para n cifras conseguiríamos un grupo abeliano con 4ⁿ  elementos. Para n= infinito, tendríamos un grupo abeliano con infinitos elementos, ninguno de ellos primo con el producto módulo 10, aunque todos ellos con un número infinito de cifras. El primer subconjunto lo podemos representar fácilmente: {11111111....11..1; 11111111....11..3; 11111111....11..7; 11111111....11..9}. Tendría sólo cuatro elementos con infinitas cifras, formando un grupo abeliano multiplicativo.

Infinitos números y ninguno primo:

Podríamos establecer una aplicación elemento a elemento entre los números naturales y los infinitos elementos de este grupo (que no tiene primos). Para n = 3, tres cifras, tendríamos 64 elementos: 111, 113, 117, 119, 131, 133, 137, 139, 171, 173, 177, 179, 191, 193, 197, ...199,...399,...799,... 999. La relación elemento a elemento sería: 1---> 111; 2--->113; 3--->117....; 16--->199......32--->399;.......48--->799;......64--->999.

Si observamos el primer subconjunto con infinitas cifras, que hemos visto más arriba, los infinitos unos iniciales no son representativos. Lo que determinaría el orden y la relación con los números naturales sería la última cifra. Los siguientes cuatro números serían : 11111111....11..31; 11111111....11..33; 11111111....11..37; 11111111....1139. En esta ocasión las últimas dos cifras determinarían la relación de orden, y así indefinidamente.

En esta relación el uno se correspondería con 11111111....11..11 y el infinito con 99999999....99..99. Un "reloj" de infinitas horas!!! En realidad se pueden establecer infinitas relaciones entre los números naturales y este conjunto infinito. Podemos establecer otra relación entre los números naturales y cualquier subconjunto infinito del grupo abeliano con 4ⁿ  elementos, para n= infinito. Por ejemplo con el subconjunto que empieza por 13111111....11..11 y acaba con 13111999....99..99. El primero representaría al número natural 1 y el último al infinito: infinitos relojes de infinitas horas, cada uno, en cascada !!!

El "misterio" y el "poder" del infinito que como decía mi hija Alba de pequeñita:... "nunca para, siempre se está haciendo"...