Fractales "superdensos" e ... "invisibles"

Super dense and invisible fractals

Fractal de Mandelbrot.Wikipedia

Sobre trayectorias:Una trayectoria clásica, tal como la hemos estudiado en la escuela, es una línea y su dimensión es la unidad. Una trayectoria fractal, como pueda ser la correspondiente a un movimiento browniano, puede tener una dimensión mucho mayor que la unidad. De hecho el movimiento browniano tiene dimensión fractal 2, es decir, puede "llenar" un plano: precisamente eso es lo más característico de los fractales, aparte claro está de su autosemejanza a diferentes escalas; su dimensión topológica nos dice lo que son, líneas, planos o espacios pero es su dimensión fractal la que nos indica las dimensiones que son capaces de "llenar."

Por eso, la dimensión fractal consta de dos sumandos, uno es la dimensión topológica que en el caso de una línea es la unidad y el otro sumando es un coeficiente dimensional, tanto mayor cuanto más iregular e intrincado sea el fractal. En el caso del movimiento browniano, el coeficiente dimensional es, también, la unidad por lo que su dimensión fractal es 2.

Puede haber trayectorias fractales capaces de ocupar tres dimensiones, con dimensión fractal 3. Es decir, fractales que son líneas pero son capaces de llenar tres dimensiones espaciales. A este tipo de fractales les podríamos  llamar superdensos porque ocupan el triple del espacio topológico del que deberían ocupar. ¡Lo curioso es que, posiblemente, existan algunos de estos fractales que a pesar de ser tan densos e intrincados apenas son visibles, a partir de ciertas distancias!

En el dominio de la teoría de cuerdas:Imaginemos que este universo está regido por la teoría de cuerdas, con tres dimensiones ordinarias y seis compactadas. Es posible que la energía cuántica del vacío sea tan superdensa como la trayectoria que hemos descrito anteriormente y sea capaz de llenar las nueve dimensiones totales (hipotético). De hecho, a primera vista parece todo lo contrario porque debido a la existencia del cuanto de acción la energía del vacío asociada a una distancia es inversamente proporcional a la misma. 

Si consideramos dicha energía del vacío como un fractal, observamos que nos encontramos con la paradoja de que conforme consideramos distancias más grandes el fractal es más pequeño. Aquí podremos leer el artículo sobre el particular en la revista Aleph Zero nº74.

Si la hipótesis es correcta, nos encontramos con un fractal de dimensión nueve, cuando su dimensión topológica es tres (la energía es espacial), pero su apariencia de vacío esconde un fractal superdenso. En tres dimensiones su valor es proporcional al inverso de la distancia, pero en nueve puede llegar a ser mucho mayor (proporcional a la distancia).

De hecho, como ocurre en el movimiento browniano, cada n pasos efectivos significan n^2 totales. El log n^2/ log n = 2, da la dimensión fractal del movimiento, donde el log. del numerador es el valor observado en 3 dimensiones y el log, del denominador es el observado en una dimensión. En nuestro caso, de la energía de las fluctuaciones cuánticas, el valor del numerador es el "observado" en 9 dimensiones (n*Ep) y el del denominador el observado en nuestras tres dimensiones ordinarias (Ep/n). Arriba es proporcional a la distancia y abajo inversamente proporcional, siendo Lp la longitud de Planck, n= distancia/Lp y Ep la energía de Planck: el resultado de la dimensión fractal  es -1 (del orden de log n /log 1/n). Lo que permite un vacío muy denso en distancias pequeñas e invisible a las distancias ordinarias y cósmicas.

Esta hipótesis más comprensible en: Revista Elementos Universidad Puebla

En inglés (traslate Google):

Super dense and invisible fractals

About trajectories : A classic trajectory, as we have studied it in school, is a line and its dimension is unity. A fractal trajectory, such as the one corresponding to a Brownian motion, can have a dimension much greater than unity. In fact, Brownian motion has fractal dimension 2, that is, it can "fill" a plane: this is precisely what is most characteristic of fractals, apart of course from their self-similarity at different scales; their topological dimension tells us what they are, lines, planes or spaces, but it is their fractal dimension that tells us the dimensions they are capable of "filling."

For this reason, the fractal dimension consists of two addends , one is the topological dimension, which in the case of a line is unity and the other adding is a dimensional coefficient, the greater the more irregular and intricate the fractal is. In the case of Brownian motion, the dimensional coefficient is also unity, so its fractal dimension is 2.

There may be fractal trajectories capable of occupying three dimensions, with fractal dimension 3. That is, fractals that are lines but are capable of filling three spatial dimensions. We could call these types of fractals superdense because they occupy three times the topological space that they should occupy. The funny thing is that, possibly, there are some of these fractals that, despite being so dense and intricate, are hardly visible, from certain distances!

In the domain of string theory : Let's imagine that this universe is governed by string theory, with three ordinary dimensions and six compact ones. It is possible that the quantum energy of the vacuum is as superdense as the trajectory we have described above and is capable of filling all nine dimensions ( hypothetical ). In fact, at first glance it seems the opposite because due to the existence of the quantum of action, the vacuum energy associated with a distance is inversely proportional to it. 

If we consider this vacuum energy as a fractal, we observe that we find ourselves with the paradox that as we consider larger distances the fractal is smaller. Here we can read the article on the subject in Aleph Zero magazine nº74 .

If the hypothesis is correct, we find a fractal of dimension nine, when its topological dimension is three (the energy is spatial), but its appearance of emptiness hides a super dense fractal. In three dimensions its value is proportional to the inverse of the distance, but in nine it can be much higher (proportional to the distance).

In fact, as in Brownian motion, every n effective steps means total n ^ 2. The log n ^ 2 / log n = 2, gives the fractal dimension of the movement, where the log. of the numerator is the value observed in 3 dimensions and the log, of the denominator is the observed in one dimension. In our case, of the energy of quantum fluctuations, the value of the numerator is the "observed" in 9 dimensions (n ​​* Ep) and that of the denominator is the one observed in our three ordinary dimensions (Ep / n) . Up is proportional to distance and down is inversely proportional, where Lp is Planck's length, n = distance / Lp and Ep is Planck's energy: the result of the fractal dimension is -1 (of the order of log n / log 1 / n ). This allows a very dense vacuum at small distances and invisible at ordinary and cosmic distances.

This hypothesis is more understandable in : Magazine Elements Puebla University

Espacios con dimensiones compactadas, una hipótesis

¿La geometría que relaciona las 3 dimensiones ordinarias con las 6 dimensiones compactadas, según la teoría de cuerdas, pudo configurar la propia naturaleza del cuanto? La hipótesis de la naturaleza fractal de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío parecen indicarlo.

Could the geometry that relates the 3 ordinary dimensions with the 6 compacted dimensions, according to string theory, configure the very nature of the quantum? The hypothesis of the fractal nature of the energy of the quantum fluctuations of the vacuum seems to indicate this.

“El vacío no es el estado de energía cero. Es simplemente un estado de mínima energía”.

Nacimiento del Universo de la nada

La masa total del Universo cerrado es igual a cero: Esto significa que todo el Universo puede surgir sin gastos de energía. Se cumple la ley de conservación de la energía pues la clave está en que la energía del campo gravitatoria es negativa, mientras que la energía de la materia es positiva. La energía total es igual a cero.

El nacimiento y posterior expansión del Universo fue a partir de una singularidad inicial parecida, en cierta forma pero al revés en el tiempo, a lo que ocurre en un agujero negro. A partir de una distancia del orden de la distancia de Planck, 10^(-33) centímetros, en donde los efectos cuánticos de la gravedad son decisivos, las fluctuaciones cuánticas del llamado campo del punto cero (vacío cuántico), descritas como “espuma” del espacio-tiempo por el famoso físico norteamericano J.A.Wheeler, fueron la semilla de nuestro inmenso Universo.

El paisaje cósmico

Según expone Leonard Susskind en su libro “Paisaje cósmico/Teoría de cuerdas y el mito del diseño inteligente”, existe una especie de paisaje teórico poblado por unos 10^500 posibles vacíos con sus leyes diferentes. Esta extensa variedad predicha por la teoría de cuerdas, es la única explicación conocida de las propiedades extraordinariamente especiales de nuestro Universo que permiten nuestra propia existencia.

La historia observable de nuestro Universo empezó hace unos 14.000 millones de años en un punto del “paisaje” con una densidad de energía suficiente para “inflar” (inflación, Paul Steinhardt) nuestra región de espacio hasta multiplicarla por 10^20 (y seguramente es una enorme subestimación). Se convirtió energía potencial en calor y partículas, proceso que se llama recalentamiento.

Esa inmensidad de posibles vacíos, tienen leyes diferentes incluso -es de suponer- cuantos diferentes y diferente número de dimensiones. De hecho, partiendo de un vacío inicial con 9 dimensiones compactadas, tuvo que existir un estado en que quedó determinada la energía y la masa tridimensional, tal como las conocemos, e incluso la propia naturaleza del cuanto (de acción). Es posible, incluso, que dicha naturaleza tuviera un origen en la propia geometría que adoptó nuestro universo, es decir con tres dimensiones ordinarias y otras 6 compactadas.

¿Una geometría del cuanto?

Aunque hasta el momento son meras hipótesis, partiendo de la consideración de que la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío tiene estructura fractal, he encontrado una sencilla expresión que liga la naturaleza del cuanto de acción con la geometría “dimensiones ordinarias/compactadas”.

Tomando el cuanto generalizado como un producto de la energía, en δ dimensiones, por el tiempo elevado a una variable de peso “f”:

Energía(δ) x tiempo^f, donde f tiene el siguiente valor: f = [(δ + ε)/δ ] -2  , siendo δ el número de dimensiones ordinarias y   ε  el número de dimensiones compactadas. 

Una dimensión fractal, aparente, negativa

La dimensión fractal de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío tiene un valor -1, relacionado con el hecho de que es inversamente proporcional a la distancia que se considere: si para un espacio de longitud característica L se halla una energía E, para otro de longitud L/2 la energía asociada será de 2E.

En realidad la energía de las fluctuaciones tiene una dimensión fractal de 9, es decir, aunque su dimensión topológica es de 3, son tan intrincadas que son capaces de cubrir las 9 dimensiones totales, 3 ordinarias más otras 6 compactadas.

Hay unas figuras que he llamado ovillos de Alba, que tienen mucho que ver en como llegué a estos datos. En la serie general de estos ovillos, la primera figura sería un segmento de longitud unidad. La segunda de las figuras, con n=2, sería un rombo de lado 1/2 y perímetro 2. La tercera una especie de trébol de tres hojas (n=3) con lado 1/3 y perímetro 3. Se observa que para n tendiendo a infinito, la figura estará formada por infinitas circunferencias tangentes en un punto a otra circunferencia interior e igual a estas.

 

Estas figuras u ovillos relacionan los valores 1/n y n , y cambian de forma según varía el valor de n. En este primer caso n=6 (seis figuras enlazadas), si hacemos que el valor del lado sea 1/n, el perímetro valdrá n. Para n=6 el lado medirá 1/6 y el perímetro sería: (1/6) x (6x6)= 6. En la siguiente figura, que he representado, n tomará el valor 11 (once figuras enlazadas).

Los ovillos conservan la forma cuando el lado es n (o cualquier potencia positiva o negativa de n), en lugar de 1/n. Pero el nuevo perímetro, para este valor del lado, será n^3. La relación entre perímetro y lado sigue siendo, lógicamente, n^2. Esta relación es la que nos ayudará a encontrar el verdadero valor del fractal energía de las fluctuaciones, porque para hallar la dimensión fractal de un objeto se comparan dos magnitudes, que en las curvas fractales son las distancias de los segmentos básicos que constituyen la esencia del fractal. Como ejemplo veremos un caso sencillo de curva fractal, el movimiento browniano, que es el que siguen las partículas en un líquido cuando son golpeadas, al azar, por las moléculas del líquido que se agitan desordenadamente en función de la temperatura. Si cada golpe es considerado como un paso, para que una partícula se aleje de un punto arbitrario n pasos en línea recta la partícula dará en total alrededor de n2 pasos. 

Dimensión fractal.- Para hallar la dimensión fractal de la curva relacionamos los pasos totales y los efectivos: Dim. fractal = Log (n2)/Log(n)=2. Es decir una curva de dimensión topológica 1, tiene una dimensión fractal 2 que le hace capaz de recubrir un espacio de esa dimensión, es decir un plano. Al valor de su dimensión topológica que llamaremos δ=1 le sumamos un coeficiente dimensional ε=1, la suma (δ + ε) es lo que llamamos dimensión fractal. Además la dimensión fractal nos da la dependencia del fractal con la distancia: En este caso el valor 2 nos indica también la dependencia del fractal con la distancia efectiva o en línea recta, pues para n pasos del fractal la distancia efectiva es n^(1/2) o en general n^(1/Dim.fractal).

La dimensión fractal de la energía del vacío

En el caso de la energía esta relación nos da, también, la dependencia del fractal con la distancia. En los fractales con dimensión topológica mayor que la unidad, a esa relación hay que multiplicarla por la dimensión topológica para hallar la verdadera dimensión fractal. En el caso que nos ocupa  de la energía de las fluctuaciones las magnitudes a comparar son n con n^(-1) o bien n^3 con n. Es decir Log (n)/Log(n^(-1))  o bien Log (n3)/Log(n). El primer caso nos da un valor negativo que debe enmascarar la realidad, tomaremos el segundo que nos da un valor de 3 al que habremos que multiplicar por 3 por ser esta la dimensión topológica de la energía. Es decir, aunque la dimensión topológica de la energía es 3, su dimensión fractal es 9 lo que permite que recubra las 9 dimensiones, las tres dimensiones ordinarias más las 6 compactadas.

En condiciones normales la dimensión fractal relativa será igual a expresión (1): (δ + ε)/δ, donde δ es el número de dimensiones ordinarias y   ε es un coeficiente dimensional que se suma al número δ  para darnos la dimensión fractal. Pero, ¿qué ocurre en un espacio con el número de dimensiones compactadas igual a este coeficiente dimensional?. El coeficiente dimensional suma dimensiones a δ, mientras que las dimensiones compactadas restan.Entonces la expresión (1) cambia dado que  δ→(δ - ε):

La expresión (1) se convierte en: δ/(δ - ε) expresión (2). Esto significa que en nuestro universo con δ=3 y  ε=6, donde ε es igual al número de dimensiones compactadas y al coeficiente dimensional que se suma a la dimensión topológica para formar la llamada dimensión fractal, la dimensión fractal relativa es: expresión (1)= 9/3. Aunque aparenta ser la expresión (2)=-3/6=-1. 

Este sería el caso de nuestro universo, según la teoría de cuerdas, con 6 dimensiones compactadas y otras 3 ordinarias. 

Para saber mucho más: 

Revista Elementos de la Universidad de Puebla

Revista de divulgación Aleph Zero

Mis artículos en Ciencia Abierta, antigua revista de la fac. de Física y Matemáticas de la U.Chile

Estabilidad fractal y restricción de los grados de libertad

Reedición de un post de hace unos seis años. En su momento también fue publicado  en Cienciasfera.org, una iniciativa de la Cátedra de Cultura Científica de la Universidad del País Vasco/EHU. 

Hace unos días, en un viaje familiar a la Provenza francesa, conocí a Javier, un joven físico valenciano, que goza de una beca nada menos que en las instalaciones del reactor nuclear de fusión ITER. El ITER es un experimento científico a gran escala que intenta demostrar que es posible producir energía de forma comercial mediante fusión nuclear. Los participantes en el diseño conceptual de actividades del ITER eligieron esta palabra para expresar sus esperanzas comunes en que el proyecto podría conducir al desarrollo de una nueva forma de energía. ITER significa el camino en latín, y refleja el rol de ITER en el perfeccionamiento de la fusión nuclear como una fuente de energía para usos pacíficos.  Se está construyendo en Cadarache (Francia) y costará 14 000 millones de euros, convirtiéndose en el quinto proyecto más costoso de la historia (Wikipedia).

Para conseguir el objetivo final, energía barata, limpia e inagotable, se simulan los procesos de fusión nuclear que se producen en las estrellas con un plasma de hidrógeno (deuterio y tritio, dos isótopos del hidrógeno) con temperaturas de más de 100 millones de grados, y se necesita dotar de la mayor estabilidad posible dicho plasma.

Reactor de fusión

Aunque es muy posible que el tema fractal y la consiguiente estabilidad relacionada con la restricción de grados de libertad no pueda ayudar en los procesos de estabilización del plasma, me vi tentado a comentarle dicha posibilidad a Javier (al fin y al cabo con soluciones fractales y multifractales se ha podido estudiar la turbulencia mucho mejor que con cualquier otro método). De hecho, la cuestión esencial es la siguiente:

---Dimensión fractal

La dimensión fractal depende de dos factores que se suman: la dimensión topológica y un coeficiente dimensional, tanto más grande como irregular sea el fractal. Así, podemos tener trayectorias fractales (Nota 1) de dimensión 3, mientras que su dimensión topológica sólo es 1 (es una línea). Lo interesante es que las líneas fractales tienen una dependencia muy clara y notable con la distancia (Nota 2) y su forma de distribución espacial. De hecho, simplemente sabiendo que la línea fractal tiene dimensión 3 podemos asegurar que para alejarse de un punto arbitrario del espacio n pasos efectivos el fractal debe desplazarse n³ pasos reales. 

---Dependencia de los fractales con la distancia

Esta dependencia de las líneas fractales con la distancia se puede extender a superficies o a espacios con dimensión topológica mayor de una forma sencilla, siempre que las propiedades del fractal sean lo más isótropas posibles. Para ello dividimos la dimensión fractal del objeto a estudiar por su dimensión topológica y al resultado lo llamaremos dimensión fractal relativa. En cierta forma convertimos al fractal estudiado en una línea fractal, aunque lógicamente la trasformación no conserva las propiedades direccionales o anisótropas del fractal original.

---Estabilización de un fractal con la restricción de grados de libertad (dimensiones)

Vamos a ver un sencillo cálculo sobre todo esto: Imaginemos un fractal con dimensión topológica d y con un coeficiente dimensional e . Su dimensión fractal será:  d + e . Y su dimensión fractal relativa será: 

                  Dimensión fractal relativa = (d + e)/d  (Expresión A).

 

Reactor de fusión ITER

Ahora supongamos que restamos al número de dimensiones topológicas (grados de libertad) un valor igual a e de forma que d se convierte en d - e (nuevo valor de las dimensiones significativas). Entonces, el nuevo valor de la dimensión fractal relativa será (sustituyendo d por d-e):

                 Dimensión fractal relativa = d /(d-e) (Expresión B).   

Hay una diferencia significativa entre la (Expresión A) y la (Expresión B), la primera sólo puede ser positiva pero la segunda puede ser, también, negativa. De hecho, como ejemplo, para el valor de las nuevas dimensiones significativas d igual a e/2, obtenemos que el valor de la Expresión B será -1.

Las expresiones A y B representan la dependencia del fractal (de su magnitud escalar) con la distancia. Como la expresión A siempre es positiva la inestabilidad que representa el fractal cada vez será mayor con la distancia, en cambio la expresión B puede hacerse negativa y eso indica que la inestabilidad, por el contrario, disminuirá con la distancia.

¿En la práctica cómo podemos realizar una reducción de dimensiones? Veremos un ejemplo sumamente sencillo, sólo para esclarecer la cuestión. Imaginemos una tubería cuadrada de (10 cm.) X (10 cm.) por la que circula un flujo de agua. Si de forma gradual disminuimos una de las dimensiones de la tubería y aumentamos la otra (sin variar la sección), podríamos acabar con una tubería, por ejemplo, de (100 cm.) X (1 cm.) Una de las dimensiones, en la práctica y para cierto tipo de fenómenos que se den en espacios mucho mayores de 1 cm, es como si hubiera desaparecido.

 (Nota 1) En sentido estricto no se puede hablar de verdaderas trayectorias, pues no tienen nada que ver con las trayectorias clásicas de los objetos que conocemos.

(Nota 2) B. Mandelbrot :Los objetos fractales. Tusquets Editores, Barcelona, 1987. Ver los primeros conceptos, sobre el cálculo de la dimensión de líneas fractales clásicas. A partir de ese sencillo cálculo se hace evidente 

Más allá de los agujeros negros

Mediante la gravedad cuántica de bucles se ha podido ir más allá en los agujeros negros de lo que se ha llegado en otras teorías físicas. Proporciona cálculos que prueban que las singularidades en el interior de los agujeros negros se eliminan. El tiempo puede continuar más allá del punto en el que la relatividad general clásica predijo que debía terminar y parece que se dirige a unas regiones recién creadas del espacio-tiempo. 

El físico hindú Abhay Ashtekar en 1986 reformuló de modo revolucionario la teoría general de la relatividad, sin introducir información adicional, mediante la mera reescritura de la teoría de Einstein según un nuevo conjunto de variables demostró que se podía derivar, con precisión, lo que es un espacio cuántico. Había nacido la llamada gravedad cuántica de bucles. Consiste en describir un campo haciendo referencia a sus líneas de campo, en ausencia de materia las líneas de campo pueden cerrarse sobre sí mismas formando un bucle. Mientras la teoría de cuerdas consiste en el desarrollo de este concepto en un contexto de fondo fijo de espacio y tiempo, la gravedad cuántica desarrolla una teoría totalmente independiente del fondo, pues las propias líneas del campo describen la geometría del espacio, la forma de secuencias cambiantes que va adoptando. Una vez que las líneas se transforman en mecánico-cuánticas ya no queda ninguna geometría clásica de fondo, la geometría cuántica resultante consiste en un cierto tipo de gráfico que evoluciona mediante cambios locales en su estructura.

El mayor desafío es explicar a partir de ideas tan abstractas cómo emerge el espacio-tiempo clásico. En los últimos años gracias a nuevos procedimientos de aproximación se ha demostrado que la teoría tiene estados cuánticos que describen universos donde la geometría, en una aproximación correcta, es clásica. Recientemente, también se ha descubierto que la gravedad cuántica de bucles predice que dos masas se atraerán la una a la otra exactamente del modo que especifica la ley de Newton.

Mediante la gravedad cuántica de bucles se ha podido ir más allá en los agujeros negros de lo que se ha llegado en otras teorías físicas. Proporciona cálculos que prueban que las singularidades en el interior de los agujeros negros se eliminan. El tiempo puede continuar más allá del punto en el que la relatividad general clásica predijo que debía terminar y parece que se dirige a unas regiones recién creadas del espacio-tiempo. La singularidad es sustituida por lo que se llama "salto del espacio-tiempo". Justo antes del salto se expande hacia el interior de una nueva región que antes no existía (agujeros blancos, tal como conjeturó John Archibald Wheeler).Aplicando cálculos similares al Universo primitivo se han encontrado pruebas de que la singularidad es eliminada antes del Big Bang, lo que significaría que el Universo ya existía antes. Por otra parte, la eliminación de la singularidad ofrece una respuesta natural a la paradoja de la pérdida de información en un agujero negro planteada por Hawking, la información no se pierde, sino que se traslada a una nueva región del espacio-tiempo.

Lo más importante de esta teoría es que es capaz de producir previsiones de observaciones reales que serán confirmadas o no por experimentos, como ha sucedido con la física desde siempre. Es la forma natural de avanzar paso a paso, pisando despacio pero firme para avanzar en la dirección correcta. En este sentido hace poco se han hecho predicciones precisas en relación con los efectos de la gravedad cuántica que podrían ser vistos en observaciones futuras del fondo cósmico de microondas.

(Reedición de un antiguo post, iré añadiendo algunas novedades: Otro enfoque sobre un espacio cuántico, más sencillo, puede ser el determinado por las propias fluctuaciones cuánticas del vacío -->Las fluctuaciones de energía determinan la propia geometría del espacio. No

son simples variaciones sobre un fondo fijo y estable, por lo que analizando su

estructura podremos averiguar algo más sobre la referencia espaciotemporal

que determinan. Por una parte son no diferenciables, hasta el punto de que son la

causa directa de la desaparición del concepto clásico de trayectoria continua en

el vacío. Por otra parte su estructura es auto semejante a cualquier escala --->Seguir leyendo