La relatividad general y los extraños rayos de luz fantasma

La visión que tenemos de una esfera desde cualquier punto del espacio es invariante, es exactamente la misma, pues la esfera es simétrica respecto a la rotación sobre cualquiera de sus infinitos ejes de simetría. Cada uno de los puntos de observación representa un referencial diferente y la invariancia observada se corresponde con una simetría llamada esférica.

Galileo Galilei, en la primera mitad del siglo XVII, utilizando como ejemplo un barco navegando a una velocidad constante en un mar calmado, describió la denominada invariancia galileana según la cual, y gracias a una simetría subyacente, las leyes fundamentales de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales (movimiento uniforme sin aceleraciones). No se advierte el movimiento, todo transcurre dentro del barco como cuando está parado. Este principio se aplica a la mecánica clásica newtoniana, en la cual las longitudes y tiempos no son afectados por el cambio en la velocidad y se amplió con la relatividad especial de Einstein donde las longitudes y los tiempos ya no son invariantes.

En física, detrás de las invariancias existen una serie de simetrías, en este caso más abstractas que la esférica, que comportan la existencia de leyes de conservación. Eso es lo que establece un bello teorema matemático, debido a Emmy Noether, y, llamado por ello teorema de Noether: A la invariancia respecto a una traslación le corresponde la ley de conservación del momento lineal, a la invariancia ante una rotación la ley de conservación del momento angular y la independencia ante cualquier referencial temporal se asocia a la ley de conservación de la energía.

Para los sistemas acelerados o sujetos a la acción de un campo gravitatorio, Einstein amplió su teoría de relatividad especial dando lugar a una nueva teoría de la gravitación llamada relatividad general, que generalizaba la teoría de gravitación de Newton.Las simetría e invariancias en el ámbito de esta teoría siguen cumpliendo, lógicamente, el teorema de Noether, pero cada vez podemos encontrar fenómenos más extraños y alejados del sentido común.


Uno de estos fenómenos tiene que ver con el título de este post, una especie de luz "fantasma" que aparece y desaparece según el punto de referencia desde el que observemos. Así, consideremos un electrón en caída libre en un campo de gravitación creado por un astro pesado. Para un observador situado en el astro, este electrón parece acelerado y, por tanto, irradia luz. Además, se puede detectar en el suelo esta luz que precede al electrón en su caída, por medio de una célula fotoeléctrica, o incluso de un fotomultiplicador que cuente uno por uno los fotones.

Para un observador en caída libre con el electrón, éste aparece en reposo y, por tanto, no irradia luz. Aunque se ponga ante el electrón un fotomultiplicador, no registrará nada, no detectará luz y no contará fotones. Dicho de otra manera, la luz detectada en un referencial es inexistente en otro. Esta paradoja se debe a que la energía no es un invariante relativista. La energía que transportan los fotones tiende a cero cuando se pasa progresivamente del referencial relacionado con el astro al relacionado con el electrón. La longitud de onda de la luz que está relacionada directamente con la energía de los fotones tiende al infinito (su frecuencia tiende a cero: Energía= h*frecuencia) y las líneas de campo toman la forma de estrella que se les conoce cuando provienen de una carga inmóvil.
Volviendo al símil geométrico:



Si en lugar de una esfera observamos un disco superfino, existen una serie de puntos de observación para los cuales el disco desaparece, sin embargo desde los puntos que pasan por la recta perpendicular al plano del disco la superficie observada será máxima. A diferencia de la esfera, la simetría del disco no es esférica y los puntos de observación en el plano del disco y en el plano perpendicular al mismo no son intercambiables.De la misma forma no son intercambiables los referenciales en el astro y en el sistema de caída libre que acompaña al electrón. En ambos casos es una cuestión de simetrías más o menos especiales y encubiertas, vemos o no vemos el disco por una razón, en cierta forma similar a la posibilidad de observar o no observar los rayos de luz.

Ciencia de día, ciencia de noche

Se suele imaginar que la actividad investigadora de los científicos es una labor exclusiva de la mente racional y metódica. Algo lejano de lo que no se suele hablar demasiado y al final, precisamente por eso, nos parece todavía más extraño y ajeno .

Hace tiempo leí sobre la curiosa manera que tenía el gran Dirac de juguetear con las ecuaciones, de probarlas y asociarlas de forma no siempre tan racional y metódica como se podría suponer. Sin embargo, esta forma, aparentemente irracional de proceder resulta bastante más frecuente de lo que se suele pensar y me llamó la atención.Se acerca, realmente, a la actividad del artista y deja un sitio importante a la intuición y a la labor creativa. Einstein decía:"Si queréis saber cómo funcionan los científicos, no escuchéis lo que dicen; mirad lo que hacen."

Sobre este tema he leído, recientemente, unas preciosas palabras muy esclarecedoras del Premio Nobel de Medicina, en 1965, François Jacob:"(1)... En los artículos científicos, la razón avanza por una vía regia que va de la oscuridad a la luz. Nada de errores. Nada de falsos juicios. Nada de confusión. Nada que no sea un razonamiento perfecto, y sin la presencia de ningún fallo.

Y, sin embargo, cuando examinamos más de cerca lo que hacen los científicos, constatamos con sorpresa que la investigación supone en realidad dos aspectos que alguien ha denominado ciencia de día y ciencia de noche. La ciencia de día pone en juego razonamientos que se articulan como engranajes, como resultados finales que tienen la fuerza de la certeza. Se admira en ellos la majestuosa disposición, propia de un cuadro de Leonardo da Vinci o de una fuga de Bach. Transitamos por ellos como por un jardín a la francesa. Consciente de su proceder, orgullosa de su pasado, segura de su porvenir, la ciencia de día avanza por la luz y la gloria.

La ciencia de noche, por el contrario, marcha a ciegas. Duda, tropieza, recula, suda, se despierta sobresaltada. Dudando de todo, se investiga así misma, se pregunta, se corrige sin cesar. Es una especie de taller de lo posible, donde se elabora lo que va a ser el material de la ciencia. Donde las hipótesis se mantienen en forma de presentimientos vagos, de sensaciones brumosas. Donde los fenómenos no son aún más que acontecimientos solitarios sin relación entre ellos. Donde los proyectos sobre experimentos apenas toman cuerpo. Donde el pensamiento camina a través de sendas sinuosas, de callejuelas tortuosas, las más de las veces sin salida.

A merced del azar, el espíritu se agita en un laberinto, bajo un diluvio de mensajes, en busca de un signo, de un guiño, de una aproximación repentina. Como un prisionero en su celda, el espíritu no para de dar vueltas, busca la salida, un resplandor. Sin solución de continuidad, pasa de la esperanza al desespero, de la exaltación a la melancolía. Nada permite decir que la ciencia de noche pasará alguna vez al estado de día; que el prisionero saldrá de las sombras. Si esto sucede será de manera fortuita, como por capricho. De improviso, como por generación espontánea. No importa dónde, ni cuando, como un rayo. Lo que guía entonces al espíritu no es la lógica. Es el instinto, la intuición. Es la necesidad de ver claro. Es la obstinación de vivir en el interminable diálogo interno, en medio de innumerables suposiciones, acercamientos, combinaciones, asociaciones que, sin cesar, atraviesan el espíritu.

Un rayo de fuego a veces rompe la oscuridad, alumbra de repente el paisaje con una luz deslumbradora, aterradora, más fuerte que mil soles. Después del primer choque empieza un duro combate con los hábitos del pensamiento. Un conflicto con el universo de conceptos que regula nuestros razonamientos. Aun nada permite decir si la nueva hipótesis cambiará su primera forma de boceto burdo para refinarse o perfeccionarse. si sostendrá la prueba de la lógica o será admitida en la ciencia de día.

...Pero para que sea aceptado un trabajo y admitida una nueva forma de pensar, hay que depurar la investigación de toda escoria afectiva o irracional. Quitarle todo resto personal, todo olor humano. Recorrer la vía real que lleva de una juventud balbuceante a una madurez desarrollada. Reemplazar el orden real de los acontecimientos, de los descubrimientos, por lo que aparece como orden lógico, el que se debió haber seguido si, al principio, la conclusión hubiera sido conocida. Hay un rito en la manera de presentar los resultados científicos. "

Yo me siento más cerca de esa ciencia de noche, más humana y más verdad. En mis modestas investigaciones he experimentado lo que tan bien describe Jacob. Mi ciencia apenas ha salido de la noche, permanece en su celda, buscando todavía la salida y el resplandor definitivo que la transforme con la apariencia de ciencia de día.

Está muy bien cumplir con el rito de presentar la ciencia de forma clara, metódica y ordenadamente, pero en un viaje no sólo importa el destino. El largo viaje, los tropiezos, los extraños compañeros del camino, las alegrías y las penas enriquecen el resultado y al viajero, y prescindir, por completo de ellos, empobrecen a la ciencia y la hacen menos cercana y humana.


(1) Del libro: "El ratón, la mosca y el hombre".

La extraña medida cuántica en un espacio de infinitas dimensiones: el espacio de Hilbert.

El espacio de Hilbert es una pura construcción matemática pero responde a la perfección a lo que hacía falta para elaborar la teoría cuántica. De no haberse descubierto habría habido que inventarlo para las necesidades de la teoría.

En teoría clásica las cantidades físicas a medir se asocian a simples números, cuyo producto es conmutativo: a*b= b*a . En mecánica cuántica dichas cantidades u observables se asocian a operadores(1) cuyo producto, por el contrario, no es necesariamente conmutativo. Mientras que la física clásica se desarrolla en el espacio ordinario, la mecánica cuántica lo hace en una generalización de este espacio ordinario llamado espacio de Hilbert. Esta generalización permite que operaciones matemáticas intuitivas y fácilmente visualizables en dos y tres dimensiones puedan extenderse a espacios de más dimensiones o, íncluso, a espacios con un número infinito de dimensiones.

Mientras que el espacio ordinario es un espacio vectorial métrico(2), en donde se definen vectores (que podemos identificar como flechitas más o menos largas y orientadas hacia cualquier dirección) como son las fuerzas o las velocidades, en el espacio de Hilbert que tiene infinitas dimensiones los vectores se generalizan como funciones. Las transformaciones que obran sobre los vectores del espacio convirtiéndolos en otros vectores del mismo espacio se llaman operadores(1) . Vectores y operadores tienen propiedades de linealidad: toda combinación lineal, de coeficientes complejos, de vectores es un vector; un operador transforma un vector en otro vector, y toda combinación lineal de vectores, también en un vector. El producto escalar de dos vectores asocia a estos dos vectores un número complejo que depende linealmente de cada uno de ellos. En el espacio ordinario de dos dimensiones si A(a1,a2) y B(b1,b2) son dos vectores, con sus dos coordenadas, el valor a1*b1 + a2*b2 sería el número que expresaría su producto escalar, en base al cual se establece la métrica (2) o la forma de medir en dicho espacio bidimensional.

El formalismo de la teoría cuántica se interesa, por una parte, por los estados del sistema físico y, por otra, por las magnitudes físicas observables relativas a este sistema. Los estados se asocian a los vectores de un espacio de Hilbert y los observables, a los operadores que actúan en este espacio. Un vector del espacio de Hilbert se llama vector propio de un operador cuando la acción de este operador sobre el vector consiste en multiplicarlo por un número llamado propio: (Operador_P) (vector_A) = a0 (vector_A) , siendo a0 el valor propio.

La expresión anterior representa una medida en un sistema cuántico. Al medir el estado del sistema representado por el vector_ A mediante el operador_P hemos encontrado el valor real a0, su valor propio, que corresponde a un observable del sistema representado por el operador. Este observable puede ser una medida de energía, de velocidad, de distancia, etc. El operador más importante de la teoría cuántica es el operador asociado a la energía total del sistema: el hamiltoniano. El total de los valores propios, u observables, del hamiltoniano se llama espectro del sistema. En un sistema atómico, el espectro comprende una serie discreta de valores propios, que se corresponden con los niveles de energía del átomo, nivel fundamental y niveles excitados.

La conmutación y no conmutación de los observables es una de las propiedades más interesantes de la teoría cuántica. Supongamos que dos observables no conmutan, como la posición "q" y el impulso "p", con sus operadores Q y P. Esto significa que no podemos medir el impulso en un estado en que se puede medir la posición, y viceversa. Esta es la expresión rigurosa de la desigualdad de Heisenberg también llamada Principio de Indeterminación.

En la mecánica cuántica una representación de un sistema se define por un conjunto completo de observables que conmutan, y proporciona toda la información susceptible de ser recogida sobre el sistema cuántico.

Lo nuevo respecto a la teoría clásica es que puede haber una segunda representación, es decir, un segundo conjunto completo de observables que conmutan, pero que no conmutan con los de la primera representación. Se dice entonces que las dos representaciones son complementarias. Dependiendo de las magnitudes que midamos (los observables elegidos) tendremos una representación u otra del sistema.

Algo de historia sobre el nacimiento de los espacios de Hilbert:

"¿Quién de nosotros no querría levantar el velo tras el que se esconde el futuro y asomarse, aunque fuera por un instante, a los próximos avances de nuestra ciencia y a los secretos de su desarrollo ulterior en los siglos futuros?".

Así comenzó David Hilbert (1862-1943) su intervención en el Congreso Internacional de Matemáticas celebrado en París en 1900. A continuación planteó 23 problemas que han modelado buena parte del desarrollo de las matemáticas en el siglo XX. Hace 102 años Hilbert era, en contraste con la situación de Einstein durante su annus mirabilis 1905 recién conmemorado, uno de los matemáticos con mayor prestigio y, probablemente, el más influyente.

Por aquellos años, el campo de estudio de Hilbert y sus colaboradores eran las ecuaciones integrales. Los estudiantes de secundaria aprenden que una ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en las que hay un número desconocido, la incógnita, cuyo valor se puede calcular efectuando operaciones. En una ecuación integral la incógnita no es un número, sino una función -una gráfica- cuya fórmula se quiere conocer y que aparece en la ecuación dentro de una integral. En la serie de artículos Fundamentos de una teoría general de las ecuaciones integrales, Hilbert analizó las técnicas introducidas para estudiar estas ecuaciones por Poincaré y Fredholm a finales del XIX, mejorando sus resultados. En el cuarto artículo de esta serie, publicado en 1906, Hilbert prueba que las ecuaciones integrales pueden resolverse como un sistema de infinitas ecuaciones lineales con infinitas incógnitas.

En el bachillerato se estudian los sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas: tres números ligados por las ecuaciones cuyo valor se desea calcular. Estos números se pueden ver como las coordenadas -largo, ancho y alto- de un punto en el espacio, lo que permite usar herramientas geométricas como ángulos y distancias para resolver el sistema. Lo que hizo Hilbert fue construir herramientas geométricas análogas para un espacio, llamado Espacio de Hilbert, en el que los puntos tienen infinitas coordenadas, no sólo las tres cotidianas.



Como curiosidad, sobre la medida del número de partículas en un estado de Fock:
De acuerdo con la mecánica cuántica el número de partículas de un sistema cuántico, en un estado físico totalmente general, no tiene por qué estar bien definido resultando posible al hacer una medida del número de partículas diferentes resultados. Sin embargo, en ciertos casos el sistema puede tener un estado físico peculiar en el que el número de partículas sí esté totalmente bien definido, los estados en los que eso sucede son precisamente los estados de Fock.