2022/05/03

Turbulencia y estabilización geométrica en fractales


En la turbulencia los remolinos,  visualmente perceptibles en todas las escalas, ofrecen una evidencia de que la geometría fractal subyace en la propia esencia del sistema. Un fenómeno de estabilización geométrica en fractales puede ayudar a tratar la propia estabilización de la turbulencia.

Palabras clave: Turbulencia, geometría fractal, estabilización, dimensión fractal relativa, dimensiones compactadas


In turbulence , swirls on all scales provide evidence that fractal geometry underlies the very essence of the system. A phenomenon of fractal  geometric stabilization can help treat the stabilization of turbulence.

Key-words: Turbulence, fractal geometry, stabilization, fractal dimension relative, compacted dimensions



Según Mandelbrot, en su libro “La geometría fractal de la naturaleza (1997)”, el estudio de la turbulencia es uno de los capítulos más antiguos, duros y frustrantes de la física (Nota 1). En el mismo se decanta a favor de un enfoque más geométrico que analítico y para ello hace uso de los fractales. De hecho la autosemejanza viene sugerida por los remolinos, visualmente perceptibles, en cualquier fenómeno turbulento. La conclusión más importante de Mandelbrot, sobre la correspondencia entre turbulencia y fractales, es que el dominio de disipación, esto es, el conjunto espacial en el que se concentra la disipación turbulenta, admite un modelo fractal. Además indica que diversas medidas, realizadas con otros fines, sugieren que la dimensión en este dominio cae entre 2,5 y 2,6, pero probablemente por debajo de 2,66. Llega, incluso, a sugerir que se defina como turbulento a todo flujo cuyo soporte tenga una dimensión del orden apuntado anteriormente.

Actualmente, en la comunidad científica encontramos multitud de autores que, como Mandelbrot, aceptan la premisa que relaciona turbulencia y geometría fractal, de hecho buscando dicha relación en Google Scholar encontramos del orden de 35 000 artículos científicos.



Veremos una forma de modular la dependencia espacial de un fractal, modificando la geometría del espacio que lo contiene, y analizaremos las posibilidades de estabilización que ello supone.

Dimensión y dependencia espacial de los fractales

 La dimensión fractal depende de dos factores que se suman: la dimensión topológica y un coeficiente dimensional, tanto más grande como irregular sea el fractal. Así, podemos tener trayectorias fractales (Nota 2) de dimensión 3, mientras que su dimensión topológica sólo es 1 (es una línea). Lo interesante es que las líneas fractales tienen una dependencia muy clara y notable con la distancia (Nota 3) y su forma de distribución espacial. De hecho, simplemente sabiendo que la línea fractal tiene dimensión 3 podemos asegurar que para alejarse de un punto arbitrario del espacio n pasos efectivos el fractal debe desplazarse n3 pasos reales. 


Dimensión fractal relativa, suma o resta de dimensiones

Esta dependencia de las líneas fractales con la distancia se puede extender a superficies o a espacios  con dimensión topológica mayor de una forma sencilla, siempre que las propiedades del fractal sean lo más isótropas posibles. Para ello dividimos la dimensión fractal del objeto a estudiar por su dimensión topológica y al resultado lo llamaremos dimensión fractal relativa. En cierta forma convertimos al fractal estudiado en una línea fractal, aunque lógicamente la trasformación no conserva las propiedades direccionales o anisótropas del fractal original. 

Vamos a ver un sencillo cálculo sobre todo esto: Imaginemos un fractal con dimensión topológica δ y con un coeficiente dimensional ε . Su dimensión fractal será: δ + ε . Y su dimensión fractal relativa

Dimensión fractal relativa = (δ + ε)/δ (Expresión A). 

Aclaración previa: Todos los objetos cotidianos que nos rodean tienen 3 dimensiones, pero en muchos de los casos nos encontramos con que una o dos de sus dimensiones son despreciables respecto a las otras. Un hilo muy fino de algodón sólo tiene una dimensión significativa,  a efectos prácticos dos de sus dimensiones están compactadas: esto supone una resta de dos dimensiones. Un folio de papel tiene, en cambio, una sola dimensión compactada y dos dimensiones significativas: supone la resta de una dimensión.  En cierta forma, el coeficiente dimensional ε  “suma” dimensiones a la dimensión topológica y las dimensiones compactadas las “restan”.

Ahora supongamos que “restamos” al número de dimensiones topológicas un valor igual a ε de forma que δ se convierte en δ − ε (nuevo valor de las dimensiones significativas, porque se compactan una cantidad ε de dimensiones ). Entonces, el nuevo valor de la dimensión fractal relativa será (sustituyendo δ por δ−ε): 

Dimensión fractal relativa = δ /(δ−ε) (Expresión B). 


Estabilización del fractal

Hay una diferencia significativa entre la (Expresión A) y la (Expresión B), la primera sólo puede ser positiva pero la segunda puede ser, también, negativa. De hecho nos interesa la posibilidad de que su valor sea (-1). En ese caso: δ /(δ−ε) = -1. Que se cumple para el valor de las nuevas dimensiones significativas δ igual a ε/2

Para comprender el significado de lo que decimos, en el caso de un espacio sin dimensiones reducidas (expresión A), para un valor de δ= 3 y ε= 6, la (Expresión A)  nos dice que el fractal tiene dimensión relativa 3 y depende del cubo de la distancia. Para el caso de un espacio en el que se ha reducido el número de dimensiones topológicas (Expresión B), para los mismos valores la expresión B toma el valor -1 y el fractal depende del inverso de la distancia.

 De un fractal sumamente intrincado pasamos a otro que se diluye en la distancia. Aunque la dimensión del fractal sigue siendo la misma.


Conclusiones

Existe una íntima relación entre la dimensión de un fractal y su dependencia con la distancia. Al modificar la geometría del espacio que lo contiene podemos actuar sobre esa dependencia y sobre la forma en que se nos presenta en el espacio. Es posible conseguir una estabilización geométrica, previo estudio de las características geométricas del fractal y de su entorno: restringiendo los grados de libertad, en función de su coeficiente dimensional ε, debemos conseguir que la (Expresión B) se convierta en negativa. Esta posibilidad, sobre la modulación geométrica de un fractal, se ha encontrado al trabajar sobre  la hipótesis de que la energía cuántica del vacío pueda tener propiedades fractales (ver Nota 4, para una mejor comprensión).


Notas y Bibliografía

(Nota 1) B. Mandelbrot: La geometría fractal de la naturaleza. Tusquets Editores, Barcelona 1997. 

(Nota 2) En sentido estricto no se puede hablar de verdaderas trayectorias, pues no tienen nada que ver con las trayectorias clásicas de los objetos que conocemos. 

(Nota 3) B. Mandelbrot :Los objetos fractales. Tusquets Editores, Barcelona, 1987. Ver los primeros conceptos, sobre el cálculo de la dimensión de líneas fractales clásicas. A partir de ese sencillo cálculo se hace evidente esa dependencia. 

(Nota 4) J.S. Ruiz Fargueta: El sorprendente vacío cuántico. Revista Elementos(Benemérita Universidad Autónoma de Puebla) nº 53 ,2004, pp.52-53.

[Bis] J.S. Ruiz Fargueta: “Estabilización del vacío cuántico y dimensionesenrolladas”. Revista Ciencia Abierta de la Universidad de Chile, Volumen 23 de febrerode 2004

Posteriormente publicado en la revista Aleph Zero, número 74. Universidad de las Américas Puebla.

Publicado en la revista Anglomayor de la Universidad Mayor de Chile, ed. 11, Works.  


2022/03/05

La energía del vacío, el sorprendente vacío cuántico/ The Vacuum Energy Fractal, the Amazing Quantum Vacuum

 “En particular, nuestras leyes de la física surgen de la 

geometría de las dimensiones extra. Comprender esta geometría 

vincula la teoría de cuerdas con algunas de las cuestiones más 

interesantes de las matemáticas modernas y ha arrojado nueva 

luz sobre ellas, como la simetría especular” (Polchinski, 2015).



En este post analizamos la energía del vacío como un

 simple fractal. Con matemáticas elementales y un enfoque

 novedoso, estudiaremos sus propiedades.

 

In this letter we analyze the vacuum energy as a simple fractal.

With elementary mathematics and a novel approach, we will

 study its properties.

 

Palabras clave: energía del vacío, dimensiones compactas, 

dimensión fractal relativa, transición de dimensiones, 

generalización cuántica hipotética

Keywords: Vacuum energy, compact dimensions, relative fractal 

dimension, transition of dimensions, hypothetical quantum generalization


1 Introducción

La existencia del cuanto de acción de Planck convierte el 

universo clásico y determinista de Newton en un universo

 cuántico, con el principio de incertidumbre de Heisenberg. 

El vacío se llena con una energía de punto cero (ZPE) 

con un valor mayor cuanto menor sea la distancia considerada. 

La longitud mínima considerada, denominada longitud de 

Planck (lp), está asociada a una energía máxima denominada 

energía de Planck (Ep). Para una distancia n (lp) la energía 

asociada es (Ep)/n, donde “n” es un número natural. 

Esta propiedad, conservada a todas las escalas conocidas, 

nos ayudará a analizar este fractal.


2 Dimensión fractal, estudio del movimiento browniano y el

 copo de nieve de Koch

La dimensión fractal se compone de dos sumandos, la 

dimensión topológica y un coeficiente dimensional 

(topol_dim + dimens_coef.). Cuanto más irregular es el fractal, 

mayor es el coeficiente dimensional. Para nuestro estudio 

es interesante analizar fractales simples como la trayectoria 

fractal del movimiento browniano, de dimensión topológica 1.


Movimiento browniano (britannica.com, 23 de diciembre 

de 2021), también llamado movimiento browniano, 

cualquiera de varios fenómenos físicos en los que alguna 

cantidad experimenta constantemente pequeñas fluctuaciones 

aleatorias. Debe su nombre al botánico escocés Robert Brown, 

el primero en estudiar tales fluctuaciones (1827). 

  

Para que una partícula, que se mueve con un movimiento 

browniano, se aleje N pasos efectivos, debe dar N2 pasos 

en total. Los N pasos efectivos se consideran en línea recta, 

en una dimensión. Los pasos N2 ocurren en un espacio 

de dos o más dimensiones. La relación log (N2) / log (N) = 2 

nos da el valor de su dimensión fractal (propiedad básica 

de las líneas fractales) [1]. La dimensión topológica 

es 1 y el coeficiente dimensional también es 1. El valor 2 de la 

dimensión fractal indica que un movimiento lineal, de dimensión 

topológica 1, puede llenar un plano, de dimensión topológica 2.

 

En movimiento browniano, y en general, valor fractal =

N2 = distanciadimensión_fractal.

Forma, Polígono

Descripción generada automáticamente


Esto también se puede observar en la curva de Koch, 

en la figura 1. En la primera iteración, el lado que 

mide 3 segmentos se convierte en 4 segmentos. La dimensión 

fractal es log 4 / log 3 = 1,26186. En una dimensión 3 segmentos, 

se convierten en 4 segmentos en dos dimensiones (el plano): 

4= 31,26186, 4=3dimension_fractal (Mandelbrot, 1987).



En el siguiente link: 

https://drive.google.com/file/d/13r8DJEHhA2z3c3vHuO6QSjPPqzUwcvX6/view?usp=sharing

The Vacuum Energy Fractal, the Amazing  Quantum Vacuum

 

“En particular, nuestras leyes de la física surgen de la 

geometría de las dimensiones extra. Comprender esta geometría 

vincula la teoría de cuerdas con algunas de las cuestiones más 

interesantes de las matemáticas modernas y ha arrojado nueva 

luz sobre ellas, como la simetría especular” (Polchinski, 2015).


“In particular, our laws of physics arise from the geometry 

of the extra dimensions. Understanding this geometry ties string 

theory to some of the most interesting questions in modern 

mathematics, and has shed new light on them, such as 

mirror symmetry” (Polchinski, 2015).


2022/01/16

Como dos gotas, partículas idénticas

La importancia de conocer que la existencia macroscópica no tiene nada que ver con la existencia de las microscópicas, e idénticas, partículas cuánticas. 

Like two drops, identical particles

The importance of knowing that the macroscopic existence has nothing to do with the existence of the microscopic, and identical, quantum particles.


En nuestro mundo cotidiano hasta dos gotas de agua son realmente diferentes, pero existe otro mundo subyacente formado por constituyentes exactamente iguales e indistinguibles. En ese mundo dos átomos de hierro, dos electrones, o dos protones son iguales y totalmente intercambiables.

En la mecánica clásica es posible distinguir entre dos partículas determinadas, en cierta forma podemos marcarlas y seguir su trayectoria ante los cambios físicos que vayan experimentando. Pero, realmente, esto sólo lo podremos hacer con objetos macroscópicos con propiedades que los diferencie. En el mundo del microcosmos de la mecánica cuántica sólo se tienen probabilidades y éstas no permiten distinguir entre las partículas, además hablando con propiedad no podemos considerar trayectorias pues, por el principio de incertidumbre , su localización precisa en un punto supondría desconocer por completo su velocidad y, por tanto, su posterior cambio de posición.

Este tema que podría parecer trivial, a primera vista, tiene gran importancia desde el punto de vista de la mecánica estadística y está ampliamente probado en la realidad. Las partículas clásicas distinguibles tienen un comportamiento estadístico muy distinto de las partículas cuánticas idénticas, es decir sus propiedades consideradas en grandes números son muy diferentes. Boltzmann en su famosa expresión sobre la entropía, o la medida del desorden en un gas, muy acertadamente ya consideró un gas ideal no cuántico de partículas idénticas, cuando todavía se dudaba de la propia existencia de los átomos o las moléculas y observó que sus suposiciones concondaban con gran exactitud con el comportamiento de los gases reales. Básicamente la diferencia de comportamientos obedece a las diferentes configuraciones que se pueden realizar si se consideran elementos idénticos o diferenciados. Un ejemplo muy sencillo: dos bolas rojas sobre una línea sólo pueden adoptar una configuración (RR), pero una bola roja y otra azul podrían colocarse de dos formas diferentes (AR) y (RA). Simplificando podríamos decir que más diferenciación equivale a mayor número de configuraciones posibles.

Entre las partículas reales idénticas se pueden distinguir dos clases de partículas, los bosones o partículas de fuerza y los fermiones o partículas de materia.Los bosones se llaman partículas de fuerza porque pueden ocupar el mismo estado y, por tanto, sus acciones se pueden sumar. Son partículas cuyo espín, una especie de giro puramente cuántico, tiene un valor entero en las unidades adecuadas de medida. Los fermiones son llamadas partículas de materia porque el estado que ocupa una ya no puede ser ocupada por otra, además su espín es semientero. Estas características individuales se traducen en un comportamiento global completamente diferente y se estudian mediante dos tipos diferentes de estadísticas la llamada de Bose-Einstein y la de Fermi-Dirac.

Lo de las partículas idénticas siempre me ha fascinado. Si la probabilidad cuántica de encontrar cualquier partícula subatómica lejos del sitio que le suponemos no es cero y, además, cualquier otra de su misma especie la podría “suplantar” sin que cambiara nada la realidad, entonces cada tipo de partículas forma una especie de nube que lo recorre todo. Si a ello añadimos que cada partícula nunca está sóla sino que “vive” en medio de un sinfín de interacciones con otras partículas y con los campos mecanocuánticos, la realidad que observamos dista mucho de ser lo que parece.

En cierta ocasión, un sábado cuando me iba al cine, recuerdo haber reflexionado con curiosidad sobre todo esto en relación con lo diferentes que somos las personas: en el momento en que a mi me apetece ir al cine a otro le apetece ver fútbol, y a otro estar paseando con su pareja o tomando copas. Si de repente todos nos conviertiéramos en idénticos, de momento, todo se quedaría pequeño o todo sobraría. Todos iríamos a la vez al cine y a ver la misma película, todos iríamos al fútbol a ver el mismo partido… Nuestro mundo cotidiano es diferente en sus partes macroscópicas y encaja en lo que llamamos existencia, pero está formado por un inmenso mar de mares indiferenciados de partículas microscópicas cuya “existencia” debe ser intrínsecamente diferente a la existencia tal como nosotros la entendemos. Las partículas cuánticas que lo estructuran todo existen, pero su existencia indiferenciada lo es a diferente nivel. El paso de su mundo, intensamente correlacionado, al nuestro todavía no está bien comprendido y creo que las diferencias macroscópicas, la extrema diferenciación y complejidad, que observamos en nuestro mundo pueden ser una de las claves, el ser o el no ser de la cuestión.

Ver el interesante libro, sobre lo elemental y la complejidad . El quark y el jaguar , del Premio Nobel de Física en 1969, Murray Gell-Mann, descubridor de los quarks.


Publicado en mi colaboración con Libro de notas.

2021/09/15

Fractales "superdensos" e ... "invisibles"

Super dense and invisible fractals


Fractal de Mandelbrot.Wikipedia


Sobre trayectorias:Una trayectoria clásica, tal como la hemos estudiado en la escuela, es una línea y su dimensión es la unidad. Una trayectoria fractal, como pueda ser la correspondiente a un movimiento browniano, puede tener una dimensión mucho mayor que la unidad. De hecho el movimiento browniano tiene dimensión fractal 2, es decir, puede "llenar" un plano: precisamente eso es lo más característico de los fractales, aparte claro está de su autosemejanza a diferentes escalas; su dimensión topológica nos dice lo que son, líneas, planos o espacios pero es su dimensión fractal la que nos indica las dimensiones que son capaces de "llenar."


Por eso, la dimensión fractal consta de dos sumandos, uno es la dimensión topológica que en el caso de una línea es la unidad y el otro sumando es un coeficiente dimensional, tanto mayor cuanto más iregular e intrincado sea el fractal. En el caso del movimiento browniano, el coeficiente dimensional es, también, la unidad por lo que su dimensión fractal es 2.


Puede haber trayectorias fractales capaces de ocupar tres dimensiones, con dimensión fractal 3. Es decir, fractales que son líneas pero son capaces de llenar tres dimensiones espaciales. A este tipo de fractales les podríamos  llamar superdensos porque ocupan el triple del espacio topológico del que deberían ocupar. ¡Lo curioso es que, posiblemente, existan algunos de estos fractales que a pesar de ser tan densos e intrincados apenas son visibles, a partir de ciertas distancias!


En el dominio de la teoría de cuerdas:Imaginemos que este universo está regido por la teoría de cuerdas, con tres dimensiones ordinarias y seis compactadas. Es posible que la energía cuántica del vacío sea tan superdensa como la trayectoria que hemos descrito anteriormente y sea capaz de llenar las nueve dimensiones totales (hipotético). De hecho, a primera vista parece todo lo contrario porque debido a la existencia del cuanto de acción la energía del vacío asociada a una distancia es inversamente proporcional a la misma. 


Si consideramos dicha energía del vacío como un fractal, observamos que nos encontramos con la paradoja de que conforme consideramos distancias más grandes el fractal es más pequeño. Aquí podremos leer el artículo sobre el particular en la revista Aleph Zero nº74.


Si la hipótesis es correcta, nos encontramos con un fractal de dimensión nueve, cuando su dimensión topológica es tres (la energía es espacial), pero su apariencia de vacío esconde un fractal superdenso. En tres dimensiones su valor es proporcional al inverso de la distancia, pero en nueve puede llegar a ser mucho mayor (proporcional a la distancia).


De hecho, como ocurre en el movimiento browniano, cada n pasos efectivos significan n^2 totales. El log n^2/ log n = 2, da la dimensión fractal del movimiento, donde el log. del numerador es el valor observado en 3 dimensiones y el log, del denominador es el observado en una dimensión. En nuestro caso, de la energía de las fluctuaciones cuánticas, el valor del numerador es el "observado" en 9 dimensiones (n*Ep) y el del denominador el observado en nuestras tres dimensiones ordinarias (Ep/n). Arriba es proporcional a la distancia y abajo inversamente proporcional, siendo Lp la longitud de Planck, n= distancia/Lp y Ep la energía de Planck: el resultado de la dimensión fractal  es -1 (del orden de log n /log 1/n). Lo que permite un vacío muy denso en distancias pequeñas e invisible a las distancias ordinarias y cósmicas.


Esta hipótesis más comprensible en: Revista Elementos Universidad Puebla

En inglés (traslate Google):

Super dense and invisible fractals


About trajectories : A classic trajectory, as we have studied it in school, is a line and its dimension is unity. A fractal trajectory, such as the one corresponding to a Brownian motion, can have a dimension much greater than unity. In fact, Brownian motion has fractal dimension 2, that is, it can "fill" a plane: this is precisely what is most characteristic of fractals, apart of course from their self-similarity at different scales; their topological dimension tells us what they are, lines, planes or spaces, but it is their fractal dimension that tells us the dimensions they are capable of "filling."


For this reason, the fractal dimension consists of two addends , one is the topological dimension, which in the case of a line is unity and the other adding is a dimensional coefficient, the greater the more irregular and intricate the fractal is. In the case of Brownian motion, the dimensional coefficient is also unity, so its fractal dimension is 2.


There may be fractal trajectories capable of occupying three dimensions, with fractal dimension 3. That is, fractals that are lines but are capable of filling three spatial dimensions. We could call these types of fractals superdense because they occupy three times the topological space that they should occupy. The funny thing is that, possibly, there are some of these fractals that, despite being so dense and intricate, are hardly visible, from certain distances!


In the domain of string theory : Let's imagine that this universe is governed by string theory, with three ordinary dimensions and six compact ones. It is possible that the quantum energy of the vacuum is as superdense as the trajectory we have described above and is capable of filling all nine dimensions ( hypothetical ). In fact, at first glance it seems the opposite because due to the existence of the quantum of action, the vacuum energy associated with a distance is inversely proportional to it. 


If we consider this vacuum energy as a fractal, we observe that we find ourselves with the paradox that as we consider larger distances the fractal is smaller. Here we can read the article on the subject in Aleph Zero magazine nº74 .


If the hypothesis is correct, we find a fractal of dimension nine, when its topological dimension is three (the energy is spatial), but its appearance of emptiness hides a super dense fractal. In three dimensions its value is proportional to the inverse of the distance, but in nine it can be much higher (proportional to the distance).


In fact, as in Brownian motion, every n effective steps means total n ^ 2. The log n ^ 2 / log n = 2, gives the fractal dimension of the movement, where the log. of the numerator is the value observed in 3 dimensions and the log, of the denominator is the observed in one dimension. In our case, of the energy of quantum fluctuations, the value of the numerator is the "observed" in 9 dimensions (n ​​* Ep) and that of the denominator is the one observed in our three ordinary dimensions (Ep / n) . Up is proportional to distance and down is inversely proportional, where Lp is Planck's length, n = distance / Lp and Ep is Planck's energy: the result of the fractal dimension is -1 (of the order of log n / log 1 / n ). This allows a very dense vacuum at small distances and invisible at ordinary and cosmic distances.



This hypothesis is more understandable in : Magazine Elements Puebla University