Triángulos reales y no-triángulos imaginarios

Recientemente, un lector de cienciasyletras me preguntaba si era posible calcular los ángulos de un triángulo escaleno sabiendo los tres lados. Mi respuesta fue que utilizara el teorema de los senos y que tuviera en cuenta que la suma de los tres ángulos debe ser 180º. Con esto se pueden conseguir dos ecuaciones con dos incógnitas que serán dos de los senos buscados... Pero, inmediatamente, me di cuenta de que había una forma mucho más elegante y rápida (gran lapsus, por mi parte por olvidar el teorema del coseno).


Conforme pensaba en esa solución me iba adentrando en el mundo "imaginario" de los números que tienen como base el valor i (la raíz cuadrada de menos uno). Supongamos un triángulo isósceles (la base diferente y los dos lados iguales) y jugaremos a aumentar y a disminuir los dos lados. Conforme los hacemos más grandes la altura del triángulo va aumentando, y al disminuirlos también disminuye con ellos. En el límite, cuando cada uno de los lados es igual a la mitad de la base ya no tenemos ningún triángulo, la altura es cero.

A partir de ahí entramos en el "mundo" de los números imaginarios. Los resultados ya no pertenecen al conjunto de los números reales, sino al de los imaginarios y por tanto decimos que no existen, que los lados ya no se tocan. Pero conforme siguen menguando los dos lados va aumentando el valor de la altura "imaginaria" de este no-triángulo hasta alcanzar un máximo, igual a la mitad de la base, cuando los dos lados tienden a cero (sin llegar a serlo). Conforme disminuyen los lados del no-triángulo imaginario aumenta la altura del mismo hasta un máximo que no puede sobrepasar.

Esto no deja de ser una curiosidad sin más, pero hipotéticamente podríamos considerarlo como un fenómeno de la realidad por el cual a partir de una distancia arbitraria existen dos brazos, de longitud variable, que intentan tocarse. Suponiendo este fenómento en el ámbito de la mecánica cuántica, las posibilidades tienen una componente imaginaria que no se puede descartar y que contribuye, finalmente, al resultado real. De ser así el extraño "mundo" de los no-triángulos imaginarios puede que nos esté diciendo que ellos son tan reales como los propios triángulos, o al menos su extraño mundo es esencial para que nuestro mundo real sea tan peculiar como nos indica la mecánica cuántica.



Los lados del triángulo real llegan a tocarse y determinan la longitud de la altura, que puede ser arbitrariamente grande, hasta llegar al infinito. Los lados del no-triángulo imaginario, en cambio, sin llegar a tocarse en el mundo real, parecen adivinar la distancia que les separa. Cuando apenas son un infinitésimo en los dos extremos de la base, determinan un no-triángulo con una altura igual a la mitad de la misma base. ¿Es un indicio de las propiedades holísticas que presenta la mecánica cuántica, o del protagonismo que parece tener el "mundo" imaginario en ella?.

Desarrollo (sólo para quien tenga curiosidad):
Si nos fijamos en la figura, hacemos descansar la base del triángulo en el eje de las x . Desde un extremo construimos una circunferencia de radio igual a uno de los lados, y desde el otro extremo otra circunferencia de radio igual al otro lado. Con los valores encontrados de las x e y del punto (y es la altura del triángulo obtenido) podemos calcular fácilmente la tangente de los dos ángulos C y A, y el B será 180º -A - C.




La tangente del ángulo C será el cociente y/x. La tangente del ángulo A será : y/(b-x).

Hasta aquí todo resulta muy normal, pero ¿qué ocurriría si la suma de los dos lados a y c es menor que el valor del lado b, de la base del triángulo? Lógicamente no habría triángulo, pues las dos circunferencias no llegarían a tocarse. ¿Qué resultados obtendríamos al proceder de la forma que lo hemos hecho? Los valores encontrados serían imaginarios, lo que significa que no existen en la realidad, pero sí en el "mundo" de los llamados números imaginarios cuya base es el valor i, correspondiente a la raíz cuadrada del número -1. Sólo en ese "mundo" tendrían sentido, pero eso no nos impide estudiar lo que pasa.

Para simplificar, modificaremos el triángulo. La base será b, pero los dos lados a y c serán iguales y les llamaremos a los dos a. Los resultados serán imaginarios siempre que a sean menores que b/2.

Procediendo de forma similar a como hemos visto encontramos que la altura h del triángulo (el valor de la y) en función del cociente n= b/a será :
y = h = + - b/2n √(4- n²)

La menor altura es cuando el valor de cada uno de los lados a tienden a la mitad de la base. La mayor altura h la tenemos cuando los lados tienden a cero y, por tanto, el valor de n se hace infinito. Entonces la altura será b/2.


Finalmente:
En el "mundo " real conforme los lados se hacen mayores la altura también aumentará tanto cuanto queramos, tendiendo a infinito. Cuando los lados disminuyen irá disminuyendo la altura hasta hacerse cero cuando los lados sean igual a la mitad de la base. Conforme los lados se van haciendo menores que la mitad de la base entramos en otro "mundo", el de los números imaginarios y la altura va aumentando conforme disminuyen los dos lados hasta hacerse máxima, con el valor b/2 ( la mitad de la base) para valores de los dos lados tendiendo a cero. La mayor altura b/2 del no-triángulo se obtiene para una base de valor b y dos lados de valor "prácticamente cero".

El universo geómetra

Es difícil imaginar un mundo diferente al de las tres dimensiones espaciales que conocemos. Podría parecer que siempre fue así, pero en un determinado momento nuestro universo tuvo que "decidir" el número de dimensiones adecuado. Además, también tuvo que elegir entre el número de dimensiones ordinarias y enrolladas (teoría de supercuerdas). Y esta decisión tuvo repercusiones directas en la forma en que después se debía presentar su textura, en la naturaleza del propio cuanto de acción.

La especial configuración entre dimensiones espaciales ordinarias y compactadas determinó que las "baldosas" que forman el Universo estuvieran constituidas por acción, es decir, por el producto de energía por tiempo. La mínima acción - llamada h por Max Planck -, es la menor baldosa del universo, no se puede trocear y permanecer estable a la vez. A diferencia del suelo de nuestra casa, el "suelo" estable del universo sólo puede estar formado por baldosas completas.

El valor del cuanto de acción es extremadamente pequeño, lo que nos permite ver nuestro mundo cotidiano con una apariencia continua, como la textura de una película fotográfica con grano muy fino. Así podemos distinguir entre las propiedades macroscópicas de la materia, que rigen nuestra vida habitual, y las microscópicas o cuánticas que determinan el comportamiento del mundo corpuscular, y de las que nos aprovechamos, cada día más, en dispositivos ya cotidianos para todo el mundo como los transistores (circuitos impresos), microscopios electrónicos y de efecto túnel, superconductores, criptografía y computación cuántica, etc. Si el valor del cuanto fuese mucho mayor nuestra vida cambiaría radicalmente y estaría regida por las "misteriosas" leyes de la mecánica cuántica: dualidad corpuscular-ondulatoria e indeterminación.

Dejaría de existir la localización clásica de un objeto así como la consideración separada de entidades ondulatorias y objetos concretos. Un balón de fútbol se podría difractar como un rayo de luz, pero al mismo tiempo sería difícil de localizar claramente en un sitio o en otro. La onda asociada sería lo suficientemente importante para influir en su comportamiento como objeto-onda.

En la magnitud del cuanto de acción fue determinante el tipo y la magnitud de la deformación del espacio-tiempo ligada a las dimensiones (tensores de Weyl y Ricci) en el momento crucial. Similar a como están interrelacionados, en cualquier material, su capacidad de deformación, su estructura íntima y su forma básica (un hilo, una plancha o un bloque compacto).

La geometría tiene mucho que ver con nuestro mundo, entendida como cierta forma de simetría, simplicidad y elegancia: la belleza a la que se refería Paul Dirac (en la imagen). La masa deforma el espacio-tiempo, como una pesa deforma la membrana que la sujeta (relatividad general). La modificación de la geometría (forma) de cualquier campo de fuerzas incide sobre la carga asociada, inmersa en él, y al inverso. El número y la forma en que se organizaron las dimensiones en el primer momento determinó la magnitud y la naturaleza de la cuantificación, y de las propias leyes que rigen la misteriosa mecánica cuántica.

(*) Artículo publicado en Divulcat en septiembre de 2003, bajo el título de" El universo geómetra:¿por qué tres dimensiones?. El título original era el de este post, pero se modificó para que resultara más llamativo . Reseña del artículo en Libro de Notas.

Para saber más:
FENÓMENOS CUÁNTICOS. Revista temática. Primer trimestre 2003 de Investigación y Ciencia.
EL QUARK Y EL JAGUAR, aventuras en lo simple y lo complejo. Murray Gell-Mann. Tusquets Editores S.A. Barcelona 1995.
LA NUEVA MENTE DEL EMPERADOR. Roger Penrose. Grijalbo Mondadori S.A. Barcelona 1995.

Proximamente espero poder seguir editando nuevos artículos. Esta es una nueva edición de un post anterior. Un saludo amigos, y gracias por seguir ahí.

La función modular de Ramanujan y la teoría de cuerdas

La teoría de cuerdas supone que cada modo o vibración de una cuerda fundamental representa una partícula elemental distinta, y puede explicar a la vez la naturaleza de la materia y del espacio-tiempo (las partículas en lugar de ser puntuales pasan a ser unidimensionales). Es la primera teoría cuántica de la gravedad: Cuando se calcularon por primera vez las ligaduras de autoconsistencia que impone la cuerda sobre el espacio-tiempo, se observó con sorpresa que las ecuaciones de Einstein ( teoría de la gravedad) emergían de la cuerda, de hecho, el gravitón o cuanto de gravedad era la menor vibración de la cuerda cerrada.

No sabemos todavía por qué la teoría de cuerdas está definida sólo en 10 y 26 dimensiones, aunque parece seguro que esta teoría no podría unificar las fuerzas fundamentales con tan solo tres dimensiones. Las cuerdas se rompen y se forman en el espacio N-dimensional arrastrando con ellas una serie de términos que destruyen las maravillosas propiedades de la teoría. Afortunadamente, estos términos aparecen multiplicados por el factor (N-10), lo que nos obliga a elegir N=10 para eliminarlos.

Los teóricos de cuerdas al intentar manipular los diagramas de lazos KSV ( Kikkawa-Sakita-Virasoro) creados por las cuerdas en interacción encuentran unas extrañas funciones llamadas modulares que aparecen en las ramas más distantes e “inconexas” de las matemáticas((Yutaka Taniyama ( Japón, 1927-1958) observó que cada función modular está relacionada con una curva elíptica. Esto forma la base de la conjetura Taniyama-Shimura que demostró ser una parte importante en la demostración del Último Teorema de Fermat de Andrew Wiles )). Una función que aparece continuamente en la teoría de funciones modulares se denomina función de Ramanujan, en honor al matemático Srinivasa Ramanujan, nacido en 1887 en Erode, India, cerca de Madrás.

Ramanujan, trabajando en total aislamiento (y sin formación, toda su instrucción matemática la consiguió de la lectura de un oscuro y olvidado libro de matemáticas escrito por George Carr), fue capaz de redescubrir por sí mismo lo más valioso de cien años de matemáticas occidentales y de dejarnos una obra, que consta de 4.000 fórmulas en cuatrocientas páginas densamente llenas de teoremas de increíble fuerza pero sin ningún comentario ni demostración. Tenía tal intuición que los teoremas simplemente fluían de su cerebro, sin el menor esfuerzo aparente. Solía decir que las diosas Namakkal le inspiraban la fórmulas en sueños.

Trabajaba en el puerto franco de Madrás, en un trabajo servil con una mísera paga, pero tenía la suficiente libertad y tiempo para seguir con sus sueños matemáticos. Después de enviar varias cartas a tres matemáticos británicos conocidos, consiguió que el brillante matemático de Cambridge Godfrey H. Hardy se diera cuenta de su inmenso genio matemático y lo trajo a Cambridge en 1914. Hardy tratando de estimar la capacidad matemática de Ramanujan, concedía un 80 al gran matemático David Hilbert, un 100 a Ramanujan y un 25 a sí mismo.

La función de Ramanujan contiene un término elevado a la potencia veinticuatro. Ese número es el origen de las cancelaciones milagrosas que se dan en la teoría de cuerdas, pues cada uno de los veinticuatro modos de la función de Ramanujan corresponde a una vibración física de la cuerda. Cuando se generaliza la función de Ramanujan,el número 24 queda reemplazado por el 8. Si tenemos en cuenta que se añaden dos dimensiones más al número total de vibraciones que aparecen en una teoría relativista, obtendremos 8+2, ó 10: La cuerda vibra en diez dimensiones porque requiere estas funciones de Ramanujan generalizadas para permanecer autoconsistente.

Pura geometría para explicarlo todo, el sueño de Einstein. Y las matemáticas más extrañas imaginadas por un genio, sin apenas instrucción básica, para introducirnos en una teoría de cuerdas que necesita de matemáticas que todavía desconocemos. Einstein tenía las matemáticas inventadas por Riemann para su teoría de la relatividad general, la teoría de cuerdas quizás necesite de las matemáticas, que descansan en los cuadernos llenos de teoremas sin demostrar, de Ramanujan. En el fondo, siempre, una hermosa conexión entre las ramas más distantes e inconexas de las matemáticas y la propia realidad que representan las leyes físicas.

Para saber mucho más: "HIPERESPACIO", de Michio Kaku,( 1996 CRÍTICA-Grijalbo Mondadori,S.A. Barcelona) profesor de física teórica en la City University de Nueva York. Es un especialista a nivel mundial en la física de las dimensiones superiores ( hiperespacio). Despide el libro con una palabras preciosas:”Algunas personas buscan un significado a la vida a través del beneficio personal, a través de las relaciones personales, o a través de experiencias propias. Sin embargo, creo que el estar bendecido con el intelecto para adivinar los últimos secretos de la naturaleza da significado suficiente a la vida”.

Edición de uno de mis post clásicos, publicado inicialmente el 12 de octubre de 2006.

Partículas, campos, teoría clásica y cuántica

La teoría cuántica no era algo que desearan los teóricos. La mayoría de ellos se encontraron conducidos, a su pesar, a esta extraña visión del mundo porque la teoría clásica, pese a su soberbia grandeza, tiene algunas dificultades profundas.



La principal causa es el hecho de que deben coexistir dos tipos de objetos físicos: las partículas, cada una de ellas descrita mediante un número finito de parámetros, tres posiciones y tres momentos; y los campos que requieren un número infinito de parámetros. Esta dicotomía no es físicamente consistente. Para que un sistema con partículas y campos estén en equilibrio toda la energía de las partículas debe cederse a los campos. Ésta es una consecuencia del fenómeno llamado "equipartición de la energía": en el equilibrio la energía se reparte por igual entre todos los grados de libertad del sistema. Puesto que los campos tienen infinitos grados de libertad a las partículas no les puede quedar nada en absoluto.

Los átomos clásicos no serían estables pues todo el movimiento de las partículas se transferirían a los modos ondulatorios de los campos. Cuando un electrón orbital se mueve alededor del núcleo debería emitir ondas electromagnéticas de una intensidad creciente hasta infinito en una pequeña fracción de segundo. Al mismo tiempo describiría una espiral que se cerraría y hundiría en el núcleo. Sin embargo no se observa nada de eso. Lo que se observa es bastante inexplicable sobre la base de la teoría clásica. Los átomos pueden emitir ondas electromagnéticas (luz) pero sólo en destellos de frecuencias discretas específicas: las agudas líneas espectrales observadas y características de cada tipo de elemento. Además, estas frecuencias satisfacen reglas que no tienen nada que ver con la teoría clásica.

Otra manifestación de la inestabilidad de la coexistencia de campos y partículas es el fenómeno conocido como “radiación del cuerpo negro”. En 1900 Rayleigh y Jeans habían calculado que toda la energía sería absorbida por el campo, sin límite, en lo que se ha llamado “catástrofe ultravioleta”. La energía seguiría fluyendo sin cesar hacia el campo con frecuencias cada vez mayores.


Max Planck, en ese mismo año, propuso una idea revolucionaria para eliminar los modos de alta frecuencia del “cuerpo negro”: que las oscilaciones electromagnéticas sólo ocurren en “cuantos” cuya energía E mantiene una relación definida con la frecuencia f, dada por: E= h f, siendo h una nueva constante fundamental de la Naturaleza, ahora conocida como constante de Planck. Con este ingrediente extravagante, Planck pudo obtener un sorprendente acuerdo teórico con la dependencia experimentalmente observada de la intensidad con la frecuencia, la ahora llamada ley de radiación de Planck.

Al final las radiaciones electromagnéticas sólo se podían presentar en paquetes discretos llamados fotones. La luz, después de todo, tal como había insistido Newton dos siglos antes debía estar formada de "partículas", a pesar de que a principios del siglo XIX Thomas Young demostró que consistía en ondas. ¿Ondas o partículas?. En 1923 el físico francés Louis de Broglie propuso que las propias partículas de materia se comportaban a veces como ondas. La frecuencia de la onda de Broglie f, de una partícula de masa m, satisface la relación de Planck, combinada con la relación masa/energía de Einstein.



La dicotomía entre partículas/ondas u oscilaciones del campo, que había sido una característica de la teoría clásica, no se respeta en la Naturaleza. La Naturaleza consigue construir un mundo consistente en el que las partículas y las oscilaciones del campo son la misma cosa.






Para saber más:
- "La nueva mente del emperador". Roger Penrose.
-"La luz, algo sobre su historia". LBT.
- "La física cuántica es fácil". LBT.

Las matemáticas y la física

“El libro del Universo está escrito en lengua matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas sin cuya mediación es humanamente imposible comprender ni una palabra” (Galileo Galilei).


La existencia de una relación particular entre la física y las matemáticas goza de un reconocimiento universal. A través de la historia de la física abundan los testimonios explícitos en ese sentido, empezando por la célebre afirmación de Galileo: "La filosofía está escrita en ese inmenso libro siempre abierto ante nuestros ojos (el Universo), pero no se la puede comprender si no se aprende primeramente a conocer la lengua y los caracteres en que está escrito. Está escrito en lengua matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas sin cuya mediación es humanamente imposible comprender ni una palabra.”

Tres siglos después, el astrofísico Jeans escribió: “El Gran Arquitecto parece ser matemático.” Podría recopilarse una verdadera antología de citas de este estilo. Y cualquier capítulo de la física parece bueno como ejemplo para tales afirmaciones.

La física utiliza con éxito las matemáticas. No obstante este enunciado, lejos de ser como aparenta una estricta constatación, está cargado de presupuestos, aunque resuma una visión inmediata de la situación. Pero lleva directamente a preguntarse por las causas de ese éxito. ¿Cómo puede ser que las matemáticas, reputadas en general como estudio de abstracciones puras, “funcionen” en física, considerada como la ciencia de lo concreto por excelencia? Los propios físicos dan fe a menudo, con una sorpresa ingenua o en términos de una confesión incómoda, de que esta adecuación plantea un problema: “Sin embargo, es notable que ninguna de las construcciones abstractas que la matemática realiza, teniendo exclusivamente como guía su necesidad de perfección lógica y de generalidad creciente, parezca que haya de permanecer sin utilidad para el físico. Por una singular armonía, las necesidades del pensamiento, preocupado por construir una representación adecuada de la realidad, parecen haber sido previstas y anticipadas por el análisis lógico y la estética abstracta del matemático” (P. Langevin). “La idea de que las matemáticas podían adaptarse, de algún modo, a los objetos de nuestra experiencia me parecía extraordinaria y apasionante” (W. Heisenberg).


Las matemáticas constituyen el lenguaje de la física. Al texto citado de Galileo se le pueden añadir dos citas: “Todas las leyes se extraen de la experiencia, pero para enunciarlas se precisa de una lengua especial; el lenguaje ordinario es demasiado pobre, y es además demasiado vago, para expresar relaciones tan delicadas, tan ricas y tan precisas. Esta es la razón por la que el físico no puede prescindir de las matemáticas; éstas le proporcionan la única lengua en la que puede hablar” (H. Poincaré). “Las matemáticas constituyen, por decirlo así, el lenguaje por medio del cual puede plantearse y resolverse una pregunta” (W. Heisenberg).

Esta concepción de las matemáticas como lenguaje de la física puede, no obstante, interpretarse de varias maneras, según que dicho lenguaje se piense como el de la naturaleza, y que el individuo que la estudia deberá esforzarse por asimilar; o bien que se le conciba a la inversa, como el lenguaje del individuo, al cual habrán de traducirse los hechos de la naturaleza para que resulten comprensibles. La primera posición parece ser la de Galileo, también es la de Einstein: “ De acuerdo con nuestra experiencia hasta el momento, tenemos derecho a estar convencidos de que la naturaleza es la realización del ideal de la simplicidad matemática. La construcción puramente matemática nos permite encontrar esos conceptos, y los principios que los relacionan, que nos dan la clave para comprender los fenómenos naturales.” El segundo punto de vista es el de Heisenberg: “ Las fórmulas matemáticas ya no representan la naturaleza, sino el conocimiento que de ella poseemos”. Sin embargo, ambas actitudes, lejos de oponerse, no son sino los puntos extremos de un espectro continuo, y de lo que se trata es de encontrar un punto de equilibrio en el interior de una estructura que se apoya sobre los pares de nociones opuestas naturaleza-hombre, experiencia-teoría, concreto-abstracto, hechos científicos-leyes científicas.


Para el gran físico-matemático Roger Penrose, en cierta forma, la mente parece tener “acceso” al mundo de las ideas al que se refería Platón. Repasando alguna de las afirmaciones que hace en su libro “ La nueva mente del emperador”: Hasta qué punto son "reales" los objetos del mundo del matemático?. Desde un cierto punto de vista parece que no puede haber nada real en ellos. Los objetos matemáticos son sólo conceptos; son idealizaciones mentales que hacen los matemáticos, a menudo estimulados por el orden aparente de ciertos aspectos del mundo que nos rodea, pero idealizaciones mentales en cualquier caso. ¿Pueden ser algo más que meras construcciones arbitrarias de la mente humana? Al mismo tiempo parece que existe alguna realidad profunda en estos conceptos matemáticos que va más allá de las elucubraciones mentales de un matemático particular. En lugar de ello, es como si el pensamiento matemático estuviese siendo guiado hacia alguna verdad exterior —una verdad que tiene realidad por sí misma y que sólo se nos revela parcialmente a alguno de nosotros.


Para saber más: “Pensar la matemática”, de la serie Metatemas dirigida. Por Jorge Wagensberg de Tusquets Editores. Son artículos de varios autores. El post hace referencia al artículo de J.M Lévy-Leblond, profesor de la Universidad de Niza y gran divulgador de las matemáticas.
Sobre Penrose y el platonismo matemático: Ver enlace.


Parece que fue ayer, pero hoy hace un año que falleció mi padre. D.E.P.

Historia, dignidad y efecto mariposa

Estamos atravesando una grave crisis mundial de la que nadie está seguro cómo saldremos. Se analizan cifras macroeconómicas y se diseñan planes para estabilizar el sistema, pero nada funcionará si no se tiene en cuenta el principal factor que subyace en toda crisis de un sistema: el factor humano, un factor a la vez estabilizante y desestabilizador.

Lo asombroso de la historia
Hay algo asombroso que siempre me ha llamado la atención sobre la historia. Ocurrió antes, ocurre ahora y, posiblemente, pasará siempre : la humanidad no parece saber, ni poder controlar realmente, hacia dónde va. Los acontecimientos se suceden y cuando todo parece amarrado y en su sitio, viene un nuevo incidente que lo desbarata todo, guerras, revoluciones, crisis económicas o cualquier otra catástrofe. Ante estas situaciones la historia, después de ocurridas, saca sus conclusiones y nos ayuda a impedir que vuelvan a repetirse, pero siempre hay algo que se nos escapa y todo vuelve a derivar en alguna nueva catástrofe, todo vuelve a empezar de nuevo.

Efecto mariposa
En física existen unos sistemas que son sumamente sensibles a las condiciones iniciales. Por muy bien que se conozcan las variables que van a influir en su desarrollo, por muy sofisticados que lleguen a ser los instrumentos que las midan, siempre habrá una mínima incertidumbre que influirá, decisívamente, en el desarrollo posterior del sistema. Una mínima causa será capaz de desencadenar grandes consecuencias. Ese efecto es conocido, popularmente, con el nombre de “efecto de la mariposa”. De forma exagerada, pero muy gráfica, se explica que el simple vuelo de una mariposa, en África, puede desencadenar, con el tiempo, un huracán en China. El primero de esos sistemas que se estudió, allá por los años sesenta, fue el tiempo metereológico.

Efecto mariposa e historia
Desde el primer momento, en que tuve conocimiento de este curioso tipo de sistemas físicos, me recordó al propio devenir de la historia. Conocemos miles de pequeñas anécdotas que influyeron, decisivamente, en el posterior desarrollo de acontecimientos sumamente importantes. Cualquiera de esas minúsculas causas, al desarrollarse de modo distinto, habría cambiado el destino de cualquier país o del mundo. La historia ha transcurrido, durante miles de años, cuajada de millones de acontecimientos de mayor o menor significado, entrelazados de forma aleatoria o no. En muchos sentidos, podría ser considerada como un sistema “muy sensible a las condiciones iniciales”, un sistema no lineal y con infinidad de realimentaciones. Afortunadamente, los manipuladores que intentan, e intentarán, cambiar el destino de las naciones, difícilmente, podrán tener en cuenta todas las variables necesarias para conseguir su propósito. A muy corto plazo puede que sus cálculos sean correctos, pero a medio y largo plazo se equivocarán. Los pequeños errores de cálculo, conforme se desarrollan los acontecimientos, van teniendo mayor influencia en los resultados hasta llegar a desfigurarlos. Las actuaciones bienintencionadas se toparán, en principio, con los mismos inconvenientes ante el efecto multiplicador de los pequeños errores de cálculo sobre el sistema. Más ahora, que el efecto de la globalización trasforma al mundo en un sistema más sensible e inestable.

¿ Dignidad y estabilidad?
Aparte del factor puramente “físico”, de la incertidumbre, hay un elemento capital, en el desarrollo histórico, que el manipulador tiende a olvidar y que se alía con el “efecto de la mariposa” para desbaratar sus planes. Puede parecer poco científico, incluso irreal, pero, lejos de eso, obedece a una realidad constatable y sólida, y es un elemento esencial del factor humano: la dignidad humana. No actúa como motor de la historia sino más bien como “encauzador” del verdadero motor. Éste, por cierto, no es ajeno al egoísmo en sus más diversas formas, perversas en mayor o menor medida.

El poder egoísta tiende a pisarlo todo, sin ningún tipo de consideración. Es un elemento motriz burdo, como una tormenta. Pero a diferencia de la tormenta que actúa sin cortapisas, obedeciendo a leyes físicas y a condicionamientos puramente mecánicos, el poder siempre tiene enfrente a la dignidad de la persona. La pisará una y mil veces, la despreciará, pero al final la encontrará cara a cara, haciéndole frente, en el germen de toda revolución o cambio necesario. Y será capaz de reconducir la propia corriente de la historia. Esa es la diferencia entre los sistemas físicos, caóticos en el sentido en que pueden seguir muy distintas trayectorias de futuro, igualmente válidas, y el “sistema sensible” de la historia cuya única trayectoria final estable, después de cualquier cambio caótico, pasa por el respeto a la dignidad humana. El sentimiento que hace sentirnos únicos, diferentes, con un valor intrínseco, como centro que somos del mundo que percibimos, de nuestro mundo. Es un sentimiento universal y nace de la propia conciencia de ser.

Todos los amantes de la física y de la justicia podemos congratularnos de que un efecto físico “amigo” sea aliado de la justicia social contra los cálculos egoístas del poder. Esos cálculos, organizados por el más potente de los ordenadores que pueda existir en el futuro, son incapaces de recoger toda la información, potencialmente necesaria e influyente, en sus más pequeños detalles. Un simple vuelo, no previsto, no calculado, de una insignificante mariposa podrá desbaratar los planes más perfectos y meditados. Ese simple vuelo será también capaz de desbaratar los planes bienintencionados que traten de controlar cualquier crisis si no cuentan con el factor de estabilización que introduce, en infinidad de puntos inestables, el respeto a la dignidad personal.

Post sacado de mi colaboración con Libro de notas, Ciencias y letras.

¡¡¡FELIZ AÑO AMIGOS!!!

El infinito y más allá, los números transfinitos Aleph

A finales del siglo XIX el original matemático Georg Cantor propuso una bella teoría sobre los números finitos o transfinitos, según la cual el número total de fracciones, números enteros y números naturales son el mismo número transfinito al que llamó Aleph sub-cero.

A primera vista no parece algo razonable, pues se podría pensar que el número de enteros es mayor que el número de naturales, ya que todo número natural es un entero mientras que algunos enteros (los negativos) no son números naturales. De forma similar se podría pensar, también, que el número de fracciones es mayor que el de enteros, pero una cosa es lo que parece y otra lo que es.


La clave está en las extrañas propiedades de los números infinitos y las relaciones que se pueden establecer entre ellos. Para objetos finitos de dos conjuntos diferentes si podemos establecer una "correspondencia uno-a-uno", entre ambos, se puede deducir que tienen el mismo número de elementos. Para un número finito de números naturales ocurre lo mismo, pero lo que es evidente para números finitos deja de serlo para infinitos.

Se puede establecer una correspondencia uno-a-uno entre los números naturales y los números enteros de la siguiente forma: 0(entero)--> 0(natural); -1(entero)--> 1(natural); +1 (entero)--> 2 (natural) y así seguimos indefinidamente con la siguiente tabla:

Cada entero y cada número natural aparecen una y sólo una vez en la tabla. Esta correspondencia entre cada par de números entero-natural es lo que establece en la teoría de Cantor que el número de elementos de la columna de enteros es igual al número de elementos en la columna de naturales. Por consiguiente, el número de enteros es el mismo que el de naturales. De forma similar, aunque algo más complicada, se puede probar que el conjunto de fracciones (racionales) tiene el mismo número de elementos que el conjunto de enteros. El número es infinito, pero no importa, es el mismo número.

El gran matemático David Hilbert se inventó la metáfora del Hotel Infinito para explicar de forma intuitiva las paradojas a las que nos enfrenta la existencia de infinidad de infinitos:

"Había un hotel que tenía infinitas habitaciones. Un día llega un nuevo huésped para alojarse allí, pero el conserje le dice que tenía mala suerte, que estaban todas llenas. El huésped, indignado llama al gerente, y le pregunta cómo era posible en un hotel con infinitas habitaciones. El gerente le da la razón, pero dice que no puede hacer nada, entonces el huésped responde rápidamente: ‘ya se lo que se puede hacer; al que esté en la habitación 1 lo manda a la habitación 2, al de la habitación 2 a la 3 y así sucesivamente, entonces la habitación 1 quedará libre para mi. El gerente

encontró maravillosa esta solución y así lo hizo".

"Algunos días después llega otro huésped y pide de alojarse, a lo que le responden que el hotel estaba lleno, pero que no se preocupara, que sabían cómo solucionarlo. Entonces este huésped dice que había un problema, que él no estaba solo, sino con un grupo de amigos… y que era un grupo infinito. El gerente, otra vez consternado no sabía qué hacer, pero el huésped, también muy hábil le dice que no se preocupe, que mande al de la habitación 1 a la 2, al de la 2 a la 4, al de la 3 a la 6 y así sucesivamente. De esa forma todas las habitaciones con números impares quedarían libres para sus infinitos amigos."

Los conjuntos que pueden ser puestos en correspondencia uno-a-uno con los números naturales se llaman numerables, de modo que los conjuntos infinitos numerables tienen aleph sub-cero elementos.

¡Sorprendentemente, aunque se amplíe el sistema desde los números naturales a los enteros y a los racionales, no incrementamos realmente el número de objetos con los que trabajamos!.

Después todo esto podríamos pensar que todos los conjuntos infinitos son numerables, pero no es así, no sólo hay un tipo de infinito, pues la situación es muy diferente al pasar a los números reales. Cantor demostró mediante el argumento del "corte diagonal" que realmente hay más números reales que racionales. El número de reales es el número transfinito C, de continuo, otro nombre que recibe el sistema de los números reales.

Podríamos pensar en darle a ese número el nombre de aleph sub-uno, por ejemplo. Pero ese nombre representa el siguiente número transfinito mayor que aleph sub-cero y el decidir si efectivamente C = Aleph sub-uno constituye un famoso problema no resuelto, la llamada hipótesis del continuo.

Como curiosidad, ya que estamos hablando de infinitos, el término gugol (en inglés googol) es un número enorme 10¹⁰⁰ fue acuñado en 1938 por Milton Sirotta, un niño de 9 años, sobrino del matemático estadounidense Edward Kasner. Kasner anunció el concepto en su libro Las matemáticas y la imaginación. Isaac Asimov dijo en una ocasión al respecto: "Tendremos que padecer eternamente un número inventado por un bebé".

El gúgol no es de particular importancia en las matemáticas y tampoco tiene usos prácticos. Kastner lo creó para ilustrar la diferencia entre un número inimaginablemente grande y el infinito, y a veces es usado de esta manera en la enseñanza de las matemáticas. El motor de búsqueda de google fue llamado así debido a este número. Los fundadores originales iban a llamarlo Googol, pero terminaron con Google debido a un error de ortografía de Larry Page, uno de los fundadores de Google.