Dos fractales clásicos y unas fluctuaciones cuánticas

Sobre dos fractales clásicos, la curva de Koch y el polvo de Cantor, y cómo analizando el cálculo de su dimensión fractal somos capaces de calcular la dimensión fractal de las fluctuaciones cuánticas del vacío (hipótesis fractal sobre las mismas).

Siguiendo el post de hace varias semanas sobre "El vacío cuántico, una hipótesis fractal", vamos a calcular el valor de la dimensión fractal de las fluctuaciones cuánticas del vacío.La generalización del cálculo nos ofrecerá pruebas de que la naturaleza del cuanto de acción, causa de las propias fluctuaciones, puede haber dependido de la geometría adoptada por el Universo, o viceversa. Para ello nos valdremos de dos fractales clásicos, el polvo o conjunto de Cantor y la curva de Koch ambos en la figura anexa donde se explica su construcción. Nos fijaremos en el caso de la curva de Kock: El segmento inicial, de longitud 3, se convierte en los cuatro segmentos de longitud total 4. Se sabe que una homotecia de razón tres multiplica las longitudes por 3, las superficies por 3² = 9, los volúmenes por 3³ = 27, y más generalmente, el "volumen" de objeto de dimensión d por 3^d . Entonces tenemos 3^d = 4 para el copo de Koch, lo que da:
d = log 4 /log 3 = 1,26186...

Para nuestro propósito sobre las fluctuaciones ensayaremos un método general que involucra dos medidas diferentes. En la geometría euclideana no tendría sentido, pero la medida en las estructuras fractales depende de la magnitud de la unidad con la que se haga, de hecho en un fractal puramente matemático la distancia sobre la curva entre dos puntos cercanos tiende a infinito cuando la unidad de medida tiende a cero.

Realizaremos la medida sobre la mínima estructura del fractal, a partir de la cual se define el todo por simples iteraciones.

En la curva de Koch ( primera iteración) medimos la distancia entre los puntos 1-4 con una regla cuya mínima medida sea 3 y obtendremos que dicha distancia es 3 (una sola medida). Si medimos la distancia con una regla de mínima distancia 1, la medida 1-4 nos dará ahora como resultado 4 (cuatro medidas). El cociente entre los logaritmos de estos números nos da la dimensión fractal de la curva de Koch ( log 4 / log 3 = 1,26186.. ).

En el caso del conjunto de Cantor, las medidas involucradas son 3 y 2 (desde 3 segmentos hasta 2, y así en cada iteración) y la dimensión fractal del conjunto será log 2 / log 3. Es evidente que para un segmento lineal continuo encontraríamos el mismo valor para las dos medidas y el cociente entre sus dos logaritmos sería la unidad, que es la dimensión de una línea recta clásica euclideana.

Sobre estas premisas trataremos de calcular la dimensión fractal de las fluctuaciones cuánticas(*** Ver:La cuestión de la medida). Si nos fijamos en la figura anexa observamos que las medidas implicadas en el cálculo deben ser 1/4 y 4, pues partiendo de la distancia A-A1, a la que le asignamos el valor de energía de referencia E0, el valor entre los extremos A-B será 4 E0 para cuatro medidas consecutivas: A-A1 + A1-A2 + A2-A3 + A3-B. O bien E0/4 para una sola medida directa A-B. Aunque hemos tomado n=4 (por trabajar sobre un n concreto) no hay ninguna razón para tomar un valor de n determinado y el cálculo lo haremos general para n y 1/n ( n será natural y finito). Pero nos ocurre como en el caso del conjunto de Cantor. Entonces debíamos comparar 1 con 2/3 que a la hora de manejar logaritmos nos daría resultados absurdos, por lo que realmente hicimos el cambio: (1)---> (3) y (2/3) ---> (2) que nos permite comparar números naturales. En el caso que nos ocupa el cambio será:(1/n)--->(n) y (n)--->(n³) ( para n natural y finito, aunque puede ser arbitrariamente grande). Posteriormente, en un siguiente post, comprobaremos ampliamente la justificación de este cambio. La dimensión fractal de la energía de las fluctuaciones cuánticas será:

(Dim. topológica energía) x log n³ /log n = (3) x (3) = 9 . --->(*Expresión A*)

Es decir la dimensión topológica de la energía, que es igual a 3, queda multiplicada por el factor 3 que da cuenta de la irregularidad del fractal que representan. En los dos casos de curvas que hemos estudiado anteriormente la dimensión topológica es la unidad, de ahí que por simplificación no aparezca la dimensión topológica multiplicada.

Nos encontramos con un caso similar a lo que ocurre con una trayectoria completamente aleatoria (movimiento browniano de la primera figura). Como simple trayectoria es una línea de dimensión topológica 1, pero debido a sus irregularidades tiene una dimensión fractal 2, lo que nos indica que es capaz de recubrir un plano (dimensión 2). Las fluctuaciones cuánticas que tienen dimensión topológica 3 son capaces de recubrir un espacio de dimensión 9. ¿Por qué dimensión fractal 9? ¿Puede llevarnos la hipótesis fractal de las fluctuaciones a encontrar las 6 dimensiones compactadas de la teoría de supercuerdas?

En un próximo post generalizaremos el cálculo de la dimensión fractal de las fluctuaciones y veremos que nos da una pista sorprendente sobre las posibles dimensiones compactadas.




(***) La cuestión de la medida: En los fractales, debido a su irregularidad en todas las escalas, las medidas entre dos puntos varían según la magnitud de la unidad que se tome. El caso más sencillo y característico es la longitud de una costa. Entre dos puntos podemos encontrar una medida completamente diferente según consideremos la unidad de medida de 2000 metros, 1000 metros ó 500 metros. Conforme ésta unidad sea menor se adaptará mejor a las irregularidades y obtendremos una medida mayor. En el caso de las fluctuaciones cuánticas del vacío, si para una distancia D obtenemos una energía E0, para otra distancia 2D la medida directa sería E0/2 (una sola medida) y, en general, para la distancia nD sería E0/n.


Nota complementaria: 14/07/08.

Sobre el movimiento browniano:

En honor al "ministro iñigo" indico un link de la Wikipedia inglesa en la que puede comprobar lo que yo le indico, y él me niega, sobre la dimensión fractal del movimiento browniano, muy importante para seguir el supuesto de estructura fractal de las fluctuaciones cuánticas. Un libro clásico sobre el tema, donde también figura este fractal natural y se especifica su dimensión fractal, es el de : K.Falconer "The geometry of fractal sets". Cambridge University Press.

El movimiento aleatorio puro o browniano tiene una dimensión fractal igual a 2, sea la dimensión que sea la del espacio en el que se manifiesta. Lo que confundía a nuestro amigo era suponer que dado que este movimiento es capaz de tomar cualquier dirección en el espacio de 2, 3 ó más dimensiones, también sería capaz de recubrirlo. En este caso el movimiento browniano tendría un valor diferente según el espacio en el que se desarrollara pero no ocurre así, tal como parece intuirse (a mi también me ocurrió).

Sobre la elección de energía de las fluctuaciones cuánticas como escalar de medida:

A diferencia de otras magnitudes, la energía de las fluctuaciones del vacío no es un escalar cualquiera, representa el propio marco del espacio tiempo en fluctuación y su estudio como fractal nos puede dar más información sobre las posibles dimensiones compactadas, sobre el cuanto (que está en el origen de las propias fluctuaciones) y algún indicio sobre la relación del mismo con las configuraciones del espacio-tiempo (gravedad cuántica).

En la (*Expresión A*) , sobre la dimensión fractal, el cociente de logaritmos siempre será igual a 1 en las estructuras continuas no fractales, las dos medidas de las que hemos hablado coincidirán y por tanto sólo tendremos la dimensión topológica.


A modo de ejemplo:

Vamos a imaginar un sencillo mundo, que llamaremos V, de sólo una dimensión. La principal ley que tendremos en cuenta es la de la constitución más íntima de su espacio unidimensional (ver dibujo y supongamos n=4): para una longitud 7 (equivalente al lado AC) la energía (lineal) de vacío asociada hace que esa longitud se quiebre y se convierta en los lados iguales de un triángulo de longitud 4, cada uno (AB y BC).

Los habitantes de V conocen esa ley porque han observado la influencia de las masas sobre la deformación de su espacio y conocen la energía de vacío, pero desde su perspectiva no necesitan de más dimensiones que una para explicarla y en esa única dimensión está bien definida. La única medida real de longitud en ese mundo unidimensional entre A y C es 8, y la medida de 7 es completamente ficticia. Sin embargo suponiendo una geometría fractal serían capaces de descubrir un mundo bidimensional más amplio que el suyo.

Volviendo a nuestro mundo de tres dimensiones espaciales, la hipótesis fractal sobre las fluctuaciones cuánticas del vacío podría confirmar de forma semejante un mundo de más dimensiones espaciales que las tres conocidas.