Sobre fractales y algo más / About fractals and more

El estudio de un sencillo fractal nos lleva a generalizar una característica esencial que nos permite relacionar a cualquier fractal isotrópico, sea cual sea su dimensión y el escalar que lo representa, con su dependencia con la distancia entre dos de sus puntos. Esto aplicado al estudio de las fluctuaciones de energía del vacío (suponiendo su estructura fractal) nos lleva a sospechar que la especial geometría dimensiones ordinarias/enrolladas, que supone la teoría de supercuerdas, tuvo un papel crucial en la propia naturaleza del cuanto de acción.

The study of a simple fractal leads us to generalize an essential characteristic that allows us to relate to any isotropic fractal, whatever its dimension and the scalar that represents it, with its dependence with the distance between two of its points. This applied to the study of the energy fluctuations of the vacuum (assuming its fractal structure) leads us to suspect that the special geometry ordinary/compacted dimensions, which supposes the theory of superstrings, had a crucial role in the nature itself of the quantum action.

 Desde el principio impresiona la simplicidad y la potencia del concepto de fractal: se construyen con una mínima información, que constituye la esencia de su estructura, y una infinidad de repeticiones gobernadas por esa información (fractal y prefractal).

 

Primera iteración

Un fractal clásico es la llamada curva de Koch, de la que aquí vemos la primera iteración, que resulta de sustituir un segmento de longitud AE por los cuatro segmentos AB, BC, CD y DE. Sobre cada uno de los cuatro segmentos se va repitiendo la misma estructura y obtenemos esta figura en la sexta iteración:

Sexta iteración

 Una figura de una complejidad asombrosa que se ha construido a partir de una serie de repeticiones que siguen la misma tónica que nos indica la primera: a partir de un simple segmento de longitud 3 sustituido por cuatro segmentos, tal como nos indica la primera iteración, de longitud total 4.

El segmento inicial está inmerso en una dimensión, una línea recta, los cuatro segmentos que lo sustituyen trascienden esa dimensión para expresarse ya en dos dimensiones. De hecho, la relación entre esa distancia inicial de valor 3 y la final de valor 4 va a definir la llamada dimensión fractal de la figura resultante. En este caso será (log 4) / (log 3), que da un valor 1,26186: el fractal es capaz de cubrir una dimensión de ese valor, es decir entre una línea y un plano.

Es interesante resaltar que la distancia en línea recta (en una dimensión) entre A y E es de 3, mientras que sobre el fractal (a través del plano) sería de 4. La relación entre estas cantidades y la dimensión fractal (Df) podemos escribirla de otra forma:

              4 = 3^Df, que es lo mismo, de otra forma, que escribir Df = log4/log3.

Esto nos está diciendo que la distancia recorrida sobre un fractal (4) es la mínima distancia (3) elevada al valor de la dimensión de dicho fractal. Esta forma veremos que es mucho más interesante para analizar la dependencia espacial de un fractal con la distancia. Porque lo que hablamos para un fractal tan sencillo, de dimensión topológica la unidad, lo podremos generalizar para fractales de dos o tres dimensiones topológicas y de otras cantidades escalares diferentes a las líneas, superficies o volúmenes. El paso previo será generalizar la dimensión fractal a lo que podremos llamar dimensión fractal relativa.

Dimensión fractal relativa: Observando la curva de Koch, como ejemplo de un fractal clásico, podemos decir que su dimensión fractal es:

               Df = 1 + 0,26186 = Dimensión topológica + Coeficiente dimensional

Pues la dimensión topológica de una línea es la unidad, y el coeficiente dimensional que se le suma es tanto mayor cuanto más irregular es el fractal. Si a esta expresión la dividimos por el valor de la dimensión topológica obtenemos la dimensión fractal relativa (que en realidad es un valor adimensional):

         (A)    Dfr. = (Dim.Top. + Coef.) / (Dim.Top.) = 1 + Coef./ Dim.Top.

Al final observamos que obtenemos, para cualquier fractal, una expresión equivalente a la que teníamos para una sencilla curva fractal (siempre que sea isótropo, pues estamos reduciendolo a un fractal semejante de dimensión topológica la unidad).

En general tendremos que el escalar que representa el fractal que estemos estudiando, llamémosle Ef será igual a la distancia implicada elevada a la dimensión fractal relativa, Dfr.    

 Con el descubrimiento del cuanto de acción, nos dimos cuenta de que el vacío se llenaba de la llamada energía del vacío, de fluctuaciones cuánticas de energía …

http://www.elementos.buap.mx/num53/htm/52.htm :

” el principio de incertidumbre establece que las fluctuaciones cuánticas del vacío están acotadas y dependen del inverso de la distancia: esa es la razón de que observemos el vacío transparente y maravillosamente vacío. Conforme aumenta la distancia las fluctuaciones del vacío son más pequeñas; así podemos disfrutar de todo el mundo que nos rodea, del sol, de los más preciosos paisajes y, en las noches estrelladas, recrearnos en la observación del inmenso firmamento”.

 Un supuesto: La estructura de la energía de las fluctuaciones del vacío tiene estructura fractal.

 Hemos visto que la curva de Koch viene determinada por la distancia en línea recta y la distancia recorrida sobre el plano, según la iteración primera. La distancia mínima (3) elevada al exponente Dimensión fractal nos da el valor de la distancia recorrida sobre el fractal representada por el escalar 4. La energía de las fluctuaciones del vacío depende del inverso de la distancia, es decir que la distancia está elevada al exponente -1. Dicha energía será el escalar que necesitamos para definir la estructura del propio vacío.

  

La expresión (A) la podemos escribir más fácilmente, cambiando cada concepto por letras griegas:

(1)  D/ δ = (δ + ε) / δ   : D= Dim.fractal;  δ= Dim.topológica;   ε= coef. Dimensional o de arrugamiento.   

http://www.comprendamos.org/alephzero/74/vacio_cuantico_y_las_dimensiones_enrolladas.html :

“El factor negativo, que supone una resta de dimensiones, me hizo pensar en las dimensiones enrolladas previstas por la teoría de supercuerdas, la más prometedora teoría que trata de unificar las cuatro interacciones fundamentales: gravedad, electromagnetismo, fuerza débil y fuerte. Dicha teoría necesita de 9 dimensiones espaciales para ser consistente, y dado que sólo conocemos 3, se ha especulado con la existencia de otras 6 que, supuestamente, estarían “enrolladas” sobre si mismas, compactadas alrededor de un radio extremadamente pequeño (del orden de la longitud de Planck,10-35metros). Así para distancias mucho mayores que ese radio sólo serían perceptibles las 3 dimensiones ordinarias.

En cierta forma, para esas distancias, el número de dimensiones enrolladas se resta al total de las topológicas para dejar tan sólo 3 dimensiones aparentes. Una operación contraria al efecto de la dimensión del factor de arrugamiento (coeficiente dimensional), que se suma a la dimensión topológica.

En la expresión (1) si hallamos el cociente D/δ para un Universo con el mismo número de dimensiones enrolladas que la dimensión del factor de arrugamiento (transformación: δ --> δ − ε), encontramos la expresión siguiente:

(2) D/δ = (δ) / (δ - ε). Para ε = 6, δ =3, el cociente D/δ toma el valor -1 de forma natural y lógica. Sin dimensiones enrolladas el factor ε = 6 supone una dimensión fractal 9 y una dependencia de la energía de las fluctuaciones con la raíz cúbica de la distancia (D/δ = 3). El efecto de las dimensiones enrolladas (en el momento que quedó configurado geométricamente el universo y el propio cuanto de acción) la corrige hasta dejarla dependiente del inverso de la distancia, lo que repercute en la forma en que advertimos el vacío cuántico: completamente vacío y estable.

Para un universo con un número de dimensiones enrolladas (coeficiente dimensional negativo) igual a la dimensión del factor de arrugamiento (coeficiente positivo) de la energía de las fluctuaciones, se consigue la estabilización de esta energía que de otra forma dependería de la raíz cúbica de la distancia y no de su inverso. El vacío y toda la materia que contiene estarían deformados y serían inestables.”

Estructuras disipativas, método científico y entropía

De la interacción con nuestro entorno intercambiamos materia y obtenemos energía y conocimiento en bruto que después convertimos en ciencia y tecnología. La vida, los ecosistemas y, en cierta forma, las propias sociedades humanas son un tipo especial de estructuras llamadas disipativas que obtienen orden (disminuyen su entropía) a costa del entorno. Son estructuras abiertas que aumentan su información útil a partir de la información exterior. En el límite, este fenómeno es el que lleva a la ciencia a confirmar con experimentos la veracidad de sus teorías

Estructuras disipativas
En el equilibrio o cerca de él, no se produce nada interesante, todo es lineal. Cuando pueden ocurrir cosas sorprendentes es lejos del equilibrio: si llevamos un sistema lo bastante lejos del equilibrio, entra en un estado inestable con relación a las perturbaciones en un punto llamado de bifurcación. A partir de entonces la evolución del sistema está determinada por la primera fluctuación, al azar, que se produzca y que conduzca al sistema a un nuevo estado estable. Una fluctuación origina una modificación local de la microestructura que, si los mecanismos reguladores resultan inadecuados, modifica la macroestructura. Lejos del equilibrio, la materia se autoorganiza de forma sorprendente y pueden aparecer espontáneamente nuevas estructuras y tipos de organización que se denominan estructuras disipativas. Aparece un nuevo tipo de orden llamado orden por fluctuaciones : si las fluctuaciones del ambiente aumentan fuera de límite, el sistema, incapaz de disipar entropía a ese ambiente, puede a veces "escapar hacia un orden superior" emergiendo como sistema más evolucionado.

En estos nuevos tipos de estructuras y orden se basan la vida, la organización de un termitero, los ecosistemas y las propias organizaciones y sociedades humanas. Pero lo más importante es que este nuevo orden en el que el determinismo y el azar se llevan de la mano si que es un universal. Estas estructuras, al igual que la vida no aparecen y progresan por pura casualidad o accidente como se creía.


El método científico como límite del intercambio de información con el entorno.
Como comentaba en el post anterior, nuestros genes transportan una información preciosa conseguida del entorno a través de millones de años de intercambio y evolución. Nacemos, casi, como una hoja de papel en blanco, y a partir de entonces seguimos aprendiendo de nuestro exterior. De nuestros padres, de las demás personas y seres, del comportamiento de los otros, de todo lo que nos pasa y de la información que nos llega. Lo externo, como un todo, nos hace como somos. A la ciencia como estructura, en cierta forma le pasa igual. A través del método científico necesita, para avanzar, contrastar las teorías mediante experimentos que confirmarán o no su adecuación a la realidad. En ese sentido desde la menor prueba al mayor de los experimentos, son la forma de interactuar con el entorno para ganar en orden, información y complejidad. Experimentos tan formidables como los que se están realizando, o se realizarán, con el LHC nos permitirán confirmar un montón de teorías y suposiciones, o nos ayudarán a concebir otras nuevas, que seguirán cambiando nuestra sociedad y a nosotros mismos en un baile sin fin en la escala de la complejidad.


Y en ese curioso "baile", incluso si llega a ocurrir lo que se ha llegado a denominar "La singularidad" (singularidad tecnológica), la aparición de los ordenadores ultralistos (máquinas "más inteligentes que los seres humanos") como cuenta el artículo de 1993 escrito por el ingeniero informático y escritor de ciencia ficción Vernor Vinge, en el que sostiene que la aceleración del progreso tecnológico nos ha llevado "al borde de un cambio comparable a la aparición de la vida humana en la Tierra", la esencia no cambiará. En el hipotético futuro en el que las supermáquinas inteligentes o cualquier supercivilización nos supere, seguirá necesitando de su entorno para aprender y aprender cada vez más, seguirán necesitando contrastar sus hipótesis con la realidad y confrontando su tecnología con esa misma realidad.

Reflexiones: multiversos, espespacio-tiempo, mito
¿Hasta cuando? Hay un límite, nuestro universo no es infinito y su final será la llamada muerte térmica, la uniformidad total de la que ya no se podrá extraer ni energía ni información, el estado de máxima entropía y máximo desorden. Aunque haciendo una suposición más de ciencia ficción que de ciencia, antes de llegar a esto es de suponer que alguna de las civilizaciones más avanzadas habrá aprendido todo lo que se puede aprender sobre las leyes físicas de este universo, y podría tener una tecnología capaz de llevarla a otros universos en estados menos degradados (suponiendo que vivimos en un multiverso).


Entre todo esto, una reflexión más: seguimos suponiendo el espacio y el tiempo como el contenedor fundamental de todo lo que es y acontece en el universo (multiverso), pero las dos teorías física más formidables con las que contamos, la relatividad general y la mecánica cuántica y sobre todo su incipiente fusión a la que llamamos gravedad cuántica, nos cuentan que ni el espacio ni el tiempo son las entidades fundamentales que creemos sino que dimanan de otra puramente cuántica subyacente. El universo, el nuestro, tuvo un principio, pero ¿ el multiverso si existe tuvo un principio o siempre estuvo ahí? Es más, ¿tiene sentido seguir hablando en términos de tiempo y espacio, tal como los conocemos, sabiendo que hay alguna entidad cuántica más fundamental de la que emanan?

Primero fue el mito para explicar la realidad que no entendíamos, le han seguido la filosofía y la ciencia, y conforme avanzamos con ella nos va adentrando en un mundo que cada vez nos parece más mítico y menos real. Caminamos como un ciego que sólo cuenta con su inteligencia y su metódico bastón científico, y vivimos tiempos de grandes cambios que, espero, pronto (1) nos darán una nueva bella teoría sobre gravedad cuántica que nos ayude a entender mejor este mundo y a nosotros mismos. Un abrazo.

(1) Soy muy optimista.
La primera figura (estructuras disipativas) está tomada del estupendo blog "Hombres que corren con lobos"

Un amigo nos comenta sobre el interesantísimo cuento de Isaac Asimov:" La última pregunta". Os lo recomiendo.

Reedición del post del mismo nombre de 2016. Un abrazo amigos.

Diez dimensiones, supercuerdas y fractales

Uno de los post más visitados, con casi 6.000 visitas (contabilizadas sólo en 2007), fue este que vuelvo a publicar. Espero que a los nuevos visitantes os guste y a los más antiguos también. En este post se supone la hipótesis fractal para la energía de las fluctuaciones cuánticas. 

Al respecto es importante repasar el concepto de estructura fractal de Kenneth Falconer en su obra titulada “Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications”, en 1990. En ella describe un concepto de estructura fractal ‘F’ como la que satisface alguna(s) de las propiedades siguientes:

(1).- “F” posee detalle a todas las escalas de observación;

(2).- No es posible describir “F” con Geometría Euclidiana, tanto local como globalmente;

(3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística;

(4).- La dimensión fractal de “F” es mayor que su dimensión topológica;

(5).- El algoritmo que sirve para describir “F” es muy simple, y posiblemente de carácter recursivo.

Según este concepto, la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacíotendría estructura fractal. A continuación seguimos con el post que vuelvo a publicar: 

La teoría de supercuerdas predice que la unificación de todas las fuerzas ocurre a la energía de Planck, o 10¹⁶ miles de millones de electronvoltios ( mil billones de veces mayor que las energías de que disponemos en los aceleradores actuales). Esto significa que la verificación experimental de la misma escapa a nuestras posibilidades y a las que nos podría brindar un futuro previsible y supone que la teoría decadimensional ( tres dimensiones ordinarias+ seis compactadas + el tiempo) no es verificable directamente .Sin embargo puede haber alguna forma de verificación indirecta. En muchas universidades los físicos están tratando de diseñar experimentos que nos delaten su presencia, pero es posible que su impronta haya quedado reflejada en la propia naturaleza del cuanto de acción, y las fluctuaciones cuánticas del vacío nos puedan decir algo determinante al respecto.

Benoit Mandelbrot decía que la geometría fractal nos enseña a observar este viejo mundo con unos nuevos ojos. La existencia del cuanto de acción que está íntimamente unida a la propia naturaleza de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío obliga a que su estructura sea discontinua, escalonada, fractal, por ello la geometría fractal puede enseñarnos algo que antes no podíamos ver.

Mandelbrot, se preguntaba cual era la longitud de una costa y observaba que esa longitud dependía de la unidad de medida que se adoptara para medirla. Si la unidad es de 5 km. la longitud nos da un valor, pero si la unidad es de 100 metros nos encontramos con un resultado mucho mayor, y conforme hacemos más pequeña la unidad de medida nos podremos adaptar mejor a las irregularidades y obtendremos un valor aún mayor. En el caso de una costa fractal ideal, podremos disminuir cuanto queramos la unidad de medida y acabaremos obteniendo un valor infinito.

Mandelbrot

En las fluctuaciones ocurre algo similar, pero nos encontramos que para una determinada distancia D su valor es del orden de E, mientras que para una distancia 4D será del orden de E/4 y así hasta llegar a distancias muy grandes, por ejemplo 10 000 D, en que la energía implicada es muy pequeña, del orden de E/10 000. Es como si al medir la distancia de costa entre Barcelona y Valencia nos encontráramos que es muchísimo menor que la distancia de costa entre nuestros dos pies cuando paseamos por la playa.

La Universidad de Chile (2004), en su revista Ciencia Abierta , me publicó el artículo “ Estabilización del vacío cuántico y dimensiones enrolladas”, ( después otros dos más completos) sobre la posibilidad de que el estudio de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío nos estuviera evidenciando, indirectamente, la existencia de las 6 dimensiones enrolladas que necesita la teoría de supercuerdas. Los cálculos parecen indicar que en el estado en que se adoptó la configuración de 3 dimensiones ordinarias y 6 enrolladas, debió decidirse la propia naturaleza del cuanto de acción.

De ser correctos los resultados significarían una evidencia de la existencia de las 10 dimensiones que necesita la teoría de supercuerdas para ser considerada una realidad plena.

Todo parece formar parte, en cierta manera, de una sola realidad: 10 dimensiones, supercuerdas y fractales.

Un abrazo amigos!!!