Teoría del doble sideral (reedición-homenaje a Vicente Martí)

Roger Penrose clasifica a las teorías físicas en tres grupos: soberbias, útiles y tentativas. La teoría del doble sideral entraría, sin duda, dentro de las teorías soberbias. Se elucubró entre bocata y bocata por el llamado grupo de los Teóricos: Vicente Martí, Ximo Moll y yo mismo. Entre los compañeros de trabajo nos empezaron a llamar así por las teorías que se nos ocurrían para explicar la realidad de forma alternativa. Las relaciones entre las personas, entre ambos sexos, en el trabajo... Todo podía ser observado de otra forma y así reflexionar sobre realidades que solemos dar por sentadas. Los pies en el suelo (humildad) y la cabeza en las nubes (imaginación y humor).


Ante las desdichas y sufrimientos que nos rodean a propios y extraños, se nos ocurrió que cada uno de nosotros debemos tener un doble sideral en algún universo paralelo, más allá de todo lo imaginable. Cuando tenemos un mal día coincidirá con el mejor de los días del doble sideral. Si nos despiden aquí en la Tierra el doble sideral es contratado por la mejor compañía, para el mejor trabajo. Si nos deja la novia, el doble sideral consigue el plan de su vida... Todo lo bueno que no podemos hacer nosotros, o no nos dejan, lo hace él. Y así cuando algo nos va mal pensamos en lo bien que le irá a nuestro doble y nos reimos un rato porque, al pensarlo, conseguimos escapar, en cierta forma, de las pequeñas o grandes miserias. La "ley" que sustenta esta teoría sería una especie de "ley de compensación cósmica universal".

Siguiendo al hilo, la llamada "teoría de la mosca" entraría también en el ámbito "teórico" ya indicado. Es una especie de "efecto mariposa" de andar por casa ("una simple mosca es capaz de cambiar la Historia"). En plan algo más serio, esta teoría vendría a diluir la propia causa/efecto:

"Voy a hacer una afirmación sorprendente que, a continuación, trataré de demostrar: nuestra vida viene influida por personas y hechos que, en la mayoría de las veces, nos son desconocidos. Estas personas, si pasan alguna vez junto a nosotros, son completos extraños pero en alguna ocasión han cambiado el rumbo de nuestra existencia, con acciones puramente fortuitas, sin ninguna intencionalidad, y han seguido su camino sin ser conscientes de los hechos que han desencadenado. Ellos, a su vez, no son menos sensibles al curioso entramado de mutua influencia que nos rodea, también tienen su legión de extraños capaces de alterar su destino." Leer más.


A la memoria de mi buen amigo Vicente Martí, el teórico que nos dejó hace una semana después de dolorosa enfermedad. Desde donde esté, Vicente, se estará riendo un rato con este post. Y si existe Cielo nos espera allí.

Felicitaciones a su doble sideral. ¡Hace ya 14 años!

En plan más trascendente: mensaje en una botella.

Analysis of Vacuum Energy as a Simple Fractal

**Abstract**

In this letter, we analyze the vacuum energy as a simple fractal. With elementary mathematics and a novel approach, we study its properties.

Keywords: Vacuum energy, compact dimensions, relative fractal dimension, transition of dimensions, hypothetical quantum generalization

Importante

Una línea, aunque tiene dimensión topológica 1, es capaz de cubrir un espacio de 3 dimensiones: su dimensión fractal será de 3. De la misma forma, considerando la energía del vacío (dimensión topológica 3) como un fractal obtenemos un valor de 9 para su dimensión fractal. Según este resultado la energía del vacío sería capaz de cubrir un espacio de 9 dimensiones.

Otro resultado importante  es que la propia naturaleza del cuanto de acción queda definida por la especial geometría entre dimensiones ordinarias y compactadas.

Important

A line, although it has a topological dimension of 1, is capable of covering a 3-dimensional space: its fractal dimension will be 3. Similarly, considering vacuum energy (topological dimension 3) as a fractal, we obtain a value of 9 for its fractal dimension. According to this result, vacuum energy would be capable of covering a 9-dimensional space.

Another important result is that the very nature of the quantum of action is defined by the special geometry between ordinary and compactified dimensions.

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**1 Introduction**

The existence of Planck's quantum of action turns Newton's classical and deterministic universe into a quantum universe, with Heisenberg's uncertainty principle. The vacuum is filled with zero-point energy (ZPE), which increases as the distance considered decreases. The minimum length considered, called Planck's length (lp), is associated with a maximum energy called Planck's energy (Ep). For a distance n (lp), the associated energy is (Ep)/n, where "n" is a natural number. This property, conserved at all known scales, will help us analyze this fractal.

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**2 Fractal dimension, study of Brownian motion, and the Koch snowflake**

The fractal dimension is made up of two components: the topological dimension and a dimensional coefficient (topol_dim + dimens_coef.). The more irregular the fractal, the higher the dimensional coefficient. For our study, it is interesting to analyze simple fractals such as the fractal path of Brownian motion, which has a topological dimension of 1.

Brownian motion (britannica.com, December 23, 2021), also called Brownian movement, is any of various physical phenomena in which some quantity constantly undergoes small, random fluctuations. It was named after the Scottish botanist Robert Brown, the first to study such fluctuations (1827).

For a particle moving with Brownian motion to move away N effective steps, it must take N² total steps. The N effective steps are considered in a straight line, in one dimension. The N² steps occur in a space of two or more dimensions. The relation log(N²) / log(N) = 2 gives us the value of its fractal dimension (a basic property of fractal lines) [1]. The topological dimension is 1 and the dimensional coefficient is also 1. The value 2 of the fractal dimension indicates that a linear movement, of topological dimension 1, can fill a plane, of topological dimension 2.

In Brownian motion, and in general, fractal value = N² = distance^fractal_dimension.

This can also be observed in the Koch curve, as shown in Figure 1. In the first iteration, the side that measures 3 segments becomes 4 segments. The fractal dimension is log 4 / log 3 = 1.26186. In one dimension, 3 segments become 4 segments in two dimensions (the plane): 4 = 3^1.26186 (Mandelbrot, 1987).

FIG.1

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**3 Fractal dimension of vacuum energy**

We know the dependence of vacuum energy on distance: En = Ep / n = (Ep)(distance-1). We assume that we live in hyperspace (string theory), and we know the dependence of vacuum energy on distance. Let En-1 be the value of the energy in hyperspace, then:

Log (En-1) / log (En) = -1. This implies that vacuum energy is proportional to distance in hyperspace. Although the energy has no topological dimension of 1, the quotient of the two logarithms behaves the same as in the case of Brownian motion. When comparing two energies, the topological dimension no longer matters because the result is a relative fractal dimension:

Relative fractal dimension = (topol_dim. + dimens_coef.)/(topol_dim.). To simplify, we will write:

Relat_fr_dim. = (δ+ε)/δ (1).

So, we have: Relat_fr_dim. = Log (En-1) / log (En) = -1 = (δ+ε)/δ.

The value -1 reminds us of the compacted dimensions of string theory, since while a positive dimensional coefficient indicates that the fractal occupies a space greater than its topological dimension, a negative dimensional coefficient indicates dimension compaction (Ruiz-Fargueta, 2004). The situation indicates a transition of dimensions such that: T: δ → δ-ε.

The expression (1), with this transition, becomes: δ/(δ-ε) (2).

If the dimensional coefficient is the same as the number of compact dimensions.

Expression (2) is consistent with the value -1, since for d = 3 it gives us the value -6 for the number of compact dimensions, which coincides with the value predicted by string theory. Applying these values to expression (1):

(δ+ε)/δ = (3+6)/3 = 3. 3 is the relative fractal dimension of the vacuum energy, 9 is its true fractal dimension.

The same result is found in the following equivalent transformations:

T11: 1/n → n } log(n)/log(1/n) = -1. Apparent result in relative fractal dimension.

T12: n → n³ } log(n³)/log(n) = 3. True result in relative fractal dimension.

The T11 transformation gives us the apparent result -1. But the transformation T12 gives us the true result 3.

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**4 Generalization and possible transition of dimensions**

The value -1 is the result of En, as a function of distance, in the expression (En)(n) < Constant, where we have replaced the time (energy-time uncertainty principle) with the space (n) traveled by the light in that time. If in this expression we add a fictitious coefficient f, we will have:

• (En)(nf) < Constant (3) (Hypothetical quantum generalization)

Now the transformations T11 and T12 will be:

T11: 1/nf → n }

T12: n → n²+f }

The true generalized result of the relative fractal dimension is log(n²+f)/log(n) = 2+f, with the expression (1): (δ+ε)/δ = 2+f (4).

During the transition of dimensions, the value of the fictitious coefficient f, associated with the very nature of the quantum (hypothetically), was defined. We will analyze the transition of dimensions by combining expressions (3) and (4), for ε=9-δ.

(En)(n^(ε-δ)/δ) < Constant, multiplying and dividing by nδ which is the generalized volume to ordinary dimensions δ:

(Energy_density)(nφ) < Constant. The value of φ = (δ²-2δ+9)/δ, and is represented in Figure 2.

FIG.2 

For δ = 3, there is a minimum that corresponds to a maximum in energy density.

For δ = 0, the value is infinite and corresponds to a minimum density equal to zero. The transition of dimensions from δ = 0, ordinary dimensions, to δ = 3, ordinary dimensions, takes us from a vacuum energy equal to zero to a maximum value. "In particular, our laws of physics arise from the geometry of the extra dimensions. Understanding this geometry ties string theory to some of the most interesting questions in modern mathematics, and has shed new light on them, such as mirror symmetry" (Polchinski, 2015).

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**5 Conclusion**

Possibly, there was a transition of dimensions that maximized the energy density of the vacuum for δ=3 and ε=6 (δ= ordinary dimensions, ε= compact dimensions). The nature of the quantum of action is tied to these values of δ and ε.

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**Acknowledgments**

My thanks to the great popularizers of science: George Gamow (Biography of Physics), Richard Feynman (The Feynman Lectures on Physics), Benoit Mandelbrot (Fractal Objects), Isaac Asimov (The Universe), Ken Kilber, David Bohm (The Holographic Paradigm), Roger Penrose (The Emperor's New Mind), Kip S. Thorne (Black Holes and Time Warps), Stephen Hawking (Black Holes), Leonard Susskind (The Cosmic Landscape), Brian Greene (The Elegant Universe), Steven Weinberg (The First Three Minutes), Ilya Prigogine (Only an Illusion), Michio Kaku (Hyperspace), Joseph Polchinski (String Theory)...

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**References**

Mandelbrot, B. (1987), Los objetos fractales, Barcelona, Tusquets Editores.

Polchinski, J. (2015), String theory to the rescue. ArXiv: 1512.02477 v5 [hep-th]

Ruiz-Fargueta, J.S. (2004) El sorprendente vacío cuántico. Revista Elementos, Universidad de Puebla BUAP.MX, 53, pp.52-53. (16/01/2022) https://elementos.buap.mx/directus/storage/uploads/00000002608.pdf

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Sobre la inteligencia artificial (A.I.)

La naturaleza, después de millones de años, ha impreso en nuestro ADN lo que somos cuando nacemos. Después, a través de nuestro entorno, seguirá conformando  la persona que llegaremos a ser. El entorno y, en última instancia, la naturaleza nos moldea hasta el final. Lo que vale para nosotros vale para la I.A., el entorno que le facilitemos y el propio “ADN”, que también dependerá de nosotros, será determinante para su desarrollo. Por desgracia somos mucho más torpes que nuestra madre naturaleza: siempre se nos escapará algo, posiblemente determinante, que podrá llevarnos al desastre.

Aunque bien mirado, incluso la madre naturaleza se equivocó con el homo sapiens: actualmente, ya somos capaces de destruirnos a nosotros mismos y a toda la naturaleza que nos ha creado.

Llegando más lejos en nuestra reflexión: suponiendo que la naturaleza no se equivoca, tendríamos que imaginar que, dada la inmensa magnitud de nuestro universo, deben haber (o finalmente habrán) miles de millones de civilizaciones de forma que su cantidad asegure que, al menos, unas cuantas conseguirán no destruirse y seguir desarrollándose hasta alcanzar cotas de civilización actualmente inimaginables. Tenemos la oportunidad de ser una de esas civilizaciones si utilizamos bien la cabeza y la suerte está de nuestro lado…

En cierta forma, lo más natural en la evolución de la inteligencia es posible que sea crear una inteligencia artificial capaz de superarnos, pero utilizando bien nuestras bazas su crecimiento podría estar coordinado con nuestro propio crecimiento como especie: en un momento determinado podría ayudarnos a mejorar nuestra especie de forma que pudiésemos crecer paralelamente aprovechando lo mejor de cada una de las partes. Un tándem de un hombre mejorado junto con una inteligencia artificial humanizada. Claro que no va a ser fácil conseguir un crecimiento en paralelo armonizado…

Conforme ese tándem progrese, y sepa extraer toda la sabiduría de la naturaleza, podría llegar a confluir en algo superior a las partes capaz de llegar más allá de lo que ahora no podemos ni imaginar. El astrofísico ruso Nikolái Kardashev en 1964 utilizó una escala que mide la evolución de una civilización tecnológica en base al nivel de utilización de la energía de su entorno. Nuestra civilización  actual,  en la escala de Kardashev estaría a unos 100/200 años de ser del tipo I, capaz de aprovechar toda la energía de nuestro planeta.

Cada vez estamos más seguros de que la vida no puede haberse dado de forma casual únicamente en nuestro planeta. Continuamente se están encontrando vestigios de nuevas moléculas pre-vida en el espacio interestelar, lo que nos sugiere que todo el universo está sembrado de estas moléculas  capaces de ser trasladadas a “lomos” de  cometas y demás cuerpos errantes a cualquier parte de este vasto universo.

Hace tiempo, en 1960, el físico Freeman Dyson propuso una hipotética megaestructura, llamada desde entonces esfera de Dyson, capaz de extraer la energía lumínica y térmica  del sol y del tamaño de una órbita planetaria. En su artículo en la revista Science discute sobre las propiedades térmicas de dicha esfera y sugiere a los astrónomos buscar tales características en cuerpos celestes y así detectar civilizaciones extraterrestres avanzadas.

Nuestro futuro, si lo tenemos, podría ser luminoso a caballo de una inteligencia artificial armonizada con el crecimiento de nuestra propia naturaleza, pero será muy difícil y las posibilidades de conflictos sociales de todo tipo originados por las desigualdades se van a multiplicar con la tecnología. La igualdad, la cultura y la sabiduría con que llevemos nuestra sociedad es lo único que nos puede salvar. Y a día de hoy parece muy improbable si no cambiamos el tipo de sociedad en el que estamos inmersos…

Un abrazo amigos.

Nota al margen: Hace 26 años

"Ni el espacio ni el tiempo son las dos entidades fundamentales que pensábamos, son emergentes y la entidad fundamental que los determina es cuántica y ligada a la causalidad...(Teoría cuántica de la gravedad).

Sentimiento de pérdida, esperanza, belleza, arte, ciencia y vida …

Una mañana de hace veintiséis años mis padres me sorprendieron con una entrañable celebración: se cumplían cincuenta años del día en que se hicieron novios. Ni los años pasados ni las penas vividas pudieron borrar el destello de vida en sus ojos. Volvieron a ser dos adolescentes de trece y quince años. El tiempo desanduvo su camino y otra vez, por un instante, miraron a la vida con la ilusión que sólo es capaz de provocar un amor de tan corta edad.

Han pasado tantos años que casi me encuentro en un tiempo similar al de mis padres, en ese entrañable aniversario. Cuando pienso en ellos, en mis abuelos, en los seres queridos que ya no están, me rebelo y no llego a entenderlo. Y es que, en realidad, nacemos y morimos sin llegar a entender ni la vida ni la muerte, sólo nos acostumbramos. Nos acostumbramos al nuevo ser nacido y lo queremos, o nos acostumbramos a su ausencia sin llegar a entender realmente lo que ha pasado, por qué ya no lo veremos más. Y con esa premisa pasamos la vida e intentamos entender qué es lo que hacemos aquí y en qué consiste este mundo.

Aprendemos y tratamos de entender con nuestra mente y nuestro corazón. En los albores de nuestro mundo moderno en el llamado “Siglo de las Luces”, alguien tan representativo como Alexander von Humboldt, el pionero del pensamiento ecológico moderno, nunca se alejó de los métodos racionales, las mediciones, los datos y la observación rigurosa, pero decía que no eran suficientes porque “aquello que le habla al alma escapa a nuestras mediciones”. Pensaba que la naturaleza es un todo, no un conjunto de cosas muertas…y en ese todo estamos nosotros. 

Cuando acababa ese siglo tan representativo, el XVIII, y después de la Revolución Francesa, en la propia cuna de los románticos e idealistas alemanes de los que beberían las corrientes posteriores en Francia, Inglaterra y Estados Unidos, que darían lugar a la conciencia actual de nuestro mundo, la celebración de la imaginación y la elevación del arte como la fuerza que unifica la razón y el sentimiento constituían el núcleo de sus creencias.

Ninguna de las grandes ideas que han transformado nuestro mundo ha podido surgir de la mente racional y aséptica. Detrás de la mecánica cuántica o de la teoría de la relatividad encontramos genios que habían bebido no sólo de la nueva ciencia del siglo XIX, sino de las enseñanzas de la sabiduría de los clásicos grecorromanos: razón y humanismo, arte y ciencia, la propia belleza está detrás de los más grandes teoremas y en la ciencia moderna la encontramos en las llamadas simetrías de muy diferente tipo.

La vida, la plenitud o el vacío y la muerte, y entre unas y otras el amor. Por la vida, por la naturaleza, por la familia, por los amigos. Ese sentimiento que nos llena y que tampoco llegamos a entender porque sólo lo podemos sentir y experimentar.

Y ante los sentimientos de pérdida y dolor, al pensar en los seres queridos que no volveremos a ver, la razón se rebela o quizás se alía con el corazón para llevarme más allá. Llego a creer que en lo más íntimo del tejido de la realidad es posible que no exista ni el pasado ni el futuro, sólo un presente infinito. Un presente conectado con todos los presentes que consideramos ahora pasado o futuro. De hecho, ¿por qué nuestro propio presente tendría que ser, en cada momento, el centro del tiempo? Lo es en nuestra cotidianidad, pero en la realidad que nos presenta la nueva ciencia puede  que no sea realmente así. Nuestra existencia vista de forma global junto con el propio devenir del universo, como un todo espaciotemporal, no conoce las posiciones privilegiadas, no existen. No existe ni siquiera un punto central del universo: cada parte del mismo parece como el centro del que están alejándose, cada vez más rápidamente, el resto de las galaxias.

El tiempo y el espacio absoluto de Newton fueron desterrados por la relatividad de Einstein. Ésta y la mecánica cuántica han abierto nuestra pobre y limitada percepción a un mundo cada vez más extraño. Se busca la unificación de estas dos espléndidas teorías, y la llamada conjetura de Maldacena, en ese campo, apunta al paradigma holográfico según el cual cada parte espaciotemporal del universo tendría la información del todo, como en una holografía, no solo de las partes más cercanas.

El paradigma holográfico nos acercaría a ese hipotético y, ciertamente, poético presente infinito. La ciencia actual, sin hablar de especulaciones, nos dice que el espacio y el tiempo no son realidades fundamentales sino emergentes y nos acerca a un mundo extraño a nuestra experiencia cotidiana. ¿No sería hermoso pensar que nuestro presente y todos los presentes pasados y futuros están fundidos en un mundo en donde el espacio y el tiempo no son los que conocemos, porque emanan de una entidad más fundamental? …Y esta entidad tan fundamental sería como la esencia que nos queda al leer un hermoso poema, o al escuchar una bella canción: escuchamos palabra a palabra o nota a nota, pero lo que permanece es algo precioso que nos inunda el corazón y nos llena el alma.

Hace veintiséis años mientras mis padres me hablaban, sentí la ternura por los seres queridos, cuando se descubre su lado más frágil y humano. Me reconfortó percibir que esa fragilidad es capaz de ganarle batallas al tiempo. Su fugaz victoria nos permite seguir librando una guerra, de antemano, perdida.

Estructuras disipativas, método científico y entropía (I.A. dependencia del entorno)

 De la interacción con nuestro entorno intercambiamos materia y obtenemos energía y conocimiento en bruto que después convertimos en ciencia y tecnología. La vida, los ecosistemas y, en cierta forma, las propias sociedades humanas son un tipo especial de estructuras llamadas disipativas que obtienen orden (disminuyen su entropía) a costa del entorno. Son estructuras abiertas que aumentan su información útil a partir de la información exterior. En el límite, este fenómeno es el que lleva a la ciencia a confirmar con experimentos la veracidad de sus teorías y a cualquier inteligencia "natural o artificial" a escalar su conocimiento científico o tecnológico. Una supuesta inteligencia artificial superpoderosa tendría que buscar nuevo conocimiento en su entorno, al igual que nosotros, de lo contrario su tenología no avanzaría.

Estructuras disipativas
En el equilibrio o cerca de él, no se produce nada interesante, todo es lineal. Cuando pueden ocurrir cosas sorprendentes es lejos del equilibrio: si llevamos un sistema lo bastante lejos del equilibrio, entra en un estado inestable con relación a las perturbaciones en un punto llamado de bifurcación. A partir de entonces la evolución del sistema está determinada por la primera fluctuación, al azar, que se produzca y que conduzca al sistema a un nuevo estado estable. Una fluctuación origina una modificación local de la microestructura que, si los mecanismos reguladores resultan inadecuados, modifica la macroestructura. Lejos del equilibrio, la materia se autoorganiza de forma sorprendente y pueden aparecer espontáneamente nuevas estructuras y tipos de organización que se denominan estructuras disipativas. Aparece un nuevo tipo de orden llamado orden por fluctuaciones : si las fluctuaciones del ambiente aumentan fuera de límite, el sistema, incapaz de disipar entropía a ese ambiente, puede a veces "escapar hacia un orden superior" emergiendo como sistema más evolucionado.

En estos nuevos tipos de estructuras y orden se basan la vida, la organización de un termitero, los ecosistemas y las propias organizaciones y sociedades humanas. Pero lo más importante es que este nuevo orden en el que el determinismo y el azar se llevan de la mano si que es un universal. Estas estructuras, al igual que la vida no aparecen y progresan por pura casualidad o accidente como se creía.


El método científico como límite del intercambio de información con el entorno.
Como comentaba en el post anterior, nuestros genes transportan una información preciosa conseguida del entorno a través de millones de años de intercambio y evolución. Nacemos, casi, como una hoja de papel en blanco, y a partir de entonces seguimos aprendiendo de nuestro exterior. De nuestros padres, de las demás personas y seres, del comportamiento de los otros, de todo lo que nos pasa y de la información que nos llega. Lo externo, como un todo, nos hace como somos. A la ciencia como estructura, en cierta forma le pasa igual. A través del método científico necesita, para avanzar, contrastar las teorías mediante experimentos que confirmarán o no su adecuación a la realidad. En ese sentido desde la menor prueba al mayor de los experimentos, son la forma de interactuar con el entorno para ganar en orden, información y complejidad. Experimentos tan formidables como los que se están realizando, o se realizarán, con el LHC nos permitirán confirmar un montón de teorías y suposiciones, o nos ayudarán a concebir otras nuevas, que seguirán cambiando nuestra sociedad y a nosotros mismos en un baile sin fin en la escala de la complejidad.


Y en ese curioso "baile", incluso si llega a ocurrir lo que se ha llegado a denominar "La singularidad" (singularidad tecnológica), la aparición de los ordenadores ultralistos (máquinas "más inteligentes que los seres humanos") como cuenta el artículo de 1993 escrito por el ingeniero informático y escritor de ciencia ficción Vernor Vinge, en el que sostiene que la aceleración del progreso tecnológico nos ha llevado "al borde de un cambio comparable a la aparición de la vida humana en la Tierra", la esencia no cambiará. En el hipotético futuro en el que las supermáquinas inteligentes o cualquier supercivilización nos supere, seguirá necesitando de su entorno para aprender y aprender cada vez más, seguirán necesitando contrastar sus hipótesis con la realidad y confrontando su tecnología con esa misma realidad.

Reflexiones: multiversos, espespacio-tiempo, mito
¿Hasta cuando? Hay un límite, nuestro universo no es infinito y su final será la llamada muerte térmica, la uniformidad total de la que ya no se podrá extraer ni energía ni información, el estado de máxima entropía y máximo desorden. Aunque haciendo una suposición más de ciencia ficción que de ciencia, antes de llegar a esto es de suponer que alguna de las civilizaciones más avanzadas habrá aprendido todo lo que se puede aprender sobre las leyes físicas de este universo, y podría tener una tecnología capaz de llevarla a otros universos en estados menos degradados (suponiendo que vivimos en un multiverso).


Entre todo esto, una reflexión más: seguimos suponiendo el espacio y el tiempo como el contenedor fundamental de todo lo que es y acontece en el universo (multiverso), pero las dos teorías física más formidables con las que contamos, la relatividad general y la mecánica cuántica y sobre todo su incipiente fusión a la que llamamos gravedad cuántica, nos cuentan que ni el espacio ni el tiempo son las entidades fundamentales que creemos sino que dimanan de otra puramente cuántica subyacente. El universo, el nuestro, tuvo un principio, pero ¿ el multiverso si existe tuvo un principio o siempre estuvo ahí? Es más, ¿tiene sentido seguir hablando en términos de tiempo y espacio, tal como los conocemos, sabiendo que hay alguna entidad cuántica más fundamental de la que emanan?

Primero fue el mito para explicar la realidad que no entendíamos, le han seguido la filosofía y la ciencia, y conforme avanzamos con ella nos va adentrando en un mundo que cada vez nos parece más mítico y menos real. Caminamos como un ciego que sólo cuenta con su inteligencia y su metódico bastón científico, y vivimos tiempos de grandes cambios que, espero, pronto (1) nos darán una nueva bella teoría sobre gravedad cuántica que nos ayude a entender mejor este mundo y a nosotros mismos. Un abrazo.

(1) Soy muy optimista.
La primera figura (estructuras disipativas) está tomada del estupendo blog "Hombres que corren con lobos"

Un amigo nos comenta sobre el interesantísimo cuento de Isaac Asimov:" La última pregunta". Os lo recomiendo.

Reedición del post del mismo nombre de 2016. Un abrazo amigos.

The Vacuum Energy Fractal, the Amazing Quantum Vacuum

 

En este post nos valemos de matemáticas elementales y un nuevo planteamiento para estudiar las propiedades de la energía del vacío como un simple fractal. Descubrimos las posibles dimensiones compactadas de la teoría de cuerdas y su importancia en la propia naturaleza del cuanto de acción (en muchas entradas de este blog, podeís leerlo en español, y en la referencia final de la Universidad de Puebla, México, o en Mi_ciencia_abierta).

Abstract

 

In this letter, we use elementary mathematics and a novel approach to study the properties of vacuum energy as a simple fractal. By applying fractal geometry, we can identify the compact dimensions and gain a better understanding of their significance in the fundamental nature of quantum action.

Keywords: Vacuum energy, compacted dimensions, relative fractal dimension, transition of dimensions, hypothetical quantum generalization

1 Introduction

 

The existence of Planck's quantum of action transforms Newton's classical and deterministic universe into a quantum universe, governed by Heisenberg's uncertainty principle. The vacuum contains a zero-point energy (ZPE) with a higher value as the distance considered becomes smaller. The minimum length, known as Planck's length (lp), is associated with a maximum energy called Planck's energy (Ep). For a distance n(lp), the associated energy is (Ep)/n, where "n" is a natural number. This property, conserved across all known scales, will assist us in analyzing this fractal. We will see that the relationship between ordinary dimensions and compact dimensions may have played an essential role in Planck’s quantum of action.

 

 2 Fractal dimension, study of Brownian motion and the Koch snowflake

 

Fractal dimension is composed of two components: the topological dimension and a dimensional coefficient (topol_dim + dimens_coef). The more irregular the fractal, the higher the dimensional coefficient. For the purposes of our study, it is particularly interesting to examine simple fractals that possess a topological dimension of 1, such as the fractal path of Brownian motion.

 Brownian motion (also known as Brownian movement) refers to various physical phenomena characterized by small, random fluctuations in some quantity. It was named after the Scottish botanist Robert Brown, who first studied these fluctuations in 1827 (britannica.com, December 23, 2021).

Top of Form

To move N effective steps in a straight line along one dimension, a particle moving with Brownian motion must take N² total steps across two or more dimensions. The fractal dimension, a basic property of fractal lines [1], can be calculated using the relation log(N²) / log(N) = 2. In this case, the topological dimension is 1 and the dimensional coefficient is also 1. The value of 2 for the fractal dimension indicates that a linear movement, of topological dimension 1, can fill a plane of topological dimension 2.

In Brownian motion, and in general, fractal value = N² = distance^{fractal_dimension}.

 This can also be observed in the Koch curve, as shown in Figure 1. In the first iteration, the side that measures 3 segments becomes 4 segments. The fractal dimension is calculated as log 4 / log 3 = 1.26186. In one dimension, 3 segments become 4 segments in two dimensions (the plane):4= 3^1,26186, 4=3^{fractal_dimension} (Mandelbrot, 1987).

 

 

 3 Fractal dimension of vacuum energy

 

 We know the dependence of vacuum energy on distance:

 En = Ep / n = (Ep) (distance)^-1.

 If we live in hyperspace (according to string theory), we know the dependence of vacuum energy on distance in that space. Let En_(hyper) be the value of the energy in hyperspace. Then:

 log (En_(hyper)) / log (En) = -1

This implies that vacuum energy is proportional to distance in hyperspace. Although energy has no topological dimension of 1, the quotient of the two logarithms behaves similarly to the case of Brownian motion. When comparing two energies, the topological dimension no longer matters because the result is a relative fractal dimension:

 Relative fractal dimension = (topol_dim. + dimens_coef.)/(topol_dim.). To simplify we will write:

 Relat_fr_dim. = (δ+ε)/δ (1).

 So, we have: Relat_fr_dim= Log (En_(hyper)) / log (En)= -1 = (δ+ε)/δ.

The -1 value reminds us of the compacted dimensions of the string theory, since while a positive dimensional coefficient indicates that the fractal occupies a space greater than its topological dimension, a negative dimensional coefficient indicates dimension compaction (Ruiz-Fargueta, 2004). The situation indicates a transition of dimensions such that: 

T:  δ àδ−ε.

 

The expression (1), with this transition becomes:   δ/(δ−ε) (2).

If the dimensional coefficient is the same as the number of compact dimensions.

 

Expression (2) is consistent with the value -1, since for d = 3 it gives us the value -6 for the number of compact dimensions, which coincides with the value predicted by string theory. Applying these values ​​to the expression (1):

 

(δ+ε) / δ = (3+6)/3= 3 .  3  is the relative fractal dimension of the vacuum energy, 9 its true fractal dimension.

 

The same result is found in the following equivalent transformations:

T1₁: 1/n→ n }  log(n)/log(1/n) = -1. Apparent result in relative fractal dimension.

 T1₂:  n→ n³  }   log(n³)/log(n) = 3. True result in relative fractal dimension.

 

The T1₁ transformation gives us the apparent result -1. But the transformation T1₂ gives us the true result 3.

.

 4 Generalization and possible transition of dimensions

 

The value -1 is the result of En, as a function of distance, in the expression

(En)(n) <Constant, where we have replaced the time (energy-time uncertainty principle) by the space (n) traveled by the light in that time. If in this expression we add a fictitious coefficient f, we will have:

  (En) (n^f) <Constant    (3) (Hypothetical quantum generalization)

Now the transformations T1₁ and T1₂ will be:

 T1₁: 1/n^f à  n } 

 T1₂:  n  à  n^2+f  }

 The true generalized result of the relative fractal dimension is

log(n^2+f)/log(n) = 2+f, with the expression (1):  (δ+ε)/δ = 2+f    (4)   

 During the transition of dimensions, the value of the fictitious coefficient f, associated with the very nature of the quantum (hypothetically), was defined. We will analyze the transition of dimensions combining expressions (3) and (4), for ε=9−δ:

 (En)(n^(ε−δ)/δ) <Constant. 

 Multiplying and dividing by n^δ which is the generalized volume to ordinary dimensions δ:

 (Energy_density) (n^φ)<Constant.  The value of φ = (δ²−2δ+9)/δ and is represented in figure 2.

 

 

 For δ = 3 there is a minimum that corresponds to a maximum in energy density. For δ = 0, the value is infinite and corresponds to a minimum density equal to zero. The transition of dimensions from δ = 0, ordinary dimensions, to δ = 3, ordinary dimensions, takes us from a vacuum energy equal to zero to a maximum value. “In particular, our laws of physics arise from the geometry of the extra dimensions. Understanding this geometry ties string theory to some of the most interesting questions in modern mathematics, and has shed new light on them, such as mirror symmetry” (Polchinski, 2015)

 

 

5 Conclusion

 

It is possible that there was a transition of dimensions that maximized the energy density of the vacuum for δ=3 (ordinary dimensions) and ε=6 (compact dimensions). The nature of the quantum of action may be tied to these specific values of δ and ε.

 

  

References

 

 Mandelbrot, B. (1987), Los objetos fractales, Barcelona, Tusquets Editores.

 Polchinski, J. (2015), String theory to the rescue. ArXiv: 1512.02477 v5 [hep-th]

 Ruiz-Fargueta, J.S. (2004) El sorprendente vacío cuántico. Revista Elementos Universidad de Puebla BUAP.MX, 53, pp.52-53. (16/01/2022)https://elementos.buap.mx/directus/storage/uploads/00000002608.pdf