El ritmo justo del azar

El azar, el puro azar tiene su "ritmo" justo de cambio. Ni más, ni menos. Lo podremos "tentar" ofreciéndole más y más grados de libertad ... él los tomará, pero no conseguiremos ni retrasar, ni acelerar su ritmo bajo ningún concepto. Siempre seguirá fiel a sus "principios", que básicamente son muy sencillos. En cierta forma nos está dando una lección que deberíamos aprender. Referido al movimiento browniano y a su capacidad de recubrir dos dimensiones. Cuando lo trasladamos a dimensiones superiores sigue desplazándose por todas las dimensiones posibles, pero sólo es capaz de seguir recubriendo dos, contra lo que podría parecer.

Cada vez que lanzamos una moneda al azar puede salir cara o cruz, independientemente del resultado que hayamos obtenido en un lanzamiento anterior. Así de simples son las leyes que rigen el puro azar.


A partir de los resultados que vayamos obteniendo en sucesivos lanzamientos podemos confeccionar una tabla como la de la figura, que se corresponde con una tanda de 100 lanzamientos. Esta tabla y la que vamos a considerar, que en general puede contener miles de resultados es algo estático, sin movimiento, pero nos ayudará a desentrañar los entresijos del movimiento al azar que llamamos movimiento browniano, en honor al naturalista escocés Robert Brown que lo observó a principios del siglo XIX, cuando estudiaba suspensiones en el agua de granos de polen y esporas de musgos. Es un movimiento en zig zag, arbitrario, hacia cualquier dirección posible de desplazamiento.

A partir de una tabla, como la de la figura, tomaremos parejas consecutivas de unos y ceros.La primera parte de la pareja será la x y la otra la coordenada y. Los unos significarán "avanza 1" y los ceros querrán decir "retrocede 1". En un plano partiremos del punto (0,0) y conforme vayamos traduciendo la tabla a movimientos en el plano estaremos representando el movimiento aleatorio que hemos llamado browniano.



Azar y dimensión fractal
En un movimiento lineal cada uno de los puntos de su trayectoria viene definido por un solo número que nos indica su distancia al origen, se habla de que tiene una dimensión (el largo). En un plano necesitamos dos números para identificar cada uno de sus puntos, las coordenadas x/y o el largo y el ancho, por lo que decimos que tiene dos dimensiones. El movimiento browniano, como movimiento lineal que es tiene dimensión topológica 1, pero asombrosamente es capaz de recubrir el plano, de llenarlo. De ahí que digamos que su dimensión como fractal sea 2, porque es capaz de recubrir un espacio de dimensión 2. A las figuras tan tortuosas e intrincadas como este movimiento aleatorio, Benoit Mandelbrot las llamó fractales, del latín "fractus" que significa fracturado o roto, discontinuo.Y este movimiento es, sin lugar a dudas, muy buen representante de esta nueva categoría de objetos geométricos omnipresentes en la naturaleza.

Cada momento el movimiento aleatorio avanza o retrocede en sus coordenadas x ó y, independientemente de lo que hiciera en el instante anterior, tiene absoluta libertad para desplazarse a través de cada una de las coordenadas. Esta idea se tiende a trasladar cuando el movimiento ocurre en un espacio de tres dimensiones como nuestro espacio ordinario, o de más dimensiones, y es correcta. De la misma forma tendemos a pensar que, también, en un espacio tridimensional el movimiento browniano será capaz de llenarlo, o cubrirlo, por completo. Esa es la idea que tenía yo al empezar a estudiarlo y la idea que ha tratado de defender algún lector, en alguna ocasión, a capa y espada, pero como demostraremos es una idea equivocada.

La magia del número 2
El valor 2 que caracteriza la dimensión fractal de este movimiento, también se puede definir de una manera muy intuitiva: necesita realizar N² pasos para alejarse de un punto cualquiera de referencia, sólo, N pasos efectivos. En tres dimensiones debería efectuar N³ pasos totales para alejarse, sólo, N pasos efectivos, pero como veremos eso no depende del número de dimensiones o grados de libertad sino de una característica independiente de las propias del espacio en que se mueve. Para demostrar esto nos fijaremos en la definición intuitiva que relaciona la distancia total con la efectiva.


La distancia total que recorre la partícula animada por un movimiento browniano es proporcional al número de pasos N, sin embargo la distancia efectiva se encontraría después de sumar los desplazamientos positivos y negativos. Para definir el resultado de esa suma existe una medida de dispersión apropiada que llamamos desviación típica, que para la distribución binomial con la que se corresponde el azar como lo hemos considerado resulta ser la raíz_cuadrada(N/4), pues es igual a raíz_cuadrada(Npq), siendo n = p = 1/2, ya que la posibilidad de que salga 0 ó 1 es la misma, y su suma debe ser la unidad.

Después de N pasos, la distancia efectiva para cada dimensión, considerada independiente, será raíz_cuadrada(N/4). Si consideramos 3 dimensiones la distancia efectiva será raíz_cuadrada(3 N/4). Esta magnitud la comparamos con la distancia total recorrida después de los N pasos: N raíz_cuadrada(3). Para N suficientemente grande sólo resulta significativa la comparación entre N y raíz_cuadrada de N, independientemente de que multipliquemos los dos términos por 3, 4, 5, ... d, cualquiera que sean las dimensiones del espacio considerado. De la comparación anterior resulta el valor de 2 de su dimensión fractal, o la consideración de realizar N² pasos totales para sólo conseguir N efectivos.

Recapitulando
El movimiento browniano sólo es capaz de recubrir un espacio de 2 dimensiones (un plano). En un espacio de 3 ó más dimensiones su "ritmo" de distanciamiento de cualquier punto arbitrario, que consideremos como referencia, no es lo suficientemente "lento" para poderlo recubrir. Para recubrir un espacio de 3 dimensiones su ritmo de distanciamiento debería ser de N³ pasos totales para recorrer sólo N (dimensión fractal 3), para un espacio de 4 dimensiones serían N⁴ pasos totales para sólo N efectivos, y así sucesivamente. Sin embargo, el ritmo del movimiento lo imprime la desviación típica de la distribución binomial, que no depende de la dimensión del espacio, y cuyo valor es invariablemente igual a la raíz_cuadrada (N/4). Por eso, sea cualquiera el espacio considerado con tres o más dimensiones la dimensión fractal del movimiento browniano seguirá siendo 2. Para aumentar la dimensión fractal del movimiento deberíamos conseguir que cada nuevo paso tuviera "memoria" del resultado de los pasos anteriores y así disminuir su "ritmo" de alejamiento. Es como si en una carrera de 2 Km. nos obligaran a cumplimentar 200 tareas diferentes a lo largo de diferentes puntos del trayecto. Para una cierta velocidad conseguimos cumplimentar sólo 100 tareas y nos damos cuenta que para cumplimentar las 200 debemos disminuir el ritmo, o de lo contrario será imposible. De la misma manera el azar tiene su "ritmo" y ese ritmo sólo le permite recubrir un plano, no un espacio de 3 ó más dimensiones.

Cuántica fácil (II).Lo clasico y lo cuantico, ecuación de Schrödinger y unificación

La resistencia a la compresión de los átomos, al contrario de lo que pueda parecer, es un efecto cuántico. Al comprimir un material, los átomos cada vez están más próximos y se obliga a confinar a sus electrones en regiones cada vez más pequeñas. Al disminuir el espacio, por el principio de incertidumbre, los electrones reaccionan moviéndose cada vez más rápido ( la variación de [espacio] más pequeña implica que el producto [masa] x [velocidad] sea más grande), lo que conlleva una mayor energía cinética. Se necesita una energía cada vez mayor para continuar comprimiendo los átomos. Consecuencia: la resistencia a la compresión por parte de los átomos es un efecto cuántico y no clásico. Curiosamente, la propia cohesión de la materia no se puede explicar con la física clásica. Atendiendo a principios puramente clásicos la estabilidad de la materia que conocemos sería, practicamente, imposible. ( Ver)

La ecuación de Schrödinger
De acuerdo con el principio de incertidumbre, las partículas no tienen posiciones y momentos bien definidos. En general, esta teoría no predice un único valor como resultado de una medida. En su lugar, predice un conjunto de posibles resultados cada uno con una cierta probabilidad. El comportamiento de una partícula viene descrito por la función de onda asociada, que, a su vez, está relacionada con la probabilidad de que la partícula esté en un estado determinado. La ecuación de Schrödinger proporciona un método para determinar estas probabilidades. Si en un momento dado, conocemos la función de ondas, la ecuación de Scherödinger predice su evolución de modo totalmente determinista. El indeterminismo sólo aparece cuando tratamos de medir en qué estado se encuentra la partícula.

Electrodinámica cuántica
Las partículas subatómicas suelen moverse a velocidades próximas a la luz, por lo que su descripción cuántica tiene que ser compatible con la relatividad especial. La electrodinámica cuántica cumple estos requisitos, y suministra unos resultados de una coincidencia extraordinaria con los experimentos en todo lo que se refiere al estudio de la interacción de la luz con la materia o, más específicamente, de la luz con los electrones. En esta teoría, sólo interviene la interacción electromagnética, que es la que juega un papel relevante. Una de las grandes predicciones de esta teoría fue realizada en 1929 por Dirac sobre la existencia de la antimateria.


Unificación
La mecánica cuántica ha conducido a una visión más unificada al considerar las partículas y los campos, como el gravitatorio y el electromagnético. Cuánticamente, la energía y el momento del campo electromagnético vienen en paquetes (cuantos), que denominamos fotones, y que se comportan como partículas, aunque sin masa en reposo. En el caso del campo gravitatorio, los cuantos se llaman gravitones. La distinción entre fuerza y materia (partículas de fuerza o bosones y de materia o fermiones(*)) se ha hecho menos rígida; cualquier partícula puede utilizarse como cuerpo de prueba sobre la que actúan las fuerzas y, recíprocamente, puede actuar como partícula mediadora dando lugar a fuerzas.

Sin embargo existe una dificultad para unificar la gravitación con las otras tres fuerzas, pues el principio de incertidumbre no se ha logrado incorporar a la formulación de la interacción gravitatoria (su cuantificación da lugar a la aparición de infinitos). Como paso previo se necesita combinar la relatividad general, que es la teoría más completa sobre la gravitación, con dicho principio. Esta combinación puede hacer que desaparezca la singularidad predicha por la relatividad general en el origen del Universo y que los agujeros negros permitan que algo pueda escapar de su interior (gravedad cuántica). Una teoría en que se combine la cuantización con la gravedad, requiere de un espaciotiempo tanto deformable como probabilístico, lo que se ha hecho difícil de poder concretar. En la teoría de las supercuerdas, la fusión es lograda imaginándose que el último eslabón de la materia está constituido por diminutas cuerdas. En la teoría de la gravedad cuántica de lazos, la fusión es intentada imaginándose que el espacio en sí mismo consiste en diminutos lazos móviles. Se ha considerado la posibilidad de que el espaciotiempo sondeado a diminutas escalas de longitud esté cuantizado en discretos y diminutos volúmenes semejantes a pliegues conformados por pequeños lazos.

En palabras del propio Einstein:" Pensamientos e ideas, no fórmulas, constituyen el principio de toda teoría física. Las ideas deben, después, adoptar la forma matemática de una teoría cuantitativa, para hacer posible su confrontación con la experiencia". Detrás de cualquiera de las ideas válidas que nos harán avanzar, se encuentran principios de simetrías. Estos principios permiten establecer que las leyes de la física no dependen de la orientación ni de la posición. Las leyes deben adoptar la misma forma para observadores que se muevan o no a velocidad constante, sea cual sea su sistema de referencia.La teoría final del todo descansará en principios complejos de simetría capaces de unificar las cuatro interacciones y la mecánica cuántica.

(*)Las partículas de fuerza o bosones se llaman así en honor de Satyendranath N.Bose. Los fermiones o partículas de materia deben su nombre a Enrico Fermi.