Una propuesta sobre la energía oscura

A proposal on dark energy

Admitiendo una hipótesis fractal para la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío y suponiendo que dicha energía sea capaz de recubrir las 9 dimensiones espaciales sugeridas por la teoría de supercuerdas...la energía oscura parece emerger de forma natural.

Admitting a fractal hypothesis for the energy of the quantum vacuum fluctuations and assuming that this energy is capable of coating 9 spatial dimensions suggested by superstring theory ... dark energy seems emerge naturally.

Composición cosmológica. Wikipedia

Fractales, el espacio que son capaces de ocupar

Una curva geométrica clásica tiene una dimensión topológica igual a la unidad, pero una curva fractal es capaz de llenar una superficie (dimensión 2) o, incluso, un espacio (dimensión 3). En estos caso se dice que tiene dimensión 2 ó dimensión 3, pues la dimensión fractal nos indica la capacidad que tiene la curva de ocupar un espacio de mayor dimensión a su dimensión topológica .

El que una curva fractal, cuya dimensión topológica es la unidad, sea capaz de ocupar un espacio de  dimensión 3 sería similar al hecho de que la energía del vacío de las fluctuaciones cuánticas (dimensión 3) fueran capaces de ocupar un espacio hipotético de 9 dimensiones (el sugerido por la teoría de supercuerdas). De hecho, la dimensión fractal relativa sería en los dos casos igual a 3.

Un fractal clásico, el movimiento browniano

Y hablando del espacio que es capaz de llenar un fractal, es interesante resaltar la dimensión fractal de un movimiento totalmente aleatorio en el espacio: el llamado movimiento browniano.

Dado que es capaz de cambiar aleatoriamente de dirección y explorar a lo largo de los tres ejes, podríamos aventurar que este tipo de movimiento llegaría  a recubrir un espacio de tres dimensiones, pero no es así. El movimiento browniano tiene dimensión fractal 2 y sólo sería capaz de llenar una superficie, no un plano.

Este movimiento goza de una propiedad muy curiosa. Imaginemos que medimos la distancia que es capaz de alejarse de un determinado punto; descubriremos que si se han dado n2 pasos, la distancia efectiva recorrida sólo será de n pasos. Es decir, la distancia total recorrida es igual a la distancia efectiva elevada a un factor de 2, que es precisamente su dimensión fractal. Esa misma propiedad es posible generalizarla a fractales de dimensión topológica mucho mayor que 1 si son continuos y, razonablemente, isótropos. Precisamente en estos casos la dimensión fractal relativa actúa de la misma forma que la dimensión fractal en las curvas.Volviendo al caso del movimiento browniano, la distancia efectiva está tomada en una dimensión (la línea recta) mientras que la distancia total recorrida está medida sobre el fractal, en las dos dimensiones que es capaz de recubrir.

Aplicando todo esto a la energía de las fluctuaciones del vacío

Si, con lo visto hasta ahora, nos centramos en la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío y suponemos que es capaz de recubrir las 9 dimensiones hipotéticas, que nos plantea la teoría de supercuerdas, encontraremos que la “energía total” es la “energía efectiva” elevada al cubo:  Energ. total = (Energ. efectiva)3  

La energía que hemos llamado “efectiva” es la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío en nuestras 3 dimensiones espaciales y depende del inverso de la distancia. A las distancias de nuestra vida cotidiana esa energía es completamente despreciable, pero conforme disminuyen éstas llega a hacerse significativa, hasta llegar a la llamada energía de Planck que se corresponde con la menor distancia posible llamada longitud de Planck (1,616199 x 10-35  metros). La energía que hemos llamado “total” sería la tomada en las 9 dimensiones hipotéticas. Si llamamos a “n” la distancia, la energía efectiva sería del orden de 1/n y la energía total sería una cantidad  que guarde la misma relación con 1/n que la relación (n3/n). El valor que encontramos es “n”. Es decir la energía “total” será proporcional a la distancia, no al inverso de la misma.                                              

(Ir a (+)Observaciones para entender mejor el hecho de aplicar la proporcionalidad de la relación (n3/n))

Conclusiones

Considerando la hipótesis fractal para la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío y que dicha energía sea capaz de recubrir el espacio de 9 dimensiones sugerido por la teoría de supercuerdas, ¡¡¡ encontramos una energía asociada a estas 9 dimensiones que coincidiría en magnitud con la llamada energía oscura!!! Una energía proporcional a la distancia, a diferencia de la energía de las fluctuaciones del vacío cuántico que es inversamente proporcional, capaz de mantener la aceleración expansiva del universo.

(+)Observaciones. Relación necesaria entre números naturales para averiguar la dimensión fractal.

Curva de Koch

Observamos en la figura la construcción de un fractal clásico llamado curva de Koch. La distancia en línea recta (en una dimensión) entre el extremo  A y el extremo E mide 3 segmentos, la distancia sobre el fractal entre A y E (a través de las dos dimensiones del plano) mide 4. Estas medidas son las que determinan la dimensión fractal de la curva: (log 4)/(log 3).

Imaginemos que al medir en línea recta el segmento AE encontramos un valor fraccionario, por el tipo de unidad de medida utilizada, por ejemplo 1/4. Con esa misma unidad de medida la distancia recorrida sobre el fractal sería de 1/3. Al tratar de hallar ahora su dimensión fractal haríamos el cociente: (log 1/3)/(log 1/4) y el resultado sería distinto, lo que resulta absurdo. Tenemos que encontrar la misma relación entre los dos segmentos pero expresada en números naturales. La encontramos al dividir estas dos fracciones:

1/3:1/4 = 4/3 , y el resultado 4 y 3 es el que buscamos.

En el caso de la proporción directa utilizada más arriba, con 1/n  y la relación (n3 / n) hemos hecho lo mismo. Podemos utilizar relaciones de proporcionalidad entre los segmentos, para tratar de encontrar una sencilla relación entre números naturales, aunque lógicamente, no las podremos utilizar entre los logaritmos de dichos segmentos. Abundando sobre el tema podéis leer este documento y ver este post.

Las dimensiones extras. ¿Podemos demostrar que existen dimensiones enrolladas?

LHC

Según la teoría de supercuerdas en nuestro mundo existirían nada menos que 10 dimensiones, una dimensión temporal y  9 dimensiones espaciales. De estas dimensiones espaciales 3 serian las dimensiones ordinarias, que conocemos, y las otras 6 estarían enrolladas sobre sí mismas, alrededor de una distancia mínima llamada distancia de Planck, por lo que no serian observables.

Se han diseñado experimentos para tratar de descubrirlas en base a resultados anómalos sobre la atracción gravitatoria de masas a distancias microscópicas o  en  la violación de la conservación de la energía en colisiones en los aceleradores de partículas. También existe la posibilidad de que los mapas, cada vez más detallados, de la energía cósmica liberada en el Big Bang nos indiquen la huella de las dimensiones extras.

Pero puede que exista otra posibilidad de demostrar la existencia de dimensiones extra. Vamos a estudiar un curioso fenómeno que se da en sistemas fractales con un número grande de dimensiones. Partiendo de la hipótesis de que la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío tienen una estructura fractal, este fenómeno nos presentaría las dimensiones extra de una forma natural.

LHC

La dimensión fractal

La característica más especial de los fractales es su dimensión. Siempre es positiva y superior a su dimensión topológica. En cierta manera, de forma intuitiva nos indica la dimensión del espacio que son capaces de ocupar. Una cuartilla es un ejemplo de objeto de dimensión topológica 2, pero si la

arrugamos conseguimos que ocupe un espacio de mayor dimensión, entre 2 y 3 (normalmente fraccionario). Lo mismo ocurre con una línea (dimensión 1) que si la hacemos lo suficientemente intrincada e irregular es capaz de ocupar un plano (dimensión 2) e incluso un espacio (dimensión 3). Si la línea llega a ocupar el plano su dimensión fractal será 2 y si ocupa el espacio tridimensional, su dimensión fractal será 3. Conforme mayor sea su dimensión fractal, más intrincado e irregular será el fractal: a su dimensión topológica se le suma un coeficiente dimensional que completa el valor de su dimensión. Este coeficiente, normalmente fraccionario, nos indica el grado de irregularidad del fractal.

Dimensiones enrolladas

Dependencia espacial en los fractales

La líneas fractales gozan de una característica notable con relación a su dependencia espacial: una línea fractal capaz de recubrir el plano, para alejarse de cualquier punto arbitrario una distancia efectiva L debe recorrer una distancia media L². A otra línea fractal capaz de llenar el espacio le ocurre algo similar: para alejarse de cualquier punto arbitrario una distancia efectiva L, deberá recorrer, como media, una distancia total L³. Es decir, el valor de los exponentes 2 y 3 se corresponde con las dimensiones fractales de las líneas.

Sabiendo la dimensión del fractal podemos calcular su dependencia espacial y a la inversa. Lo que ocurre con las curvas fractales (dimensión topológica 1) lo podemos generalizar a cualquier estructura fractal con mayor dimensión topológica (siempre que sea continua y razonablemente isótropa), dividiendo su dimensión fractal por su dimensión topológica.

Reducimos así la dispersión de resultados y encontramos más fácilmente símiles con ejemplos sencillos como trayectorias unidimensionales. A este cociente le llamaremos dimensión fractal relativa:

Dim. frac. relativa = (dimens. topológica+ coef. dimensional )/(dimens. topológica).

                                                     Dfr= (d+e)/d

En nuestro caso conocemos que la energía asociada al vacío depende inversamente de la distancia (L^-1). Si fuera una simple línea (dimensión 1) encontraríamos que su dimensión fractal sería -1, pero como la energía es una magnitud tridimensional su dimensión fractal será -3, lo que obedece a un coeficiente dimensional negativo e igual a -6.

Tanto la dimensión fractal como el coeficiente dimensional negativos son resultados anómalos que obedecen a una causa sorprendente que estudiaremos a continuación. Siempre en base a la hipótesis fractal de las fluctuaciones que hemos planteado.

Volvamos a fijarnos en una simple hoja de papel que supondremos de espesor despreciable. Si la arrugamos estamos “fabricando” un fractal con dimensión mayor de 2 y menor de 3, es decir estamos sumando a su dimensión topológica un factor dimensional tanto mayor cuanto más intrincado sea su arrugamiento. ¿Pero qué ocurre si sobre la hoja lisa, sin arrugar, realizamos la operación de enrollarla sobre uno de sus extremos de la forma más fina posible?: A su dimensión topológica 2 le habremos restado una de sus dimensiones. En cierta forma, estamos realizando una operación con resultados opuestos al arrugamiento. En un caso se suma un factor dimensional y en el otro se resta.

Si sobre la expresión de la dimensión fractal relativa aplicamos la siguiente transformación de resta de dimensiones, que llamaremos T:

T: Valor (dimens. topológica) --> Valor (dimens. topológica – coef. dimensional),

                                                  T: (d) --> (d-e)

obtenemos la siguiente expresión para un universo con el mismo valor de dimensiones enrolladas que de coeficiente dimensional:

Dim. fractal relativa = (dimens. topológica)/(dimens. topológica – coef. dimensional).

                                                     Dfr= d/(d-e)

Si a esta expresión le igualamos el valor (-1) encontramos que el resultado anómalo obtenido se correspondería al de un universo con 6 dimensiones enrolladas y con un factor dimensional, también, de 6 (d= dimensión topológica=3).

Un poco más sobre el tema, visto de otra forma.