La imposible soledad de las partículas

Las partículas clásicas se concebían como entes aislados e independientes, así se las podía estudiar y se conseguían reducir las estructuras complejas a la mínima expresión para tratar de entenderlas mejor. Sin embargo, las partículas cuánticas reales nunca están solas, siempre les acompañan sus interacciones con los campos cuánticos, dentro de una bruma confusa de actividad sin fin: una especie de baile frenético que nunca cesa.

Por obra y gracia de la existencia del cuanto de acción , la base de la mecánica cuántica, las partículas elementales como el electrón, ya no pueden considerarse como cosas aisladas. Ya no podemos pensar en un electrón independiente de sus interacciones, cuya fuerza y naturaleza se manifiestan por una especie de nube envolvente de partículas virtuales, que aparecen y desaparecen siempre que se cumpla que el producto de su energía por el tiempo de su existencia sea inferior al cuanto de acción h. Al fotón le ocurre lo mismo, nunca está solo, tiene también su nube de partículas virtuales. Toda partícula lleva sus interacciones con ella, dentro de una bruma confusa de actividad sin fin. La soledad y el aislamiento son imposibles en el mundo cuántico, todos las partículas se encuentran interconectadas, enlazadas. De hecho cuando dos o más partículas están en un estado especial de enlazamiento o coherencia forman, en cierta manera, un ente superior y diferente, pierden su propia individualidad (condensados de Bose-Einstein).

En el vacío cuántico continuamente se están creando y aniquilando partículas, que pueden tener todas las posibles energías y sus momentos relacionados. Para seguir la pista de lo que está pasando tenemos que especificar todos los estados dinámicos que una partícula dada puede tener y describir las tasas a las que una partícula es creada o aniquilada en un estado dado. Cuando hemos hecho eso tenemos un modelo teórico, algo a lo que llamamos campo cuántico. Existen, por ejemplo, los campos del fotón y del electrón-positrón (campo de Dirac).

La creación virtual de partícula y anti partícula significa que una partícula real está atada físicamente al campo (al entorno) y que nunca puede ser considerada como una entidad separada. Mientras que en los campos clásicos de la gravitación y del electromagnetismo se piensa que una región del espacio tiene propiedades especiales que influencian el movimiento del cuerpo de prueba, y hablamos de la fuerza que un cuerpo experimenta y de su energía potencial, en cada punto del campo, identificando necesariamente la fuente del mismo, en los campos cuánticos es diferente. Independientemente de la fuente, los campos se encuentran presentes por todas partes. Se manifiestan en la creación y aniquilación de partículas elementales, tanto reales como virtuales, en conformidad con las regla de la mecánica cuántica. Una partícula se ha de considerar teóricamente como una excitación del campo y, de ninguna manera, independiente de él.

El rasgo más curioso de los campos cuánticos es su incapacidad total para quedarse quietos. Como niños vigorosos siempre están zangoloteando, la serenidad, la calma o la inactividad reposada no son posibilidades para ellos. Por todas partes en el Universo, el campo electromagnético se encuentra ocupado creando de manera fantasmal fotones de la nada y casi tan ocupado aniquilándolos. De la misma forma, el campo de Dirac crea y aniquila, en forma demoníaca, pares electrón-positrón. Ningún lugar está libre de actividad: el vacío es extremadamente activo.

Fenómenos como la no-localidad y la coherencia cuántica nos dan una clave de algo que estamos pasando por alto. La realidad formada por realidades completamente separadas nos ha ayudado a avanzar, a establecer y asentar nuestras verdades científicas, pero quizás ha llegado el momento de considerar que la única forma de seguir adelante sea descartar esa desconexión, si queremos de verdad profundizar en la esencia de nuestro mundo.

Post de mi colaboración con Libro de notas

Leyes del caos, vida e inteligencia

La ciencia del caos, curiosamente, ha hecho una aportación trascendental para mejorar nuestra comprensión del mundo. Hasta ahora se creía que la vida y con ella la inteligencia eran puras casualidades pero ahora sabemos que la materia, ciega en el equilibrio, manifiesta potencialidades imposibles en otras condiciones alejadas del mismo siempre que haya la necesaria aportación de energía. Con las leyes que rigen nuestro no hubo más que esperar el tiempo necesario para que las estrellas crearan los átomos imprescindibles para la vida y ésta progresara, a través de organismos cada vez más sofisticados y adaptados al ambiente de forma más eficiente, permitiendo que apareciese la inteligencia en especies evolucionadas como la nuestra.


Si la vida y la inteligencia vienen impresas en las propias leyes que nos rigen la posibilidad de vida e inteligencia extraterrestres están aseguradas.Ilya Prigogine, recibió el premio Nobel de Química en el año 1977 por su aporte al conocimiento de las "estructuras disipativas" en el mundo físico, es decir, el estudio de la aparición del orden en condiciones alejadas del equilibrio. El término estructura disipativa busca representar la asociación de las ideas de orden y disipación. El nuevo hecho fundamental es que la disipación de energía y de materia, que suele asociarse a la noción de pérdida y evolución hacia el desorden, se convierte, lejos del equilibrio, en fuente de orden. Estas estructuras están en la base de la vida y en ellas el orden se establece en base a ecuaciones de evolución no lineal, de mucha mayor complejidad que cerca del equilibrio en donde las soluciones son mucho más simples y se pueden linealizar.

Potencialidad:
Lejos del equilibrio existen muchas soluciones, potencialidades que no existen cerca del equilibrio. Esta riqueza nos puede guiar mucho mejor para comprender fenómenos complejos como la historia del clima, de la Tierra y de la propia vida. Todo esto está ligado a una estructura de no equilibrio que era incomprensible desde una perspectiva antigua: el no equilibrio no es sólo degradación, sino también construcción. Ni el tiempo repetitivo de la mecánica ni el tiempo-degradación de la termodinámica clásica pueden explicar la riqueza del mundo tal como lo vemos. La naturaleza inventa. Nada es reversible. Y su dimensión temporal dista de agotarse en la concepción matemática de un tiempo absoluto, como la concepción abstracta de la mecánica clásica. En los sistemas sencillos no caóticos su atractor, una especie de representación de sus variables dinámicas, es una figura geométrica simple o un punto, mientras que en los caóticos son figuras de una complejidad extraordinaria llamados atractores extraños. De esa complejidad se pueden extraer infinitas posibilidades para la evolución futura del sistema.


Los mecanismos de organización en las estructuras disipativas sólo pueden aparecer cuando el medio externo mantiene, mediante la aportación energética, el sistema alejado del equilibrio. La estructura es creada y mantenida gracias al intercambio de energía con el exterior. Por eso las llamamos estructuras disipativas. En ciertas condiciones críticas externas, las ínfimas fluctuaciones naturales y constantes de un sistema pueden, en vez de atenuarse, amplificarse y arrastrar el sistema en una u otra dirección. La rama de la bifurcación que escogerá el sistema es imprevisible, pues el fenómeno es aleatorio y parece fruto del azar.

La segunda ley, orden y desorden:
En un sistema aislado, la segunda ley de la termodinámica nos enseña que el desorden, la entropía, aumenta irremediablemente, pero eso no impide que una parte de ese sistema con una aportación de energía y materia de su entorno aumente su orden y disminuya su entropía. La suma total de entropía sigue aumentando, pero esa parte del sistema se organiza a costa de aumentar el desorden a su alrededor. Esa es la historia esencial de los organismos vivos. Cuando las condiciones externas cambian y se vuelven extremas el organismo entra en crisis y aparecen fenómenos aleatorios de bifurcación que le dan opciones de supervivencia. El sistema elige una de las opciones que se adaptará mejor o peor a las nuevas condiciones. Si elige bien vuelve a encontrar un periodo de estabilidad regido por el orden, si vuelve a entrar en crisis volverá el desorden y la nueva elección.

Hasta Prigogine, la ciencia pensaba que la vida era una especie de casualidad, un raro fenómeno difícil de reproducir, pero con Prigogine hemos aprendido que la materia lejos del equilibrio manifiesta potencialidades imposibles en otras condiciones. La intuición de que era posible elaborar una termodinámica general de sistemas vivos o abiertos y de sistemas cerrados, aislados e inertes, le valio a Ilya Prigogine el Premio Nobel de Química.

Algo más sobre el caos:


Historia, dignidad y efecto mariposa.

Efecto mariposa, un atráctor extraño.


Reedición de un antiguo post. Feliz verano amigos!!!

Algo más sobre los fractales, su dependencia espacial

La dimensión de un fractal está íntimamente relacionada con la manera en que éste se extiende por el espacio. Su dimensión nos da la capacidad del fractal de recubrir un espacio de dimensión topológica superior a la suya, de hecho, una trayectoria fractal de dimensión 2 es capaz de recubrir el plano, y de dimensión 3 el espacio tridimensional. 

Imaginemos que en un espacio de tres dimensiones nos encontramos con una especie de diablillo virtual moviéndose aleatoriamente, con total libertad, y tratando de recubrirlo por completo. Su trayectoria será una línea quebrada, con infinidad de recovecos, cuyo fin será pasar por todos los puntos del espacio. Como línea de trayectoria que es su dimensión topológica será la unidad, pero su capacidad de recubrir el espacio nos indica que estamos ante un objeto geométrico diferente a los típicos objetos euclidianos que hemos estudiado en la escuela, como el punto, la línea o el plano de dimensiones cero, uno o dos. Este tipo de objetos es lo que Benoît Mandelbrot llamaba en 1975 objetos fractales, palabra que inventó a partir del adjetivo latino “fractus” (roto, fracturado). 

Dimensión fractal. La dimensión que define la trayectoria del diablillo ya no es la dimensión clásica de una línea (la unidad), sino que a ella debemos añadir un coeficiente dimensional que nos indica su grado de irregularidad. La suma de los dos coeficientes nos da un nuevo valor dimensional al que llamamos dimensión fractal. En este caso hacemos la siguiente suma: dimensión geométrica clásica (1) + coeficiente dimensional (2) = dimensión fractal (3). 


Dependencia con la distancia. Hay un detalle más que nos da una idea del movimiento que lleva el diablillo. La distancia total que recorre al cabo de N de sus pasos debe ser sólo la raíz cúbica de su alejamiento efectivo a un punto arbitrario, es decir para alejarse una distancia efectiva d, de un punto cualquiera, su recorrido total deberá ser d³. Este exponente (3) nos está dando, también, la dimensión fractal del movimiento. En cierta forma es lógico que sea así, pues el volumen que intersecta y recubre la trayectoria es del orden del cubo de su distancia característica (Volumen = Lado³). 

En una trayectoria espacial fractal: 

(1) Distancia total recorrida = Distancia efectiva^{(dimensión fractal)} 

Siendo la dimensión fractal igual a la dimensión topológica más un coeficiente dimensional positivo, tanto mayor cuanto más intrincado sea el fractal, la expresión (1) quedaría: 

(1) Distancia total recorrida = Distancia efectiva^{(dimensión topol. + coef. dimensional)} 

¿Puede la geometría del espacio modificar la dimensión fractal?.Imaginemos una trayectoria fractal que pasa desde un espacio de 3 dimensiones a otro de 2. En la realidad podría ser el paso gradual de una tubería de 10 cm. x 10 cm. a otra de 0,1 cm. x 1000 cm., del mismo caudal. Para, depende que movimiento, el paso podría suponer cambiar, prácticamente, de 3 a 2 dimensiones. En la nueva situación la dimensión topológica habría descendido en una unidad, por lo que para el mismo coeficiente dimensional (que depende de la irregularidad del fractal), la nueva dimensión fractal sería menor. La disminución de dimensiones topológicas actúa de forma opuesta (restando) a como actúa el coeficiente dimensional (sumando). Al final obtendríamos, en la práctica, un movimiento menos irregular e intrincado. 


Y sobre todo esto, en plan un tanto informal, añado un articulito que se publicó en la web de la Real Sociedad Española de Física, en el foro de debate sobre Física Divertida . Pocos meses antes se había publicado en la revista ImasD de ciencia y tecnología (revista en papel, posteriormente electrónica y hoy desaparecida: www.ImasD-tecnología.com).Otro articulo posterior, también muy sencillo, publicado por la Revista Elementos, de la Universidad Autónoma de Puebla: El sorprendente vacío cuántico. 


El diablo Aleaxis y el efecto de ocultación de masa.
Aleaxis es un simpático e inconsciente diablillo que no para de dar pasos, a tontas y a locas de forma aleatoria, en cualquier dirección del plano. Su trayectoria es discontinua, puede ser representada por una línea quebrada que acabaría recubriendo todo el plano. En su torpeza, para recorrer una distancia efectiva de “n” pasos debe dar como media n x n , es decir n²pasos: su trayectoria, en realidad, representa un fractal, una estructura quebrada y discontinua de dimensión 2, la dimensión fractal que caracteriza al azar puro.

De forma similar, las fluctuaciones de energía del vacío (principio de incertidumbre) representan a otro diablo, esta vez real y poderoso, que hace mucho más interesante nuestro universo. Sin él el vacío estaría vacío, además de parecerlo, sería plano y estaría absolutamente quieto. Este diablo, un tanto escurridizo y nada torpe, arruga el espacio-tiempo y lo convierte en un fractal similar a la trayectoria de Aleaxis. Esta vez, para que nosotros observemos “n pasos” de fluctuación efectiva de energía, el diablo “da“ n x n x n pasos, es decir n³ .

Observando, solamente, los pasos efectivos de Aleaxis y sabiendo que su trayectoria es un fractal podemos inferir que existe un “efecto de ocultación de pasos”. De la misma forma, al observar las fluctuaciones efectivas de energía del vacío (son las únicas que podemos observar) deducimos que hay un poderoso “efecto de ocultación de energía “ (o masa, por el principio de equivalencia entre masa y energía).

El poderoso diablo de las fluctuaciones, además de arrugar el espacio-tiempo, enrolla parte de sus dimensiones para acentuar el “efecto de ocultación”. Si sólo se limitara a arrugarlo las fluctuaciones de la energía interferirían lo suficiente para no dejarnos ver el vacío como tal (al no depender del inverso de la distancia sino de su raiz cúbica). En la realidad dependen del inverso de la distancia: a grandes distancias su valor es despreciable, a pequeñas distancias es impresionantemente grande, contribuyendo a la impresión de un paradójico vacío “superdenso”. El diablo actúa como un verdadero mago: esconde ingentes cantidades de masa, detrás de sus arrugas enrolladas, hasta que hace “aparecer” el vacío. Sólo al acercarnos, “en las pequeñas distancias “, advertimos su truco. 


Reedición de un post de 2009. Un abrazo amigos.

Nota al margen: Paisaje por el infinito de los números primos

                N^{Densidad_primos_N}     = e     para N tendiendo a infinito

De los números primos sabemos que son infinitos, como ya demostró Euclides sobre el 300 a.C, pero su distribución, aparentemente, aleatoria sigue siendo una incógnita. Sobre el particular conocemos una expresión que nos da su cantidad aproximada hasta un determinado número. Esta expresión se llama teorema de los números primos y nos dice que: 

La cantidad de números primos=(Número)/Logaritmo Neperiano(Número) 

(La expresión del principio es una forma diferente de esta misma)

Aplicando la fórmula para (Número)=1000, obtenemos 145 primos, cuando en realidad hay 168. Para 5000 nos acercamos un poquito más la expresión nos da 587 y en realidad existen 669, y conforme probamos números mayores nos acercamos más, aunque las cifras convergen muy lentamente: para 1000 el 86,3%, para 5000 el 87,7% y para 50000 el 90%.

Infinito potencial e infinito actual (***):

Se entiende que los números primos sean infinitos, como también lo son los números naturales, y el hecho de que su principal propiedad dependa de que sólo sean divisibles por la unidad o por ellos mismos no plantea ningún problema esencial en el ámbito finito, por muy grandes que sean, pero no parece que pueda ocurrir lo mismo en el infinito… El crecimiento sin fin, lo que Aristóteles llamaba infinito potencial nunca ha planteado grandes problemas en las matemáticas: un número natural siempre tiene otro posterior que es mayor y así podemos seguir sin llegar nunca a un final (infinito). El infinito actual ya ha sido otra cosa. Tuvo que llegar Cantor y la teoría de conjuntos para considerar un infinito en acto:” En el conjunto N de los números naturales, no tiene sentido decir que los elementos de N devienen o que se hacen cada vez más grandes. Están todos allí, simplemente, actualmente (acto/potencia). Todos los conjuntos matemáticos tienen existencia actual, en ese sentido los conjuntos están dados, y con ellos la totalidad de sus elementos (Palacios et al.,1995 Los matematicuentos. ISBN 950-550-182).

Vista del infinito desde el la zona finita:

Cuando escribí el post sobre los números primos como hechos de una pieza, me llamó la atención la cantidad de extensas lagunas que podemos encontrar sin números primos. Conforme se hacen mayores los números primos es de suponer que se encontraran lagunas más y más extensas porque en el límite, conforme consideremos números mayores, la densidad de números primos tiende a cero, tal como se desprende de la expresión del teorema de números primos (densidad para N= 1/Log.Nep.(N) ver nota final). Cada vez más, las lagunas serán más grandes y más frecuentes, se presentarán en todas las combinaciones posibles: ¿muchas pequeñas, muchas grandes, algunas pequeñas con alguna grande, algunas grandes con muchas pequeñas… hasta que la mayor de todas las lagunas tenderá a limitar con el propio infinito?… ¿El infinito, como una especie de agujero negro matemático, sólo puede limitar con una cierta protección que lo separe de lo finito: una inmensa laguna sin números primos?

Vista del infinito desde la zona infinita:

Dado que el conjunto total de los números primos tiene infinitos elementos,el subconjunto de primos infinitos debe ser, a su vez, un conjunto con un número infinito de elementos. Infinitas “piezas” de longitud infinita que, en cierta forma, no se pueden “doblar” ni por la mitad ni por un tercio ni por ninguna de sus partes, porque no tiene partes. Infinitas “barras” con una cierta y perfecta “rigidez” que les confiere su propia longitud: un valor diferente en algunas unidades, más o menos, hará que esa rigidez se rompa y se desmorone en infinitas barras de longitudes diversas, también rígidas (números primos).

En la región de los números primos de valor infinito se irán sucediendo, supuestamente, de una forma igualmente irregular y sin ningún tipo de ley conocida los progresivos números primos:

InfinitoPrimo_n, InfinitoPrimo_n+1, InfinitoPrimo_n+2, ...InfinitoPrimo_n+m…Pero aquí, además, ¿podría ocurrir que entre un primo y su posterior número primo exista una completa sucesión infinita de números naturalesy que a esta le suceda una sucesión finita hasta el siguiente?…

De hecho, tal como indicaba en el post sobre “los números primos, números de una pieza”, en el ámbito finito podemos encontrar tantas lagunas con ausencia de números primos como queramos, y tan grandes como deseemos. Si ello es así, ¿podemos extender las inmensas lagunas finitas que podemos encontrar en el ámbito finito a lagunas infinitas en el ámbito infinito? En ese dominio nunca podremos entrar hasta que no conozcamos más sobre estos fascinantes números. La aleatoriedad que presentan y su infinitud es una combinación capaz de despertar la imaginación de los matemáticos, y siempre supondrá un acicate para estudiarlos y permitir así progresar las matemáticas y la ciencia. 

Reflexiones:
A la vista de estos paisajes infinitos y las reflexiones sobre ellos, una pregunta que me hacía, suponiéndonos en los “dominios del infinito”, hasta donde llegan los números primos, ¿entre un número primo y su posterior número primo puede existir una sucesión infinita de números naturales?,  no se puede plantear así, pues, en el ámbito infinito no pueden sucederse los números primos tal como se suceden en el ámbito finito. Nada es igual:  A un número primo en el ámbito finito le sigue otro primo que resulta de sumar al primero una cantidad finita. En el ámbito infinito se tendrían que sumar cantidades infinitas (o finitas más infinitas) y a partir de sumas infinitas no conseguiríamos nada… infinito más infinito (o más finito) es, también, infinito…

Repitiendo lo dicho más arriba: “Dado que el conjunto total de los números primos tiene infinitos elementos, el subconjunto de primos infinitos debe ser, a su vez, un conjunto con un número infinito de elementos”. Esta reflexión nos presenta un panorama extraño, pues parece indicarnos que la inmensa mayoría de los números primos (los números primos infinitos) permanece alejado de nuestro alcance. La solución creo que está cerca de lo que se indicaba antes al decir: “Cada vez más, las lagunas (de ausencia de primos) serán más grandes y más frecuentes, se presentarán en todas las combinaciones posibles: ¿muchas pequeñas, muchas grandes, algunas pequeñas con alguna grande, algunas grandes con muchas pequeñas… hasta que la mayor de todas las lagunas tenderá a limitar con el propio infinito?… (El número de primos es cada vez menor hasta que en el límite, en el infinito, tiende a cero).

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -      Sobre el infinito actual        - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

(***)El texto de Borges (2002), que es un fragmento del relato “El Aleph”, nos acerca a la idea del infinito actual:

“Aclaró que un Aleph es uno de los puntos del espacio que contiene todos los puntos. [...] –Sí, el lugar donde están, sin confundirse, todos los lugares del orbe, vistos desde todos los ángulos.”

Y más abajo continúa:

“Lo que vieron mis ojos fue simultáneo: lo que transcribiré, sucesivo, porque el lenguaje lo es. Algo, sin embargo, recogeré.

En la parte inferior del escalón, hacia la derecha, vi una pequeña esfera tornasolada, de casi intolerable fulgor. Al principio la creí giratoria; luego comprendí que ese movimiento era una ilusión producida por los vertiginosos espectáculos que encerraba. El diámetro del Aleph sería de dos o tres centímetros, pero el espacio cósmico estaba ahí, sin disminución de tamaño. Cada cosa (la luna del espejo, digamos) era infinitas cosas, porque yo claramente la veía desde todos los puntos del universo. Vi el populoso mar, vi el alba y la tarde, vi las muchedumbres de América, vi una plateada telaraña en el centro de una negra pirámide, vi un laberinto roto (era Londres), vi interminables ojos inmediatos escrutándose en mí como en un espejo, vi todos los espejos del planeta y ninguno me reflejó, vi en un traspatio de la calle Soler las mismas baldosas que hace treinta años vi en el zaguán de una casa en Fray Bentos, vi racimos, nieve, tabaco, vetas de metal, vapor de agua, vi convexos desiertos ecuatoriales y cada uno de los granos de arena [...]”. http://funes.uniandes.edu.co/5592/1/FrancoDosconcepcionesAlme2006.pdf

--------------------Nota final sobre densidad de números primos----------------------------------

La expresión que nos da la densidad de los números primos, densidad para N = 1/Log.Nep.(N),  y que supone que para N tendiendo a infinito dicha densidad es cero, nos acerca a una visión un tanto extraña. Los números primos que más conocemos, los que podemos encontrar hasta N=100 ó N=1000, vemos que están intercalados entre los no primos y son, relativamente, numerosos (hasta 1000 hay hasta168 números primos) pero la expresión nos indica que son extremadamente escasos. Si como media existiera  uno entre 1000 millones, su densidad sería 10^-9 , si fuera de uno entre un billón su densidad sería de 10^-12  y si fuera de uno entre un trillón sería de 10^-18. Estos valores aunque pequeñísimos son infinitamente mayores que cero.

El ritmo justo del azar

El azar, el puro azar tiene su "ritmo" justo de cambio. Ni más, ni menos. Lo podremos "tentar" ofreciéndole más y más grados de libertad ... él los tomará, pero no conseguiremos ni retrasar, ni acelerar su ritmo bajo ningún concepto. Siempre seguirá fiel a sus "principios", que básicamente son muy sencillos. En cierta forma nos está dando una lección que deberíamos aprender. Referido al movimiento browniano y a su capacidad de recubrir dos dimensiones. Cuando lo trasladamos a dimensiones superiores sigue desplazándose por todas las dimensiones posibles, pero sólo es capaz de seguir recubriendo dos, contra lo que podría parecer.

Cada vez que lanzamos una moneda al azar puede salir cara o cruz, independientemente del resultado que hayamos obtenido en un lanzamiento anterior. Así de simples son las leyes que rigen el puro azar.

A partir de los resultados que vayamos obteniendo en sucesivos lanzamientos podemos confeccionar una tabla como la de la figura, que se corresponde con una tanda de 100 lanzamientos. Esta tabla y la que vamos a considerar, que en general puede contener miles de resultados es algo estático, sin movimiento, pero nos ayudará a desentrañar los entresijos del movimiento al azar que llamamos movimiento browniano, en honor al naturalista escocés Robert Brown que lo observó a principios del siglo XIX, cuando estudiaba suspensiones en el agua de granos de polen y esporas de musgos. Es un movimiento en zig zag, arbitrario, hacia cualquier dirección posible de desplazamiento.

A partir de una tabla, como la de la figura, tomaremos parejas consecutivas de unos y ceros.La primera parte de la pareja será la x y la otra la coordenada y. Los unos significarán "avanza 1" y los ceros querrán decir "retrocede 1". En un plano partiremos del punto (0,0) y conforme vayamos traduciendo la tabla a movimientos en el plano estaremos representando el movimiento aleatorio que hemos llamado browniano.



Azar y dimensión fractal
En un movimiento lineal cada uno de los puntos de su trayectoria viene definido por un solo número que nos indica su distancia al origen, se habla de que tiene una dimensión (el largo). En un plano necesitamos dos números para identificar cada uno de sus puntos, las coordenadas x/y o el largo y el ancho, por lo que decimos que tiene dos dimensiones. El movimiento browniano, como movimiento lineal que es tiene dimensión topológica 1, pero asombrosamente es capaz de recubrir el plano, de llenarlo. De ahí que digamos que su dimensión como fractal sea 2, porque es capaz de recubrir un espacio de dimensión 2. A las figuras tan tortuosas e intrincadas como este movimiento aleatorio, Benoit Mandelbrot las llamó fractales, del latín "fractus" que significa fracturado o roto, discontinuo.Y este movimiento es, sin lugar a dudas, muy buen representante de esta nueva categoría de objetos geométricos omnipresentes en la naturaleza.

Cada momento el movimiento aleatorio avanza o retrocede en sus coordenadas x ó y, independientemente de lo que hiciera en el instante anterior, tiene absoluta libertad para desplazarse a través de cada una de las coordenadas. Esta idea se tiende a trasladar cuando el movimiento ocurre en un espacio de tres dimensiones como nuestro espacio ordinario, o de más dimensiones, y es correcta. De la misma forma tendemos a pensar que, también, en un espacio tridimensional el movimiento browniano será capaz de llenarlo, o cubrirlo, por completo. Esa es la idea que tenía yo al empezar a estudiarlo y la idea que ha tratado de defender algún lector, en alguna ocasión, a capa y espada, pero como demostraremos es una idea equivocada.

La magia del número 2
El valor 2 que caracteriza la dimensión fractal de este movimiento, también se puede definir de una manera muy intuitiva: necesita realizar N² pasos para alejarse de un punto cualquiera de referencia, sólo, N pasos efectivos. En tres dimensiones debería efectuar N³ pasos totales para alejarse, sólo, N pasos efectivos, pero como veremos eso no depende del número de dimensiones o grados de libertad sino de una característica independiente de las propias del espacio en que se mueve. Para demostrar esto nos fijaremos en la definición intuitiva que relaciona la distancia total con la efectiva.


La distancia total que recorre la partícula animada por un movimiento browniano es proporcional al número de pasos N, sin embargo la distancia efectiva se encontraría después de sumar los desplazamientos positivos y negativos. Para definir el resultado de esa suma existe una medida de dispersión apropiada que llamamos desviación típica, que para la distribución binomial con la que se corresponde el azar como lo hemos considerado resulta ser la raíz_cuadrada(N/4), pues es igual a raíz_cuadrada(Npq), siendo n = p = 1/2, ya que la posibilidad de que salga 0 ó 1 es la misma, y su suma debe ser la unidad.

Después de N pasos, la distancia efectiva para cada dimensión, considerada independiente, será raíz_cuadrada(N/4). Si consideramos 3 dimensiones la distancia efectiva será raíz_cuadrada(3 N/4). Esta magnitud la comparamos con la distancia total recorrida después de los N pasos: N raíz_cuadrada(3). Para N suficientemente grande sólo resulta significativa la comparación entre N y raíz_cuadrada de N, independientemente de que multipliquemos los dos términos por 3, 4, 5, ... d, cualquiera que sean las dimensiones del espacio considerado. De la comparación anterior resulta el valor de 2 de su dimensión fractal, o la consideración de realizar N² pasos totales para sólo conseguir N efectivos.

RecapitulandoEl movimiento browniano sólo es capaz de recubrir un espacio de 2 dimensiones (un plano). En un espacio de 3 ó más dimensiones su "ritmo" de distanciamiento de cualquier punto arbitrario, que consideremos como referencia, no es lo suficientemente "lento" para poderlo recubrir. Para recubrir un espacio de 3 dimensiones su ritmo de distanciamiento debería ser de N³ pasos totales para recorrer sólo N (dimensión fractal 3), para un espacio de 4 dimensiones serían N⁴ pasos totales para sólo N efectivos, y así sucesivamente. Sin embargo, el ritmo del movimiento lo imprime la desviación típica de la distribución binomial, que no depende de la dimensión del espacio, y cuyo valor es invariablemente igual a la raíz_cuadrada (N/4). Por eso, sea cualquiera el espacio considerado con tres o más dimensiones la dimensión fractal del movimiento browniano seguirá siendo 2. Para aumentar la dimensión fractal del movimiento deberíamos conseguir que cada nuevo paso tuviera "memoria" del resultado de los pasos anteriores y así disminuir su "ritmo" de alejamiento. Es como si en una carrera de 2 Km. nos obligaran a cumplimentar 200 tareas diferentes a lo largo de diferentes puntos del trayecto. Para una cierta velocidad conseguimos cumplimentar sólo 100 tareas y nos damos cuenta que para cumplimentar las 200 debemos disminuir el ritmo, o de lo contrario será imposible. De la misma manera el azar tiene su "ritmo" y ese ritmo sólo le permite recubrir un plano, no un espacio de 3 ó más dimensiones.

Nueva edición de uno de mis post clásicos. Un saludo amigos.

Se ha publicado en la revista AlephZero No. 85: El Ritmo Justo del Azar.

Tiempo, espacio-tiempo y paradigma holográfico

Conforme avanza nuestro conocimiento sobre el universo aparecen más interrogantes, vuelven las eternas preguntas que se han hecho los filósofos de todos los tiempos, aunque la perspectiva ha cambiado sustancialmente. Los principios básicos que vislumbramos sobre la gravedad cuántica nos indican que el propio espacio-tiempo no es el fundamental, eterno e inmóvil referente que siempre hemos creído sino que emerge de una entidad fundamental discreta (no continua) y su propia geometría debe estar inextricablemente ligada a las relaciones causales entre sucesos.

El libro "The trouble with physics", titulado en español " Las dudas de la física en el siglo XXI. ¿Es la teoría de cuerdas un callejón sin salida?", escrito por un gran físico, Lee Smolin, me hizo pensar en su momento, cuando lo leí, en muchas cosas (es un libro crítico con la teoría de cuerdas y un buen libro de física) pero sobre todo en una de gran calado sobre la propia naturaleza del tiempo. Smolin, reflexionando sobre la futura teoría capaz de armonizar la relatividad general de Einstein y la mecánica cuántica (gravedad cuántica), habla de que tiene la sensación de que tanto una como la otra teoría están profundamente equivocadas sobre la naturaleza del tiempo. Piensa que estamos pasando por alto algo muy importante y esencial sobre el mismo.

¿Solución o problema? El tiempo.
Sitúa el arranque del problema a principios del siglo XVII, cuando Descartes y Galileo introdujeron, de forma realmente genial, el tiempo como una especie de otra dimensión nueva del espacio. En una gráfica situaban el espacio en el eje de las x y el tiempo en el eje de las y, de forma que el propio movimiento aparecía como una curva estática. El movimiento, en cierta forma, se congelaba y el cambio se presentaba estático e inmutable. Desde entonces esta forma de entender el tiempo, según Smolin, ha influido de forma notable en nuestra propia concepción del mismo y, posiblemente, nos ha desviado de su esencia que todavía desconocemos.

Esta reflexión me llevó a escribir el post sobre el ritmo justo del azar. A partir de un conjunto completamente aleatorio de números construimos un movimiento aleatorio browniano cuyo ritmo o velocidad de alejamiento de un punto arbitrario queda perfectamente determinado: cada NxN pasos que da el movimiento sólo lo alejan una distancia efectiva N. Tomemos como tomemos los números aleatorios para construir el movimiento obtendremos el mismo ritmo, una especie de velocidad de alejamiento, obtenida a partir de un conjunto amorfo de números. Establecemos una velocidad fundamental, un ritmo, a los que está ligada tiempo y distancia (pasos). Además este ritmo está directamente relacionado con una característica puramente geométrica, la dimensión fractal de la trayectoria del movimiento.

Universo conexo y paradigma holográfico
Para mi, fenómenos como la no-localidad y la coherencia cuántica nos dan una clave de lo que estamos pasando por alto. No sólo nos equivocamos con el tiempo sino con nuestra percepción de la realidad. La realidad formada por realidades completamente separadas nos ha ayudado a avanzar, a establecer y asentar nuestras verdades científicas, pero quizás ha llegado el momento de considerar que la única forma de seguir adelante sea descartar esa desconexión, si queremos de verdad profundizar en la esencia de nuestro mundo.

¿Es posible que el paradigma holográfico sea el nuevo camino? Personalmente creo que sí, pero no es es significativo porque yo lo crea, sino porque lo piensan así importantes físicos como Jacob D. Bekenstein, el Premio Nobel Gerard `t Hooft, de la Universidad de Utrech, Leonard Susskind, Juan Maldacena, de la Universidad de Harvard, o David Bohm.

Mucho antes de conocer los resultados que da la gravedad cuántica a la singularidad que representa un agujero negro, en base al paradigma holográfico deduje una solución similar (que por otra parte, no es difícil de deducir). De la misma forma que una parte de un holograma, separada del mismo, es capaz de reproducir (aunque con menor nitidez) el holograma completo, supuse que un agujero negro representaba esa misma separación o desconexión del total del universo. En base a esto pensé que en el interior de la singularidad que representa la materia vuelve a proyectarse hacia nuevas regiones del espacio-tiempo, en cierta forma, como un nuevo universo con sus propias características. Siempre siguiendo este hipotético paradigma, se podría suponer que su constante de acción de Planck sería bastante más grande que en el nuestro, lo que supondría una menor definición y mayor incertidumbre (se correspondería con la menor nitidez en la holografía).


Materia-energía e información
No sabemos con total seguridad si todavía existe un nivel de estructuración de la materia aún oculto para nosotros. En este caso los quarks y leptones serían formaciones compuestas de partículas todavía más elementales, pero, independientemente de ese nivel de elementalidad, del estudio de las propiedades de los agujeros negros se han deducido los límites absolutos que acotan la información que cabe en una región determinada del espacio. Teniendo en cuenta que esos límites dependen de la materia y energía contenida en ese espacio es asombroso que se pueda deducir un límite sin conocer ni siquiera, con absoluta certeza, el último componente de la materia.
Sea cual sea el último componente de la materia existe un límite en la información que es capaz de soportar una región determinada del espacio y curiosamente ese límite depende directamente de la superficie capaz de englobar esa región. Si esa superficie la consideramos como el área del horizonte de sucesos de un agujero negro, es como si la información estuviese escrita sobre esta superficie, de suerte que cada bit (cada 0 ó 1 de la codificación digital) correspondiera a 4 áreas de Planck (10 ^–66 centímetros cuadrados), como en una especie de holograma.

Nueva edición de uno de mis post clásicos. Un abrazo amigos.

La muerte del Universo

La entropía es un concepto sumamente interesante, y en cierta forma enigmático, ligado al grado de desorden de la materia y la energía de un sistema. El segundo principio de la termodinámica establece que en un sistema cerrado, tal como el propio Universo, sus parámetros característicos se desarrollarán de tal forma que tenderán a maximizarla, es decir, a llevar al sistema a un máximo desorden. Dado que la forma más degradada de energía es la energía térmica, en cualquier sistema cerrado, toda la energía tenderá a acabar de esa manera: en un estado de total equilibrio termodinámico y a una temperatura cercana al cero absoluto, que impedirán cualquier posibilidad de extracción de energía útil. Es la llamada “muerte térmica”, el estado de mayor desorden posible o de máxima entropía.

Nuestro Universo como sistema cerrado está sujeto a ese destino de forma irremediable. La entropía esta aumentando incesantemente en las estrellas tanto como en nuestro planeta. Esto significa que, con el tiempo, las estrellas agotarán su combustible nuclear y morirán, convirtiéndose en masas muertas de materia nuclear. El universo se oscurecerá a medida que las estrellas, una a una, dejen de centellear. Todas las estrellas se convertirán en agujeros negros, estrellas de neutrones o estrellas enanas frías, dependiendo de su masa.

Posteriormente, según las Teorías de Gran Unificación,toda la materia tal como la conocemos, nuestros cuerpos, la Tierra o el sistema solar se desintegrará en partículas más pequeñas tales como electrones y neutrinos.

Después de un periodo, prácticamente inimaginable en nuestra escala temporal, la temperatura del universo se acercará al cero absoluto, pero incluso en un universo desolado y frío, a temperaturas próximas al cero absoluto, existe una última fuente remanente de energía: los agujeros negros. Según Hawking, no son completamente negros, dejan escapar energía lentamente al exterior.Pero ¿y después, cuando los agujeros negros en evaporación hayan agotado la mayor parte de su energía?.

Para un universo según la física clásica la muerte es irremediable, pero para un universo mecanocuántico sujeto a escalas temporales tan formidables no se puede descartar ningún tipo de raro suceso cuántico-cósmico, capaz de trastocar el más triste de los destinos.

El Universo nació con el mínimo de entropía y el máximo orden. En cierta forma partía como un reloj con la máxima cuerda. Conforme avanzamos en el tiempo la cuerda se va acabando y va apareciendo más y más desorden hasta la muerte térmica. Como ejemplo nos valdría imaginar un enorme tubo lleno de monedas perfectamente ordenadas, una encima de otra. Así sería el nacimiento del Universo. Las dejamos caer sobre una gran mesa de forma que todavía tengamos bastantes montoncitos ordenados, por ejemplo, con la cara de las monedas hacia arriba, y la mayoría del resto de las monedas sueltas también con la cara conservando la misma orientación. Esa situación podría asemejarse al estado del Universo actual. Finalmente, si imaginamos el final, estarían todas las monedas sueltas sobre la mesa, sin formar ningún montón y con la orientación de la cara/cruz totalmente aleatoria: un completo desorden.

La probabilística mecánica cuántica no descarta que después de miles de millones, de millones… y millones de años, dando una “palmada a la mesa”, vuelvan a ordenarse nuevamente las monedas de forma “milagrosa”. Es lo que tiene la mecánica cuántica. Parafraseando a Humphrey Bogart, en Casablanca, podríamos decir que “siempre nos quedará la mecánica cuántica”.

Post de mi antigua columna "Ciencias y letras", en Libro de notas.